Множества достижимости гибридных систем при последовательных переключениях Текст научной статьи по специальности «Математика»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cantor D. G., Lipman S. A. Investment selection with imperfect capital markets // Econometrica. 1983. 51. N 4. P. 1121-1144.

2. Sonin I. M. Growth rate, internal rates of return and turn pikes in an investment model // Economic theory. 1995. 5. P. 383-400.

3. Шананин A.A., Биккинина JI. И. К теории доходности инвестиционных проектов в условиях несовершенного финансового рынка // Сб. трудов XLVI конф. МФТИ. Москва; Долгопрудный: МФТИ, 2003. С. 136-137.

4. Ващенко М. П. Исследование уравнения Беллмана в одной задаче оптимального инвестирования // Сб. статей молодых ученых факультета ВМиК МГУ. Вып. 3. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК МГУ, 2006. С. 32-43.

5. Dorfman R. The meaning of internal rates of return // J. of Finance. 1981. 36. N 5. P. 1011-1021.

6. Cantor D.G., Lipman S.A. Optimal investment selection with a multitude of projects // Econometrica. 1995. 63. N 5. P. 1231-1240.

7. Беленький В.З. Экономическая динамика: анализ инвестиционных проектов в рамках линейной модели Неймана-Гейла // Препринт WP. 137. М.: ЦЭМИ РАН, 2002.

8. Макаров В. Л., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1979.

9. Рубинов A.M. Экономическая динамика // Современные проблемы математики. 1982. 19. С. 59-110. 10. Нечепуренко М. И. Итерации вещественных функций и функциональные уравнения. Новосибирск: Изд-

во ИВМиМГ СО РАН, 2005.

Поступила в редакцию 21.05.08

УДК 517.938, 519.715

В.Н. Закройщиков1

МНОЖЕСТВА ДОСТИЖИМОСТИ ГИБРИДНЫХ СИСТЕМ ПРИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПЕРЕКЛЮЧЕНИЯХ*

Описывается понятие областей достижимости гибридных систем, а также использование эллипсоидальных методов для их вычисления в случае, когда имеют место последовательные переключения на нескольких заданных гиперплоскостях или полосах. Приводится алгоритм вычисления множеств достижимости для гибридной системы при помощи эллипсоидальных аппроксимаций для случаев, когда множества переключения являются плоскостями или полосами. Получена параметризация невыпуклых областей достижимости как объединение пересечений соответствующих эллипсоидальных оценок.

Ключевые слова: гибридные системы, область достижимости, эллипсоидальные аппроксимации.

Введение. Данная работа описывает понятие областей достижимости гибридных систем, а также использование эллипсоидальных методов для их вычисления в случае, когда имеют место последовательные переключения на нескольких заданных гиперплоскостях или полосах.

Как известно [1], гибридными называются системы с взаимодействующими элементами системной динамики — непрерывной составляющей (моделируемой, например, дифференциальными уравнениями) и дискретной составляющей (моделируемой, например, конечным автоматом). Таким образом, имеется набор режимов, в каждом из которых система развивается непрерывным образом, причем возможно дискретное переключение между режимами. Изучение областей достижимости — важный элемент теории управления. Их вычисление имеет большое значение для построения синтезирующих

хФакультет ВМиК МГУ, асп., e-mail:vadimzkrQmail.ru.

* Работа выполнена при финансовой поддержке программы "Государственная поддержка ведущих научных школ" (грант НШ-4576.2008.1), а также научной программы "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект № РНП 2.1.1.1714).

управлений, верификации алгоритмов управления гибридными системами, вычислением зон безопасности и т. п.

Напомним, что область достижимости для системы управления общего вида, построенная для предписанного момента времени, представляет собой множество всех состояний, достижимых в этот момент времени из заданного начального состояния при помощи всевозможных допустимых управлений, удовлетворяющих известным априорным ограничениям. Гибридные системы в силу своей природы допускают как непрерывное управление, так и дискретное — управление переключениями. Причем переключение возможно лишь на заранее заданных гиперплоскостях (либо полосах). Выбирая дискретное управление, можем либо переключиться с движения вдоль одной непрерывной системы на движение вдоль другой, либо вовсе не переключаться. Подобные построения могут быть обобщены для более широкого класса систем.

В настоящей статье рассматриваются гибридные системы, состоящие из линейных подсистем управления. Заметим сразу, что для обыкновенной линейной системы с выпуклыми ограничениями на управление область достижимости — выпуклое множество. Однако для гибридной системы она не обязательно выпукла. Это происходит вследствие вмешательства процесса переключения с одной системы на другую, имеющего место на априорно заданных множествах. Таким образом, возникает задача об эффективном методе вычисления данных областей. В качестве такового в работе приводится алгоритм, основанный на вычислении внешних эллипсоидальных аппроксимаций для "обычных" негибридных линейных систем управления, позволяющий получать путем их объединения невыпуклые области достижимости с помощью объединения выпуклых (эллипсоидальных) аппроксимаций. Данная работа основана на идеях [2].

1. Функционирование гибридной системы. Итак, гибридными называют системы, сочетающие непрерывную и дискретную динамику. Рассмотрим гибридную систему, состоящую из р линейных систем управления:

X = АгХ + ВгЩ + /¿, щ(-) € Рг('), I = 1,р,

и р — 1 множеств переключения где может осуществляться переключение с одной линейной

системы на другую. В качестве множеств переключения будем рассматривать:

• гиперплоскости //, = {х\ с[х = 7г}, г = — 1;

• полосы Щ = {х\ ^ с[х ^ 7з), г = 1,р — 1.

Здесь х € К™, Аг € Кпхп, ж(£о) € £(хо,Х0), щ(-) — кусочно-непрерывные функции, такие, что Ш € [¿о, ^х] щ{Ь) € Рг = ¿-(Рь-Рг); где £(р,Р) = {х\ (х—р, Р~1(х—р))} ^ 1 — эллипсоид в!" с центром в точке р и матрицей Р.

Система рассматривается на интервале времени [¿о, ¿1]. Считаем, что движение начинается в силу первой системы (г = 1).

Под состоянием системы понимаем тройку ж), где г — номер текущей системы.

Теперь опишем, каким образом производится переключение на множестве Если состояние системы (г, х) таково, что х € Бк, то новое состояние ж') задается следующим образом:

г = (р(цк,ук), /_

г' = г.

Здесь (р^,к,у)с) — заранее заданная переходная функция от одной системы к другой, уь — дискретное управление на множестве переключения

_ /1, к-е множество переключения активно, переключаемся на систему г' ф г;

Ук 1^0, к-е множество переключения не активно, двигаемся согласно прежней системе, %' = %.

Введем вектор предыстории ,?(£), показывающий, каким образом происходили переключения:

= [^'1 ' ' ' ' '

Здесь — номер множества переключения, а индекс .$1 говорит, было ли переключение на данном множестве переключения или нет, и принимает значения: = +, если осуществилось переключение; .$1 = —, если переключение не осуществлялось.

Покажем, как реализуется траектория гибридной системы. Пусть [тх,..., т^] — последовательность моментов переключения, [ii,... ,ik] — соответствующие им номера линейных подсистем, тогда

X(tl) = Xi^tiiUi^TkiXib^Tk)),

где

Xik-ATk) = Xik-ATk,Uk-l\Xik-ATk-l),Tk-l),

Xi^Ti) = a;il(Ti,iii;a;i(Ti),Ti),

Xi{U)) = xQ.

Запись xm(ti,u%,xo,to) означает конец траектории m-й системы в момент времени 11, выпущенной из точки (xo,to) и полученной с помощью управления и(-) € V.

Основной задачей данной работы будет нахождение множества достижимости для гибридной системы с помощью эллипсоидальных аппроксимаций.

2. Множество достижимости гибридной системы. Множеством достижимости в заданный момент времени из заданного начального множества называем множество всех состояний системы в этот момент времени, в которые она может прийти при помощи всевозможных допустимых управлений. В терминах гибридных систем множество достижимости в момент времени t из ж (¿о) € Xq может быть записано в виде

X(t,tQ,XQ) = {х\ 3 j(t) = (k'l1,.. xQ G Xq и 3uh,. ■ ■ ,uim : x^fau^,..., uim; tQ, x0) = x},

т. e. X(t, to, XQ) — это множество концов в момент времени t тех траекторий гибридной системы, которые можно получить при помощи всевозможных допустимых переключений, выбирая на интервалах времени между переключениями любые допустимые кусочно-непрерывные управления.

Пусть X(t, to, XQ;j(t)) — множество достижимости гибридной системы при заданном векторе предыстории j (t), тогда

X(t,tQ,XQ) = {JX(t,tQ,XQ;j(t)). №

Графически получение множества достижимости можно представить в виде дерева, где каждая ветвь соответствует своей "предыстории". Разветвление соответствует возможности переключаться/не переключаться. Ограничивая число пересечений с гиперплоскостями числом N, получаем, что максимальное число ветвей 2N.

Таким образом, для расчета множества достижимости нужно уметь рассчитывать эти множества для отдельно взятой ветви, когда известен характер переключений. Трубка достижимости для каждой ветви в свою очередь составлена из трубок соответствующих линейных подсистем.

Далее будем рассматривать вычисление области достижимости для ветви предыстории

j[i] = [l+,2+,...,(p-l)+],

т. е. данная ветвь соответствует поочередному переключению на всех областях Sk, к = 1,р — 1. Введем следующие обозначения:

T^n(iQ,tQ, XQ) = mm{r| Xio(T;tQ,XQ) П Sk ф 0},

тт1х(«о,*о,Х0) = mm{r; (г; т^п(г0, tQ,XQ),Xio (т£?п; t0,X0)) Л Sk = 0}.

По смыслу (to, XQ) = to, XQ), i0, Хо)] — первый интервал времени, на котором

множество достижимости системы (г0) из x(to) € XQ пересекает множество Пусть

Хгк"(*) = Xik(t^Tik-i^Xik-i1 (Tik-i))

— множество достижимости системы (ik) в момент времени t, полученное после переключения в момент времени rik_1 на множестве Sjk_1 с системы (ik-i) на систему (ik) из множества

Xik-i 1 (Tu-i) = Xik-12 (Tik-i) Л Sjk-1 ■

Считаем, что Х13 (¿) = Хх(Ц ¿о, Х0) П Б у.

Тогда с учетом приведенных обозначений получим

*(*;*0,*о,[1+,2+, ...,(р-1)+]) = и и и Хт^-Г>(1).

3. Эллипсоидальные аппроксимации. При построении множества достижимости гибридной системы требуется искать объединение множеств достижимости обычных линейных систем управления, а также пересечение этих множеств с гиперплоскостями (полосами). Поэтому удобным средством для численного нахождения множества достижимости гибридной системы могут служить методы, основанные на аппроксимации этих множеств при помощи семейств эллипсоидов.

Согласно результатам [3], множество достижимости Х(1,¿0,Х0) линейной системы управления

х(г) = А(г)х(г) + е [¿0,*1),

ж(г0) € £(х0,Х0),

может быть получено с помощью семейства эллипсоидальных аппроксимаций

х(Ы0,х0) с£(х+(г),х+(1)),

где

= А(г)х+(г) + х+(г)А'(г) + тг(г)х+(г) + и Х+(1о) = Х0, х+ = А(г)х + Б(г)д(г), х+(га) = х0.

Здесь >0 — параметризующие функции. Данные аппроксимации будут тугими вдоль заданного направления /(¿) = Х'(£0,£)1, I € К™, когда

Ф) = т,втт\1т)1/чт,х+тт~1/2-

Тогда

х(г;г0,х0)= П £(ж+(г),х+(г)).

ге51(о)

Применим эти результаты к расчету множества достижимости для гибридных систем.

4. Случай плоскостей. Множество достижимости каждой линейной подсистемы аппроксимируется семейством эллипсоидов, при пересечении с гиперплоскостью каждый из эллипсоидов дает опять эллипсоид. И множество, с которого начинается движение после переключения на гиперплоскости, есть пересечение соответствующих внешних эллипсоидальных аппроксимаций.

Пусть к моменту времени £ реализовался вектор предыстории ,?(£), т.е. положим, что уже произошло & — 1 переключений, моменты переключений т\ € Т\,..., т^-1 € Тк-1 двигались согласно системам (¿о); (н), (¿г); • • •, (¿/г) (где ¿о = 1) и переключались на гиперплоскостях Н^,.... /,.

Множество, получаемое при пересечении множества достижимости системы (^-1) с гиперплоскостью I¡¡к , в момент времени

х^(тк-1) = х;^(тк-1)пщк_1 = П ПНь^ = П ¿¿Г (^-1^-1)-

1к-1 ¡к-1

Н3

Заметим, что множество £%= П , — пересечение эллипсоида с

гиперплоскостью, — является эллипсоидом (вырожденным).

Каждое из множеств Х^^1 — множество достижимости системы (г^) после переключения в момент времени тк_1 на гиперплоскости /, с системы (^-1) — может быть получено следующим образом:

1гк £51 (0) ^

= П П^Г^т^еС^^-гЬ-гШ). 1к-1 1к

Таким образом,

(1и-,1к)

где £+(Ц11,... ,1к) = £+(Р,тк_1,£+(тк_2\11,... ,1к_1)\1к). Здесь берутся из единичного шара ^(0) =

= 0КМК1}.

Интервалы переключения Тк = [тка-т, ах] для эллипсоидальных трубок вычисляются следующим образом:

т^п(1к) = тт{* € шш{р{Ч\£^Ш) - _70')) ^ 0} ,

= тт{* € [г^,^]! < о} .

Здесь — интервал времени, на котором рассматривается система £ 7^-1.

Тогда

1к

А для расчета множества достижимости необходимо сделать объединения по всем моментам переключений:

Х(ъи,х0,№)= и

т!еТ1,...,тк-1еТк-1

Таким образом, получаем следующую параметризацию множества достижимости гибридной системы с помощью объединения пересечений соответствующих эллипсоидальных оценок:

Х(Ыо,Хо ,№)= и П £ф;тк_ъ£+(тк_1\1к_ъ...,11)пн:к_1\1к).

5. Случай полос. В случае, когда переключение между системами происходит на полосах, множества, получаемые при пересечении эллипсоидальных трубок с полосами, уже не будут эллипсоидами (даже вырожденными).

Для того чтобы использовать построения, аналогичные проделанным для случая, когда множества переключения являются плоскостями, будем аппроксимировать пересечение эллипсоидальных трубок и полосы эллипсоидами минимального объема, используя результат [4].

Пусть даны два эллипсоида £1(3:1, £1) и £2(х2,1Е2) (возможно вырожденные):

£(х1, Е\) = {х\ (х — х\)тЕ\{х — х\) ^ 1},

£(х2, Е2) = {х\ (х - х2)тЕ2{х - х2) < 1}.

Рассмотрим эллипсоид £(хо,Е), являющийся выпуклой комбинацией эллипсоидов Е\ и Е2:

е = 1Х> хо = Х~1(ХЕ1х1 + (1^Х)Е2х2), Л 6(0,1),

где

к= 1 — А(1 — Л)(®2 - х1)тЕ2Х~1Е1{х2 - Х1), Х = ХЕ1 + (1^ \)Е2.

Тогда £(хо,Е) Э £{х1,Е{) П £(х2, Е2). Причем объем эллипсоида Уо1х(£(хо,Е)) будет выпуклой функцией от А € [0,1] (см. работу [4]).

Таким образом, для двух эллипсоидов, возможно вырожденных, найдется единственный эллипсоид минимального объема в классе выпуклых комбинаций исходных эллипсоидов, содержащих их пересечение.

Пусть к моменту времени £ реализовался вектор предыстории ,?(£), т.е. положим, что уже произошло & — 1 переключений, моменты переключений т\ € Т,..., тк_1 € Тк-1 двигались согласно системам (¿о); (н), (¿г); • • •, {ч) (где ¿о = 1) и переключались на полосах П^,..., 1I ,.

Множество, получаемое при пересечении множества достижимости системы (^-1) с полосой 1, в момент времени Тк-1, аппроксимируется следующим образом:

1к-1 ¡к-1

Множество ¿-¿¿.Д-1 (тк-1\1к-1) = £+(тк-1^-1) П II/,. , — пересечение эллипсоида с полосой — уже не является эллипсоидом (даже вырожденным), поэтому, используя результаты [4], аппроксимируем пересечение эллипсоида и полосы (вырожденного эллипсоида) уже невырожденным эллипсоидом

1 ), являющимся их выпуклой комбинацией минимального объема.

Каждое из множеств Х^-1, представляющее собой множество достижимости системы (г^), после переключения в момент времени Тк-1 на полосе 1I , с системы (^-1), может быть получено следующим образом:

= п е+(р,п-1, П С-1-1(т**-1)1**) = П ПС1^^.?;1^!'*-!)^)^-1^)-

ккеэ1( о) 4 1к-1 ' Ь-1 1к

Таким образом,

(1и-М

где £+(Ц11, ...,1к) = £+(Цтк_1,£+(тк_2\к, ■ • • ,^-1)!^)-

Здесь берутся из единичного шара В 1(0) = {1\(1,1) ^ 1}.

Интервалы переключения Тк = [т^а-т, ах] для эллипсоидальных трубок вычисляются следующим образом:

¿(У = пип{* € шт(р(с:1\£Щг\1к)) "720)) > о} ,

4ах(^) = гшп{* € [т*й1Лк))\ шш{р{Ч\£\к{Щк)) - "7^) < о} .

Здесь — интервал времени, на котором рассматривается система € Тк-1-

Тогда

1к

Для расчета множества достижимости по всей предыстории необходимо найти объединение по всем возможным для данного вектора предыстории моментам переключения:

Х(Ы0,Х0,№)= и и

6. Сложность алгоритма. Рассмотрим вопрос сложности алгоритма вычисления Пусть множество ¿>1(0) параметризуется Щ векторами. Это направления, вдоль которых выпускаются эллипсоидальные трубки; множества интервалов переключений i = 1, к — 1, параметризуются Ыт точками, тогда для вычисления множества достижимости, соответствующего

одному вектору предыстории (считаем, что произошло А; — 1 переключений), требуется рассчитать Жг(((Жг • Мт)к — ■ Ыт — 1)) эллипсоидальных трубок, т.е. число эллипсоидальных трубок растет экспоненциально с ростом числа переключений.

7. Структура алгоритма. Опишем алгоритм построения множества достижимости КеасЬ(Т) в момент времени Т для гибридной системы для отдельно взятой ветви предыстории кЩ = {к^1,^2,

1.83 Ь.8п 1

Л,з , . . . , 1ьп

1. Инициализация: г = ¿о, ¿о = Ха, к = к^, Б = Бк, ] = 1 (начинаем двигаться из Ха в момент времени ¿0 в силу системы (¿о)); к — номер множества (плоскости или полосы), пересечение с которым будем отслеживать, ] — индекс элемента из предыстории.

2. Вычисление внешних эллипсоидальных аппроксимаций £+Щ1] = £(х+(1), Х+(ЦI)) множества достижимости Х^Ц ¿о, Х0) = Р| £(ж+(£), Х+(Ц1)).

ге51(о)

3. Вычисление интервала 7г пересечения с множеством переключения Sj для каждой эллипсоидальной трубки.

4. Пусть Т = [¿штатах] — интервал первого возможного переключения для системы (г).

5. Если тт-т = Т, то множество достижимости КеасЬ(Т) = ("] £(х+(Т),Х+(Т|/)). Завершается

ге51(о)

исполнение алгоритма. Иначе, переход к шагу 6.

6. Для всех т е Т считаем X^ = Р|(£+[т|/]) П Н.

I

7. Переключение: I = г', ¿о = г € Т, Х0 = Х^, ] = ] + 1. Переход к шагу 2.

8. Примеры.

8.1. Плоскость. Для рассматриваемой гибридной системы зададим следующие матрицы:

Ал =

' 0 1" , Вг = "1 0"

-1 0 0 1

Ао =

0,5 1 -1 0,5

Во =

1 О О 1

Аз =

"о ^4" В3 = "1 0"

1 0 0 1

Ш) = , /2(*) = /з(*) =

4зт(г)' 4соб(£)

20зт(г)

20СОБ(£)

Система рассматривается на интервале времени [0; 3]. Начальное условие: ж(0) = (—4; 0). Ограничения на управления: щ(1) € Рг = £{рг,Рг), г = 1,2, 3, где

"4 0" "0"

— 0 1 , Р1 = 0

"4 0" "0"

— 0 1 II сч 51, 0

"1 0" "0"

— 0 1 , Рз = 0

Гиперплоскости переключения: Н\ = \x\xi = 0} и Н2 = {х\х2 = 7}.

Тогда множество достижимости для гибридной системы в момент времени I = 3 при осуществлении переключения на Н\ и Н2 будет иметь вид, представленный на рис. 1. На рисунке видно, что множество достижимости невыпуклое.

8.2. Полоса. Пусть задана гибридная система

X = А^Х + -Вг^г + /¿, Щ € £{циЯг).

Здесь 2 Е [¿0,^1], х{Ьо) Е £(х0,Х0), г = 1,4, Ц = 0, ^ = 3,

А! = А2 = А3 = А4 =

0,5 0 О 0,1

0,9 О О 0,5

0,1 -0,7 0,7 0,1

0,5 2,9 -2,9 0,5

В1 = В2 = В3 = В4 =

0,01 О О 0,01

1 О О 1

1 о

0 1

1 о

О 1

, д1 = [1,-1]г, = , </2 = [0,0]г, (]2 = , = [о, о]г, д3 =

, д4 = [0,0]г, =

0,4 О О 0,01

0,7 О О 0,7

0,04 О О 0,01

0,04 О О 0,01

, ь = м

, /2 = -А2 , /з = —Аз

, и = -А4

10 10

10 10

'6 10

9 -10

Рис. 1

Рис. 2

Также заданы три полосы переключения П, = ^ (с,, ж) ^ 7?}, г = 1,3.

В примере для полосы с« = [1,0]т, 7* = 3, 7^ = 4, 7\ = 7, у2 = 8, 73 = 17, 73 = 18. В качестве параметров начального множества рассматриваем

ж0 = [-4,-1]т, Х0 =

Тогда получим следующую трубку достижимости гибридной системы, представленную на рис. 2.

'ОД О О 0,1

Заключение. В данной работе приведен алгоритм вычисления множеств достижимости для гибридной системы при помощи эллипсоидальных аппроксимаций для случаев, когда множества переключения являются плоскостями или полосами. Получена параметризация невыпуклых областей достижимости как объединение пересечений соответствующих эллипсоидальных оценок. Получение областей достижимости имеет большое значение для верификации гибридных систем, когда при движении требуется избежать попадания в некоторые заданные "небезопасные зоны". Знание областей достижимости позволяет нам сделать вывод о том, сможем ли мы осуществлять движение "безопасным" образом, минуя "небезопасные" множества.

Гибридные системы позволяют описывать достаточно сложную динамику удобным образом — с помощью простых подсистем — линейных систем управления — и автомата, осуществляющего переключения между подсистемами. Все это позволяет использовать средства, разработанные для линейных систем управления, например эллипсоидальные методы, к исследованию гибридных систем. Особенностью гибридных систем является то, что области достижимости не обязательно будут выпуклыми, как в случае линейных систем управления. Заметим, что предложенная схема открывает пути к оценке ошибок приближения точного решения эллипсоидальными аппроксимациями в невыпуклых ситуациях. Данный вопрос послужит темой отдельной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Branieky M.S., Borkar V. S., Mitter S. M. A unified framework for hybrid control: model and optimal control theory // IEEE Transactions on Automatic Control. 1998. 43. N 1. P. 31-45.

2. Варайя П., Куржанекий А.Б. Задачи динамики и управления в гибридных системах // Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби: Труды международного семинара. Екатеринбург: Изд-во Уральского ун-та, 2005. С. 21-37.

3. Kurzhanski A. B.,Varaiya P. On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Parts I, II // Optimization Methods and Software. 2002. 17. P. 187-237.

4. Ros L.,Sabater A.,Thomas F. An ellipsoidal calculus based on propagation and fusion//IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics. Part B. 2002. 32. N 4. P. 430-442.

Поступила в редакцию 20.10.08

УДК 519.176, 519.172.1 А.Б. Дайняк1

ОЦЕНКИ ЧИСЛА НЕЗАВИСИМЫХ МНОЖЕСТВ В ГРАФАХ С ФИКСИРОВАННЫМ ЧИСЛОМ НЕЗАВИСИМОСТИ*

В работе получены достижимые оценки числа независимых множеств в графах с заданным размером максимального независимого множества (рассмотрены три класса графов: деревья, леса и класс всех графов). Описаны экстремальные графы.

Ключевые слова: независимое множество, число независимости.

1. Введение. Всякое подмножество попарно не смежных вершин графа называется независимым. Максимальный размер независимого множества в графе называется числом независимости графа. Будем через a(G) обозначать число независимости графа G, а через n(G) — число вершин в нем. Через i(G) будем обозначать число независимых множеств в G. Множества вершин и ребер графа G обозначаются как V(G) и E(G) соответственно. Через dv будем обозначать множество всех вершин, смежных с v.

Объединением графов G' и G" называется граф G, такой, что V(G) = V(G') U V(G") и E(G) = = E(G') U E(G"). Везде далее подразумевается, что множества вершин графов, входящих в объединение, не пересекаются.

Пусть n, a G N, а ^ п. Через i(n, а) обозначим максимум числа независимых множеств среди всех графов на п вершинах с числом независимости а:

i(n, а) = max i(G). (1)

n(G)=n,

a(G)=a

В статье [1] была установлена справедливость неравенства

г(п,а)^(п/а+ 1)а (2)

1Факультет ВМиК МГУ, асп., e-maihdainiakQgmail.com.

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, грант 07-01-00444.