CC BY
22Система относительно многочленов Шабата над k с набором валентностей IVai,a2,a3 примет вид
02 (Ai - A2) = а3Л3, Ai + A2 = A3, Аг = 0.
Эта система в P3(k) имеет не больше одного решения и если char k { (а1 + а3), (а2 + а3), а2,а3, то решение существует, т.е. Жк(а1,а2,а3) = 1.
Автор выражает благодарность за ценные замечания Г. Б. Шабату, Н. М. Андрианову и участникам семинара МГУ "Графы на поверхностях и кривые над числовыми полями". Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Фонда Саймонса.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Звонкин А.К., Ландо С.К. Графы на поверхностях и их приложения. М.: МЦНМО, 2011.
2. Oganesyan D. Abel pairs and modular curves // Записки научных семинаров ПОМИ. 2016. 446. 165-181.
3. Вашевник А.М. Пары Белого над конечными полями и их редукция: Канд. дис. М., 2006.
4. Кочетков Ю.Ю. Многочлены Чебышёва, многочлены Золотарёва и плоские деревья // Фунд. и прикл. матем. 2013. 18, № 6. 161-170.
5. Hirzebruch F., Berger T., Jung R. Manifolds and Modular Forms. Wiesbaden: Vieweg-Verlag, 1992.
6. Шабат Г.Б. Мнимоквадратичные решения антивандермондовых систем с 4 неизвестными и орбиты Галуа деревьев диаметра 4 // Фунд. и прикл. матем. 2003. 9, № 3. 229-236.
7. Kochetkov Yu. Trees of diameter 4 // Proc. 12th Int. Conf., FPSAC'OO (Formal Power Series and Algebraic Combinatorics) / Ed. by D. Krob, A. A. Mikhalev, A. V. Mikhalev. Springer, 2000. 447-475.
8. Дремов В.А., Вашевник А.М. О парах Белого над произвольными полями // Фунд. и прикл. матем. 2006. 12, № 3. 3-8.
9. Вашевник А.М. Простые плохой редукции детских рисунков рода 0 // Фунд. и прикл. матем. 2005. 11, № 2. 25-43.
10. Couveignes J.-M. Calcul et rationale de fonctions de Belyi en genre 0 // Ann. Inst. Fourier (Grenoble). 1994. 44, N 1. 1-38.
Поступила в редакцию 16.03.2016
УДК 517.977
ОЦЕНКА МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ ЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С ПОМОЩЬЮ ЛИНЕЙНОГО МАТРИЧНОГО НЕРАВЕНСТВА
Д. И. Бугров1
Рассмотрена задача о построении внутренней аппроксимации множества достижимости вполне управляемой линейной стационарной системы. Данная аппроксимация получается как пересечение двух областей, заданных квадратичными формами. Одна из форм определяется параметрами исходной системы. Матрица, задающая вторую форму, получается как решение линейного матричного неравенства. Использование предлагаемой методики проиллюстрировано численным примером.
Ключевые слова: область достижимости, линейная стационарная система, линейное матричное неравенство, внутренняя аппроксимация.
The problem considered is the construction of reachability set's internal approximation for a full controllable linear time-invariant system. This approximation is obtained as an intersection of two areas governed by quadratic forms. One of these forms is based on parameters of the
1 Бугров Дмитрий Игоревич — канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. лаб. математического обеспечения имитационных динамических систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: d.bugrov@mech.math.msu.su.
system under consideration. The other form is produced by the solution of some linear matrix inequality. The method proposed is illustrated by a numerical example.
Key words: reachability set, linear time-invariant system, linear matrix inequality, internal approximation.
Рассматривается линейная стационарная система вида
x = Ax + Bu, (1)
где x = (xi,... , xn)T — n-мерный вектор координат системы; A и B — постоянные матрицы n х n и n х m соответственно; u = (ui,... , um)T принадлежит множеству L^ измеримых ограниченных функций, sup (uT(t)u(t)) ^ 1. Матрица A предполагается гурвицевой, т.е. действительные части
корней характеристического уравнения det(A — AE) = 0 отрицательны, где E — единичная матрица. Требуется получить оценку множества достижимости системы (1). Следуя [1], под множеством достижимости будем понимать область в пространстве состояний динамической системы, состоящую из точек, в которые за конечное время может прийти траектория системы, выходящая из начала координат, используя допустимое управление.
Зная множество достижимости для динамической системы, можно получить оценку возможностей управления по переводу системы в некоторое заранее известное положение, определить влияние возмущений на точность приведения системы в заданное положение, оценить качество робастной устойчивости при постояннодействующих возмущениях (по Дубошину-Малкину), а также решать задачи гарантированного оценивания и теории дифференциальных игр. Еще одним приложением областей достижимости является методика максиминного тестирования [2-4]. Задачи построения областей достижимости, а также их аппроксимации неоднократно рассматривались ранее [5-7]. В частности, аппроксимацию сверху области достижимости можно получить, используя теорию линейных матричных неравенств [1]. Согласно этой теории, множество достижимости системы (1) содержится в эллипсоиде
xTP-1x < 1, (2)
где P (а) = PT (а) > 0 — решение линейного матричного уравнения
AP + PAT + аР + а-1ВВт = 0, а > 0. (3)
Получим аппроксимацию снизу, используя схожий подход. Для этого зададим положительно-определенную функцию V(x) = xTLx, где матрица L симметричная, положительно-определенная, с вещественными элементами, такая, что LT = L > 0, и найдем ее производную в силу (1):
V = xT AT Lx + xT LAx + 2uT BT Lx.
Пусть Q — множество точек, принадлежащих одновременно эллипсоиду xTLx ^ 1 и множеству xTLBBTLx ^ 1. Тогда можно доказать следующее
Утверждение 1. Множество Q целиком содержится внутри множества достижимости системы (1), если для любой точки из Q, за исключением начала координат, выполнено неравество
max V = xTATLx + xTLAx + 2 max (uTBTLx) > 0. (4)
Последнее слагаемое в этом неравенстве представляет собой скалярное произведение векторов и и ВТЬх, и поэтому максимум на шаре ити ^ 1 в случае ВтЬх ф 0 достигается при и = ^ т^^дт^ > а при ВтЬж = 0 можно взять и = 0, т.е.
{ хтАтЬх + хтЬАх + 2 *т™втьх втЬхф 0; тах V = < т т т Л л/хтьввт Ьх
итАт Ьж + жт ¿Аж, Вт Ьж = 0.
Всюду в области жтЬВВтЬж ^ 1 имеем
тах (итВт¿ж) < жт¿ВВт¿ж,
и поэтому выполнение условия
жтАт¿ж + жт¿Аж + 2жт¿ББт¿ж > 0 (5)
автоматически влечет за собой выполнение условия (4) (в том числе и для случая Бт¿ж = 0). Условие (5) может быть записано в форме матричного неравенства
АтЬ + ¿А + 2ЬББтЬ > 0, (6)
которое после умножения слева и справа на матрицу Q = ¿-1 = 0 превращается в линейное матричное неравенство
QAT + ^ + 2ББт > 0. (7)
Теперь покажем, что множество Б={ж € Ега|жтQ-1ж ^ 1,жтQ-1ББTQ-1ж ^ 1}, где Q=QT > 0 удовлетворяет линейному матричному неравенству (7), принадлежит множеству достижимости системы (1), если эта система вполне управляема.
Сначала покажем, что для вполне управляемой системы и любого ж = 0 существует число а > 0, такое, что аж принадлежит множеству достижимости. Выберем точку ж = ж*. В силу определения полной управляемости это означает, что существуют Т > 0 и п*(£), где п*(£) ограничено по величине, £ € [0; Т], такие, что
*
ж =
Г еА(т-т)Би*(т) ¿т. Jо
Если при этом п*т(£)п*(£) ^ 1 € [0;Т], то точка ж* достижима и а = 1. Если выполнено ограничение «*т(£)«*(£) ^ С Ví € [0; Т], С > 1, то возьмем й(£) = и*(Ь)/\/С, тогда йт(£)й(£) ^ 1 — допустимое управление, и в силу линейности операции интегрирования получим
ж = Г еА^Вй(т) йт = ^= Г еА^Ви*(т) йт = Уо у С Jо у С
т.е. точка ж принадлежит множеству достижимости и а = \j\fC.
Теперь перейдем в системе (1) к обратному времени т, обозначив производную по т штрихом и выбрав управление в виде п(т) = БтQ-1ж. Получим
ж' = -Аж - ББтQ-1ж = -(А + ББтQ-1)ж. (8)
Определим функцию V(ж) = жтQ-1ж. Эта функция положительно определена. Ее производная в силу системы (8) имеет вид
V' = -жт (Ат Q-1 + Q-1A + 2Q-1ББт Q-1)ж,
т.е. является отрицательно-определенной квадратичной формой при выполнении условия (6) для L = Q-1. Это в свою очередь означает, что нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво. Поскольку система (8) линейная стационарная, асимптотически устойчивая, то она асимптотически устойчива в целом и любая ее траектория, начинающаяся в произвольной точке (в том числе в точке эллипса жтQ-1ж ^ 1), сколь угодно близко будет подходить к началу координат, т.е. для системы в обратном времени (8) переход из любой точки этого эллипса в окрестность начала координат выполняется за конечное время, при этом внутри множества Б управление п(т) = БтQ-1ж является допустимым (выполняется условие птп ^ 1).
В итоге получаем, что все точки множества Б достижимы для системы (1) за конечное время, т.е. выполнено следующее
Утверждение 2. Если существует матрица Q = Qт > 0, такая, что справедливо линейное матричное неравенство (7), то множество достижимости вполне управляемой системы (1) содержит в себе множество Б = {ж € Ега|жтQ-1ж ^ 1,жтQ-1BBTQ-1ж ^ 1}.
В некоторых случаях можно говорить о "супремальном" решении неравенства (7), т.е. матрице Q* = > 0, такой, что
Q*AT + AQ* + 2ББт = 0.
Тогда множество достижимости вполне управляемой системы (1) будет содержать в себе "супре-мальное" множество Б = {ж € Ега|жтQ*-1ж < 1,жтQ*-1BBтQ*-1ж < 1}; вопрос о принадлежности границы дБ области достижимости должен рассматриваться отдельно.
54
вестн. моск. ун-та. сер. 1, математика. механика. 2016. №6
Следует отметить, что в работе [8] получены условия, задающие области супер- и субдостижимости (оптимальные оценки сверху и снизу). Эти оценки, безусловно, точнее и лучше аппроксимируют область достижимости системы (1). Предлагаемая же в настоящей работе оценка менее точна, однако ее получение требует существенно меньших вычислительных затрат.
Пример. Рассмотрим уравнение 2-го порядка
ж + 2еж + ш ж
и,
|и| < 1,
(9)
полагая е > 0, ш2 > 0. Представим (9) в виде (1), введя переменные ж1 = ж, ж2 = ж .В результате получим
-0ш2-У- В = Ь=(Г
А
Пусть Я
911 <712 712 <22
тогда неравенство (7) примет вид
2< 12
-ш2<711 - 2е<712 + <22
-ш2<11 - 2е<12 + <22 -2ш2<12 - 4е<22 + 2
> 0,
что эквивалентно системе двух скалярных неравенств
712 > 0,
2<712(-2ш2<712 - 4е<722 + 2) > (-ш2<п - 2е<12 + 722)2, которую следует дополнить условиями положительной определенности матрицы Я:
"Супремальное" решение
711 > 0, 711722 > 712•
Я* =
* = / Ш?
О ь
ь = Я*-1 =
*_1 (2еш2 0
0 2е
задает внутренность эллипса
Условие ж т Я*-1ВВ т Я*-1 ж < 1 превращается в условие
2еш2ж? + 2еж2 < 1.
(10)
11
2" " ' Т-
(11)
Для иллюстрации возьмем систему (9) при значениях параметров е = 0, 5, ш2 = 1 и построим оценку для области достижимости. Результат приведен на рисунке. Следует заметить, что при выбранных значениях параметров область (10) целиком лежит внутри области (11). Кривой 2 на рисунке обозначена точная граница области достижимости, построенная по методу работы [9].
Далее была найдена эллипсоидальная оценка (2) инвариантного множества [1] с численной минимизацией следа матрицы Р(а), удовлетворяющей уравнению (3). В результате использования стандартных процедур пакета Ма^аЬ были найдены минимизирующее значение а = 0,4619 и соответствующее решение Р(а) уравнения (3):
/ 2, 4461 -0, 5649\ = 1 -0, 5649 2,1422 )
Р
1
0, 4353 0,1148 0,1148 0,4971
1
0
Эллипсоид (2), задаваемый матрицей P-1, изображен на рисунке кривой 1. Кривой 3 показан "су-
премальный" эллипсоид (10) как внутренняя оценка области достижимости.
Автор приносит благодарность проф. В.В.Александрову за внимание, проявленное к работе, и
ценные замечания.
Работа выполнена при финансовой поддержке РНФ (проект №14-50-00029) и РФФИ (проект
№16-01-00683).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.
2. Alexandrov V. V., Bugrov D.I., Corona Morales G., Tikhonova K. V. Tent-method application for minmax stabilization and maxmin testing // IMA J. Math. Control and Inform. 2015. DOI: 10.1093/imamci/dnv028.
3. Sadovnichiy V.A., Alexandrov V.V., Lemak S.S., Bugrov D.I., Tikhonova K.V., Temoltzi Avila R. Robust stability, minimax stabilization and maximin testing in problems of semi-automatic control // Stud. Systems. Decision and Control. 2015. 30. 247-265.
4. Лемак С.С. К вопросу о формировании позиционных стратегий дифференциальной игры в методе экстремального прицеливания Н.Н. Красовского // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 6. 61-65.
5. Формальский А.М. Управляемость и устойчивость систем с ограниченными ресурсами. М.: Наука, 1974.
6. Черноусько Ф.Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.
7. Kurzhanski A., Valui I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Basel: Birkhäuser, 1997.
8. Овсеевич А.И. Области достижимости управляемых систем, их свойства, аппроксимации и применения: Докт. дис. М., 1996.
9. Александров В.В., Александрова О.В., Приходько И.П., Темолтзи-Ауила Р. О синтезе автоколебаний // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2007. №3. 41-43.
Поступила в редакцию 09.12.2015
УДК 511
ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ С БЕСКОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ И ГРУППОВЫМ ПОСТУПЛЕНИЕМ ТРЕБОВАНИЙ
Е. А. Чернавская1
Рассматривается бесконечноканальная система массового обслуживания, в которой требования поступают группами случайного объема через случайные независимые одинаково распределенные интервалы времени. Число требований в группе и интервалы между их поступлениями могут быть зависимы. Предполагается, что функция распределения времени обслуживания является правильно меняющейся на бесконечности и такой, что время обслуживания имеет бесконечное среднее. Для числа требований в системе при соответствующих нормировках доказаны предельные теоремы.
Ключевые слова: бесконечноканальные системы обслуживания, времена обслуживания с тяжелым хвостом, распределение числа требований в системе, регенерирующий поток.
We consider an infinite-server queueing system where customers come by groups of random size at random i.d. intervals of time. The number of requests in a group and intervals between their arrivals can be dependent. We assume that service times have a regularly varying distribution
1 Чернавская Екатерина Александровна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: Chernavskayaak@mail.ru.
