CC BY
13
удк 519.688
В.Д. Ширяев1
О ВНУТРЕННИХ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНЫХ АППРОКСИМАЦИЯХ МНОЖЕСТВ ДОСТИЖИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ПРИ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
В статье рассматривается задача построения внутренних эллипсоидальных оценок геометрической разности двух эллипсоидов и применение полученных результатов для оценивания множеств достижимости линейных систем с помехой. Приведено дополнение уже существующего метода построения оценок разности двух эллипсоидов, снимаются налагавшиеся ранее ограничения. В процессе обоснования этого дополнения выявляются некоторые связи между определенными свойствами строящихся эллипсоидальных оценок и выпуклыми свойствами множеств, являющихся данными для рассматриваемой задачи. Приводится способ построения оценок множеств достижимости линейных систем с помехой, аналогичный уже существующему способу построения оценок для систем без помех. Учет помех осуществляется с помощью полученных в работе результатов.
Ключевые слова: эллипсоидальное оценивание, геометрическая разность, достижимость при неопределенности, достижимость при помехах, выпуклый анализ.
1. Введение. Все рассматриваемые в статье объекты принадлежат Шп. Используются понятия опорной функции и опорной точки множества, геометрической суммы и геометрической разности множеств (суммы и разности множеств по Минковскому).
Определение 1. Пусть q € Жп, Q € Жпхп и Q неотрицательно определена. Эллипсоидом £(q,Q) с центром q и матрицей Q называется выпуклое замкнутое множество точек Жп, опорная функция p(l\£(q, Q)) которого равна (l,q) + (l^Ql)1/2.
Часто будет важна только матрица эллипсоида, а центр упоминаться не будет, тогда следует считать, что центром является начало координат. В данной работе рассматриваются внутренние эллипсоидальные оценки разности двух эллипсоидов по Минковскому. Строгое определение для них, а также для всех вышеупомянутых понятий можно найти в [1].
1.1. Улучшаемый в статье результат. Пусть Q2 — положительно определенная, Qi — неотрицательно определенная матрицы. Для оценивания разности эллипсоидов £(q2,Q2) — £(qi,Qi)
1 Факультет ВМК МГУ, асп., e-mail: Vladimir.D.ShiryaevQgmail.com
* Работа выполнена в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (контракт № 16.740.11.0426 от 26 ноября 2010 г.).
в книге [1] вводятся обозначения
Q(p) = (l-p)Q2 + (l-l/p)Qi (1)
и Атах — наибольший корень уравнения detQ(p) = 0 из интервала (0;1). Приводятся следующие утверждения.
Лемма 1. Пусть £(Qi) С m\,£{Q2), тогда справедливы следующие утверждения:
а) эллипсоид £(Q(p)) невырожденный тогда и только тогда, когда р € (Amax, 1);
б) для таких р эллипсоид £(Q(p)) — внутренняя оценка разности £(Q2) — £(Qi), т- е. £(Q(p)) С C£(Q2)^£(Q i).
Теорема 1. Пусть заданы £(q2,Q2), £{qi-,Qi) и вектор I и верно £(Qi) С £(Q2). Если
1 1
P = {l,Qil)*{l,Q2l)~* > А max; (2)
то
£(q2 - quQip)) С £(q2,Q2) ~ £(qi,Qi), р {l\S(q2 - qi,Q(p))) = P 0| £(92,^2) ~ £(qi,Qi)) ■
Кроме того, если для £(q2 — q\,C) выполнены условия вложенности и касания £(q2 — q\,C) С С £(q2,Q2) - £(q1,Q1) и р (l | £(q2 - qi, Q{p))) = р (l | £(q2, Q2) - £(qi, Qi)), mo £(q2 - quC) С С £(q2 - quQ{p)).
Теорема позволяет построить эллипсоид, являющийся внутренней оценкой, максимальный по включению и касающийся разности по Минковскому двух эллипсоидов для всякого направления I, такого, что выполнено условие (2).
В статье эта теорема дополняется таким утверждением.
Теорема 2. Даны £(q2, Q2), £(qi, Qi) и вектор I; £(Qi) С £(Q2). Если
p = max (^(l,Qil)2(l,Q2l)~2, Amax^ ,
mo
£(q2 - quQip)) С £{q2,Q2) - £{quQi), p (l\£(q2 - qi,Q(p))) = P {l\£{q2,Q2) ~ £(qi,Qi)) ■
Дополнение состоит в том, что строится эллипсоид, касающийся разности двух эллипсоидов по Минковскому для любого направления I.
2. Основная часть. Центр всякой внутренней оценки разности £(q2, Q2) — £{q\,Qi) — это точка q2 — qi- Далее все рассматриваемые эллипсоиды по умолчанию имеют центры в начале координат, а к случаю эллипсоидов с центрами не в начале координат всегда можно перейти сдвигами. Всегда считается выполненным условие £(Qi) С £(Q2), в противном случае задача оценивания разности тривиальна в силу того, что оцениваемое множество пусто. Матрица Q2 считается невырожденной (от вырожденности можно уйти переходом в соответствующее подпространство).
2.1. Связь между выпуклостью разности опорных функций и эллипсоидальной формулой. I. Известно следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть В и Л — выпуклые компактные множества, а С = В — Л. Справедливо утверждение: С + Л = В тогда и только тогда, когда функция f(l) = р (l | В) — р{11Д) выпукла. Доказательство. Необходимость прямо следует из определения и свойств опорных функций. Достаточность. Функция f(l) = p(l\B)—p(l\A) в силу своих свойств является опорной для некоторого V. В силу определения / V/ G Шп выполнено р (l | V) + р (l | Л) = р (l | В), т. е. V — множество, такое, что Л + V = В, следовательно, V С С. Однако V/ G Шп р (l | С) = conv (р (• | В) — р (• | Л)) (I) ^ ^p{l\B)-p(l\A)=p(l\V), значит, С С V и тогда VI еГ р (l | В) = р (l | С) +р (l | Л) = р (l | С + Л). Эта цепочка равенств означает, что С + Л = В.
Лемма 3. Пусть Q2 — Q\ ^ 0 и задан вектор Г. Если матрица Q(p), полученная по формулам (1) и (2), неотрицательно определена, т. е.
q(p) = (i-p)q2 + (i-i/p)qi, P={i\Qii*)hi\Q2i*r* >о (3)
то VI б Ж" р(1 \£(Я(р))) \£{Я2)^£{Я1)),
р (г I ед2) - едо) = сопу (р (• I£Ш) - р (• I £Ш)) (Г) = р (г I£Ш) -р(1* Iедо).
Доказательство. С помощью прямой подстановки Я(р) из (1) несложно убедиться, что при всех р > 0, таких, что Я(р) ^ 0, выполнено
Р{1\£((2(Р)))<р{1\£Ш)-Р{1\£Ш)- (4)
Отсюда следует, что £(Я(р)) + £{€¿1) С £(<32)- Значит, £(Я(р)) — внутренняя оценка разности £(<2г) - £((¿1), т. е. £(Я(р)) С £(Я2) - £((¿1), следовательно,
VI б жи Р{1\£(ЯШ
Теперь заметим, что по условию р > 0, значит, (Р,^/*) > 0, тогда при I = Г (4) выполнено как равенство, откуда р (Р | £(Я(р))) = р (Р | £(«&)) - Р Ц* | £{Я\)) • Поскольку р (11 £(Я2)) - р (I | £(Я1)) ^ ^ сопу (р(-| £(«&)) -р(-|ОД1))) (I) = р(1\£(Я2)^£(Я1)) ^ р (1\£(Я(р))), то в точке Р имеем р{1*\£(Я(р))) = р{1*\£(Я2))^р{1*\£(Я1)) ^ сош{р{-\£(Я2))^р{-\£(Я1)))(1*) ^ р (Р |ОД(р))). В последней цепочке равны первый и последний элементы, так что окончательно получаем
р (Р | £{Я2)) -р(1* | £(£?!)) = сопу (р (• | £Ш) -р(-1ОДО)) (Р).
Следствие 1. Пусть Я 2 — Яг ^ 0 и задан вектор Р. Если матрица Я(р), полученная по формулам (1) и (2), для Р неотрицательно определена, то £(Я(р)) — внутренняя оценка разности С = £((¿2) — £{Я\)- Кроме того, £(Я(р)) касается С изнутри в направлении Р. Следствие 2. Пусть Я2 — Яг ^ 0 и задан вектор Р. Если
Р (Г | £т - £Ш) = сопу (р (• Iед2)) - р (• I едо)) (Г)<р (I* |£Ш) -р{1*\£Ш),
то матрица Я{р)-, полученная по формулам (3), не может удовлетворять условию неотрицательной определенности: либо в формулах (3) получим р = 0, либо найдется вектор х € Жп, такой, что (х,Я(р)х) < 0.
Следствие 3. Пусть Я2 ^ Я1 ^ 0. Если для всякого не равного началу координат вектора I матрица Я{р)-, полученная по формулам (1) и (2), неотрицательно определена, то функция /(I) = р (1\£(Я2)) - р (1\£(Я1)) выпуклая.
2.2. Переход к задаче и задача оценивания разности шара и эллипсоида с диагональной матрицей. Для того чтобы уметь строить внутренние оценки разности эллипсоидов с произвольными матрицами, достаточно уметь строить внутренние оценки разности шара и эллипсоида с диагональной матрицей: свойства оценок быть внутренними и касаться разности изнутри сохраняются при аффинных преобразованиях исходных множеств, кроме того, аффинное преобразование эллипсоида тоже всегда эллипсоид.
Будет использоваться обозначение = £(Яг), £\ С £2. Задача оценивания £2^£\ сводится к задаче оценивания разности шара и эллипсоида следующим образом.
Пусть е = (б1,..., еп) — исходный ортонормированный базис пространства, далее базисы будут считаться вектор-строками базисных векторов.
1. Совершается переход в ортонормированный базис / = (/1,... ,/п), в котором матрица £2 диагональная, / получается из набора собственных векторов С}2.
2. Все полуоси £2 выравниваются с помощью аффинного преобразования, матрица которого такова: А = (1, /<5г, ? • • • /$п)-, где — ¿-я полуось образа £2 после первого шага, £2 станет после этого шаром радиуса
3. Совершается переход в ортонормированный базис д, где матрица образа £\ после предыдущих шагов диагональна. Любой шар при этом переходит в шар.
Пусть для шара и эллипсоида с диагональной матрицей построена оценка £(Я*)- Матрица оценки в исходном базисе Я~ получается следующим образом:
4~ = {В*)ТА~1{В7})Т4*9В7ИА~1)ТВ£> ГДе / = еВе/, 5 =
Матрицы перехода от базиса к базису Bef и Bfg ортогональны, а матрица А симметричная, так что последнее выражение очевидным образом упрощается.
2.3. Исследование разности шара и эллипсоида: выпуклый случай. Теперь рассматривается разность по Минковскому шара радиуса г и эллипсоида с диагональной матрицей D = = diag (A?, Аз,..., А2), 0 < А = Ai < А2 < ... < Ап = Л < г.
Рассматривается разность соответствующих опорных функций для эллипсоида и шара:
, п \ 1/2 / п \ 1/2
№ = p(l | £(Ir2)) -p(l | £(£>)) = г{1,01/2 - {I, DI)1!2 = Г (£ J? ) - ) •
4=1 ' 4=1 '
Выясним, какие условия на г и D получаются из условия выпуклости f(l). Лемма 4. Если f(l) — выпуклая функция, то
г^А2 А"1. (5)
Доказательство. Выпуклость f(l) вместе с ее дифференцируемостью вне нуля влекут неотрицательную определенность матрицы вторых производных hess(/(/)). Прямое ее вычисление и запись с ней квадратичной формы дают
г (J|a;||2 ||1|Г2 - (ж, I)2 \\ц\~3) - \\x\\2d/\\4d + (di, х)2 / \\l\\3d ^ О Va; G Жп. (6)
Подстановка l = (1,0,..., 0) и х = (0,0,..., 0,1) дает г ^ A^/Ai = Л2/А.
Формулы (1) и (2) для разности шара и эллипсоида принимают следующий вид:
Q(p) = (1 - P)r2I + (1 - l/p) D, (7)
p = {l,Dl)y(r\\l\\). (8)
Далее зависимость p от l иногда будет подчеркиваться обозначением р{1). Ясно, что
(К А/г<р(/)<Л/г, \/1еШп\{в}. (9)
Формула (7) при вычитании £(D) из шара всегда дает диагональную матрицу Q(p). Пусть Qi(p) — элемент, стоящий в г-ш позиции на диагонали Q(p). Несложно убедиться, что Qi+i(p) — Qi(p) Vi и что среди нулей Q%{p) самым большим является нуль Qn{p), равный Л2/г2. Для всех меньших р матрица Q(p) не задает эллипсоида. Отсюда имеем
Утверждение 1. Рассмотрим функцию G(l) = {l, Dl)r~2{l, I)-1 — Л4/г4. Формулы (7) и (8) для оценки разности шара радиуса г и эллипсоида с матрицей D дадут:
1) неотрицательно определенную матрицу для тех и только тех I, что G(l) ^ 0;
2) неотрицательно определенную вырожденную матрицу при G(l) = 0;
3) ненеотрицательно определенную матрицу при G(l) < 0.
Определение2. Направление 1 G Шп называется хорошим тогда и только тогда, когда G(l) ^ 0. В противном случае направление I называется плохим.
Лемма 5. Если выполнено условие (5), то формулы (7) и (8) для всех 1 G Ша \ {0} дают неотрицательно определенную матрицу Q(p).
Доказательство. Подстановка (5) в (9) приводит к соотношениям Л2/г2 ^ А/г ^ р(1). Далее из утверждения 1 имеем утверждение леммы.
Теорема 3. Рассматриваются £ (г21) и £(D), £(D) С £(r2I). Следующие утверждения эквивалентны:
1) p(l\£(Ir2)) -p(l\S(D)) =conv(p(-\£(Ir2)) -р(-|£(£>))) (I), VI G Жп;
2) г ^ Л2/А;
3) Q(p), полученная по формулам (7) и (8), неотрицательна УI ф 0;
4) £(D) имеет минимальную кривизну, большую кривизны £(г21);
5) существует выпуклый компакт С, такой, что £(D) + С = £(г21).
Доказательство. По лемме 4 получаем, что 1 влечет 2. По лемме 5 получаем, что 3 следует из 2. Из следствия 3 имеем, что из 3 вытекает 1. Тем самым доказана эквивалентность утверждений 1, 2 и 3. Далее, г — это не что иное, как радиус кривизны шара £(г21), а Л2/А — максимальный радиус кривизны £(D). Отсюда сразу имеем равносильность 4 и 2. Наконец, эквивалентность 5 и 1 следует из леммы 2.
Приведенная теорема без принципиальных затруднений переносится на случай произвольных эллипсоидов, более того, в той ее части, которая не относится к эллипсоидальным формулам, она верна для вообще любых выпуклых тел в Жп (см. [2]). Кроме того, некоторые из упомянутых конструкций фигурируют в [3] в ином контексте.
2.4. Исследование разности шара и эллипсоида: общий случай.
Лемма 6. Рассмотрим разность £(r2I) — £(D). Если направление Ь плохое, то существуют два хороших направления l¡(b) и lr(b), такие, что b лежит на отрезке с концами в l¡(b) и lr(b). Кроме того, l¡(b) и lr(b) не зависят от компоненты Ь, соответствующей одному из ортов, который направлен вдоль максимальной полуоси £(D), и зависят от остальных.
Доказательство. Пусть имеется плохое направление b = (b\, b2, bs,..., bn) , G(b) < 0. В D полуоси отсортированы, b\ — координата, соответствующая орту, направленному вдоль минимальной полуоси вычитаемого, а Ьп — координата, соответствующая орту, направленному вдоль максимальной полуоси вычитаемого. Пусть
Т Т
h(b) = (b1,b2,...,bn-1,bn-а) , а > О, lr(b) = (Ьь Ъ2,..., Ьп_ь Ъп + /3) , /3 > 0.
Для li и 1Г как для хороших направлений выполнены неравенства G(lr) ) 0 и G(l¡) ^ 0. Рассмотрим равенства G(lr) = 0 и G(l¡) = 0. Распишем второе неравенство через компоненты l¡ (для G(lr) = 0 получаются аналогичные выражения):
£А?Ь?-2 А2Ьпа + А2а2 д4
г=1 Л
"2 ' Е /// ^ 2abi + а2 1 ^
V¿=1
Это равенство равносильными преобразованиями приводится к следующему:
2 о, r4(b,b) /Л4 {b,Db)
« " " Л2(г2 — Л2) ~ = (10)
Из этого уравнения, аналогичного для /3, имеем
а = br,
Jn
r4{b, b) /Л4 {b,Db)
Р = -Ъп + хЪ1
Л2(г2 — Л2) \ г4 r2{b,b) r4{b, b) /Л4 {b,Db)
Л2(г2 — Л2) \ г4 r2(b,b)
Преобразования приводят к следующим соотношениям:
Т Т
k{b) = {bi,b2,...,bn-i,-s{bi,...,bn-i)) , lr{b) = {bi,b2,...,bn-i,s{bi,...,bn-i)) ,
где
п—1 п—1
1
/ п — 1 п — 1 \ 2
8(ЬЪ Ъ2,..., Ьп=-±-г Л4 Ъ2 А> о.
(Л2(г2 — Л2)) 2 ^ i=l i= 1 /
Рассмотрим разность опорных функций множества-вычитаемого и множества-уменьшаемого /(0 = р(} \£(1г2)) ~ Р По лемме 3 функция /(I) совпадает со своей выпуклой оболоч-
кой (и, стало быть, с р(||С)) в точках ¡¡(Ь) и 1Г(Ь), а точка Ь лежит на отрезке между ними: Ь = 7/¿(Ь) + (1 — 7)1Г(Ь), 7 € [0; 1]. Тогда в силу выпуклости имеем
р{Ъ\С)= сопу (/(•)) (Ъ) < «сопу (/(•)) ЫЪ)) + ( 1-а) сопу (/(•)) (Ш) = ар (и(Ъ) |С) + (1-а)р (1Г(Ъ)\С) .
(И)
Лемма 3 дает явное выражение для р (I |С), если I — хорошее направление. С помощью (11) и эллипсоидальных оценок получается явное выражение для р (Ь | С), где Ь — плохое направление.
Лемма 7. Рассмотрим разность С = £(г21) — ¿-(-С). Пусть Ь — плохое направление, а Ь) и 1Г(Ь) хорошие, построенные по лемме 6. Тогда справедливы следующие утверждения:
• оценки С в направлениях ¡¡(Ь), 1Г(Ь) и Ь совпадают и вырождены;
• р(11(Ь)\С) = р(1г(Ь)\С) = р(Ь\С);
• для всех плохих направлений оценка С одна и та же и получается из (7) при р, равном Атах —
наибольшему корню уравнения Я(р) = 0 из интервала (0; 1);
• для любого хорошего направления I формулы (7) и (8) дают неотрицательно определенную матрицу Я(р)-
Доказательство. Для ^(Ь) и 1Г(Ь) эллипсоидальные оценки получаются из (7) и (8). С помощью прямого вычисления несложно убедиться, что для всякого плохого направления Ь выполнено равенство р(1;(Ь)) = р(1г(Ь)). Отсюда следует, что совпадают Я(р{и{Ь))) и Я{р(1г(Ь))). Введем обозначение Яс = Я(рш)) = Я(р(ш))-
Вычислением Яс легко убедиться, что последний элемент Яс равен нулю. Далее, Ь, 1,1 и 1Г отли-
1 1
чаются лишь последней компонентой, откуда {Ь,(дсЬ)1'2 = (¡¡(Ь), Яс'к{Щ) 2 = (1Г{Ь), ЯС1Г(Ь)) 2 , что дает р (Ъ\£{ЯС)) = р (¿г(Ь) |£(<2С)) = р (1Г(Ь)\£(ЯС))- Совпадают и опорные точки £(ЯС) в этих направлениях (по формулам для опорной точки).
Раз /г и 1Г хорошие, то р |С) = р |£(Яс)), р(1г\С) = р (1Г |£(Яс))• Тогда опорные точки £(ЯС) в направлениях ^ и 1Г являются опорными точками С в направлениях ^ и 1Г, откуда р | С) = р (1Г | С) ■ Это соотношение вместе с (11) приводит к цепочке р(р\С) ^ р(/г|С) = р(1г\С) = (Ь,ЯСЬ)1^2. Но £(ЯС)— внутренняя оценка, значит, р (Ь | С) ^ р(Ъ\£(Яс)) = (Ь, С]СЬ)1/2, откуда р (Ь | С) = (Ь,ЯСЬ)1^2 = = р(Ь | £(<2С)). Значит, £(Яс) — эллипсоид, касающийся изнутри множества С в направлении Ь, а опорные точки £(ЯС) в направлении Ь являются опорными точками С в направлении Ъ.
Покажем, что для всех плохих направлений матрица внутренней оценки одинакова. Это следует из того, что она вырождена и соответствует некоторому хорошему направлению, т. е. получена по формулам (7) и (8 );Я(р) =diag(Ql(p),Q2(p),•••,Qn(p)),Ql(p) ^ <ЗгЫ ^ ••• ^ Яп(р);Я(р) вырождена и неотрицательно определена тогда и только тогда, когда Яп(р) = г2 + А2 — рг2 - ¡> 1А2 = 0. Но р € (0; 1), тогда Яп(р) = 0 только прир = А2/г2 < 1. Это и есть то значение р, которое дает матрицу эллипсоида для любого плохого направления (то же самое немедленно получается при рассмотрении формулы (8) для и 1Г(Ь), которые всегда удовлетворяют условию (10)). При А2/г2 < р < 1 будет Яп(р) > 0 и как следствие Я(р) > 0. Отсюда заключаем, что р = А2/г2 — это ближайший к единице слева корень уравнения det Я(р) = 0, т. е. Атах = А2/г2. С помощью преобразования выражения для Я(р) можно обнаружить еще одно свойство Атах, а именно: так как Я(р) = (1 ^р)Я2 + (1 ^р~1)Я 1 = (1 ^р)р~1{рЯ2 — Яг), то условия с^ Я(р) = 0 и det(pQ2 — Я\) = 0 равносильны, поэтому р = Атах — ближайший к единице слева корень еще и уравнения det(pQ2 — Я\) = 0.
Наконец, если I — хорошее направление, то выполнено неравенство С{1) ^ 0. Легко проверить, что тогда значение р, вычисленное по формуле (8), получится из полуотрезка [Атах;1), а матрица Я(р) будет положительно определенной.
Если направление хорошее, то работают формулы (8) и (7). В противном случае следует брать параметр р равным Атах. Верна
Теорема 4. Даны шар £(г21), эллипсоид ¿-(-С) и вектор I; выполнено условие ¿-(-С) С £(г21). Если р = тах ((/, 1)|)1'/2{1, г2II) ; Атах ^то
£(Я(р)) С £(г21) - £(£>), р (I | £((}{$))) =р{11 £(г21) - £(£>)) .
Чисто техническими действиями с применением формул перехода от задачи с произвольными эллипсоидами к задаче с шаром и эллипсоидом с диагональной матрицей теорема переносится на случай двух произвольных эллипсоидов. Таким образом, доказана теорема 2. Также естественным образом расширяется определение плохого направления.
Определение 3. Пусть Н(1) = (I, Я\1)112{1, Я2^)~— Атах. Направление I € Жп хорошее, если Н(1) ^ 0. В противном случае направление I называется плохим.
Опорная функция разности двух эллипсоидов вне контекста внутренних оценок вычислена в [4], и полученное там выражение совпадает с полученным здесь.
2.5. Связь между выпуклостью разности опорных функций и эллипсоидальной формулой. II.
Теорема 5. Пусть Я2 > 0, Яг ^ 0 и Я2 — Яг ^ 0. Рассмотрим £((¿2) — £{Я\)\ сопу (р (• I £(Я2)) - р (• I £Ш)) (I) = р{1\ £Ш) -р{11 ОДО)
тогда и только тогда, когда I — хорошее направление.
Доказательство. Рассмотрим направление I и эллипсоидальную оценку £(Я(р)), построенную по теореме 2. Рассмотрим ее опорную функцию
р (I | £(ЯШ = & ЯШ1'2 = «*, ад - р{1, Я21) - (I, Яг1)/р + (I, Яг1))1/2 ■
Последнее выражение уже фигурировало в доказательстве леммы 3. Верно равенство
мт = ({1,Я21)1/2-{1,Я11)1/2)2,
которое равносильно равенству
р= {Ш1)1/2М21)-1/2.
По теореме 2 выполнено равенство р = тах ((/, Атах), откуда ясно, что условие
р = (!•■> я^)1!2я21)~1^2 выполнено тогда и только тогда, когда верно неравенство
М1*>1/2М20~1/2 ^ Атах.
Последнее выполнено для хороших направлений и только для них. В силу того что р (I | £(Я(р))) = сопу (р (• | £(Я2)) - Р (• I £Ш)) (I), VI б Жи,
теорема доказана.
Из теоремы следует, что плохие направления — это те и только те направления, вдоль которых нет совпадения разности опорных функций с выпуклой оболочкой разности опорных функций.
3. Оценивание множеств достижимости для систем с помехой. Рассматривается линейная система с управлением и заранее неизвестной, но ограниченной помехой:
'x(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) + C(t)v(t), x(t) G Ж",
u(i)G Ж™, u(t)e£(p(t),P(t)), f19)
v(t)€ Rk, v(t)€£(q(t),Q(t)), (1Z)
x{t0) G £(x0,X0).
Матрицы-коэффициенты A(t), B(t), C(t), матрицы P(t), Q(i) и коэффициенты p(t) и q(t) считаются непрерывными no t. Будем считать выполненным условие
W £(p(t), P(t)) - (~£(g(t), ЯШ Ф 0- (13)
В задачах с помехой известны разные понятия множества достижимости. Одно из них прямо приводит к задаче оценивания разности множеств по Минковскому.
3.1. Понятие множества достижимости с прямой компенсацией и построение его эллипсоидальных оценок. Сейчас будет построено множество достижимости, такое, что в каждую его точку позицию системы можно привести гарантированно, какой бы ни была помеха. Предполагается, что в каждый момент времени можно точно измерить помеху, хотя окончательные формулы для множества достижимости не будут содержать значений помех, и управление можно будет получить в виде синтеза с помощью метода, описанного в книге [1].
Вместо системы (12) рассматривается система
= «(*) + «(*),
и(г) е £(Р1(г)), ф)
Это не умаляет общности и делается с помощью матрицы Коши системы уравнений х(1) = А(1)х(1).
Пусть часть управления прямо компенсирует помеху, т.е. и(1) = /(¿) + с(г>, ¿): с(г>,£) + = О Ш; с(г>,£) попросту ликвидирует из модели помеху. Получается, что = + г>(£) = /(¿). Это уже задача без помехи, но с новым ограничением на управление. Будем называть с компенсирующей частью управления, а / активной.
Для системы без помехи = /(¿), /(¿) € Множество достижимости У(Ь) определяется
как все точки, в которые к моменту I можно привести систему при выполнении всех ее ограничений, и дается выражением
y(t) = yQ+ J Т(т)Ат.
T = t0
Остается выяснить, какими могут быть /. Так как c(v,t) = —v(t) при всяком возможном v, то по причине V G Q(t) получаем c(v,t) G —Q(t). Для всех точек из —Q(t) надо предусмотреть компенсирующую часть управления с, откуда получаем условие f(t) G V(t) — c(v,t), Vc(v,t) G —Q(t). Из него следует, что f(t) G V(t) — (—Q(i)), т.е. V(t) — (—Q(t)) = T(t). Следовательно,
t
y(t) = £(Yq) + J(£(Pi(r)) - (-£(Qi(r)))) dr.
to
Это все точки, в которые можно гарантированно привести систему при любой помехе при условии (13), если выбирать управление указанным выше способом.
Под интегралом стоит разность эллипсоидов по Минковскому, для которой всегда можно построить оценку-эллипсоид. Аналогично тому, как в книге [1] это делается для эллипсоидальных оценок множеств достижимости линейных систем без помех, теорема 2 позволяет строить дифференциальные уравнения для матриц эллипсоидов — внутренних оценок множества достижимости с прямой компенсацией для системы (12) с помехами. А это сразу же дает пригодный для численной реализации алгоритм.
Уравнения имеют следующий вид. Введем обозначение R(A) = А+Ат. Задача Коши для матрицы внутренней эллипсоидальной оценки множества достижимости с прямой компенсацией для (12) имеет следующий вид:
\X(t, l0) = R (AX{t, l0) + Fl/2(t, lQ)ST(t, lo)X^2(t, l0)) ,
X(to,lo) = Xo, l(t, Iq) = —AT(t)l(t, Iq), l(to,lo) = lo,
F(t, l0) = (1 - p(t, lQ))B(t)P(t)BT(t) + (1 - l/p(t, l0)) C{t)Q{t)CT{t), S(t,lQ) ■ X^2(t,lo)l(t,k) Tt S(t,lQ)F^2(t,lQ)l(t,lo), (f j \ _ f(i{tM)Mt)Q{t)cTmtM))112 .
p(t, h) - max ^ ^ ^^ B(f)p(f)BTmu 1q))i/2 '
Центр у всех оценок один и тот же и получается как решение задачи Коши
xc(t) = A(t)xc(t)+p(t) + q(t),
Xc(t о) = Xq.
Оценка £(xc(t),X(t, Iq)) содержится внутри множества достижимости с прямой компенсацией для (12) и касается его изнутри в направлении l(t,lo).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Kurzhanski А.В., Valyi I. Ellipsoidal Calculus for Estimation and Control. Boston: Birkhauser, 1997.
2. Schneider R. Convex Bodies: the Brunn-Minkowski Theory. Cambridge: Cambridge University Press, 1993.
3. Половинкин E.C., Балашов M.B. Элементы выпуклого и сильно выпуклого анализа. М.: ФИЗМАТ-ЛИТ, 2004.
4. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.
Поступила в редакцию 09.11.11
ON INNER ELLIPSOIDAL ESTIMATES OF REACHABILITY SETS OF LINEAR SYSTEMS WITH UNCERTAINTY
Shiryaev V. D.
This article considers problem of inner ellipsoidal estimates construction for geometric difference of two ellipsoids. Then obtained results are applied to problem of reachability sets estimation for linear systems with presence of unknown but bounded disturbance. Existing methods of estimation are complemented and some of their restrictions are removed. Along with justification of the new estimates connection with fundamental convex properties of input sets is revealed. The new method of reachability sets estimation for systems with unknown disturbance is similar to existing one for systems without disturbance, but it is handled through the results provided in the article.
Keywords: ellipsoidal calculus, ellipsoidal estimation, geometric difference, reachability under uncertainty, reachability with disturbance, convex analysis.
