Возмущаемые стабильные системы на плоскости. I Текст научной статьи по специальности «Математика»

Сравнение квадратов передаточных функций фильтров, основанных на уравнениях ошибок (кривая 1), и

фильтра среднего арифметического (кривая 2) Ширина окон фильтров подобрана из условия эквивалентности, заключающегося в том, что фильтры имеют одинаковую полосу пропускания низких частот. То есть первый нуль обеих передаточных функций возникает при одном и том же значении частоты. На рисунке для фильтра среднего арифметического ширина окна равна 100 с, для фильтров на основе уравнений ошибок 160 с.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Lawrence C.Ng. On The Application of Allan Variance Method for Ring Laser Gyro Performance Characterization. Techn. Rept. USA : Lawrence Livermore National Laboratory, 1993. UCRL-ID-115695.

2. Измайлов E.A., Кухтевич C.E., Тихомиров B.B., Стафеев Д.В., Фом,инее A.B. Анализ составляющих дрейфа лазерного гироскопа // Гироскоиия и навигация. 2015. № 2 (89). 40 46.

3. Хем,м,и,н,г Г.В. Цифровые фильтры. М.: Советское радио, 1980.

4. Голован, A.A., Парует),ков H.A. Математические основы навигационных систем. Ч. I. Математические модели ннерцнаиьной навигации. 2-е изд., испр. и дон. М.: Изд-во МГУ, 2010.

5. Логинов Н.В. Сингулярное разложение матриц. М.: МГАПИ, 1996.

6. Стренг Г. Линейная алгебра и ее применения. М.: Мир, 1980.

7. Яглом, A.M. Корреляционная теория стационарных случайных функций. Л.: Гидрометеоиздат, 1981.

8. Тихомиров В.В. Цифровые фильтры с конечной памятью, основанные на полиномиальной аппроксимации данных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. № 2. 62 65.

9. Тихомиров В.В. Цифровой фильтр с конечной памятью для оценки дрейфа лазерных гироскопов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 6. 66 69.

Поступила в редакцию 07.07.2015

УДК 531.396

ВОЗМУЩАЕМЫЕ СТАБИЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ НА ПЛОСКОСТИ, I

В. В. Александров1, О. В. Александрова2, И. С. Коноваленко3, К. В. Тихонова1

Рассматривается возможность расширения понятия "грубые динамические системы" при наличии иостояннодействующего возмущения, определенного с точностью до функционального множества в пространстве кусочно-непрерывных функций. Конструктивность

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Александрова Ольга Владимиров на — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

3 Коноваленко Ирина Сергеевна — асп. физ.-мат. ф-та Автономного ун-та штата Пуэбла (Мексика), e-mail: IgritsaCii.ua.

4 Тихонова Катерина Владимиров на — науч. сотр. ИМИСС МГУ, e-mail: [email protected].

расширения достигается за счет построения предельных циклов, формирующих оценку множества достижимости для колебательных систем.

Ключевые слова: возмущаемая стабильная система, робастная устойчивость, аттрактор, предельный цикл.

The possibility of extending the concept of rough dynamical systems in the presence of the permanent perturbation defined up to a functional set in the space of piecewise continuous functions is considered. The constructability of extension is achieved by the construction of limit cycles giving an estimate of the attainability set for oscillating systems.

Key words: perturbed stable system, robust stability, attractor, limit cycle.

1. Введение. Рассмотрим грубую динамическую систему [1] при наличии постояннодействую-щего возмущения, известного с точностью до функционального множества:

у = /(у,ь1(1))=ф°(у) + ф1(у)У1, #)еСсй2;

(1)

v1(-)eV = {v1(-)eKC\ \Vl(t)| Oi},

где ф°(у), ф1{у) — гладкие функции при у € G, G — ограниченное замкнутое множество. В отсутствие возмущения (v\(t) = 0, t € (—00,00)) мы имеем систему с гладкой правой частью, заданной на замкнутой области G фазовой плоскости:

у = /(у,0) = ф°(у). (2)

В дальнейшем в соответствии с теоремой Андронова-Понтрягина [1] будем рассматривать только такие грубые системы (2), каждая из которых имеет конечное число асимптотически устойчивых особых точек и асимптотически орбитально устойчивых предельных циклов в прямом или обратном времени. Такие системы будем называть стабильными системами. При наличии возмущения V\(t) система (1) с начальными условиями, принадлежащими одному из перечисленных аттракторов системы (2), может покинуть область притяжения данного аттрактора и перейти в область притяжения другого аттрактора или вообще оказаться в более сложной ситуации. Для анализа таких ситуаций необходимо дать соответствующие определения.

2. Робастная устойчивость при постояннодействующем возмущении. Пусть у0 — точечный аттрактор, т.е. /(у0, 0) = 0 (у0 € int (G), ф°(у°) = 0). Введя отклонение х = у — у0, получим нелинейное уравнение в отклонениях с функциональным включением

х = ф°(у° +х)+ ф1(у° + x)vi(t),

(3)

v1(-)eV = {v1(-)eKC\ Mi)KM,

где ф°(0,у°) = 0. В дальнейшем для краткости обозначение у0 опустим. Определение робастной устойчивости невозмущаемого состояния х = 0 системы (3) (при ж(0) = 0 и v(t) = 0) было дано Г.Н. Дубошиным и И.Г. Малкиным в сороковых годах прошлого века (см. [2]).

Определение. Невозмущаемое (ж(0) = 0, v\(t) = 0) состояние x(t) = 0 системы (3) называется робастно устойчивым при начальном ж(0) и постояннодействующем V\(t) возмущениях, если для любого е > 0 существуют 5о = 5о(е) > 0 и ¿1 = ¿i(e) > 0, такие, что выполняется следующее условие:

если ||ж(0)|| ^ ¿о и \v\(t)| ^ ¿1 для t ^ 0, то ||ж(£)|| ^ е для Vt ^ 0.

Рассмотрим в соответствии с (3) математическую модель, линейную по отклонениям:

x = (A0 + AiVi(t))x + bvi(t),

v1(-)eV = {v1(-)eKC\ Mi)KM, ВДе А0 = д-Л,А1 = д4^,Ь = фЩ.

В случае = 0 получим однородную систему по отклонениям с функциональным включе-

нием:

х = A{v\(t))x

(5)

M-)eV = {v1(-)eKC\ Ы^ЖМ, где A(vi) = Ao + A\V\.

В этом частном случае можно рассматривать робастную устойчивость как абсолютную устойчивость, т.е. как асимптотическую устойчивость нестационарной системы (5) при любом параметрическом возмущении V\(t) из функционального множества V. При этом система (5) не является линейной, будучи множеством линейных систем с параметрическим возмущением V\(t) € V. Далее будем предполагать, что максимальный характеристический показатель Ляпунова для системы (5) существует и отрицателен.

При этом предположении в случае, когда ф 0, имеем билинейный вариант (4), где матрица A(v\) гурвицева при любом постоянном v\ € [—Пусть ж(0) = 0, тогда решение системы (4) пред ставимо в виде интеграла Коши:

Н

x(h)= [ X^X-^^bv^dt,

{Vl(-) ev = {Vl(-) екс\ Ы^ЖМ,

где Xv(t\) есть фундаментальная нормированная (Xj,(0) = ) матрица, соответствующая возмущению fi(-) € V, т.е. каждый элемент Xij(t\,v(-)) матрицы является функционалом, заданным на множестве функций V\(t), t € [0,ii].

Таким образом, имеем математическое описание всех достижимых точек x(t\) при наличии постояннодействующих возмущений v\ € V. Если существует интеграл Коши при t\ —>■ оо, то имеет смысл рассмотреть множество достижимости возмущаемой системы (4) при t\ —> оо как множество точек Uo<it1<oo-Cii [31 с добавлением частичных пределов:

ifc

х(ы(-))= lim [ Xv(tk)X;l(t)bVl(t)dt,

k^ooj (J)

0 v '

{Vl(-) eV = {Vl(-) eKC\ Ы^ЖМ-

Поясним вышесказанное на примере трех конкретных задач.

3. Задачи. Рассмотрим возмущаемую стабильную систему, представленную в безразмерном

виде

х'{ + 2^1X1 + (l + av\{r)) х\ = iwi(r),

(8)

гл(-) GV = {гл(-) € КС| |гл(т)| < ¿1 < 1}.

Структура системы (8) соответствует малым колебаниям математического маятника при движении точки подвеса по наклонной прямой с ограниченным по модулю ускорением, известным с точностью до функционального множества V. Здесь 0 < /л < у/1 — ад 1; а = {0,1}, b = {0,1} — коэффициенты параметрического и аддитивного присутствия возмущения в системе.

При любом постоянном V\(t) = const € [—¿1, ¿1] однородная подсистема является колебательной. Задача 1. Пусть а = 1, b = 0, тогда система (8) принимает вид

х'{ + 2[ix\ + (1 + vi(т)) xi = 0. (9)

В этом случае необходимое и достаточное условие абсолютной устойчивости запишется следующим образом [4]:

\пл/к~1 < (f)i(ki,f3) или в виде неравенства, имеющего физический смысл:

Здесь h = (l + 5i)/(l-5i), р

= (l-^i)/^2,

единственный корень трансцендентного уравнения (рис.1)

ФЛкъЙ = -^gvyi + д,

ф1(к1,р) = \п

(П)

Рис. 1. Решение уравнения (11)

при 1 < ¡3 < оо.

Результат получен путем отыскания наихудшего параметрического возмущения из рассматриваемого функционального множества при решении задачи о максимальном отклонении на "полупериоде" для колебаний абсолютно колебательной системы [4| с помощью принципа максимума Понтрягина.

Используя полученный оптимальный синтез (у® = —¿1 sign(жl02) = — где 02

координата системы, сопряженной к системе (9)), при решении задачи о максимальном отклонении на "нолупериоде" для фиксированного ¿1 € (0,1) находим параметризованное но "/х" множество автономных кусо чно-линейных систем

х'( + 2цх\ + (1 — sign(жlж/1))жl = 0, (12)

где /л £ (0, л/1 - ¿1).

При /л € (0,/л*) и (/л*, \/1 — ¿1), где /л* = систему (12) можно рассматривать как грубую

систему, а при ¡л = ¡л* как систему первой степени негрубоети [1|.

Неравенство (10) имеет четко выраженный динамический смысл: только при выполнении этого неравенства диссипация полной энергии системы (9) такова, что, несмотря на приток энергии за счет параметрического возмущения, параметрический резонанс отсутствует.

Пример 1. При ¿1 = 0,1 для выполнения условия абсолютной устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы ¡л > 0,032, т.е. при 0 < ¡л ^ 0,032 система (10) не является абсолютно устойчивой.

Задача 2. Пусть а = 0, Ь = 1, тогда система (8) принимает вид

х'[ + 2/ЛХ1 + Х\ = г>1(т). (13)

В этом случае асимптотическая устойчивость по Ляпунову невозможна в силу присутствия аддитивного возмущения. Можно применить следствие теоремы Малкина [2|, согласно которому стационарное невозмещаемое состояние Х\ = 0 робастно устойчиво при ностояннодействующих возмущениях, если матрица Ао является гурвицевой матрицей. Система (8) в этом случае имеет вид (4), где ^1 = 0 и Ао гурвицева матрица (ЫеА = а < 0).

Тогда можно получить точную оценку качества робастной устойчивости, построив глобально орбитально устойчивый предельный цикл, описывающий область достижимости 1)^ системы (6), (7) (при т\ —> оо). Для этого используется решение задачи о максимальном отклонении на "полупериодах" колебаний но х\ [о] и строится предельный цикл. Амплитуда автоколебаний, соответствующих предельному циклу, находится как предел сжимающих) отображения Пуанкаре, когда сечением Пуанкаре является ось х\ на фазовой плоскости. Таким образом, множество точек внутри цикла и множество точек на орбите цикла составляют область достижимости 1)^ системы (6), (7).

Уточним понятие качества робастной устойчивости при ностояннодействующих возмущениях [6] в случае, когда известна зависимость е = £(¿1):

X

sup

0«5i«5|

¿1 :

(14)

где е = maxosjrssn ||®(r,v°(r))|| = max0s;rs;ri тах1^2{|жг(т, г>°(т))|}; v°(r) = ¿1 signж'^т); т\ период движения по орбите цикла; определяется из постановки и решения задачи. В данном случае

ч

х

1 + е

1 -е VT-

(15)

Пример 2. При ¿t = 0,1 качество робастной устойчивости принимает значение у = 6,39, при ¡л = 0,5 имеем х = 1)39, а при ¡л = 0,99 имеем х = 1)00) т-с- ИРИ увеличении диссипации качество улучшается.

Осуществив синтез наихудшего возмущения (г^т) = ¿i sign ф2 = ¿lsigna^), получим для каждого /л € (0, \/1 — ¿i) автономную автоколебательную кусочно-линейную систему [7]

х'[ + 2ßx'i + Х\ = ¿1 sign x'i,

которая является грубой (стабильной) системой.

Задача 3. Пусть а = Ъ = 1. Рассмотрим теперь общий случай:

х" + 2/лх[ + (1 + vi(t))x\ = vi (т), vi(-) GV = {DI(.) € KC\ |vi(r)| < < 1},

(16)

(17)

где ¿1 = const € (0,1), ц = const € (0, л/1 — 51).

При каждом постоянном значении щ система является колебательной. На плоскости параметров {Si, ¡л) системы (17) имеем открытую область S (рис. 2), где каждой точке соответствует возмущаемая стабильная система. Построим кривую, соответствующую неравенству (10):

'1-öi

ßo '

(18)

Получим открытую подобласть ¿>1 и Б2 С Б, 1де каждой точке соответствует возмущаемая однородная стабильная подсистема (9), имеющая одну особую точку ад = х\ = 0, являющуюся абсолютно устойчивой. Ограничимся при этом значениями ¿1, удовлетворяющими неравенству

¿1 <

1 - А{ц, öi) ■ В (¡л, öi) 1 + 2B{ß, ¿i) + A(ß, ¿i) • B{ß, ¿i)'

(19)

где A{ß, ¿i) = exp

— 7Tß

s/l-Si-t-

B{ß, ¿i) = exp

— 7Tß

y/l+Si-t-

Рис. 2. Области абсолютной устойчивости системы (9) и робастной устойчивости системы (19)

На рис. 2 открытая область ¿>1, соответствующая неравенству (19), показана двойной штриховкой, а область {¿>\ (¿>1 и 52)} не заштрихована.

Таким образом, из общего решения системы (17)

ж(п) = Xv(ti)x(0) + J XV(T!)X-L(t)vi(t) dt = x(ti,vi(-)) + x{n,vi(-)) 0

следует, что тривиальное решение однородной подсистемы абсолютно устойчиво при (¿i, ß) € SiUS^-Для второй компоненты t(ti,Vi(-)) построим множество достижимости 1)^ системы (6), (7) аналогично задаче 2. Решив задачу о максимальном отклонении [8], имеем на начальном "нолунериоде" (0,io)

{ti(0) = а0 € [0,1), х2(0) = 0, x2(t) ф 0, t € (0,io), x2{t0) = 0}, что соответствует к = 0; на нервом "нолунериоде" {to,ti)

{xi(t0) = -ßo = min xi(t0), x2(t0) = 0, x2(t) ф 0, t € {t0,ti), x2{h) = 0},

что соответствует к = 1, и аналогично для к = 2, 3,... . Получаем следующую дискретную систему, соответствующую сжимающему отображению Пуанкаре:

ßk = A^öi)ak+1+^Öl) -öi, 1- di

и/ пд , I+-BGM1) х

ак+1 = B(ß,bi)ßk Н--——--¿)ь

1 + 01

к = 0,1,2,

В результате имеем два предела ¡3* и а* {р* < а*): 61

lim ак = а* = к-юо 1 — А ■ В

(1 + А)В 1 + В 1 - ¿1 1 + ¿1

¿1

= ^ = i + ii

1 + А (1 + В)А

где — (3* < 0 < а* < 1, /3* < а*, и глобально орбитально устойчивый предельный цикл [8], в отличие от задачи 2 расположенный несимметрично относительно оси х-2- Здесь зависимость А и В от ¡л и ¿1 для краткости опущена.

В случае синтеза наихудшего возмущения V® = sign(ж/1) система (17) принимает вид

х'[ + (2nx'i — ¿1 sign (ж^)) + (1 + ¿1 signal))®! = 0. При ¿1 € (0, (см. рис. 2) получаем аналитическое выражение для

(21)

max ||ж(т, Vi(-

OsirsiTi((Si)

являющееся неулучшаемой оценкой 1)^:

¿1 +

Iх{т, Vi{-

<

АВ

1+А , (1+В)А 1-Й1 ^ 1+Й1

•arct.g

(22)

Здесь Т1(^1) период предельного цикла и {х\(т, V®), Х2(т, г^)} точки, расположенные на его орбите (22). Для малых ¿1 оценкой качества будет максимум из оценок (15) и следующей оценки:

7T/J,

X = 1 +

1 +е 1-е

■ е

: arct.g

(23)

Таким образом, справедливо следующее утверждение для системы (17). Рассмотрим возмущаемую, стабильную и колебательную систему (17) с параметрами ¡л, ¿1, принадлежащими открытой области 5 (рис. 2).

Теорема. Для, •того чтобы, невоз-мущаемое состояние Х\(1) = 0 было робастно устойчиво, необходимо, чтобы, выполнялось условие (/х, ¿1) € й^ий^, т-е- необходима, абсолютная устойчивость подсистемы (9).

Если (/л, ¿1) € ¿>1, то система (17) робастно устойчива, с оценкой качества, (23) и неулучишелюй оценкой (22) области достижилюсти по максимуму нормы, (см. рис. 3).

Можно сказать, что это утверждение является аналогом следствия из теоремы Малкина [2|.

Пример 3. При ¿1 € (0, ¿7) оценка множества достижимости (22) представлена на рис. 3. При малых ¿1 имеем следующую оценку качества ро-бастной устойчивости (см. (23)): \ = 6,37 для /л = 0,1; х = 1)31 при /л = 0,5.

4. Обсуждение результатов.

Билинейную систему (21), как и систему (16), можно рассматривать как грубую билинейную систему при

1 ^У^М/Шпп 0,8

0,6'

^ 0,4

од ' 0,2

Рис. 3. Оценка области достижимости системы (19)

(ц,51) € SСинтез систем (12), (16), (21) осуществлен с помощью решения задачи Булгакова о максимальном отклонении в момент прихода возмущаемой системы на заданное многообразие х\ = 0 [9]. Следует отметить также, что в возмущаемой системе (17) (при V\(t) = const), в отличие от невозмущаемой исходной системы (при V\(t) = 0), имеется отрезок покоя {х\ = ^^; ¿1 € (0, ¿i)}, содержащий бесконечное множество особых точек. Таким образом, расширение понятия "грубые динамические системы" при наличии постояннодействующего возмущения может быть полезно для исследований в механике управляемых систем.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 16-014)0683 (разд. 1, 2), и РНФ, проект № 14-504)0029 (разд. 3, 4).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шильпиков Л.П., Шильпиков А.Л., Тураев В.В., Чуа Л. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Ч. 2. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2009.

2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и дифференциальное исчисление. М.: УРСС, 2000.

3. Поляк Б. Т., Щербаков П. С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

4. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников H.A., Тихомиров В.М. Оптимальное управление движением. М.: Физматлит, 2005.

5. Жермоленко В.Н. Предельные циклы на фазовой плоскости // Задача Булгакова о максимальном отклонении и ее применение / Под ред. В.В. Александрова. М.: Изд-во МГУ, 1993.

6. Александров В.В., Рейес-Ромеро М., Сидоренко Г.Ю., Темолтзи-Авила Р. Устойчивость управляемого перевернутого маятника при постояннодействующих горизонтальных возмущениях точки опоры // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2010. № 2. 41-49.

7. Андронов A.A., Витт A.A., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Физматлит, 1959.

8. Александров В.В., Александрова О.В., Приходько П.П., Темолтзи-Авила Р. О синтезе автоколебаний // Вести. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 41-43.

9. Александров В.В. К задаче Булгакова о накоплении возмущений // Докл. АН СССР. Сер. Кибернетика. 1969. 186, № 3. 70-73.

Поступила в редакцию 17.02.2016