CC BY
82
ИССЛЕДОВАНИЕ МУАРОВОГО ЭФФЕКТА, ВОЗНИКАЮЩЕГО ПРИ НАЛОЖЕНИИ ЧАСТОТНЫХ СПЕКТРОВ ОБЪЕКТА
А.Н. Иванов
Научный руководитель - к.т.н., доцент В.Н. Назаров
Рассмотрен дифракционный способ образования муаровых полос с помощью ранее исследованной «зеркальной» апертуры. Реализованы оптические системы, позволяющие получить муаровые картины с произведением и вычитанием дифракционных спектров. Показано, что наличие муаровой картины позволяет увеличить чувствительность дифракционных измерений на порядок. Предложены области применения описанных схем.
Введение
Дифракционные методы контроля (ДМК) геометрических параметров и пространственного положения объектов достаточно часто используются в измерительной технике, когда требуется высокая точность, бесконтактность, малое время и локальность измерений и автоматизация процесса измерения. Препятствием для дальнейшего увеличения точности ДМК является недостаточная чувствительность из-за регистрации интенсивности дифракционной картины квадратичными приемниками. Поэтому дальнейшие исследования в целях повышения точности ДМК и упрощения схем их реализации требуют создания оптической системы, использующей амплитудно-фазовое распределение световых полей за контролируемым объектом [1, 2].
Муаровые полосы, образованные умножением частотных спектров
В работе [3] было приведено описание дифракционной картины от «зеркальной» апертуры, образованной краем объекта и его изображением в плоском зеркале (рис. 1). Особенностью такой дифракционной картины является наличие в ней дополнительной системы поперечных полос (рис. 2), пересекающих дифракционные полосы, если край объекта не параллелен отражающей поверхности.
Рис. 1. Схема получения муаровой картины с умножением частотных спектров
Проведенные нами исследования позволили получить аналитическое выражение, описывающее дифракционную картину в дальней области от такой апертуры [4]:
I(х\ у') = (а(у)2 / / Л)8тс(0(х') а(у) / 2)2 соб((® (х')а(у) + ка(у) р) / 2)2, (1) где <э(х') = кхЧ/ - пространственная частота, а(у) - функция, описывающая изменение ширины зазора между зеркалом и краем объекта, р - угол падения волнового фронта на апертуру, у = у'. Модель дифракционной картины от «зеркальной» апертуры, ширина которой изменяется по линейному закону, приведена на рис. 3.
Рис. 2. Дифракционная картина, содержащая муаровые полосы, от апертуры с параметрами a = 0.05 мм, 6 = 4.6 х 10-3 рад., f = 150 мм
Рис. 3. Модель дифракционной картины от апертуры с параметрами a = 0.05 мм,
6 = 4.6 х 10-3 рад., f = 150 мм
Эти полосы могут быть объяснены как муаровые. Частотные спектры, описываемые sinc-функцией и cos-функцией, можно считать амплитудно-фазовыми решетками с функциями пропускания:
t1( x', y') = sinc(a (x') a( y) / 2), 12 (x', y') = cos((a(y) a (x) - к a(y) <) / 2) .
Тогда наложение этих решеток приведет к муаровому эффекту. Приравняв t1( x', y') = 0, 12( x', y') = 0, решим эти уравнения относительно порядков их минимумов: a( y)a( x)
m =
n =
2n
a(y) a (x) - к a(y) <р-ж
2п
Согласно [5], разность полученных параметрических уравнений даст нам параметрическое уравнение муаровых полос ка(у )р-п
р = т - п = —^¿¿Г-. (2)
2п
Если функция a(y) является линейной: a(y) = a0 + 0 y, то уравнение муаровых полос будет:
У = Цг+тцл. ao)/0.
k ф
Ширина муаровых полос будет тогдаS = y(p2) - y(Pi) = Л/0ф .
Муаровые полосы, образованные вычитанием частотных спектров
Рассмотренная в предыдущем разделе муаровая картина, полученная умножением частотных спектров, имеет серьезный недостаток - муаровые полосы расширяются с увеличением порядка дифракционной картины. Это связано с тем, что в высоких порядках резко падает крутизна sine -функции, что ведет к падению контраста [6]. Поэтому требуется получить такую оптическую схему, которая позволяет добиться более равномерного распределения сигнала в области локализации муаровых полос.
Рис. 4. Схема получения муаровых полос с вычитанием частотных спектров
Для этого было предложено модернизировать «зеркальную» апертуру - расположить край объекта так, чтобы он совпадал с краем зеркала (рис. 4). В этом случае в плоскости регистрации мы будем наблюдать две дифракционные картины, разнесенные на расстояние I = 2гф. Распределение амплитуды в дальней области при освещении плоской волной единичной амплитуды будет:
и (х') = и1( х') + и 2( х'), (3)
a/2
U1( x') =
J U (x) exp(i (a( x') + k ф) xdx
-a/2
U 2( x') =
exp(i k z) ф Xz
- exp(i k z) exp(-i kaф) ф Xz
a/2
J U(x)exp(i (a(x') - k ф) xd x.
-a/2
Взяв интегралы в выражении (3), и умножив полученное выражение на комплексно-сопряженное значение, получим выражение для распределения интенсивности:
I(х') = (а(у)2 / г Я) фпс(а (о (х') + к ф) / 2) - Бтс(а (о (х') - к ф)/ 2))2 . (4)
В этом случае произойдет наложение порядков дифракционных картин, что приведет к возникновению системы муаровых полос, эквивалентных муаровым полосам, образованных разностью функций пропускания двух решеток [7].
Рассмотрим случай, когда а = /(у) . Тогда дифракционная картина должна содержать систему поперечных полос, так как при определенных значениях а(у), кото-
рым соответствует совпадение максимумов дифракционных картин, будет происходить падение интенсивности. На рис. 5 и рис. 6 приведены экспериментально полученная картина такого муара и модель для случая, когда ширина апертуры меняется по линейному закону а(у) = а0 + 0 у.
Рис. 5. Дифракционная картина, содержащая муаровые полосы, от апертуры с параметрами a = 0.05 мм, 6 = 7 х 10-3 рад., z = 180 мм
Рис. 6. Модель дифракционной картины от апертуры с параметрами a = 0.05 мм,
6 = 7 х 10-3 рад., z = 180 мм
Рис. 7. Образование поперечных муаровых полос в дифракционной картине
Выведем уравнение муаровых полос для такой формы апертуры. Необходимо учесть, что в этом случае апертура имеет вид прямоугольной трапеции, и смещение ее центра вдоль оси у приводит к появлению дополнительных фазовых множителей вида ехр(-0у (а(х') + к <)/2) и ехр(-0у (а(х') - к <)/2) перед Ш и и2 соответственно в выражении (3). Поэтому вместо выражения (4) мы получим следующее выражение: I (х', У) = Л(х', у')2 + Б(х', у')2 - 2 Л(х', у') Б(х\ у') С (у'), (5)
где A = sinc(a(y)(®(x') + к <)/2), B = sinc(a(y)(®(x') - к <)/2), C = cos(key<), y = y'.
Анализ выражения (5) показывает, что темные поперечные полосы возникают в том случае, если функция ABC обращается в нуль. Этим нулевым значениям соответствуют решения уравнения C = cos(kdy<) = 0 (рис. 7). Отсюда можно определить уравнение муаровых полос
Ширина муаровых полос будет тогда S = y(Р2 ) - y(Pi) = Л / 2 в <.
Заключение
В работе рассмотрены способы увеличения точности ДМК путем использования фазовой информации о форме контролируемого объекта, которая содержится в его частотном спектре. Это позволило получить муаровые картины умножения и вычитания, которые обладают высокой чувствительностью к изменению геометрических параметров контролируемых объектов. Проведенные теоретические и экспериментальные исследования показывают, что в линейной мере чувствительность может достигать 0.1 мкм. Это позволяет применять предложенные схемы для контроля формы кромок объектов, например лекальных линеек и угольников, ножей спектральных щелей, деформации объектов в режиме реального времени, контроля вибраций и биений.
Подобная схема может быть также использована для контроля пространственного положения объектов - например в качестве автоколлиматора, так как из выражений (2) и (6) очевидно, что ширина муаровых полос зависит от угла падения волнового фронта. Проведенные расчеты показывают, что чувствительность в этом случае может достигать 1".
Литература
1. Назаров В.Н., Линьков А.Е. Дифракционные методы контроля геометрических параметров и пространственного положения объектов. // Оптический журнал. 2002. Т. 69. № 2. С. 76-81.
2. Diaz - Uribe R., Jimenez - Hernandez A. Phase measurement for segmented optics with 1D diffraction patterns. // Optics Express, 2004. Vol. 12, № 7. P. 1192-1204.
3. Pryor T.R., Hageniers O.L., North W.P.T. Diffraetographie dimensional measurement. Part 1: Displacement measurement. // Appl. Opt. 1972. Vol. 11. № 2. P. 308-313.
4. Иванов А.Н., Назаров В.Н. Дифракционный метод контроля геометрических параметров и пространственного положения объектов с помощью «зеркальной» апертуры. Международный оптический конгресс «Оптика - XXI век», VII конференция «Прикладная оптика» // В сборнике трудов конференции. СПб. ГОИ -2006, т. 1, С. 97-101.
5. Дюрелли А., Паркс В. Анализ деформаций с использованием муара. М.: Мир, 1974. 360 с.
6. Роберт Эрф. Голографические неразрушающие исследования. М.: Машиностроение, 1979. 448 с.
7. J. Der Hovanesian, Y.Y. Hung. Moire contour - sum contour - difference, and vibrition analysis of arbitrary objects. // Appl. Opt. 1971. Vol. 10. № 12. P. 2734-2738.
