Возникновение муаровой картины при дифракции на «Зеркальной» апертуре и возможности ее применения для контроля геометрических параметров объектов Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВОЗНИКНОВЕНИЕ МУАРОВОЙ КАРТИНЫ ПРИ ДИФРАКЦИИ НА «ЗЕРКАЛЬНОЙ» АПЕРТУРЕ И ВОЗМОЖНОСТИ ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ОБЪЕКТОВ А.Н. Иванов, В.Н. Назаров

Описана дифракционная картина от «зеркальной» апертуры, образованной краем объекта и отражающей излучение поверхностью. Дается объяснение возникновения поперечных полос нулевого контраста в дифракционной картине, приводится расчет их параметров. Предложены возможные области практического применения данной схемы.

Введение

Целью работы является исследование возможностей повышения точности, расширения области применения дифракционных методов контроля (ДМК), упрощения схемы их реализации. Преимуществом ДМК является увеличение точности измерений при уменьшении размера объекта. Кроме того, метод не связан с формированием изображения объекта и поэтому в значительной мере свободен от аберраций оптической системы [1, 2].

В настоящей работе исследовано распределение поля в дальней области от «зеркальной» щелевой апертуры, образованной полуплоскостью и отражающей поверхностью (рис. 1). Дифракция на такой апертуре была экспериментально исследована в работе [3], где было установлено, что дифракционная картина имеет следующую особенность: при наклоне края полуплоскости относительно поверхности зеркала обычная система полос, ориентированная вдоль оси симметрии щели, дополняется системой полос, перпендикулярной к ней. Было показано, что она обладает высокой чувствительностью к изменению геометрических параметров апертуры.

Расчет дифракционной картины

Особенностью схемы, изображенной на рис.1, является деление волнового фронта на зеркале до попадания его в апертуру. Поэтому в плоскости апертуры поле можно представить как сумму падающего и отраженного полей: и (х) = ^(х) + и2(х). Отраженная компонента Ж2 в этом случае будет промодулирована в соответствии выражением Г(х) = exp(¡к 2 фх) [4] и получит задержку А = а ф относительно неотраженной компоненты Ж1. Поле за апертурой тогда представляется в виде

и(х') = Г{{(х) Г(х)} + Г{{(х) }ехр(/ка ф) . (1)

С учетом отражения дифрагированной компоненты Щ после апертуры выражение (1) примет вид

и(х') = Г{{(х) Г(х)} + Г{{(х - а) ехр(/ кх 2 ф) }ехр(/ к а ф) . (2)

Его решением в аналитической форме будет выражение (3):

и(х') = А а 8тс(к а (ю(х') + ф) / 2) соз(к а((ю(х') + ф) + ф) / 2), (3)

где А = 1 / ^IX / , ю(х') = х' / / - пространственная частота, / - фокусное расстояние

цилиндрической линзы.

Так как постоянная добавка к пространственной частоте ф приводит только к линейному смещению спектра, то (4) можно упростить:

и(х') = Аа 8тс(каа(х')/2)соз(ка(а(х') + ф)/2). (4)

Рис.1. Схема прохождения лучей через апертуру, образованную краем объекта и отражающей поверхностью

Рис. 2. Дифракционная картина от апертуры с начальной шириной 50 мкм, углом падения света на апертуру 3 градуса и углом между отражающей поверхностью и краем объекта 20 угловых минут

Из работы [5] известно, что выражение (4) описывает дифракционную картину от щелевой апертуры шириной 2а и фазовой ступенькой на ее входе. Высота этой ступеньки определяется выражением 8 = к а ф . Поэтому величина фазовой задержки зависит от ширины апертуры. Тогда при изменении ширины апертуры на Да = X /2 ф высота ступеньки меняется на п. Это приводит к появлению полосы, пересекающей дифракционную картину. Если ширина апертуры меняется плавно, выражение (4) принимает вид:

и(х', у') = А а(у) 8те(ю(х) а(у) / 2) еов(к а(у) (ю(х') + ф) / 2), (5)

где а(у) - функция, описывающая изменение ширины апертуры. На рис. 2 представлена модель дифракционной картины от апертуры, ширина которой меняется по линейному закону а(у) = а0 +0 у.

Основные результаты

Поперечные полосы можно интерпретировать как муаровые, которые возникли при наложении систем полос, описываемых множителями выражения (5). Для получения уравнения семейства муаровых полос необходимо сначала вывести уравнения се-

мейств полос для каждого из этих множителей. Для этого приравняем их к 0 и, решив их, получим параметрические уравнения: зтс(к ю( х') а (у) /2) = 0 , к а( у) ш( х')

т =

2 п

т = ±1, ± 2,... ,

соз( к а(у) (ю(х') + ф) /2) = 0. к а(у) ш(х') - к а(у) ф — п

п =

2п

п = 0, ± 1, ± 2,... .

(6)

(7)

Тогда параметрическое уравнение линий поперечных полос может быть найдено как разность полученных параметрических уравнений (6) и (7) р = т — п : к а( у) ф + п

Р =

2 п

р = 0, ± 1, ± 2,... .

(8)

Пусть ширина апертуры меняется по линейному закону а(у) = а0 +0 у. Подставляя его в параметрическое уравнение (8), получим уравнение семейства муаровых по-

лос

у = (

2 п т к ю( х')

а0)/ 0.

Схема возникновения полос показана на рис. 3. Ширина полос определяется разностью £ = у(Р2) — у(Р1) и в данном случае равна £ = X /0 ф .

Рис. 3. Схематичное представление образования системы комбинационных (муаровых) полос при наложении систем интерференционных и дифракционных полос

Заключение

В работе рассчитана дифракционная картина от апертуры, образованной полуплоскостью и отражающей поверхностью. Дано объяснение возникновению в дифракционной картине поперечных полос, получено их параметрическое уравнение, связывающее форму полос с геометрическими параметрами апертуры. Это позволяет говорить о схеме дифракционного контроля с использованием поперечных полос. Учет фазовой информации, содержащейся в спектре от такой апертуры, позволяет сделать схему крайне чувствительной к изменению формы апертуры: чувствительность предложенного метода может достигать 0.01 мкм. Линейная зависимость между фазовой задержкой и шириной апертуры обеспечивает высокую локальность измерений. Подобная схема может быть использована для контроля прямолинейности профиля объектов, анализа вибраций, биений и деформаций.

Литература

1. Быстров Ю.А., Колгин Е.А., Котлецов Б.Н. Технологический контроль размеров в микроэлектронном производстве. М.: Радио и связь, 1988.

2. Крылов К.И., Прокопенко В.Т., Митрофанов А.С. Применение лазеров в машиностроении и приборостроении. Л.: Машиностроение, 1978.

3. Pryor T.R., Hageniers O.L., North W.P.T. Diffractographic dimensional measurement. Part 1: Displacement measurement. // Appl. Opt. Vol. 11. № 2. P. 308-313.

4. Литвиненко О.Н. // Основы радиооптики. Киев: Техника, 1974.

5. Diaz - Uribe R., Jimenez - Hernandez A. Phase measurement for segmented optics with 1D diffraction patterns. // Optics Express. Vol. 12, № 7. P. 1192-1204.