Вычисление альтернированных трубок достижимости для линейных управляемых систем при неопределенности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

П. В. Гагаринов1

ВЫЧИСЛЕНИЕ АЛЬТЕРНИРОВАННЫХ ТРУБОК ДОСТИЖИМОСТИ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

В статье рассматривается задача поиска множества достижимости линейной управляемой системы при наличии неизвестной, но ограниченной в геометрическом смысле помехи. Повышенная актуальность подобной постановки для инженерных приложений требует эффективных численных схем поиска множества достижимости в классе управлений с обратной связью. Предложенный в статье метод основан на эллипсоидальных оценках альтернированного множества достижимости, описанных в работах А. Б. Куржанского и дополненных адаптивной схемой регуляризации для обеспечения продолжаемости эллипсоидальных аппроксимаций. Предлагается схема квадратичной регуляризации альтернированного множества, которая естественным образом сочетается с эллипсоидальной конструкцией самих оценок, позволяя прозрачным образом трансформировать существующие эллипсоидальные схемы и тем самым обеспечить невырожденность и продолжаемость оценок через адаптивный выбор регуляризирующих параметров.

Ключевые слова: эллипсоидальное оценивание, альтернированный интеграл, достижимость при неопределенности, достижимость при помехах.

1. Введение. Будем рассматривать линейную систему

(x(t) = A(t)x(t) +B(t)u + C'(t)v(t), i€T = [i0,ii], m

\ж(г0) = ж° {)

на отрезке времени Т с непрерывными матрицами A(t), B(t), C(i), где x(t) — вектор состояний из Жп, v(t) — векторное неизвестное возмущение из класса функций Vo, измеримых по Лебегу и удовлетворяющих ограничению v(t) G Q(t), а и = U(t,x) С V(t) — управление с обратной связью из класса управлений Кс, обеспечивающих существование и продолжаемость решения системы (1). Далее мы будем предполагать выполнение эллипсоидальных ограничений на помеху, управление и начальное состояние:

х° &Ха = £(хо,Хо), Q(t) = £(q(t),Q(t)), V(t) = £(p(t), Р(t)), (2)

где под эллипсоидом £(a,Q) с центром а и матрицей конфигурации Q будем понимать множество \x:(x,l) < (l,Ql)i}.

Определение 1. Множеством достижимости для системы (1) с непрерывной коррекцией Х(т, ¿о, Д^0, /х), на момент времени т, из множества Д^0, при неопределенности v(t), называется совокупность точек х, таких, для каждой из которых существует стратегия в форме обратной связи U G Ыс и точка х° € такая, что для любых v(-) G Vo выполнено включение

X(T,tQ,xQ\U,v(-)) С x + nBiiO), /0 0. (3)

Здесь и далее используется обозначение: Ва(Ь) — единичный шар радиуса а с центром Ь. Без ограничения общности далее будем полагать, что A(t) = 0, поскольку этого можно добиться переходом к вектору состояний у(т) = Х(^,т)х(т), где X(r,to) — переходная матрица системы (1), являющаяся решением матричного дифференциального уравнения X(r,to) = A(t)X(r,to), X(to,to) = I. Кроме того, заметим, что рассмотрение случая B(t) = C(t) = I также не умаляет общности рассуждений, поскольку можно перейти к ограничениям V{t) = £(B(t)p(t), B(t)P(t)B'(t)) и Q(t) = £(C(t)q(t),C(t)Q(t)C"(t)).

1 Факультет BMK МГУ, асп., e-mail: pgagarinovQgmail.com

Определение 1 можно обобщить на случай, когда рь есть функция т. Для этого рассмотрим систему

г

разбиений отрезка [¿о, г] на к+1 точек ^ = ¿0 + ^ ст,-, где ст* € = {стЛЙ1, ст,- > 0, и произвольную не-

3 = 1

прерывную на отрезке [¿о, ¿1] функцию ^ 0. Каждому множеству диаметра (¿(Е/;) = тах (сг^) можно поставить в соответствие множество достижимости максиминного типа с к коррекциями

т 1 п

to ¿о

Тг тг Т Т

ти тк

где символом — обозначена геометрическая разность, щ = / (¿5, а В^ = В1Н(0). Данное мно-

Тг-1

жество состоит из точек, которые достигаются из некоторой точки начального множества с коррекциями управления на основе состояния системы Xi в моменты г, при условии, что помеха г>(£) на отрезках % = заранее известна в точках Множество достижимости минимаксного

типа с к коррекциями, в котором в отличие от максимина помеха г>(£) в начале отрезка Т^ заранее неизвестна и управление выбирается в расчете на любую помеху, согласно [1] есть

т 1 т 1

Тг тг Т Т

- I I + + 1г(з)ёзУ (5)

Тг-1 Т»_1 тк тк

Множествам (4) и (5) можно поставить в соответствие их конечно-разностные аналоги Х~(т, //(•)) и Х+(т, ¿о, Е^, //(•)), определяемые из уравнений

Х-И = (Х-И + + а(8)Р(Тг)) - 8 € Т,+ 1, Х-[*о] = ДГо, (6)

где ст($) = 5 — г(«) = тах{г ^ 0| ^ «}.

Далее без дополнительных оговорок будем считать автоматически выполненным следующее предположение о непустоте конечных сумм.

Предположение 1. Предположим, что для некоторой непрерывной функции /х(-) ^ 0 и числа (т0 > 0 существуют непрерывные векторные функции /?+(£) € К™, /?_(£) € К™ и число е > 0, такие, что включения

+ /?+(*) +В£(0) СХ^МоД^ЬЖ), (8)

справедливы для любого разбиения Е/,.. такого, что (¿(Е^) ^ сг0.

В соответствии с [1] данное предположение позволяет ввести следующее определение альтернированного множества достижимости для функции //(•).

Определение 2. Альтернированным множеством достижимости й^0, /х(-)) системы (1)

будем называть хаусдорфов предел максиминных множеств достижимости ¿о, Х°, Е^, //(•)) по из-

мельчающимся последовательностям Е^ С И^+г ПРИ ¿(Еь) О-

Более того, альтернированное множество Х(т, ¿о, //(•)) совпадает с хаусдорфовым пределом множеств Х~[т], Х+[т], а также является максимальным по включению решением [1] следующего

эволюционного "уравнения интегральных воронок" (приводим общий случай для A(t) ф 0): lim o~1h+ (X(t + a£(q(t), Q(t)), (I + aA(t))(X(t) + aBß{t)(0)) + a£(p(t), P(t))) = 0,

*[to] = £(a:o,*o). (10)

Заметим, что когда p(s) = /х, Vs G выполнено Х(т, to, Х°, /х(-)) = Х(т, to, Х°, /х). Далее для про-

стоты, если специально не указано обратное, будем считать, что c(Q(s)) = 0 и = 0 даже

для систем с ненулевыми центрами эллипсоидальных ограничений на управление p(t) и помеху q(t), поскольку этого можно добиться перейдя через замену переменных к системе с p(t) = 0, q(t) = 0. Поскольку поиск множеств X+[s], из уравнений (6), (7) через опорные функции этих множеств

требует овыпукления надграфиков опорных функций, создавая дополнительную вычислительную нагрузку, нас будут интересовать такие направления I G #i(0), вдоль которых овыпукления удастся избежать. Назовем такие направления "хорошими".

2. Квадратичная операция сложения множеств. В случае, когда вместо поиска точного решения (10) ищутся эллипсоидальные, каждый шаг в схеме (6) требует дополнительной эллипсоидальной аппроксимации геометрической суммы с шаром cr(s)ßii(Tji)(0). Но пользуясь конструкцией опорной функции эллипсоида (и шара в частности), можно определить операцию сложения множеств, при которой сумма шара с эллипсоидом есть эллипсоид. Для общности рассуждений введем такую альтернативную операцию (квадратичную сумму) ф на множестве выпуклых компактов сопу(Жп).

Определение 3. Квадратичной суммой множеств А, В G сопу(Жп) назовем множество, определяемое опорной функцией

р(1\Л Ф В) = у/р(1\А - с(А))2 + р(1\В - с(В))2 + с(А) + с(В), (И)

где с(А), с(В) — чебышевские центры множеств А ш В.

Заметим, что определение 3 корректно, поскольку р(1\А Ф В) положительно однородна и выпукла как суперпозиция выпуклой неубывающей на множестве {(ж, у), х ^ 0, у ^ 0} функции д(х,у) = = у/х2 + у2 + с{А) + с(В) и выпуклых функций f1(l) = p(l\A- с(Д)), f2(l) = р(В - с(В))2 [5].

Утверждение 1. Операция (11) обладает следуют,ими свойствами:

1) операция ассоциативна на множестве выпуклых компактов в Жп, т. е. для любых А,В,С G G сопуЖ™ справедливо

АФ(ВФС) = (АФВ)ФС; (12)

2) для любых А, В, С G сопуЖ™ выполнено

(АФВ) + СЭ (А + С)ФВ; (13)

3) при сложении эллипсоидов операция порождает эллипсоид с матрицей и центром, равными сумме матриц и центров исходных эллипсоидов, т. е.

£(аъ Qi) Ф £(а2, Q2) = £(ai + о2, Qi + Q2)\ (14)

4) операция непрерывна в метрике Хаусдорфа h как функция множеств А, В G сопуЖ™. Более того, если int Л ф 0, то существуют два положительных числа во = €q(A,B), 8 = 8(А,В), такие, что для любых е ^ бо при выполнении

h{A!,A) < e,h{B',B) < е (15)

верно

h(A Ф В, А' Ф В') < 8е.

Доказательство. Справедливость всех четырех свойств доказывается непосредственной проверкой.

Поскольку далее в схеме (6) при прибавлении на каждом шаге эллипсоида в квадратичном смысле его нужно масштабировать в зависимости от шага а, нас будет интересовать поведение суммы Д^ ф £(0, бМ) при малых е > 0.

Опираясь на свойства квадратичной суммы, легко показать справедливость следующего утверждения.

Утверждение 2. Для произвольного X € сопу(Жп), такого, что тЬ X ф О, и матрицы конфигурации эллипсоида М ^ 0 при малых е > 0 справедливы следующие оценки:

Х + еВ11_{х,М)(0)^Хф£(0,еМ) + В1(0)о(е), (16)

X ф£(0, бМ) С X + еВц+(х,м)(0), (17)

где

(¿-(X, М) = € ВД)} , р+(Х,М) = тах{|^|1 е ВД)} (18)

как функции X непрерывны в метрике Хаусдорфа в любой точке Ха ф 0.

В силу конструкции ф операция не перестановочна с геометрической суммой + и тем более геометрической разностью —. Но оказывается, что при перестановке суммы множеств бесконечно малого диаметра е перестановка дает погрешность порядка б2. Более того, справедливо

Утверждение 3. Для X € сопуЖ™, тЬХ ф 0, А € сопуЖ™ и матрицы М ^ 0 выполнено

р{1\{Х + еЛ) Ф ¿(0, бМ)) - р{1\Х ф £(0, бМ) + еЛ) = -е2 ^^^ + \\Щ о{б2). (19)

¿рщХ)

Если X — еЛ ф 0, то также выполнено

р(1\(Х - еЛ) Ф £(0, бМ)) - р(1\Х ф £(0, бМ) - еЛ) =

= б (а(1, е,Хф £(0, еМ),Л) - а{1, б, Л) + X, А))^ + щ ^ {Щ

где а(1, е, = (р(1 \1~ti) — р(Ц^2) — р{1\Н\ — для любых Их,112 € сопуЖ™ .

Доказательство. Доказательство напрямую следует из разложения в ряд Тейлора по е опорных функций из (19), (20).

3. Квадратичная регуляризация альтернированного множества достижимости. Опираясь на свойства квадратичной суммы, введем аналог максиминного множества с к коррекциями, в котором мы заменим в каждой точке коррекции прибавление в геометрическом смысле шара ВЦк (0) прибавлением в квадратичном смысле эллипсоида

Тг

Mi = £(^0, У (21)

п-1

где непрерывная матричная функция М(.з) ^ 0, я € Т, в каждой точке я задает эллипсоид £(0, М(.з)). Произведя формальную замену в (4), получаем

t о to Тг-1

Тг Т Т

- I + (22)

Тг-1 Тк Ти

Таким же образом перейдем к квадратичной сумме и в итерационной схеме (6), вводя множество Х*-[т] = Д^0, Х^, М(-)) следующим образом:

Н = (ДГ«'-И ф£(0,сф)М(П)) + а(з)Р(п)) ^ «еТ!+ь *"[*<>] = Х0. (23)

Далее будем считать выполненным

Предположение 2. Предположим, что для некоторой непрерывной матричной функции М(-) ^ 0, задающей в каждый момент « € Т симметричную матрицу М(.з) ) 0 и число ая > 0, существует непрерывная векторная функция /Зв)_(£) € Жп и число ея > 0, такие, что включения

+ Д=„(0) ^ ¿о, Х°, М(-)), ¿о (24)

ßq,-(t) + Д=„(0) С X£'~(t, ¿о, Х°, Sfc, М(-)), to^t^T, (25)

справедливы для любого разбиения такого, что ^ aq.

Заметим, что для бесконечно измельчающихся разбиений из (22) в общем случае нет монотонности по включению, которая имеет место для множеств (4), (5). Рассмотрим частный случай, когда эллипсоидальные ограничения (2) таковы, что intP(i) D Q(t), t G Т. Пользуясь тем, что существует 7 > 0, такое, что P(t) ^ Q(t) + Ij2, t G Т, а также свойством (20), можно показать справедливость следующего предположения.

Предположение 3. Предположим, что для некоторой матричной функции М(-), удовлетворяющей предположению 2, и любой бесконечно измельчающейся последовательности разбиений Ё = {Sfcjfc^i, такой, что d(Sfc) —> 0 при к ^ оо, для любого номера и любого числа е > 0 существует такой номер к*, что для всех к ^ к* выполнено

Х«>~(г, i0, Х°, Sfc, М(-)) С (г, i0, Sfco, М(-)) + eßi(0). (26)

Оказывается, что в условиях предположения 3 справедлива

Теорема 1. Для любой матричной функции М(-), удовлетворяющей условиям предположения 3, множества (22), (23) имеют совпадающий хаусдорфов предел. Этот предел непрерывен по т.

Доказательство. Фиксируя М(-), г, покажем сначала, что для любой измельчающейся последовательности Ё = {Sfcjfc^i последовательность = (г, i0, М(-)) сходится по Хаус-дорфу к i = P| A'(Sfc). Для этого покажем, что limsup(«%'(S/;)) = liminf(A'(S/;)). Обозначим через fc^i fc

iVoo множество бесконечных подмножеств N из N, таких, что N\iV конечно, а через N^ множество

бесконечных подмножеств N. Теперь возьмем ж G limsup(#(Efc)). Тогда существует подпоследователь-

k

ность N G такая, что х G Ук G iV. Предположим, что х ^ liminf(A'(Sfc)). Тогда iV ^ iV^ и,

к

как следствие, х ^ A'(Efc) VA; G N*, где N* = N\N G Но исходя из предположения 3, для каждого к G N* и любого б > 0 существует s G iV, достаточно большое, такое, что ж G X(ES) ^ «^(^fc) + ^е(О). Отсюда в силу замкнутости следует, что х G для всех к £ N*, а это противоречит из-

начальному предположению. Из равенства верхних и нижних пределов получаем сходимость по Хаус-дорфу [5]. Теперь покажем, что предел не зависит от последовательности Х^. Предположим, что

существует другая последовательность Ü = {flkjk^i-, аналогичная Ё и сходящаяся к У ф X, а также число 7, такое, что h(y, X) ^ 47. Из сходимости и следует существование такого т, что

для всех к ^ m выполнено h{X,X(Y,k)) ^ 7 и h(y,X(Clk)) ^ 7. Далее заметим, что (22) непрерывна по точкам разбиения в силу непрерывности множества (4) [6, 7] и непрерывности квадратичной суммы. Поэтому существует S > 0, такое, что сдвигая точки разбиения из STO на величину, не превышающую 5, мы получим разбиение S', такое, что h(X(Em), Х(Е')) ^ 7. Теперь выберем j > m таким, чтобы d(Qj) ^ 5. Тогда, смещая элементы разбиения STO на величину, не превышающую 5, его можно перевести в разбиение S' С flj. Наконец, выбирая согласно предположению 3 номер s > j, такой, чтобы было выполнено X(QS) С A'(S') +761(0), и замечая, что справедливо X(QS) D у, если перейти к пределу в (26), можем записать следующую последовательность включений:

У С X(üs) С X(Z') +Jßi(0) С X(Bm) + 2jB1(0) С X+ 3^(0). (27)

Поскольку последовательности fi и Ё равнозначны, включение (27) справедливо и в обратную сторону. Таким образом, h(X, У) ^ З7, что входит в противоречие с изначальным предположением о том, что h(X,y) ^ 47. Непрерывность по г, а также совпадение предела множеств (22) и (23) следует из непрерывности квадратичной суммы и свойств альтернированного интеграла. Теперь, когда теорема 1 доказана, мы можем дать

Определение4. Для любой матричной функции М (•), удовлетворяющей условиям предположения 3, квадратично регуляризированным альтернированным множеством достижимости Xq(t, to, Х°, М(-)) назовем предел максиминных множеств (22) по измельчающимся последовательностям Sfc С при d(Sfc) —»• 0.

На основании теоремы 1 и схемы доказательства леммы 1.7.3 из [4] можно показать, что справедлива

Теорема 2. Квадратично регуляризированное множество достижимости является максимальным по включению решением следующего эволюционного уравнения интегральных воронок:

lim a~lh+ (X(t + а) - a£(q(t), Q(t)), (I + aA(t))(X(t) ф £(0, oM(t))) + a£(p(t), P(t))) = 0,

(7 —

X[tQ} = £(xQ,X o). (28)

Теперь воспользуемся утверждением 2 для оценивания регуляризированного множества Xq через "обычное" альтернированное множество Х(т, to, Х°, //(•)).

Теорема 3. Справедливы следующие оценки:

X(T,t0,X°, »-(■)) С X«(T,t0,X°,M(-)) С Х(т, to, Х°, »+(■)), M-W = M(t)) = min € *(0)} , (29)

Доказательство. Справедливость (29) показывается прямым вычислением через переход к пределу в (22) с использованием оценок (16), (17).

4. Внутренние эллипсоидальные оценки. Исходя из схемы (6) легко заметить, что опорную функцию к множеству Х(т, to, Х°, //(•)) можно вычислить на всем интервале Т путем выбора достаточно больших //(•). Квадратичная операция сложения позволяет обобщить данный метод регуляризации на внутренние тугие эллипсоидальные оценки [2, 4] £~[t] = £(x-(t), X_(i)), являющиеся решениями (28).

Определение 5. Пусть /(•) : Т —> Шп — гладкая векторная функция. Оценку £(x(t),X(t)) множества Xq(T,to,XQ,M(-)) назовем тугой по направлению /(•) на отрезке [¿о,т], если выполнено

p(l(s)\Xq(s,tQ,XQ,M(-))) = p(l(s)\£(x(s),X(s))), Vs G [*0,т].

Внутренние эллипсоидальные оценки £~Щ, тугие вдоль направления I G <Bi(Û) вплоть до момента t, т.е. такие, что p(l\X[s)) = p(l\£-[s)), to ^ s ^ t, имеют особенность вырождаться в момент t из-за появления в матрице X_(i) нулевых собственных чисел. Свойство (14) позволяет ввести эллипсоидальный аналог техники прибавления регуляризирующего шара радиуса pi для обеспечения продолжаемости. Эта техника заключается в прибавлении регуляризирующего эллипсоида £(0,Mi) в смысле операции ф к эллипсоидальной оценке, построенной на шаге г — 1. Для реализации подобной схемы воспользуемся методом построения оценок с помощью (10), изложенным в [2]. Прямое повторение этого метода для (28) с использованием оценки X(t + а) — a£(q(t),Q(t)) сверху и (I + aA(t))(X(t) ф £(0, oM(t))) + a£(p(t), P(t)) снизу дает

Утверждение 4. Эллипсоидальная оценка £~[t] = £(x-(t),X-(t)) с параметрами, определяемыми из перечисленных ниже соотношений, является внутренней тугой оценкой множества Xq(t, to, Х°, М(-)) на отрезке [to, т] вдоль направления/(•), определяемого как

l(t) = X'(to,t)lQ, (30)

если матричная функция М(-) такова, что решение матричного уравнения

X-(t) = G(A(t)X_(t) + X*(t)S(t)pi(t)) - ir(t)X_(t) - тг-Ht)Q(t) + M(t) (31)

продолжаемо на отрезке [to, т]. Здесь оператор G (А) = А' + А и Х*_ (t)X^(t) = X_(i), а матрица S(t) выбрана в виде S(t) = Sa(t)S'b(t), где ортогональные матрицы Sa(t), Sb(t) таковы, что соотношения

Sa(t)pi(t)l(t) = Xa(t)h, Xa(t) = (P(t)l(t),l(t))i, (32)

Sb(t)X*_(t)l(t) = X b(t)h, Xb = (X_(t)l(t),l(t))i (33) выполнены для некоторого l\ G -B(Û), a функция ж (t) определена как

1r(t) = (l(t),Q(t)l(t))i/(l(t),X.(t)l(t))i. (34)

При решении уравнения (31) численными методами возникает вопрос, каким образом выбирать матрицу M(t), чтобы обеспечить продолжаемость дифференциального уравнения (31). Укажем один из способов. Для этого рассмотрим следующую итерационную схему на фиксированном разбиении соответствующую методу Эйлера решения ОДУ (на практике следует использовать методы Рунге-Кутты, но указанная схема выбора M(t) применима и для него с некоторыми оговорками):

Д(т<) = G(A(Ti)X-(Ti) + X*(Ti)S(t)P^(Ti)) - 7г(п)Х_(п) - TrVOQfo),

Z_(Ti+1) = Х_(п) + ai+1A(Ti),

М_(п) = Re(Z_(Ti+0),

X(ri+1) = Z_(Ti+1) + М_(т<), (35)

где регуляризирующий оператор Re : Жпхп —> Жпхп, е > 0, определен как

Re(A) = U(IXe)U', Ae = (max(e-Ai,0),...,max(e-An,0 ))' (36)

на основе представления матрицы А = UIXU', где столбцы U суть собственные векторы, соответствующие собственным значениям Ai,..., Àn, составляющим элементы вектора А = (Ai,..., Ап) . Заметим, что схема (35) обеспечивает продолжаемость решения (31) на всем интервале [¿о,т] при любом е > О, поскольку оператор Re(A) обеспечивает невырожденность эллипсоидальной оценки на каждом шаге итерации. Таким образом, справедливо

Утверждение 5. При выборе M(t) по схеме (35) для е > 0 предположение 2 выполняется автоматически для eq = е, а оценка £(x-(t),X-(t)) является тугой оценкой Xq(t, to, XQ, М(-)) по направлению l(t), определяемому из (30).

5. Внешние эллипсоидальные оценки. Для внешних эллипсоидальных оценок также воспользуемся схемой, изложенной в [2]. Прямое повторение этой схемы для эволюционного уравнения (28) через эллипсоидальную оценку X(t + а) — a£(q(t), Q(t)) снизу и (I + aA(t))(X(t) Ф £(0, aM(t))) + + a£(p(t), P(t)) сверху дает

Утверждение 6. Эллипсоидальная оценка £+[t] = £(x+(t), X+(t)) с параметрами, определяемыми из перечисленных ниже соотношений, является внешней тугой оценкой множества Xq(t, to, Х°, М(-)) на отрезке [to, г] вдоль направления /(•), определяемого из (30), если матричная функция М(-) такова, что решение матричного уравнения

X+(t) = G(A(t)X+(t) - X*S(t)Qi(t)) + ir(t)X+(t) + тг-Ht)P(t) + M(t) (37)

продолжаемо на отрезке [to,т]. Здесь Х+ (t)X+(t) = X+(t), а матрица S(t) выбрана в виде S(t) = = Sa(t)S'b(t), причем вектор 1\ и матрицы Sa(t), Sb(t) таковы, что для направления l(t), определяемого (30), выполнены соотношения

sam4mt) = кт, ш = тт,т)К m

Sb(t)X*+(t)l(t) = Xb(t)h, X b = (X+(t)l(t),l(t))i, (39)

a функция ж(t) определяется равенством

7г(о = т,ржт*/т,х+тт*- m

Заметим, что регуляризирующую функцию M(t) при численном решении (37) следует полагать равной M_(i), где М_(-) определяется адаптивно из схемы (35). Таким образом, при построении внешних оценок следует параллельно строить внутренние оценки, выбирая регуляризатор М(-) общим для внутренних и внешних оценок таким способом, чтобы внутренние оценки не вырождались.

6. Применение регуляризации для множества достижимости колебательной системы. Рассмотрим колебательную систему с четырьмя степенями свободы во внешнем силовом поле при наличии трения и неизвестной, но ограниченной помехи, где первые четыре компоненты вектора х

имеют смысл обобщенных координат, а последние четыре есть обобщенные скорости колебательной системы. Эта колебательная система задается следующими параметрами:

Мт) =

( 0 0 0 0 1 0 0 0 \

0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 1

-2.833 0.166 0 0.333 -1 0 0 0

0.166 -2.033 0 -0.066 0 -1.5 0 -0.5

0 0 -1 0 0 0 -2 0

к 0.333 -0.066 0 -2.133 0 -0.5 0 -1.5,1

В(т) =

Р(т) = 4/, р(т) =

Я(т) =

соз(2*)\ О

О /

/0 0 0 0\

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

\о 0 0 V

0 0) / 5

/0.1 0 0 0 ^

0 0.05 0 0

0 0 0.02 0

0 0 0.01 ^

С(т) = В(т), д(т) = (0 0 0 0 0 0

*о = 0, £ = 8, Х0 = 1, х0 = (0 0 0 0 0 0 0 О)7. (41)

Вектор силового поля, действующего на систему, принадлежит шару с центром, вращающимся вокруг нуля, а помеха ограничена эллипсоидом с центром в нуле. Зафиксировав е = 0.1 из (35), рассмотрим случай, когда хорошее направление выбрано исходя из условия /(6) = (0 0 0 0 1 0 0 О)7. Для решения (35) в силу высокой размерности предпочтительно использование метода Рунге-Кутты 4-го порядка, но применение его стандартной версии затруднено тем, что область определения правой части ОДУ ограничивается множеством положительно определенных матриц. Поэтому стандартная реализация метода [8] была доработана, чтобы гарантировать нахождение каждого из последовательных итеративных приближений внутри области определения правой части. Адаптированная реализация была применена к задаче (41), причем внутренние и внешние оценки вычислялись одновременно за один проход алгоритма. На рис. 1 показана динамика следа внешних и внутренних аппроксимирующих эллипсоидов (штрихпунктирная линия), а также следа регуляризирующего эллипсоида А4(-) (сплошная линия).

1 2 3 4 5 6

1. Динамика следа эллипсоидальных трубок

Рис. 2. Проекция на динамическое подпространство

(ж3,Ж5)

Для визуализации трубок достижимости было использовано проецирование на динамические подпространства [9], меняющиеся во времени в силу переходной матрицы Х(£,£о). На рис. 2 показан результат визуализации проекций на динамическое подпространство, совпадающее с подпространством, натянутым на векторы ез, в момент £ = 6 внешней и внутренней трубок достижимости, регуляризирующей трубки (темным цветом внутри), а также линий касания внешних и внутренних оценок. Заметим, что эти линии лежат на границе проекций, что объясняется конструкцией динами-

ческого подпространства, в то время как для проекций на статическое подпространство они могут лежать внутри проекций эллипсоидальных оценок.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kurzhanski А.В., Varaiya P. On reachability under uncertainty // SIAM J. Control Optim. 2002. 41. N 1. P. 181-216.

2. Kurzhanski А.В., Varaiya P. Reachability analysis for uncertain systems // Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems. Ser. B. 2002. 9. N 3. P. 347-367.

3. Boyd S.P., Vandenberghe L. Convex Optimization. Cambridgeshire: Cambridge University Press, 2009.

4. Kurzhanski А. В., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1996.

5. Rockafellar R. Т., Wets J. B. Variational Analysis. Berlin: Springer, 2009.

6. Куржанский А. Б., Мельников H. Б. О задаче синтеза управлений: альтернированный интеграл Понтрягина и уравнение Гамильтона-Якоби // Матем. сборник. 2000. 191. № 6. С. 69-100.

7. Понтрягин J1. С. Линейные дифференциальные игры преследования // Матем. сборник. 1980. 112(154). № 3(7). С. 307-330.

8. Dormand J.R., Prince P. J. A family of embedded Runge-Kutta formulae //J. Сотр. Appl. Math. 1980. N 6. P. 19-26.

9. Гагаринов П. В. Вычисление проекций трубок достижимости линейных управляемых систем на основе методов эллипсоидального исчисления // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычисл. матем. и киберн. 2007. № 1. С. 14-24.

Поступила в редакцию 15.03.2012

EVALUATION OF ALTERNATED REACHABILITY TUBES FOR LINEAR CONTROL SYSTEMS UNDER UNCERTAINTY

Gagarinov P. V.

The problem of constructing the reachability domain for linear controlled system in a presence of geometrically bounded unknown disturbance is considered. A high actuality of the problem for engineering applications requires an efficient calculation technique for the reachability sets in a class of closed-loop control.The technique suggested in the article is based the ellipsoidal approximations developed by A. B. Kurzhansky for the alternated reachability domains. In the article these estimates are complemented with an adaptive regularization to guarantee the continuability of the ellipsoidal estimates. The quadratic structure of the regularization combines well with an ellipsoidal nature of the estimates thus making it possible to adjust the existing ellipsoidal estimation schema in a transparent fashion for achieving the continuable and non-singular estimates via adaptive choice of regularization parameters.

Keywords: ellipsoidal approximation, alternated integral, alternated reachability domain, reachability under uncertainity, reachability under disturbances.