CC BY
121 1 2 /о Í дап ( дап а дап \/оф\ ( [( Е0(34 2 Е0 а4 (д2ап\ ^ -2 / ттг" «о т— т—77 + ттг" 7—+ Л / -—ту--ап —
dt0\ dxo [пи]4 dt0 [пи]4 у 0 \J V 12(1 - v2) n 12(1 - v2) (ки)4\ dx0
о
E0( 1 - z/)q2/32 /9ага\2 £0Z/Q:2/32 Э2ага \
6(1 — г/2)(-/гп)2 / 6(1-г/2)(тт)2ага &с2 Р {im)4\dt0 ) J 0J'
7777 777 77 А«,
220
Воспользовавшись теоремой Ляпунова-Мовчана об устойчивости, найдем условия положительной определенности функционала и неположительности его производной:
\2р'а[3 Еф4
Л _> U, —;-—г — —;-гт — - "i
4(тг п)4 2(тт)4 12
ApV Ш \Еф2 ^ , 2
+ т—7J > 0, а0 < ———— (2 л/а/3-Ара/3)(тгп)
(™)4 (™)4 ' и " 6(1 + V) Из этой системы неравенств получаем, что критическая скорость определяется из следующего соот-
ношения: a2 =
Еов2п2
6(1 + V )рг
Следует отметить работу [7], в которой методом Ляпунова-Мовчана исследована задача об устойчивости колебаний вязкоупругой полосы (пластины), обтекаемой сверхзвуковым потоком газа. В этой работе метод Ляпунова-Мовчана распространяется на вязкоупругие системы.
Работа выполнена под руководством Д.В. Георгиевского и поддержана грантом РФФИ № 08-01-00231.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Мовчан А.А. Об устойчивости панели, движущейся в газе // Прикл. матем. и механ. 1957. 21, вып. 2. 231-243.
2. Кийко И.А. Постановка задачи о флаттере оболочки вращения и пологой оболочки, обтекаемых потоком газа с большой сверхзвуковой скоростью // Прикл. матем. и механ. 1999. 63, вып. 2. 317-325.
3. Мовчан А.А. Об устойчивости процессов деформирования сплошных тел // Arch. mech. stosow. 1963. 15, N5. 659-682.
4. Parks P.C. A stability criterion for a panel flutter problem via the second method of Liapunov // Differential equations and dynamical systems. N.Y.; London: Acad. Press, 1967. 287-298.
5. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами. Новосибирск: Наука, 1987.
6. Победря Б.Е., Георгиевский Д.В. Лекции по теории упругости. M.: Эдиториал УРСС, 1999.
7. Анкилов А.В., Вельмисов П.А. Динамика и устойчивость упругих пластин при аэрогидродинамическом воздействии. Ульяновск: УлГТУ, 2009.
Поступила в редакцию 13.10.2010
УДК 539.3
СЖАТИЕ-СТОК АСИМПТОТИЧЕСКИ ТОНКОГО ИДЕАЛЬНО ЖЕСТКОПЛАСТИЧЕСКОГО СФЕРИЧЕСКОГО СЛОЯ
Д. В. Георгиевский1
Исследуется осесимметричное меридиональное течение со стоком несжимаемой идеально жесткопластической среды между двумя концентрическими шероховатыми сферами, такими, что внешняя сфера неподвижна, а поверхность внутренней равномерно расширяется. Осуществляется асимптотическое интегрирование краевой задачи с естественным малым геометрическим параметром.
Ключевые слова: идеально жесткопластическое течение, тонкий слой, растекание, сжатие, сток, задача Прандтля, асимптотики.
An axially symmetric meridional flow with a drain of an incompressible perfect rigid plastic medium between two concentric rough spheres is studied. The external sphere is fixed, whereas
1 Георгиевский Дмитрий Владимирович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: georgiev@mech. math.msu.su.
the surface of the internal one is expanded uniformly. An asymptotic integration of the boundary value problem with a natural small geometric parameter is performed.
Key words: perfect rigid plastic flow, thin layer, spreading, compressing, drain, Prandtl problem, asymptotic methods.
Рассмотрим в сферической системе координат (r, 9, ф) (9 — полярный угол) осесимметричное меридиональное течение несжимаемой идеально жесткопластической среды с пределом текучести us (течение Сен-Венана) в тонком сферическом слое Qt:
Qt = {R(t) <r < R(t) + h(t); 0 < 9 < п; 0 < 2п}, h < R. (1)
В квазистатическом процессе сжатия между жесткими шероховатыми сферами r = R и r = R + h и выдавливания слоя (1) через сток 9 = п положим, что внешняя сфера неподвижна, а радиальная скорость V поверхности внутренней не меняется со временем. Кинематические граничные условия непротекания имеют вид
vr\r=R = V vr\r=R+h = °. (2)
Касательная компонента скорости (в данном случае ve) на указанных в (2) границах идеального материала, как известно, не задается [1]. Расход в стоке в этом случае равен — 4nR2V.
В систему шести уравнений осесимметричной идеальной пластичности с критерием Мизеса-Генки в сферических координатах
P,r + srr, r + (sre,e + 3Srr + Srd ctg 9)/r = 0, —p,в/r + Sre, r + {see, e + 3sre + (srr + 2see) ctg 9)/r = 0,
s^r + s2ee + srrsee + s% = a2/2 = ts2, (3)
srr{ve,e + Vr)/r = seeVr,r, s„{ve,r + (vr,e — ve )/r) = 2sreVr,r, Vr,r + (2vr + ve,e + ve ctg 9)/r = 0
входят давление p, компоненты srr, see, sre девиатора напряжений и компоненты vr, ve скорости. Кроме выполнения условий (2) на жестких сферических поверхностях потребуем, чтобы на них же модуль касательного напряжения sre достигал своего максимального по r значения:
\sre\r=R = \sre\r=R+h = m(9)тs, 0 <m < 1 (4)
где m — шероховатость пресса. Абсолютной шероховатости, или полному сцеплению пресса с текущим материалом, соответствует значение m = 1.
Образуем асимптотически малый геометрический параметр а = h/R и проведем по нему степенные разложения шести неизвестных функций из (3). Структуру разложений выберем аналогичной решению классической задачи Прандтля (см., например, [2]):
ve(r, 9) = V [a-lv{-l} + v{0} + av{1} + ...) , vr(r, 9) = V (v{0} + av{1} + ...) ,
sß7(r, 9) = Ts (s™ + asßY + ...) , p(r, 9) = Ts {а-1 p{-1} + p{0} + ар{1} + ...) ,
где (ß; y) = {(r; r), (9; 9), (r; 9)}. Безразмерные коэффициенты рядов (переменные с верхней чертой) —
функции безразмерных координат 9 и р = (r — R)/h, 0 < р < 1. Наличие в (5) членов a-1v{ 1} и а-1 p{-1} означает стремление ve и p в бесконечность при а ^ 0, в то время как остальные неизвестные остаются конечными вне окрестности п — е < 9 ^ п стока.
Подставляя (5) в (3) и приравнивая коэффициенты при первых двух главных степенях а, получим систему восьми уравнений
p{-1} = 0 v{-1} = 0 _p{0} + s{0} = 0 {-1} + s{0} = 0 {s{0})2 + {s{0} )2 + s{0}s{0} + {s{0})2 = 1 pp = 0, ve,p = 0, p,p + srr,p = 0, p,e + sre,p = 0, \srr ) + \see ) + srr see + \sre ) = 1, (fi)
s{0}v{-1} = s{0}v{0} s{0}{v{0}_ v{-1}) =os{°}v{0} v{0} + ц—} + v{-1} ctg9 = 0 (6)
srr ve e — see vr,p , srr \ve p ve ) — re vr,p , vr,p ' ve e ' ve &9 — u
относительно восьми величин с верхними индексами {— 1} и {0}, являющихся коэффициентами в (5). Из граничных условий (2) и (4) следует, что
_ , vi°>
р=°
= 1, v{
р=1 =0; |s{°}|p=° = |sí°> = ш(в). (7)
Изначально неизвестно, на какой из сфер s{°} равно ш, а на какой — (—ш). Выбор знака напряжения ,
как показано в [3], связан с выпуклостью профиля скорости ve, а именно со знаком коэффициента V{0}. Последний в свою очередь зависит от того, сближаются или удаляются друг от друга жесткие сферы, ограничивающие слой.
Система (6) с граничными условиями (7) допускает последовательное асимптотическое интегрирование, процедура которого подробно изложена в [3-5]. Развивая ее в рассматриваемой задаче, выпишем точное аналитическое решение задачи (6), (7), соответствующее сжатию со стоком при в = п:
в
4~1} = tg40} = i - р, р{~1}=р{о~1} - 21 ш(о
о
40} = - , SÍq2^-v/l-m2(2p-l)2,
v/(l -cos0)(l - eos3 в) (8)
Р{0} = 4°r} + Р{ОЧ0), s^ = -m{2p-l),
Щ в У(1-сов(9)(1-совЗ(9) л/1 — т2(2р — I)2
— 2-¡ОТ--ш-+а(0)"
Функции интегрирования а(в), Р {°}(в) и гидростатическая константа р{ 1} определяются из дополнительных кинематических и силовых условий.
Решение (8) достоверно вне окрестности п — е < в ^ п стока, в которой у{ 1} и у{0} перестают быть конечными и ряды (5) теряют асимптотичность, а также вне окрестности 0 < в ^ е области, противоположной стоку, т.е. на другом полюсе сфер. Эти ограничения достоверности аналогичны трактуемым в анализе решения классической задачи Прандтля. Последнее, как известно, справедливо вдали от зон краевого эффекта и вне окрестности среднего по простиранию сечения плоского слоя. Кроме того, необходимо учитывать требование квазистатичности течения (в совокупности с условием тонкости слоя)
1 Т
— <а<1, Еи = —(9) Ей дУ2
где Ей — число Эйлера, дУ2 — характерный динамический напор. Требование (9) следует из асимптотического анализа уравнений движения, получающихся подстановкой в правые части первых двух равенств (3) инерционных слагаемых. Данный анализ показывает (см., например, [6]), что если 1/Еи = о(а2), то решение, соответствующее динамическим слагаемым, имеет больший порядок малости по а, чем величины, входящие в квазистатическое решение (8).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995.
2. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. М.: Физматлит, 2001.
3. Георгиевский Д.В. Асимптотические разложения и возможности отказа от гипотез в задаче Прандтля // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 1. 83-93.
4. Георгиевский Д.В. Асимптотический анализ пластического течения вдоль образующей в тонком цилиндрическом слое // Прикл. механ. и техн. физ. 2010. 51, вып. 5. 111-119.
5. Георгиевский Д.В., Вилле Р. Асимптотическое интегрирование в краевых задачах идеально жесткопластического течения в тонком слое // Упругость и неупругость. М.: Изд-во МГУ, 2011. 52-59.
6. Кийко И.А., Кадымов В.А. Обобщения задачи Л. Прандтля о сжатии полосы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2003. № 4. 50-56.
Поступила в редакцию 11.01.2011
