Робастная устойчивость управляемых систем третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

12. Победря Б.Е. О теории пластичности трансверсально-изотропных материалов // Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1990. № 3. 96-101.

13. Победря Б.Е. Теория течения анизотропной среды // Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. 101-108.

14. Eringen A.C. Microcontinuum field theories. 1: Foundation and solids. N.Y.: Springer-Verlag, 1999.

15. Купрадзе В.Д., Гегелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Трехмерные задачи математической теории упругости и термоупругости. М.: Наука, 1976.

16. Победря Б.Е. О теории определяющих соотношений в механике деформируемого твердого тела // Проблемы механики: Сб. статей. К 90-летию со дня рождения А.Ю. Ишлинского / Под ред. Д.М. Климова. М.: Физматлит, 2003. 635-657.

17. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. М.: Наука, 1980.

18. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу. М.: Изд-во МГУ, 1986.

19. Nikabadze M.U. On some problems of tensor calculus. I // J. Math. Sci. 2009. 161, N 5. 668-697.

20. Nikabadze M.U. On some problems of tensor calculus. II // J. Math. Sci. 2009. 161, N 5. 698-733.

21. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

Поступила в редакцию 22.06.2012

УДК 531.396

РОБАСТНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В. В. Александров1, И.О. Зуева2, Г. Ю. Сидоренко3

Применение вариационных методов в теории устойчивости позволяет получить новые результаты в случае управляемых систем, описание которых включает различные параметры, известные с точностью до некоторых множеств. В настоящей статье делается попытка рассмотреть эти возможности на примере расширения классического понятия об устойчивости при постоянно действующих возмущениях, введенного Г.Н. Дубошиным и И.Г. Малкиным в 1941-1944 гг.

Ключевые слова: робастная устойчивость, устойчивость при постоянно действующих возмущениях, предельный цикл, автоколебания.

Application of variational methods in stability theory leads to new results in the case of control systems whose description includes various parameters known up to some sets. This paper attempts to consider these possibilities by the example of expansion of the classical concept of stability under constantly acting perturbations introduced by G.N. Duboshin and I.G. Malkin in 1941-1944.

Key words: robust stability, stability under constantly acting perturbations, limit cycle, auto-oscillations.

1. Рассмотрим управляемую механическую систему при наличии постоянно действующего возмущения v(t):

x = f (x, v,t), f (0, 0,t) = 0, \\x(to)\\ Oc, v(-) G V = {v(-) G Lx | \\v(t)\\ < 5°c п.в. } .

(1)

Здесь Ь^ — пространство измеримых, ограниченных почти всюду функций; ||-|| — норма в Кт, определяемая следующим образом: ||у(£)|| = 50, где 50 = тах1 ^ г ^ т, ||у^(Ь)Ц ^

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

2 Зуева Ирина Олеговна — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

3 Сидоренко Галина Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].

Предполагается, что синтез управления реализуется с использованием неточной информации, что и приводит к появлению постоянно действующих возмущений в (1). При рассмотрении управления относительным движением возможно влияние переносного движения (силы инерции), что также приводит к наличию постоянно действующих возмущений в модели (1).

Первое определение робастной устойчивости состояния равновесия х = 0 € Кп было дано Г.Н. Ду-бошиным в 1940 г. [1]. В настоящей работе это определение, а также дальнейшее изложение приводятся в случае, когда у(Ь) — т-мерная векторная функция, определенная с точностью до функционального множества V.

Определение. Состояние х = 0 (тривиальное решение (1) при у(Ь) = 0) устойчиво при постоянно действующем возмущении у(Ь), если для любого е > 0 существуют §о = ¿о(е) > 0 и ¿0 = ¿о(е) > 0, такие, что ||х(Ь)|| ^ е для любого Ь ^ Ь0 при ||х(Ь0)|| ^ 50 и ||у(Ь)|| ^ ¿0 для почти всех Ь ^ Ь0 и всех у(-) € V.

Если f (0, у,Ь) = 0 при любых у и Ь, то мы имеем частный случай — параметрическое возмущение и соответствующее ему определение абсолютной устойчивости [2]. Обзор результатов по абсолютной устойчивости представлен в [3].

2. При f (0, у,Ь) = 0 рассмотрим частный случай, когда система (1) является билинейной:

m

x= + ^ AiVi(t)J x + Bv(t), (2)

где B = 0, Ao — гурвицева матрица.

Введем понятие оценки качества робастной устойчивости состояния x(t) = 0.

2.1. Рассмотрим возможность введения такой оценки для системы (2), когда Ai = 0, i = l,...,m. Пусть система (2) имеет вид

Х = Aox + Bv(t), v(') e V, x(0) = 0, (3)

где rank (B, AoB,..., A't^~lB) = n. Тогда верно неравенство

x(v(.),ti )y = j x (v(-),ti )i < jn ^o E / |c feAtb

i=i о

dt,

dt,

где ti e (to, , (cj)T — единичная матрица-строка, соответствующая Xj; b — i-й столбец матрицы B.

Таким образом, для любого е > 0 можно выбрать = е/х, где х = maxi^jfo° (eAtb и тогда ||x(v(-),ti)|| ^ е.

Определим оценку качества робастной устойчивости при нулевых начальных возмущениях (x(0) = 0) как е

Х = sup -q—. (4)

o<e<^ q(e)

При данном значении So оценка (4) определяет в Rn n-мерный куб, в котором находится множество достижимости системы (3) по возмущениям v(-) e V. Эта оценка неулучшаема, так как по крайней мере две грани куба имеют общие точки с множеством достижимости, являющимся замкнутым, выпукло-симметричным телом в Rn.

При n = 2, m = l и Ai 2 = —а ± ¡3i (а > 0, det(^Ai;2 — Ao) = 0), как показано в [4], границей области достижимости является предельный цикл, который дает явный вид множества достижимости. Таким образом, для колебательных систем (3) возможно не только получить неулучшаемую оценку качества робастной устойчивости, но и показать форму окрестности положения, дающую асимптотическое представление о робастной стабилизации [5].

2.2. Рассмотрим теперь другой частный случай, когда B = 0, m = l и система (2) является одномерной колебательной системой (т.е. существует число vi — const e [—Si, Sij, при котором характеристическое уравнение имеет комплексные корни):

x

in) + aix(in i) + ... + an-ixi + an(l + vi(t))xi = 0,

(5)

v i(t) = wi(t),

где v i(t) e V2 = {|vi(t)| < Si, |wi(t)| < ¿i, 0 < ¿i < те}

В работе [6] показано, что для анализа робастной устойчивости (в этом случае обычно говорят об абсолютной устойчивости, что соответствует асимптотической устойчивости частного решения xi = 0 при любом постоянно действующем возмущении vi(t) Е V2) можно рассматривать поведение функции В = x2(t)/2 на колеблющемся решении xi(t) в моменты ti, когда xi(í¿) = 0, X2(ti) = Xi (ti) = 0 и xi(í¿)xa(í¿) ^ 0, где x3 = xi. Так как 0(ti) =0 и 0(ti) ^ 0, то по значениям B(ti) можно судить о стремлении xi(t) к нулю при t ^ ж, а значит, и об асимптотической устойчивости тривиального решения при любом параметрическом возмущении из множества V2. При фиксированном vi = const Е [—¿i,¿i] рассмотрим в фазовом пространстве коническое множество {x2 = 0, xix3 ^ 0, xi =0}. Прямую l из этого множества будем называть достижимой прямой, если существует такое возмущение vi(-) Е V2, что x(to) Е l, vi(to) = v° Е [—¿i,¿i] и найдется такой момент времени ti, to < ti < ж, что x(ti) Е l, vi(ti) = v0. Множество достижимых прямых обозначим через Lo.

В [6] показано, что множество Lo непусто и для абсолютной устойчивости системы (5) необходимо, чтобы выполнялось неравенство

sup sup B(ti) ^ 1. leLo vi(-)eV2

Таким образом, решение задачи о максимальном отклонении по координате xi, а также построение точечного отображения с l в l Е Lo и перебор этих отображений по всем l могут предоставить возможность построения критерия абсолютной устойчивости. При n = 3 и ¿i = ж такой критерий был получен в 1975 г. [7] и уточнен в 2009 г. [8]. Попробуем применить эту методику и для нахождения предельного цикла в колебательных системах третьего порядка с аддитивным возмущением.

3. Покажем, как можно применить эту методику достижимых прямых для отыскания предельных циклов в колебательных системах третьего порядка.

3.1. Рассмотрим одномерную колебательную систему третьего порядка с аддитивным возмущением:

x + aix + a2x + a3x = vi(t),

(6)

где VI(¿) е V = {|У1 (Ь)\ < ¿1, ¿1 > 0} .

Будем считать, что коэффициенты системы выбраны таким образом, что при VI (¿) =0 ее положение равновесия асимптотически устойчиво. Тогда корни характеристического уравнения для системы (6) имеют вид Л1 = —а, Л2,3 = —Ь ± гс, а > 0, Ь > 0, с > 0, где а1 = а + 2Ь, а2 = Ь2 + 2аЬ + с2, а3 = а(Ь2 + с2). Сделав невырожденную замену координат уо = х, у1 = ах + х, у2 = ах + х, приведем систему (6) к виду

yo = -ayo + У2,

У2 + 2 by 2 + (b2 + С2)У2 =vi(t).

(7)

Система (7) является полусвязанной. Задача о максимальном отклонении для координаты (т.е. о максимальном размахе колебаний по y2 на каждом "полупериоде") дает в качестве наихудшего возмущения vi(t) = ¿1 sign (yi) и позволяет получить замкнутую траекторию на плоскости (yi, y2) [9]. Более того, интегрируя полную систему (7) при выбранном возмущении, можно показать, что и в трехмерном пространстве имеем замкнутую траекторию, являющуюся предельным циклом, который асимптотически орбитально устойчив. Соответствующая достижимая прямая lo имеет следующий вид (рис. 1):

Рис. 1. Предельный цикл в системе третьего порядка при vi(t) = ¿1 sign(yi)

lo = yo =

1

c2 + (a - b)2

b2 + c2

1 -a 1-/3 1 + a 1 + ¡3

+ (a - 2b) У2, yi = 0

a

где a = exp(—аЛ), ¡3 = exp(—b^).

Предельный цикл системы (7) при vi (t) = ¿i sign (yi) в трехмерном пространстве показан на рис. 1. Следует отметить, что предельный цикл не является плоской кривой, как видно из параметрической

записи

yo(t) = ±

Si

Vi(t) = ±| V2(t) = ±

1

М Ь2 + с2 2

l — в

1{Ъ2 + С2) c_at

a(l + а) -bt sin(ct)

M 2 bt (M . . . . .

---h 7-ТГ- e — sin(ct) + (a - 2b) cos(ct)

a (l — в) \ c

Si

b2 + c2

l

2

bt

l — в

sin(ct) + cos(ct)

40 < t < n/c,

где введено обозначение M = c2 + (a — b)2.

В исходных координатах системы (6) синтез предельного цикла имеет место при возмущении vi(t) = Si sign (axx + x).

Таким образом, для колебательной системы (7) третьего порядка построенный предельный цикл дает представление о форме окрестности положения равновесия и робастной стабилизации [5].

3.2. Теперь рассмотрим сингулярно возмущенную колебательную систему третьего порядка с аддитивным возмущением:

' xi = 02x2,

x 2 = cixi + c3x3 + bivi(t), . ¡x 3 = —kixi — k2x2 — k3x3,

(8)

где 0 < ц < 1; 61 > 0; а > 0, г = 1, 2, 3; у1(Ь) € V = {|ух(Ь)| < ¿1, ¿1 > 0}.

Данная математическая постановка появляется при рассмотрении задачи о "наихудшей" раскачке управляемого перевернутого маятника с помощью горизонтальных вибраций точки опоры [10]. При неподвижной точке опоры у1(Ь) = 0 асимптотическая устойчивость вертикального положения маятника обеспечивается с помощью электромотора, установленного в шарнире маятника. Кроме того, закон управления электромотора выбирается таким образом, чтобы поведение системы (8) имело колебательный характер при у1(Ь) = 0. Задача рассматривается в предположении о малости индуктивности электромотора.

При ц = 0 система (8) превращается в систему второго порядка

xi + 2'pxc i + aoxi = bvi(t)

(9)

с коэффициентами p =

2кз '

ao

= ^-(kiCs — C\ks), b = c2b\, для которой наихудшее возмущение есть

k3

vi(t) = Si sign (xi) [4].

При 0 < ¡1 ^ l система (8) является сингулярно возмущенной. Можно показать, используя теорему Тихонова [11], что система (8) при vi(t) = Si sign (xxi) редуцируется к системе второго порядка (9).

В результате последовательного интегрирования уравнений (8) при vi(t) = Si sign (xi) на интервалах знакопостоянства x i с помощью формул Кардана можно получить функцию последования для координаты xi:

-,2 л А , ¿3biSi ,л . хх2

an+i = anr (¡) +

kic3 — k3ci

(l + ВД)2

где

Г(ц) = е + 0(/х2),

(l0)

(ll)

Р2(Ц) =

c3k2

Ш3(р) = U2 —

2k3

Сзк2 4А| w2

+ —

c2c3ki

2k3

+

Щс3

2k3 .

сзк2 h

3c2c3fei h

¡1 + O(ii2),

+ 2c2ci I ¡1 + O(i2).

Здесь из(р) — частота колебаний в системе третьего порядка, а и2 — частота автоколебаний в редуцированной системе (9) второго порядка:

w2

2 f c3ki = ao — p = r.o I —--

c2

k3

ci —

e

b

c

2

Так как |Г(л)| < 1 при достаточно малых л, то полученное отображение (10) является сжимающим и, следовательно, имеет единственную стационарную точку, определяемую соотношением

а

fc3M 1 1 + rqt)

Соответствующая достижимая прямая имеет вид

(12)

Хз

h h

k2(c3ki - faci) 2r(f)

k3 k3

(1+ВД)

f }xi, x2 = 0

Эта прямая является достижимой в том смысле, что траектории системы в фазовом пространстве сходят с нее и возвращаются на нее бесконечное число раз. Асимптотическая орбитальная устойчивость предельного цикла следует из построения "диаграммы Ламерея", которая имеет вид, аналогичный случаю вырожденной системы (9) второго порядка.

Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Существует достаточно малый параметр ¡л, такой, что в системе третьего порядка (8) имеет место асимптотически орбитально устойчивый предельный цикл.

Заметим, что частота автоколебаний отличается от ча-

стоты Ш2 на величину порядка Амплитуду (12) автоколебаний можно представить в виде

AX3 = Ax + Mi

ПС2СЗ(2С2^1 k3 - Сз£|) Pi

2^3

(1 - ei)2

f + O(f2),

где Ax = f3i = exp(~p — амплитуда по координа-

n

ao i^i HI - ^jA-f,—, те xi редуцированной системы (9) второго порядка при vi(t) = ¿i sign (xxi).

Отметим, что подобный результат построения предельного цикла в сингулярно возмущенной системе третьего порядка можно получить, используя метод пограничных функций [12].

Построенный предельный цикл позволяет получить приближенную с точностью до f оценку качества робастной стабилизации, которая при f ^ 0 превращается в точную.

3.3. Рассмотрим влияние на робастную устойчивость включения в закон управления электромотора (п. 3.2) обратной связи по показаниям акселерометра, установленного на вершине маятника с осью чувствительности, перпендикулярной его плечу. Такая задача приводит к следующей математической постановке:

Рис. 2. Схематическое расположение предельного цикла системы (13) в трехмерном фазовом пространстве

ХХ i = С2Х2,

xx 2 = CiXi + С3Х3 + &ivi(t), (13)

fX3 = -hixi - ^2x2 - ^3x3 + b2vi(t), где 0 < f < 1.

Как видно, система (13) отличается от системы (8) присутствием возмущения в правой части третьего уравнения. Поэтому правая часть третьего уравнения при vi(t) = ¿i sign (xi) будет меняться скачкообразно.

Движение системы (13) будет развиваться на двух поверхностях: первая половина цикла будет лежать в f-окрестности плоскости M- = {-kixi - k2x2 - ^3x3 - b2¿l, x2 < 0}, а вторая половина — в f-окрестности плоскости M+ = {-kixi - k2x2 - k3x3 + b2¿l, x2 > 0}. Переход с одной поверхности на другую совершается за счет быстрого (мгновенного) изменения переменной x3. При этом фазовые переменные xi и x2 неизменны, т.е. переход фазовой точки с одной поверхности на другую на плоскости xi, x2 совершается непрерывно. Схематически это изображено на рис. 2.

Функцию последования для координаты xi можно получить аналогично с использованием формул Кардана или метода пограничных функций, т.е. последовательно решая дифференциальные уравнения и

согласуя значения координат Х1, Х2 на границах интервалов:

т-2/ Л , г ¿361 + а3Ъ2

ап+1 = апТ (л) + ¿>1 ?-

¿1Сз - С1 ¿3

(ВД + 1)2,

где Г(л), как и раньше, определяется выражением (11).

Так как |Г(л)| < 1 при достаточно малых л, то полученное отображение является сжимающим и, следовательно, имеет единственную стационарную точку, которая соответствует автоколебаниям в системе (13) с амплитудой Ах1 по координате х1 :

Рис. 3. Предельный цикл в системе третьего порядка (13)

Ах, = ¿1

кзЬ\ + аф2 1 + Т(л)

¿1^3 - ¿3^1 1 - г(л)

(14)

Надлежащим выбором коэффициента ¿3, как показано в [10], можно добиться уменьшения амплитуды (14) автоколебаний в 5-7 раз, и, следовательно, можно говорить об улучшении качества робастной стабилизации.

Организованные в системе (13) автоколебания носят разрывный характер. Скорость изменения переменной х3 неравномерна: участки медленного изменения х3 сменяются быстрыми скачками с прямой 1- = {—¿1Х1 — ¿3Х3 — ^¿1 = О (л), х2 = 0} на прямую I+ = {—¿1х1 — ¿3х3 + ^¿1 = О (Л), х2 = 0} и наоборот. Если же 62 = 0, то две прямые 1- и I+ сливаются в одну достижимую прямую ¡0 = {—¿1х1 — ¿3х3 = О (л), х2 = 0}, найденную в п. 3.2. Расположение предельного цикла в трехмерном пространстве представлено на рис. 3. Период разрывных автоколебаний, как и для предыдущего случая, равен Т = 2п/ш-3.

Из рис. 4 видно, что построение предельного цикла дает возможность получить более точную оценку % при решении задачи о максимальном отклонении, чем при использовании эллипсоидальной оценки, установленной с помощью линейных матричных неравенств [13]. Но следует отметить, что приближенная эллипсоидальная оценка содержит все множество достижимости.

Таким образом, для колебательных систем третьего порядка при наличии аддитивных, постоянно действующих возмущений, известных с точностью до функционального множества, возможно построение предельного цикла, дающего представление о множестве достижимости при ¿1 = те, т.е. об оценке качества робастной устойчивости.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 12-01-31285, 13-01-00515.

Рис. 4. Взаимное расположение предельного цикла и минимального эллипсоида О (серая заливка), построенного с помощью линейных матричных неравенств

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дубошин Г.Н. К вопросу об устойчивости движения относительно постоянно действующих возмущений // Тр. ГАИШ. 1940. 14, вып. 1. 153-164.

2. Лурье А.И., Постников В.Н. К теории устойчивости регулируемых систем // Прикл. матем. и механ. 1944. 8, вып. 3. 246-248.

3. Либерзон М.Р. Очерки теории абсолютной устойчивости // Автомат. и телемехан. 2006. № 10. 86-119.

4. Александров В.В., Сидоренко Г.Ю., Темолтзи-Ауила Р. Робастная устойчивость управляемых систем // Тр. X Междунар. Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление". Т. 2. Казань, 2012. 45-52.

5. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.

6. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников Н.А., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во МГУ, 2000.

7. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Критерий абсолютной устойчивости систем третьего порядка // Докл. АН СССР. 1975. 222, № 2. 309-311.

8. Александров В.В., Жермоленко В.Н. Абсолютная устойчивость параметрически возмущаемых систем третьего порядка // Автомат. и телемехан. 2009. № 8. 20-40.

9. Жермоленко В.Н. К задаче Б.В. Булгакова о максимальном отклонении колебательной системы второго порядка // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1980. № 2. 87-91.

10. Александров В.В., Рейес-Ромеро М, Сидоренко Г.Ю., Темолтзи-Ауила Р. Устойчивость управляемого перевернутого маятника при постоянно действующих горизонтальных возмущениях точки опоры // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2010. № 2. 41-48.

11. Новожилов И.В. Фракционный анализ. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2000.

12. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М.: Высшая школа, 1990.

13. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

Поступила в редакцию 22.06.2013