Течение между параллельными плоскостями пластически анизотропного слоя в области, имеющей сток Текст научной статьи по специальности «Математика»

Механика

УДК 539.3

ТЕЧЕНИЕ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛОСКОСТЯМИ ПЛАСТИЧЕСКИ АНИЗОТРОПНОГО СЛОЯ В ОБЛАСТИ, ИМЕЮЩЕЙ СТОК

И. А. Кийко1

Построено автомодельное решение задачи о течении между параллельными плоскостями пластически анизотропного слоя в области, имеющей сток. Оно сведено к неизученному уравнению Риккати с малым параметром. Методом возмущений найдены два различных решения задачи, которые записаны в квадратурах.

Ключевые слова: пластически анизотропный слой, сток, уравнение Риккати, метод возмущений.

A self-similar solution to the problem of flow of a plastically anisotropic layer between parallel planes in a region with a sink is constructed. The problem is reduced to an unstudied Riccati equation with a small parameter. The perturbation method is used to find two different solutions of the problem written in quadratures.

Key words: plastically anisotropic layer, sink, Riccati equation, perturbation method.

Впервые задача о течении тонкого пластического слоя в условиях анизотропии (материала слоя и контактного трения) была рассмотрена в публикации [1]; в ней исследована динамическая часть задачи — определение давления на контактные плоскости. Кинематическая часть задачи подробно изучена в работе [2] (изотропный случай). В предлагаемой заметке в развитие результатов [1, 2] рассматривается новая задача — о течении пластически анизотропного слоя в области, внутри которой имеется сток — отверстие диаметром порядка нескольких толщин слоя. Показывается, что решение задачи сводится к неисследованному уравнению Риккати с малым параметром, строится решение этого уравнения методом возмущения по параметру. Отметим, что задача представляет практический интерес: в некоторых технологических процессах обработки давлением в инструменте специально выполняются отверстия, через которые материал вытекает в облой, что заметно снижает удельное давление и потребную мощность.

1. Постановка задачи. Тонкий слой пластического материала занимает в плоскости xy в начальный момент времени область So, ограниченную кусочно-гладким контуром yo = ^>o(xo)• Слой сжимается сближающимися параллельными плоскостями, так что толщина слоя hi(t) = hoh(t) — известная функция времени. В моменты t > 0 областью течения будет область S с контуром yo = <^(xo,t), который должен быть установлен в процессе решения задачи.

Механические свойства материала слоя определяются условием пластичности Мизеса-Хилла для

xy

соответствующие пределы текучести на сдвиг обозначим rsx, rsy, предел текучести на сжатие в направлении z обозначим as. Состояние в слое характеризуется давлением p(x,y,t) на плоскостях контакта и вектором скорости v = |v|no, no = {cos в, sin в}; эти три функции удовлетворяют связанной нелинейной системе, состоящей из уравнений равновесия и несжимаемости [1]:

grad Z = -(cos2 в + в2 sin2 в)-1/2no, в = Tsx/Tsy; (1)

I dh

ft w (2)

x,y € Г, с = 0. (3)

Здесь Z = (p — vs)ho/(2rs£), I — характерный размер области So; координаты x, y отнесены к I.

Г

®C\2 , дС 2

ах J +l,{ty) =1- *'»6Г' с = 0' (4)

после этого v(x, y, t) находится из уравнения (2) и равенства u(dZ/dy) = v(&Z/dx).

Кийко Игорь Анатольевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. теории упругости мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: elast5539Qmail.ru.

18 ВМУ, математика, механика, №3

Введем параметр д соотношением вд = 1 и сделаем замену п = ду- В новых переменных контур Г1 будет описываться уравнением по = Д^(жо, , поэтому из (4) получим

!)Ч!Ь с=°-

Характеристики этого уравнения — прямые, ортогональные контуру Ги давление ((ж, п, г) определяется как длина отрезка характеристики п — По = —(ж — жо)/п0> отсчитываемая от контура [1]:

С2 = (п — по)2 + (ж — жо)2, (5)

штрихом здесь и далее обозначается частная производная от функции по переменной жо • Отметим важную особенность решения (5): внутри области существует линия — проекция ребра эпюры давления, или линия разветвления течения, на которой grad ( терпит разрыв и которая находится как геометрическое место

Г1

Рассмотрим случай области со стоком, расположенным в начале координат. Обозначим через ж, п точки, принадлежащие линии разветвления; из (5) с привлечением уравнения характеристики будем иметь

(жо + п2)по „ , жо + по

жо-ж = —----, Г] = Г]0 +

2(жо по — по Г 2(жо по — по)'

После замены п = ду по = Д^1 в исходной задаче получим

2(жо^' — <£) ' 2д2(жо^' — '

Воспользуемся уравнением растекания в интегральной форме [2]

хо

[ д/1 дН

х

здесь у = /1(ж,жо,£) — уравнение линии тока

/1(ж,ж0,*)=^1 + ^у. (8)

V д^' /

Нижний предел интегрирования ж находится из равенства /1 (¿с,жо,= у, что на основании (6), (8) приводит к уравнению

х-^=(1+ л1/м-1. о)

д^' V 2д2^(жо^' —

Вычислим и подставим д/1/джо вместе с ж из (6) в уравнение (7), в результате получим труднообозри-

д

к единице:

^ _ _ _ (Жд + Д УУ ~ 2д2(ж0<£>/ - <£>)'

Из уравнения (7) будем иметь уравнение растекания в дифференциальной форме

= в = (10)

дт 4д2(д + 1) 2д2 4 у жо—

где т = — 1п Н(г) — степень деформации. Для этого эволюционного уравнения ставится задача Коши: г = 0 ^(жо, 0) = ^о(жо)•

2. Решение. Построим автомодельное решение в классе функций [2]

£ = ж^1(т), ^(ж,т )= / (£У(т), (11)

для чего подставим их в (10); чтобы функция /(£) удовлетворяла обыкновенному дифференциальному уравнению, достаточно принять (р\^>2 = 1 = откуда следует, что (р\ = е-"2т/аз, = азе"2т.

Для функции / (£) после этого получим уравнение

4ß3(ß + 1)(f' - f )2 2ß2 f - /

которое последовательными заменами £ = ez, /(£) = u(z)ez, du/dz = p(z) приводится к уравнению Риккати

, _ 2ß(ß + 1)(/х2м2 + 1 - 2/х2а2) 2 4/х(/х + 1)м 2/х(/х + 1)(1 + м2)

(1 + ß2u2)2 1 l+ß2u2 1 1 + ß2u2 [ }

Найти решение этого уравнения не удается; заметим, однако, что простыми оценками в свободном коэффициенте выделяется слагаемое с малым параметром. Имеем

1 + и2 (1 - ß2)u2 и2

1 I ПО) Н . по""--.!'

1 + у2и2 1 + у2и2 ' 1 + у2и2

При у, близком к единице, второе слагаемое оказывается малым в сравнении с единицей, поэтому получаем

2„(Д + 1)(1 + _ 1 = + _ 1 + _ , Ыр + IV =

1 + у2и2 1 + у2и2

у2

= 2у(у + 1) - 1 + е2у(у + 1) = /о + е^о- (13)

1 + у2и2

Запишем уравнение Риккати со свободным коэффициентом в форме (13): р = /2р2 + /\р + /о + в$о и представим его решение по методу возмущений в виде р = ро + ер1; в результате получим

Ро = /2Р0 + /1Р0 + /о, р1 = (2/2Р0 + /1)Р1 + 9о. (14)

ро

В уравнении (12) /о = 2у(у + 1) — 1, /2 и /1 выписывать не будем.

Два разных частных решения уравнения (14) найдем, используя результаты работы [2]. Положим

1+ У2и2 ПГА

ро =--. (15)

аи

Подставляя (15) в первое из уравнений (14), для а получаем квадратное уравнение, и его решение имеет вид

1

а =

2[2у(у + 1) — 1]

при этом а — действительное число, если у ^ 1 + во, во ~ 10-2

а а2

1 а

2^ ~ 4/х3 (1 + у)

у(3у + 4) ± у (у2 + 16(1 - у)(1 + у)3) 1/2\, (16)

a2 = W72~ а„зп , -л- (17)

Восстановим функцию <р(х,т), соответствующую частному решению (15); будем иметь последовательно

¿и _ 1 + у2и2 еХх/х . оАгч 1/2

dz au ßA

¡^) = ±±(1-А2е)1/2е~х/2-

На основании подстановок (11) окончательно получаем

1

'ßA

ф,т) = (l - А2(хе~а2Т)Х^ xl~x!2&

здесь ш = а2(1 — Л/2) Л = 2д2/а Параметр А находится го условия, что контур области пересекает ось ж в точке жо А2жд = 1- Как видно, контур симметричен относительно оси ж, пересекает ее под прямым углом в точке ж* = жое"2т и в начале координат, где находится сток.

Замечание. Параметры а и й2 (формулы (16), (17)) в общем случае иррациональные числа, поэтому решение второго из уравнений (14) хотя и записывается через квадратуры, но не выражается в элементарных функциях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кийко И.А. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя // Прикл. матем. и мехап. 2006. 70, вып. 2. 344-351.

2. Кийко И.А. О форме пластического слоя, сжимаемого параллельными плоскостями // Прикл. матем. и мехап. 2011. 75, вып. 1. 14-25.

Поступила в редакцию 09.04.2012

УДК 531.396

ОБ ЭКСТРЕМАЛЯХ КИНЕМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ДВИЖЕНИЕМ В. В. Александров1, О. В. Александрова2, М. А. Буднинский3, Г. Ю. Сидоренко4

В статье рассмотрена возможная классификация кинематических управлений движениями, возникающая при постановке экстремальных задач в механике управляемых систем.

Ключевые слова: экстремали Понтрягина, расширенный принцип максимума, кинематическое управление.

The article considers a possible classification of the kinematic motion control that appears in some extremal problems in the mechanics of controlled systems.

Key words: Pontryagin extremals, generalized maximum principle, kinematic control.

Введение. При постановке экстремальных задач в механике управляемых систем нередко возникают ситуации, когда размерностью управления является скорость, ускорение или их комбинация. Полезно провести классификацию такого рода задач с тем, чтобы подметить некоторые закономерности, способствующие отысканию экстремалей. В статье речь будет идти об экстремалях Понтрягина, получающихся из расширенного принципа максимума в форме Гамкрелидзе [1].

1. Рассмотрим математическую модель механической системы, состоящей из совокупности материальных точек с массами, движение которых в неинерциальной системе описывается относительными обобщенными координатами и их скоростями [2]:

(dfdT\ дТ ^ г . ... , . ...,, drj . 1

< dw (1)

~dt=U> dv

"77 = w)

dt

1 Александров Владимир Васильевич — доктор физ.-мат. наук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Qhotmail.com.

2 Александрова Ольга Владимировна — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexandrova.oQinbox.ru.

3 Буднинский Максим Андреевич — студ. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: max. budninskiy Qgmail .com.

4 Сидоренко Галина Юрьевна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: gingrulQyandex.ru.