Об экстремалях кинематического управления движением Текст научной статьи по специальности «Математика»

здесь ш = а2(1 — Л/2), Л = 2^2/а. Параметр А находится го условия, что контур области пересекает ось х в точке Х0 А2Хд = 1. Как видно, контур симметричен относительно оси х, пересекает ее под прямым углом в точке х* = Хое"2т и в начале координат, где находится сток.

Замечание. Параметры а и а2 (формулы (16), (17)) в общем случае иррациональные числа, поэтому решение второго из уравнений (14) хотя и записывается через квадратуры, но не выражается в элементарных функциях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кийко И.А. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя // Прикл. матем. и мехап. 2006. 70, вып. 2. 344-351.

2. Кийко И.А. О форме пластического слоя, сжимаемого параллельными плоскостями // Прикл. матем. и мехап. 2011. 75, вып. 1. 14-25.

Поступила в редакцию 09.04.2012

УДК 531.396

ОБ ЭКСТРЕМАЛЯХ КИНЕМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ В. В. Александров1, О. В. Александрова2, М. А. Буднинский3, Г. Ю. Сидоренко4

В статье рассмотрена возможная классификация кинематических управлений движениями, возникающая при постановке экстремальных задач в механике управляемых систем.

Ключевые слова: экстремали Понтрягина, расширенный принцип максимума, кинематическое управление.

The article considers a possible classification of the kinematic motion control that appears in some extremal problems in the mechanics of controlled systems.

Key words: Pontryagin extremals, generalized maximum principle, kinematic control.

Введение. При постановке экстремальных задач в механике управляемых систем нередко возникают ситуации, когда размерностью управления является скорость, ускорение или их комбинация. Полезно провести классификацию такого рода задач с тем, чтобы подметить некоторые закономерности, способствующие отысканию экстремалей. В статье речь будет идти об экстремалях Понтрягина, получающихся из расширенного принципа максимума в форме Гамкрелидзе [1].

1. Рассмотрим математическую модель механической системы, состоящей из совокупности материальных точек с массами, движение которых в неинерциальной системе описывается относительными обобщенными координатами и их скоростями [2]:

(dfdT \ дТ мт-^ г . ... , . ...,, drj . 1

< dw (1)

~dt=U> dv

"77 = w)

dt

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.

2 Александрова Ольга Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexandrova.oQinbox.ru.

3 Буднинский Максим Андреевич — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: max. budninskiy Qgmail .com.

4 Сидоренко Галина Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gingrulQyandex.ru.

где ' обозначает транспонирование; Т — кинетическая энергия относительного движения; Q — п-мерный вектор обобщенных сил; г3 = г3 (д) — вектор декартовых координат точки ] в неинерциальной системе; V3 = V3 (д, д) — вектор относительной скорости точки V, w — абсолютные скорость и ускорение начала неинерциальной системы координат; ш, и — абсолютные угловые скорость и ускорение неинерциальной системы координат.

Таким образом, система (1) имеет (2п + 6) координ ат д, д, V, ш и 6 управлений ^,и), компоненты которых являются измеримыми, существенно ограниченными функциями из почти в каждый момент времени принимающими значения из замкнутого выпуклого множества:

^,и) е W = {ы-),и(-) е Ь^И*),^*)) е V с М6}. (2)

В практических задачах часто возникают ограничения и на возможные скорости V, ш рассматриваемой неинерциальной системы, принадлежащей, например, движущемуся объекту:

дз(V,ш) < 0, ^ = 1,...,ш. (3)

Неравенства (3) определяют фазовые ограничения на часть переменных.

Таким образом, уравнения (1), включения (2) и неравенства (3) образуют математическую модель управляемой механической системы, где в роли управления рассматривается переносное движение. Используя традиционные термины механики относительного движения, можно говорить о кориолисовой и переносных силах инерции как об управлениях с ограниченными ресурсами.

Пример 1. Рассмотрим уравнение малых колебаний математического маятника единичной массы при вибрациях точки подвеса:

х1+2е0х1 + (у+ = у^СО, (4)

w(

i(t) е W = {Wj(■) е L^ | |Wj(t)| < Sj, j = 1,2}, (5)

где ¿i < g; 0 ^ £q < \/ (g — ¿1)/I', X\ — угол отклонения от вертикали; wi, W2 — вертикальная и горизонтальная составляющие ускорения точки подвеса; l — длина маятника.

При |xi(0)| ^ Sq, Xi(0) = 0 поставим задачу об отыскании в системе (4) с функциональным включением (5) резонанса:

a) простого, когда S1 =0;

b) параметрического, когда S2 = 0;

c) обобщенного, когда S1 = 0, S2 = 0.

Решая задачу о максимальном отклонении на "полупериоде" Xi (ti) = 0 Xi(t) = 0 для любого t е (0, ti), получим экстремаль Понтрягина. Решая аналогичную задачу на каждом следующем "полупериоде", придем к нижеуказанным результатам. (Можно показать, что решение задачи на [0, t], где tk = kt и k — любое натуральное число, получается склей кой решения на [0, tk—i] с решениями на "полупериоде" [tk-i,tk]-)

(а) Состояние xi(t) = 0 робастно устойчиво [3]: для любого е > 0 найдутся So = So(е) > 0 S2 = S2(e) > 0, такие, что существует предельный цикл с максимальным радиусом

/7Т Л / 2 \ feo 7l J 2 \ V

rmax = max 4 / —о — e £° —~ --7- — sin Lot + cos wt + — e £°l[ --— sin Lot x

у Шц V1 — во/ \ш )) \ш \1 — во

х у = ¿2 • -йтах,

где = д/1, ьо = \Zloq — е^, /?о = и при величине §2, определяемой по формуле 62 = е/Ятах, и

начальной точке (ж1(0),жц(0)), расположенной внутри предельного цикла, траектории не могут покинуть окрестность ||ж(£)|| ^ е.

При w0 = ¿2 ■ sign(жl) имеем синтез предельного цикла в системе (4). Если начальная точка (ж1 (0),жц(0)) принадлежит предельному циклу, имеем автоколебания, глобально асимптотически орби-тально устойчивые. Если же точка (ж1 (0),жц(0)) расположена внутри предельного цикла и W2 = w0, будем иметь обычный резонанс аддитивно-возмущаемой системы (4). Амплитуда колебаний растет при

2 ¿ц I

ео = 0 (ж 1(0) = ¿о, жг(0) = 0) в арифметической прогрессии: ¡Зп =-п + ¿о-

(Ь) При §2 = 0 получим точную оценку поведения всех решений параметрически возмущаемой системы (4) с функциональным включением (5), решив аналогичную (а) задачу о максимальном отклонении:

Здесь а0 =

у/д/1 + 5г/1 -

Ко

|х(*)| < вао4С(Х1(0), Х2(0), §1).

— ео, Ко — единственный корень трансцендентного уравнения

1 /1 + а2К 2\ 1 ( т\ , Л

о \ -тр2~ ) + 17 ( 71 ~ агс^ап К Н— аг^ап(ал) I = 0,

2 \ 1 ++ ±\ } ±\ V а 1

а=

11е%- д + ¿1

¡£0-9-61'

Таким образом, при ао < 0 тривиальное решение системы (4), (5) абсолютно устойчиво. Если ао > 0, имеет место параметрический резонанс, который получается при синтезе управления 'о = §1 ■ sign(xlХ 1). Амплитуда колебаний в этом случае увеличивается при ео = 0 в геометрической прогрессии:

в =

1д + §1

§о. Если ао = 0, то в этом случае будем иметь замкнутые траектории, не являющи-

д — §1,

еся предельными циклами.

(с) При §1 = 0, §2 = 0 и ео = 0 имеет место обобщенный резонанс, где амплитуда возрастает в соответствии с рекуррентной формулой

вп =

1

д — §1

д~51{ 9 + 51 ¡3^+25^) +

§2 +

I

I

621 9-61

и оптимальные управления 'о(£), 'о(¿) являются почти периодическими функциями, определяемыми при построении экстремалей Понтрягина [4] для задачи о максимальном отклонении.

В работе [5] показано, что существует предельный цикл при достаточно малых ео ^ 0. В случае = '№2 предельный цикл найден в [6] при дополнительном ограничении на параметры системы (4).

2. Рассмотрим другое множество задач с кинематическими управлениями. Предположим, что имеется описание только кинематически возможных движений. Например, движение точки в горизонтальной плоскости описывается следующими уравнениями с функциональными включениями:

'Х = У^ в, 0 ^ у(£) ^ Ушах; у = у sin в;

в = ш, |ш(£)| ^ Шшах;

Ш = и, |и(£)| ^ V;

Х У = |'(£)| ^

Такое описание, впервые предложенное М.И. Зеликиным [7], кинематически соответствует движению гиростабилизированной в горизонте платформы с двумя колесами, снабженными электромоторами постоянного тока (segwаy и др.) Фазовые ограничения определяются максимальными угловыми скоро-

/ \ ( \ Шг — Ш1 Шг + Ш, стями левого (зд) и правого {шг) колес: со = ---, у = К---, К

радиус колеса. Также имеются

22

и'

буется за наименьшее время привести систему на некоторое многообразие в пятимерном пространстве (х, у, в,ш, у).

Пример 2. Наискорейшая смена полосы при у = 1 и движении транспортного средства на многополосной магистрали. Разобьем эту задачу на два последовательных этапа.

А. Наискорейший поворот на угол $ из начального положения, где фазовый вектор равен нулю. Начальные и конечные условия имеют вид

п

(х(0), у(0), в(0), ш(0)) = (0, 0, 0, 0);

), y(tk), 0(4), w(tk)) = (Yx, Yy, 0, 0), где Yx Yy любые. Отметим, что, решив эту задачу, мы получим вполне определенные значения координат вектора состояний в момент tk- Положим x(tk) = y(tk) = СБ. Наискорейший поворот на угол (—$) из конечного положения А, которое считается фиксированным. Начальные и конечные условия имеют вид

(x(tk),y(tk),0(tk),w(tk)) = (С,С,^, 0); (x(tk),y(tk),0(tk),w(tk)) = (Yx,Yy, 0, 0),

где Yx Yy любые.

Рассмотрим задачу А о наискорейшем повороте:

' X = cos 0,

y = sin 0, 0 = ш, ш = u,

u() G U = (u(-) G L^ : |u| < 1},

|w(t)| ^ Wmax, (6)

tk —> min .

k ueu

Начальные условия:

(x(O),y(O),0(O),w(O)) = (0, 0, 0, 0);

(x(tk ),y(tk ),0(tk ),w(tk)) = (Yx ,$,0),

где Yx, Yy любые, угол $ фиксирован.

Считаем, что уравнения приведены к безразмерному виду. В качестве управления выступает только угловое ускорение u. Необходимо перевести систему из начального состояния (x(0),y(0),0(0),w(0)) в конечное (x(tk),y(tk),0(tk),w(tk)) за наименьшее время. Введем новую переменную z, имеющую смысл времени (z = 1), и положим q = (ж, y, 0, ш, z). Тогда уравнения движения примут вид q = f (q,u) и постановка (6), (7) изменится. В качестве функционала примем z ^ min и будем считать, что z(0) = 0.

uEU

Выпишем ограничения в новом виде. Ограничения на управление:

u(-) G U = (u(-) G L^ : u(t) G R}; R = {u|ri(u) < 0, r2(u) < 0}; ri(u) = u — 1, r2(u) = —u — 1.

w(-) G Q = M-) G C : w(t) G G}; G = {w|gi(w) < 0, g2(w) < 0};

gl(w) = ш — Wm, g2 (ш) = —ш — Wm.

Для решения данной задачи воспользуемся расширенным принципом максимума в форме Гамкре-лидзе [1]. Введем необходимые функции:

вспомогательную функцию фазовых ограничений

о / \

Si(q,u) = —^--f(q,u) => si(u)=u, s2(u) = -щ

dq

расширенную функцию Понтрягина

H(p, q, u, Ao) = < p, f (q, u) > — < S(u) > = px cos 0 + py sin 0 + ш + ршu + pz — ^1u + ^2u; концевую функцию Лагранжа

1(q(tk), A) = Aoz(tk) + Aö [0(tk) — $] + Aw [W(tfc)].

Фазовые ограничения:

Допустимый управляемый процесс {q0(t), u0(t), [0; tk]} удовлетворяет расширенному принципу максимума Понтрягина, если существуют:

вектор Л = (Ао, Лж, Ay, Aq, Аш)T : Ао ^ 0;

абсолютно непрерывная функция p = (px,py, pe, рш, pz) : [0; tk] ^ R5; функция ^ = (^1,^2)T : [0; tk] ^ R2; функция n = (П1,П2)T : [0; tk] ^ R2, Пг G L^, такие, что Л0, p, ^ одновременно не обращаются в нуль и выполнены следующие условия:

а) условие максимума

maxH(p(t),q0(t),u) = H(p(t),q0(t),u0) для п.в. t G [0; tk]. |«|<1

Следовательно, u = sign (рш — + ^2) ;

б) сопряженная система и условие трансверсальности

дН dl(q(tk), А)

Р = —-— для п.в. t G 0; ifc , p(tk) =--» Л—•

dq dq(tk)

Отсюда следует, что px = 0 Py = 0 Рв = —Лв, рш = Лвt + a, pz = — A0, где a = const;

в) условие стационарности гамильтониана

H(p(t),q0(t),u0) = 0 для п.в. t G [0; tk];

г) условия дополнительной нежест,кост,и

Пг ^ 0 для п.в. t G [0; tk], ^ < n(t), R(t) > = 0 для п.в. t G [0; tk].

Отсюда следует, что n1 (t) ■ [u(t) — 1] = 0 П2(t) ■ [—u(t) — 1] = 0 для п.в. t G [0; tk];

д) условия на дополнительные функции:

дН(р,»,д,и) _ дп(и) Эг2(ц) oi -^-- m{t) ~дгГ + "аТ ДЛЯ П'В- t G [Mfc]'

откуда рш (t) — ^(t) + ^2(t) = n1(t) — П2 (t);

вектор-функция ^ непрерывна слева на интервале (0; tk) и ^(tk) = 0; каждая функция ^ нестрого монотонно убывает;

каждая функция ^ постоянна на любом сегменте времени, на котором оптимальная траектория целиком лежит во внутренности множества, задаваемого i-м фазовым ограничением.

Разобьем задачу А на два случая: система не достигает границ множества, заданного фазовыми ограничениями в процессе движения, и достигает.

Первый случай. Пусть на протяжении всего времени движения

g1 (w) = Ш — Шт < 0, $2(w) = —w — шт < 0.

Из п. д принципа максимума следует, что ^1,2 постоянны на [0; tk ]• Кроме то го, ^(tk) = 0, откуда ^ = 0. Тогда с учетом пп. б и а, получаем

H(p,q,u,n, А0) = рвш + рши + pz, и = sign [рш - щ +/х2] = sign(pw).

Можно показать, что особый режим движения (рш = 0) не удовлетворяет принципу максимума. При добавлении условия $ > 0 (для определенности) можно однозначно и единственным образом с точностью до нормировки найти все множители Лагранжа и соответствующее управление, выполняющее поставленную задачу:

и1[о;л/0) = 1> u\(V$;2Vv] =-1' Ao = vtf, А* = -1, рх = 0, ру = 0,

= —1;

Рв = 1, рш(1) = + VI?, = т=Рш-1\ры>0, т = -Рш -1\рш<0, Мг = 0

(функции I|Рш>о и I|Рш<о суть характеристические функции множеств > 0} и < 0} соответственно.) Следовательно, результирующий управляемый процесс является оптимальным. Проинтегрировав уравнения движения, заключаем, что условие попадания в первый случай — выполнение неравенства у/ё < шт.

Второй случай. Пусть на некотором промежутке времени [т'; т''] происходит движение по граничной дуге, т.е. w(t) = wm. Предположим, что за все время движения w(t) > —wm. Тогда из п. д принципа максимума следует, что функция у2 постоянна на [0; tk]• Кроме того, ^(tk) = 0 значит, у2 = 0. Тогда с учетом пп. б и а получаем

H(p, q, u, у, Ао) = pew + (рш - yi )u + pz, u = sign [рш - yi + У2] = sign [рш - yi].

Этот случай реализуется при \fd ^ шт.

Движение по храничной дуге частично удовлетворяет определению особой экстремали Понтрягина [8], а именно функция переключений (рш — уi) на этом промежутке времени тождественно равна нулю. Тем не менее из кинематических соображений ясно, что управление на этом участке определено единственным образом и равно нулю. Поэтому, строго говоря, такой режим движения не является особой экстремалью Понтрягина. По аналогии с первым случаем удается однозначно и единственным образом, с точностью до нормировки, найти все множители Лагранжа и соответствующее управление, а следовательно, полученный управляемый процесс является оптимальным:

u

I [0; шт) = 1, и\(шт; -&/шт) = 0, ul [&/шт; шт+-&/шт] = -1,

А0 = 1, Хд =--, рх = 0,

wm

t V

Pbj(t) =---b -5-, Pz = -1,

Wm

V

w2

w2

1,

Py = 0, pg = -,

wm

у2 = 0,

t G [0; Wm];

V

yi(t) = —5---, t G wm;-

0,

t

Wm

V V

——; ojm н—— Wm Wm

Таким образом, для каждого из случаев, на которые была разбита задача А о наискорейшем повороте, получены соответствующие оптимальные управляемые процессы. Отметим, что задача Б симметрична задаче А и решается аналогично.

Теперь вернемся к задаче о смене полосы, сформулированной вначале. Единственное отличие от задачи А состоит в выборе терминального многообразия. Теперь необходимо построить управление, которое переведет транспортное средство на такую параллельную начальному направлению движения прямую, что расстояние между этими прямыми будет равно ц:

(ж(О),у(О),0(О),и(О),*:(О)) = (0, 0, 0, 0, 0);

(х(гк)) = (ъ,П,0, 0,7^),

где 7Х) 1у, 7^ любые, ц фиксировано.

Произведем сопряжение задач А и Б (рис. 1, 2).

Рис. 1. Траектория системы на плоскости xy

Рис. 2. Зависимость в от времени

Каждый из этапов полностью определяется заданием угла но параметром исходной задачи является итоговое смещение ц по оси у. Выпишем связь между § и ц:

2(шт +$/шт)

y(tk) = J sin 0(t,§) dt = n.

0

Из механических соображений строго ограничим угол § величиной п/2, что согласуется со здравым смыслом, поскольку движение происходит на многополосной магистрали (перемещения транспортного средства поперек дороги или в сторону, противоположную потоку, считаются недопустимыми).

По заданному значению n подбираем подходящее значение § и склеиванием двух оптимальных наискорейших поворотов получаем управляемый процесс, выполняющий задачу достижения терминального многообразия.

Важно отметить, что при склеивании двух оптимальных процессов результирующий далеко не всегда является оптимальным. Тем не менее для полученного процесса с помощью численного моделирования удается подобрать все множители Лагранжа для любых значений шт и § £ [0; п/2] таким образом, чтобы принцип максимума выполнялся. Другими словами, он является экстремалью Понтрягина — удовлетворяет необходимым условиям оптимальности.

Таким образом, в отличие от примера 1, где склейка экстремалей дает решение задачи отыскания оптимального кинематического управления, в данном случае это не так. Однако найденная экстремаль используется на практике, например в тестирующих тренажерах по управлению движущимися объектами. Как известно, отыскание экстремалей является определяющим фактором и в теоретических исследованиях. Убедимся в этом, рассмотрев еще один класс кинематических управлений, когда экстремали находятся среди виртуальных перемещений механической системы.

3. Рассмотрим ситуацию, когда для управляемой механической системы известно лишь ее описание в виде функции Лагранжа, заданной как L = T — P, где T = T(q, q, t) — кинетическая энергия, P = P(q, q, t) — обобщенный потенциал. (Следует отметить, что сумма переносных и кориолисовых сил инерции также может иметь обобщенный потенциал.) Применим принцип максимума с целью минимиза-

ti

ции функционала действие по Гамильтону J = J L(q, q) dt для задачи кинематического управления q = v

to

с фиксированными концами q0, q1, to, ti, где ql = q(t¿), и найдем соответствующую экстремаль Понтряги-

ÍII (п П i ÍII (п п i

на. Обозначим вектор-строку сопряженных переменных через pit), тогда pit) =--—, pit) =--—,

dq dq

откуда следуют уравнения Лагранжа

d (dL(q,q)\ dL(q,q) = Q

di \ dq J dq

и первый интеграл — гамильтониан Н = pv — L(q, v) = pq — L(q, q) = const. В частности, при T = — q'Aq,

A = A1 > 0 P = P (q, q) получим H = q'Aq — T + P = T + P = E — интеграл полной энергии для консервативной механической системы.

Таким образом, для этой кинематической задачи экстремаль Гамильтона совпадает с экстремалью Понтрягина, т.е. решение уравнений (8) при выполнении условий на концах является экстремалью действия по Гамильтону и, следовательно, действительной траекторией системы. При этом, как известно [9], найденная экстремаль не всегда дает минимум функционала действие.

Выясним, возможно ли с помощью экстремали Понтрягина получить математическую модель механической системы с односторонней стационарной связью gi(q) ^ 0 в частном случае, когда рассматриваемая поверхность является плоскостью: gi = aq, a = 0 a — матрица-строка.

Задача отыскания экстремалей Понтрягина кинематического управления имеет вид

f q = v,

gi (q) < 0, ti

J = L(q,v) dt ^ min ,

J

to

где q(t0) = a0, q(t1) = a1, значения to, ti, a0, a1 фиксированы, L(q, v) = T(q, v) — P(q).

Введем функционал Лагранжа

С(д,у,р,и 1) = АоJ + У р(д - у) сМ + ^дг(д) сМ,

^ to

где абсолютно непрерывная функция р(-) = (р1(-).. -рп(-)) и неотрицательная мера Радона VI являются множителями Лагранжа (можно доказать, что Ао = 1). Применим принцип максимума в форме Гамкре-лидзе [1], где расширенная функция Понтрягина имеет вид

Н = Н - уl(г)вl (д, у) = ру - Ь(д, у) - у^в^д, у), в1 = Пусть верхний индекс 0 соответствует экстремали Понтрягина, тогда

дд

ау.

дН0

Р

дН° д^

дд дд дд

дН0 дЬ0 дв1 дЬ0

—— = о=^р- —--= о ^р = ——

ду ду ду ду

т

У1

ду

— расширенный обобщенный импульс, где = /

I

Отметим, что функция у является нестрого монотонно убывающей, постоянной на любом отрезке времени, на котором оптимальная траектория не выходит на фазовые ограничения, непрерывной слева, причем ^(¿1) = 0.

В результате получаем математическую модель действительного движения механической системы с односторонней связью:

'с!/дЬ\ дЬ = д91( д) <И\дд) дд д '

Су

1 = т,

(9)

сг

А1(г)д1 (д(г)) = о, 1д1(д(г)) < о,

д(*0) = а0, д^) = а1, ух(гх) = 0. (10)

абсолютно непрерывная функция, то математическая модель (9), (10) корректна, функция скачков (¿), то математическую модель можно уточнить, используя результаты В.Ф. Журавлева для систем с неудерживающими связями [10]. Пусть ¿и — момент скачка (удара), к = 1,..., N 1 ^ N ^ го. Тогда при г = ¿и модель (9), (10) принимает вид

Если у1(г) Если у1(г)

' ±(дЬ\ _ дЬ <И\дд) дд

= 0,

0,

< ёу1

>дМг)) < 0,

а в любой момент г = ¿и уравнения движения могут быть записаны в форме

£(дЬ\ дЬ

М\дд/ дд

д1 (д(ги)) = 0.

= А1 (¿и )а,

При этом следующая формула представляет собой решение задачи определения послеударного состояния по известному доударному в случае идеального удара (идеальной связи Т_ = Т+) [10]:

дС^ + 0) - д^и) = -2адА-1 а'

1

аЛ-1аг

к = 1,...,Ы.

Заключение. Тремя приведенными вариантами задач кинематического управления движением все множество подобных задач не исчерпывается. Можно добавить вариант воздействия относительного движения на переносное (гиростаты и динамические гасители колебаний), отыскание движений динамического стенда, имитирующих в кинематической постановке полет летательного аппарата на тестирующих аэрокосмических тренажерах [11], и т.д. Таким образом, продолжение классификации различных вариантов задач кинематического управления движением позволит разработать методику поиска экстремалей Понтрягина с учетом специфики такого рода задач.

Работа выполнена при поддержке гранта Правительства РФ по договору № 11.G34.31.0054.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арутюнов A.B., Карамзин Д.Ю., Перейра Ф. Принцип максимума для задач оптимального управления при ограниченных фазовых координатах в форме Р.В. Гамкрелидзе и его связь с другими условиями оптимальности // Докл. РАН. 2011. 436, № 6. 738-742.

2. Голубев Ю.Ф. Основы теоретической механики. М.: Изд-во МГУ, 2000.

3. Александров В.В., Рейес-Ромеро М., Сидоренко Г.Ю.,Темолтци-Ауила Р. Устойчивость управляемого перевернутого маятника при постоянно действующих горизонтальных возмущениях точки опоры // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2010. № 2. 41-49.

4. Александров В.В., Болтянский В.Г., Лемак С.С., Парусников H.A., Тихомиров В.М. Оптимизация динамики управляемых систем. М.: Изд-во МГУ, 2000.

5. Александрова О.В. Обобщенный резонанс в колебательной системе // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1991. № 3. 89-92.

6. Александров В.В., Александрова О.В., Приходько П.П., Темолтци-Ауила Р. О синтезе автоколебаний // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. № 3. 41-43.

7. Зеликин М.И., Борисов В.Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Т. 90. М.: Изд-во ВИНИТИ, 2002.

8. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Особые оптимальные управления. М.: Наука, 1973.

9. Жуковский Н.Е. О начале наименьшего действия // Собр. соч. Т. 1. М.: Гостехиздат, 1948.

10. Журавлев В.Ф. Основы теоретической механики. М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2008.

11. Александров В.В., Воронин Л.П., Глазков Ю.Н., Ишлинский А.Ю., Садовничий В.А. Математические задачи динамической имитации аэрокосмических полетов. М.: Изд-во МГУ, 1995.

Поступила в редакцию 22.06.2012