Научная статья на тему 'Термогравитационное течение неоднородной жидкости в пограничном слое вблизи свободной границы'

Термогравитационное течение неоднородной жидкости в пограничном слое вблизи свободной границы Текст научной статьи по специальности «Физика»

CC BY
64
13
Поделиться
Ключевые слова
СВОБОДНАЯ ГРАНИЦА / ПРИБЛИЖЕНИЕ ОБЕРБЕКА БУССИНЕСКА / ПОГРАНИЧНЫЙ СЛОЙ / ВРАЩЕНИЕ / FREE SURFACE / THE OBERBEK-BOUSSINESQ APPROXIMATION / BOUNDARY LAYER / ROTATION

Аннотация научной статьи по физике, автор научной работы — Батищев Владимир Андреевич, Гетман Вероника Андреевна, Перекрестов Валерий Владимирович

На основе приближения Обербека Буссинеска рассмотрена задача о термогравитационном течении неоднородной жидкости в слое конечной толщины при неравномерном нагреве свободной поверхности. В безразмерных переменных перед старшими производными в уравнениях движения возникает малый параметр, что приводит к появлению тонкого термогравитационного пограничного слоя вблизи свободной поверхности. Показано, что в зависимости от направления продольного градиента температуры на границе могут возникать в пограничном слое либо два вращательных режима, либо несколько режимов течений жидкости без вращения.

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Батищев Владимир Андреевич, Гетман Вероника Андреевна, Перекрестов Валерий Владимирович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Thermogravitational Flow of Non-Uniform Fluid in the Boundary Layer Near the Free Surface

For the equations of fluid flow in Oberbeck-Boussinesq approximation is studied for non-uniform thermogravitational flow in the restriction on the free surface and the solid boundary. For fluid flow caused by the uneven heating of the free boundary, found similar solution in the boundary layer near the free surface. Thermocapillary effects are not taken into account. It is shown that depending on the direction of the longitudinal temperature gradient can arise either two rotational modes or multiple modes fluid flows without rotation.

Текст научной работы на тему «Термогравитационное течение неоднородной жидкости в пограничном слое вблизи свободной границы»

УДК 536.22

DOI 10.18522/0321-3005-2016-2-29-34

ТЕРМОГРАВИТАЦИОННОЕ ТЕЧЕНИЕ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ В ПОГРАНИЧНОМ СЛОЕ ВБЛИЗИ СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЫ

© 2016 г. В.А. Батищев, В.А. Гетман, В.В. Перекрестов

Батищев Владимир Андреевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра теоретической и компьютерной гидродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: batish@math.sfedu.ru

Гетман Вероника Андреевна - аспирант, кафедра теоретической и компьютерной гидродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: vaget-man@sfedu.ru

Перекрестов Валерий Владимирович - студент, кафедра теоретической и компьютерной гидродинамики, Институт математики, механики и компьютерных наук имени И.И. Воровича Южного федерального университета, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: bymbarasch @ya. ru

Batishchev Vladimir Andreevich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Professor, Department of Theoretical and Computer Fluid Dynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: batish@math.sfedu.ru

Getman Veronika Andreevna - Post-Graduate Student, Department of Theoretical and Computer Fluid Dynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: vagetman@sfedu.ru

Perekrestov Valerii Vladimirovich - Student, Department of Theoretical and Computer Fluid Dynamics, Vorovich Institute of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences of the Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, Russia, e-mail: bymbarasch@ya.ru

На основе приближения Обербека - Буссинеска рассмотрена задача о термогравитационном течении неоднородной жидкости в слое конечной толщины при неравномерном нагреве свободной поверхности. В безразмерных переменных перед старшими производными в уравнениях движения возникает малый параметр, что приводит к появлению тонкого термогравитационного пограничного слоя вблизи свободной поверхности. Показано, что в зависимости от направления продольного градиента температуры на границе могут возникать в пограничном слое либо два вращательных режима, либо несколько режимов течений жидкости без вращения.

Ключевые слова: свободная граница, приближение Обербека - Буссинеска, пограничный слой, вращение.

For the equations offluid flow in Oberbeck-Boussinesq approximation is studied for non-uniform thermogravitational flow in the restriction on the free surface and the solid boundary. For fluid flow caused by the uneven heating of the free boundary, found similar solution in the boundary layer near the free surface. Thermocapillary effects are not taken into account. It is shown that depending on the direction of the longitudinal temperature gradient can arise either two rotational modes or multiple modes fluid flows without rotation.

Keywords: free surface, the Oberbek-Boussinesq approximation, boundary layer, rotation.

Нелинейные пограничные слои вблизи свободной поверхности однородной жидкости, вызванные неравномерным нагревом этой поверхности, интенсивно изучались в конце прошлого столетия в связи с проведением экспериментов в космосе. Эти пограничные слои вызваны термокапиллярным эффектом Марангони. Первая работа по слоям Ма-рангони опубликована в 1979 г. L.G. Napolitano [1]. Затем появилась серия публикаций по этому направлению. Отметим важную работу В.В. Пухна-чева [2]. Нелинейный пограничный слой вблизи свободной границы может возникать при воздействии на эту границу касательных напряжений, которые вызваны ветровыми нагрузками. Первые решения в этих задачах получены В.Я. Шкадовым [3].

Отметим, что при термокапиллярном эффекте на свободной поверхности возникают касательные напряжения вследствие зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры. В случае его зависимости от концентрации примеси возникают поверхностные касательные напряжения, которые приводят к формированию нелинейного концентрационного пограничного слоя. В однородной жидкости, движение которой описывается системой Навье - Стокса, уравнениями пограничного слоя во всех перечисленных случаях являются уравнения Прандтля с краевыми условиями для поверхностных касательных напряжений, которые и приводят к формированию нелинейного пограничного слоя. В случае неоднородной жидкости,

движение которой рассчитывается на основе уравнений в приближении Обербека — Буссинеска, — иная ситуация. Теперь нелинейный пограничный слой может возникать как с учетом термокапиллярного эффекта, так и без этого эффекта, т.е. при отсутствии поверхностных касательных напряжений. Причиной является обратное влияние температурного поля на поле скоростей жидкости, так как температура входит в уравнения движения. При наличии внешнего потока жидкости при малых поверхностных градиентах температуры скорость внешнего потока может быть много больше, чем погранслойная поправка к этой скорости. Уравнения пограничного слоя линеаризуются. Сначала определяется температура, а затем поле скорости. Итак, в этом случае касательные напряжения не играют определяющей роли, так как это происходит в однородной жидкости в перечисленных случаях. В данной работе рассчитан термогравитационный пограничный слой вблизи свободной поверхности без учета термокапиллярного эффекта. Касательные напряжения на свободной границе отсутствуют. Исследовано влияние внешнего потока жидкости. Вдоль свободной границы вблизи оси симметрии жидкость либо нагрета, либо охлаждена по отношению к температурным условиям вне пограничного слоя. В первом случае найден только один режим без вращения жидкости. Во втором обнаружены два вращательных режима и два — без вращения жидкости.

Уравнения движения

Изучается стационарное осесимметричное течение вязкой теплопроводной несжимаемой жидкости в горизонтальном слое, ограниченном сверху свободной границей Г, а снизу — твёрдой стенкой S. Толщина слоя равна к„. Вдоль свободной границы задано неравномерное распределение температуры, так что вблизи оси симметрии поверхностный градиент температуры либо положителен, либо отрицателен. При малых значениях диффузионных коэффициентов вязкости и теплопроводности вблизи свободной границы возникает тонкий пограничный слой, вне которого в первом приближении течение жидкости невязкое. Жидкость считается неоднородной по плотности. За основу расчетов принимаются уравнения движения в приближении Обербека — Буссинеска

(V, Уу) = — рчУр + уАУ - , уУГ = хАГ, йУ V = 0.

Здесь V = (уг, Уд, ) — вектор скорости; г,в, z — цилиндрические координаты; Т - температура жидкости; р — давление; g = (0,0, — g) ; g — ускорение свободного падения. Параметры у, —

коэффициенты кинематической вязкости, температуропроводности и теплового расширения. Движение жидкости считается осесимметричным, т.е. вектор скорости, давление и температура не зависят от окружной координаты в . На свободной поверхности Г выполняются динамические условия для нормальных и касательных напряжений, кинематическое условие, а также задана температура

p = 2vpnnn — cr(k1 + k2) + p*, vn = 0,

2vp(Un — (пПп)п) = 0, T=Tr, (r,z) еГ .

Предполагается, что давление на свободной границе постоянно, т.е. p* = const. В краевых условиях через n обозначен вектор внешней нормали к свободной границе; П - тензор скоростей деформации; k1, k2 — главные кривизны свободной поверхности.

На твердой стенке выполняется условие прилипания v=0 и задана постоянная температура T = const. Отметим, что в данной работе термокапиллярный эффект не учитывается, поэтому считаем, что (Г= const.

Предположим, что распределение температуры вдоль свободной границы задано по квадратичному закону: ТГ — T* = 0,5т T*(r2 /a2 — 1) при 0 < r < a и Т =T* для r > a. Через т обозначен безразмерный параметр, равный 2ATr / T*; ATr — разность температур на свободной границе между осью симметрии и окружностью r = a . Через T* обозначена средняя постоянная температура слоя жидкости вне пограничного слоя. Параметр т может принимать как положительные, так и отрицательные значения. При т > 0 жидкость на свободной границе внутри круга r < a охлаждена по сравнению с температурой T* . В этом случае вблизи оси симметрии может возникать вращательный режим движения жидкости. При т < 0 внутри круга свободная граница нагрета по сравнению с T*. Вращение жидкости не возникает. В случае тонкого слоя этот факт обнаружен в [4]. В однородной жидкости это показано в [5, 6].

Приближение Обербека — Буссинеска и краевые условия записываем в цилиндрических координатах. Приведем уравнение только для осевой компоненты скорости

dv7 dv7

vr—z- + vz—z-dr dz

- 2Vz + gßT . (1)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p dz

Поместим начало системы координат на свободную поверхность, тогда уравнение твердой стенки представим как z=—й0 . Решение уравнений движения жидкости запишем в виде

vr = rF'(s)va 2, vz = — 2va (s), ve= rG(s)va 2 , T—T* = T*a—2(0,5r2T1 (s) + a2T2(s)) , (2)

p = — pv2a— (0,5r2p1 (s) + a2p2 (s)) . Здесь s=z / a . Введем безразмерный параметр h = h0 / a . Формулы (2) описывают термогравитационное течение жидкости в горизонтальном слое с твердой нижней границей и свободной верхней поверхностью. Ниже будет показано, что решению (2) удовлетворяет горизонтальная свободная граница с уравнением z=0. Течение жидкости вызвано либо нагревом, либо охлаждением свободной границы. Отметим, что решение (2) описывает течение жидкости только вблизи оси симметрии Oz и не распространяется на случай больших значений радиальной координаты.

Введем параметр е по формуле е2 = v2 /(gßT*a3). Для конечных значений a параметр е оказывается малым.

Подставляем функции (2) в уравнения движения и в краевые условия, разделяем переменные. Для

функций F, G, T1, T2, pl5 p2 выводим краевую

2

задачу, которая содержит малый параметр е только в уравнении, содержащем ускорение свободного падения (уравнение (1)). Далее введем преобразование F(s) = f (s)/e, G(s) = G(s)/e . В результате приходим к краевой задаче

ef(4) =— 2(f " + GG) + Ti, (3)

ff f T = 2Pr(f T — T ),

eT2" = — 2Pr fT2' — 2eT1, eG = 2(f 'G — fG),

f=0, f" = 0, G = 0, T = *, T =—r/2 (s = 0) ,

f = 0, f = 0, G = 0, T = 0, T2 = 0 (s=—h) .

Здесь Pr=v/x - число Прандтля. В расчетах полагаем Pr=7.

После решения последней задачи функции pl и

1 s

p2 вычисляем по формулам =—-j Txds ,

( s \

e2 0

1

P2

2f 2 + 2ef''—jT2 ds

+const ,

следует, что давление на поверхности 5 = 0 постоянно. Итак, свободная граница вблизи оси симметрии горизонтальна: г = 0 . Вклад функций р1 и р2 в давление р имеет порядок 0(1), так как в формулах (2) для функции р стоит множитель, который в безразмерной форме имеет порядок 0(е2).

Асимптотический метод

Краевая задача (3) содержит малый параметр перед старшими производными. В данном случае это означает, что вблизи свободной границы возникает термогравитационный пограничный слой. Вне этого слоя течение жидкости приближенно описывается уравнениями невязкой жидкости. Чтобы найти порядок толщины пограничного слоя и порядки функций /, Т1, Т2, О, необходимо ввести преобразование растяжения и представить функции /, О в виде

5 = ек*1, / = ^(*1), О = етОМ). (4)

Чтобы найти к, п, т, нужно подставить формулу (4) в задачу (3) и оценить порядки главных членов в левых и правых частях уравнений и краевых условий. Здесь возникают два случая. В первом внешний поток жидкости индуцируется самим пограничным слоем. Скорость жидкости вне области пограничного слоя Бг имеет более высокий порядок, чем в области . Во втором случае внешний поток задан независимо от наличия пограничного слоя, причем скорость внешнего потока жидкости имеет такой же порядок по параметру е, как и порядок скорости в области пограничного слоя.

Рассмотрим первый случай. Параметры к, п, т принимают значения к=2/5, п=3/5 и т=1/5 . Итак, толщина пограничного слоя имеет порядок 0(е215). Учитывая, что переменная 5 отрицательна в области течения, введем преобразование Т = —51. В главном приближении получаем уравнения пограничного слоя вблизи свободной границы

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(5)

F/4) = 2FF(3) + 2GG + T

из которых

ц 1 + 2О1О1 + Т1 , н г г н г

Т1 = 2Рг(^1Т1 — ^ Т), Т2 = 2Рг F1T2 ,

гг г г

О1 = 2ДО1 — ^ О1) .

Краевые условия на бесконечности для полученных уравнений выполняются при выходе из области пограничного слоя и означают исчезновение радиальной и окружной компонент скорости, касательных напряжений и функций Т1 ,Т2, т.е.

г н

^ = 0, ^ = 0, О1 = 0, Т1 = 0, Т2 = 0 (т=+^) .

Учитывая формулы (2) и (4), находим, что радиальная и окружная компоненты скорости в пограничном слое имеют порядок 0(е1/5 ) , температура - конечный порядок 0(1) . Порядок осевой компоненты скорости равен 0(е315). Отметим, что пограничный слой индуцирует внешнее невязкое течение жидкости со скоростью порядка 0(е315).

е

0

Рассмотрим второй случай. Теперь для вывода уравнений движения применяем метод пограничного слоя [7]. Представим функции f, Т1, Т2, G в виде асимптотических разложений при

f(s) =sV5f0(s) + si!\H(ф + fi(s)) + O(s) , (6)

,3/5

Ti = Tiito) + е2,5(Гп(ф + Tio(s)) + ...,

Т = ЗД) + е2,ъТ22(Л) + ... ,

О = еУ5Оа{Л) +... .

В формулах (6) функции Н(7), Т11, Т12, Т21, Т22, О0 определены в области пограничного слоя Бг и исчезают при выходе из него. Учитывая, что О ^ 0 при + , получаем, что вращение жидкости возникает только в пограничном слое и отсутствует вне этого слоя. Функции /0 (5), / (5)

определены как в пограничном слое, так и в области внешнего течения и определяют осевую компоненту скорости вне Бт . Функция Г10 (5) определяет поле температур в главном приближении вне области пограничного слоя. Соответствующую поправку в формуле для функции Т2 представим в

виде е615 Т20(5).

Для определения функций /0(5), Г10(5),Г20(5) применяем первый итерационный процесс метода пограничного слоя [7]. В результате приходим к краевой задаче, из которой находим /0 =Ц,5(5 + й)(1 + Ъ5) , Т10 =12Ьи0/0(5), Т20 = 0.

Здесь параметр и0 пропорционален скорости внешнего потока на свободной границе. Далее полагаем Ъ= О, т.е. считаем, что вне пограничного слоя температура постоянна и равна Т*.

Подставляем асимптотические разложения (6) в уравнения Обербека — Буссинеска и применяем второй итерационный процесс [7]. В результате приходим к системе уравнений в области пограничного слоя

Н(4)(7) = 2Н'" (Н — ф) + 2О0О0 ' + Тп,

// Г

Тц = 2Рг((Н—Ли)Тп — (Н' — и)Тп), (7)

г/ г

Т21 = 2Рг(Н—^и)Т21 ,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

// Г

С0 =2ЩН-т}Ц)О0 -(Н'-и)С0).

Краевые условия для системы (7) приводятся к виду

I

Н=0, Н' =0, О0 =0, Т11 =г, Т21 = —г/2 (7=0), (8) Н'=0, Н"=0, О0 = 0, Т11 = 0, Т21 = 0 (7=+от).

Здесь и=и0к. Отметим, что краевая задача (7), (8) содержит три параметра: и,г,Рг.

Результаты численных расчетов

Краевая задача для системы уравнений (5) решалась численно методом пристрелки. На рис. 1 приведены результаты расчетов радиальной компоненты скорости в случае, когда внешний поток индуцируется только пограничным слоем. Пунктирная линия соответствует случаю г=— 0,75. В этом случае на свободной границе вблизи оси симметрии жидкость нагрета по отношению к области вне пограничного слоя. Скорость жидкости монотонно убывает при удалении от свободной границы Г и направлена от оси симметрии. Вращательные режимы не обнаружены. Зависимость температуры жидкости от поперечной координаты 7 различна для разных значений радиальной координаты. Для г < г0 температура жидкости монотонно убывает при удалении от свободной границы. Для г > г0 в профиле температуры имеется одна точка локального максимума. Для г = г0 производная температуры по координате 7 обращается в нуль на свободной границе (г0 = 0,7905а ).

В случае г=0,75 жидкость на свободной границе вблизи оси симметрии охлаждена по сравнению с областью вне пограничного слоя. Сплошная линия на рис. 1 изображает изменение радиальной компоненты скорости поперек пограничного слоя. Краевая задача допускает два симметричных решения + О1,Т1,Т2 (численные значения —

г

^ (0) « — 0,1926 , 01(0) «1,429 ).

Рис. 1. Распределение радиальной компоненты скорости в пограничном слое

Отметим, что вблизи свободной границы возникает тонкая зона противотока, в которой жидкость движется по направлению к оси симметрии. Вне зоны противотока жидкость, как и при г=— 0,75,

движется от оси симметрии. В обоих случаях течение жидкости в области пограничного слоя индуцирует внешнее невязкое медленное течение вне , скорость которого направлена к свободной поверхности. При т=0,75 в области пограничного слоя возникает вращение жидкости, причем

вне этого слоя вращение отсутствует. Распределение температуры жидкости внутри пограничного слоя зависит от значения радиальной координаты. Для г < г1 температура монотонно возрастает при удалении от свободной границы. При г = г1 температура является неубывающей функцией координаты т ; при г > г1 профиль температуры имеет локальный максимум и локальный минимум. Отметим, что г1 «0,403а. При выходе из пограничного слоя температура асимптотически стремится к значению Т*. Радиальная компонента теплового потока направлена к оси симметрии. Таким образом, вращение жидкости в пограничном слое возникает при охлаждении свободной границы. В этом случае возникает продольный поток тепла внутри слоя, направленный к оси симметрии.

Рассмотрим второй случай, когда вне пограничного слоя задан внешний поток. При численном интегрировании системы (7), (8) параметр г был зафиксирован, а параметр и изменялся. На рис. 2 изображен график изменения радиальной компоненты скорости на свободной границе Г в зависимости от значения скорости внешнего течения и на этой границе. Для всех полученных решений окружная компонента скорости отсутствует. Пунктирная кривая соответствует значению т=— 0,75. В этом случае для каждого значения скорости внешнего потока U найдено только одно решение задачи (7), (8). С ростом скорости внешнего потока монотонно возрастает и скорость жидкости на свободной поверхности. Внутри области пограничного слоя при удалении от свободной поверхности скорость точек жидкости монотонно убывает и достигает асимптотических значений при выходе из области пограничного слоя. Профиль температуры внутри пограничного слоя изменяется с ростом радиальной координаты. Для г < г2 температура монотонно убывает при удалении от свободной границы. При г > г2 в профиле температуры имеется точка локального максимума. Отметим, что г2 « 0,7978а при U = 1.

Сплошная линия на рис. 2 соответствует значению т=0,75 . Отметим, что теперь, при охлаждении свободной границы, решения вида (2) существуют только тогда, когда скорость внешнего потока на свободной границе превышает некоторое предель-

ное значение и > и*. Для т=0,75 это значение равно и*« 0,2488. При численном расчете для каждого и > и* найдено по два решения, которые отличаются друг от друга формой профиля скорости. Для всех точек сплошной кривой, лежащих ниже оси абсцисс, т.е. при ¥г <0, имеются зоны тока и противотока, причем зона противотока расположена вблизи свободной границы. Здесь жидкость течет к оси симметрии. Вне этой зоны скорость жидкости и скорость внешнего потока одно-направлены. Для точек сплошной кривой, у которых ¥г > 0 , зона противотока отсутствует. Отметим, что существуют три вида профилей температуры для различных значений параметра и и координаты г . Внутри пограничного слоя температура изменяется с ростом поперечной координаты Т либо монотонно, либо имеет одну или две точки локального экстремума.

Рис. 2. Зависимость радиальной компоненты скорости на поверхности Г от параметра U

Заключение

Рассмотрена стационарная осесимметричная задача о термогравитационном течении неоднородной жидкости в пограничном слое вблизи свободной границы. Показано, что в пограничном слое в случае охлаждения свободной поверхности вблизи оси симметрии могут возникать два автомодельных режима с вращением жидкости или два режима без вращения. При нагреве этой границы возникает только один режим без вращения жидкости.

Литература

1. Napolitano L.G. Marangoni boundary layers // Proceedings III European Symposium on Material Science in Space. Grenoble, 1979. P. 313 - 315.

2. Пухначев В.В. Групповой анализ уравнений нестационарного пограничного слоя Марангони // Докл. АН СССР. 1984. Т. 279, № 5. С. 1061 - 1064.

3. Шкадов В.Я. К образованию волн на поверхности вязкой тяжелой жидкости под действием касательного напряжения // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1970. № 3. С. 133 - 137.

4. Батищев В.А., Хорошунова Е.В. Возникновение вращательных режимов при термокапиллярном течении неоднородной жидкости в слое // Прикладная математика и механика. 2000. Т. 64, вып. 4. С. 560 - 568.

5. Батищев В.А. Автомодельные решения, описывающие нестационарные термокапиллярные течения жидкости // Прикладная математика и механика. 1995. Т. 59, вып. 6. С. 1003 - 1009.

6. Батищев В.А. Ветвление автомодельных решений, описывающих термокапиллярные течения жидкости в тонком слое // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40, № 3. С. 137 - 143.

7. Батищев В.А. Асимптотика неравномерно нагретой свободной границы капиллярной жидкости при больших числах Марангони // Прикладная математика и механика. 1989. Т. 53, вып. 3. С. 425 - 432.

References

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1. Napolitano L.G. Marangoni boundary layers. Proceedings III European Symposium on Material Science in Space. Grenoble, 1979, pp. 313-315.

2. Pukhnachev V.V. Gruppovoi analiz uravnenii nestatsionarnogo pogranichnogo sloya Marangoni [Group analysis of equations of unsteady boundary layer

Marangoni]. Dokl. AN SSSR, 1984, vol. 279, no 5, pp. 1061-1064.

3. Shkadov V.Ya. K obrazovaniyu voln na poverkhnosti vyazkoi tyazheloi zhidkosti pod deistviem kasatel'nogo napryazheniya [By the formation of waves on the surface of a heavy viscous liquid under the influence of shear stress]. Izv. AN SSSR. Mekhanika zhidkosti i gaza, 1970, no 3, pp. 133-137.

4. Batishchev V.A., Khoroshunova E.V. Voznik-novenie vrashchatel'nykh rezhimov pri termo-kapillyarnom techenii neodnorodnoi zhidkosti v sloe [The emergence of rotational modes when thermocapillary flow in non-uniform fluid layer]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 2000, vol. 64, no 4, pp. 560-568.

5. Batishchev V.A. Avtomodel'nye resheniya, opisyvayushchie nestatsionarnye termokapillyarnye techeniya zhidkosti [Self-similar solutions describing unsteady fluid flow thermocapillary]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1995, vol. 59, no 6, pp. 10031009.

6. Batishchev V.A. Vetvlenie avtomodel'nykh reshenii, opisyvayushchikh termokapillyarnye techeniya zhidkosti v tonkom sloe [Branching-similar solutions describing thermocapillary fluid flow in a thin layer]. Prikladnaya mekhanika i tekhnicheskaya fizika, 1999, vol. 40, no 3, pp. 137-143.

7. Batishchev V.A. Asimptotika neravnomerno nagretoi svobodnoi granitsy kapillyarnoi zhidkosti pri bol'shikh chislakh Marangoni [The asymptotic behavior of the free boundary is unevenly heated capillary fluid with large Marangoni numbers]. Prikladnaya matematika i mekhanika, 1989, vol. 53, no 3, pp. 425-432.

Поступила в редакцию_1S февраля 2Q16 г.