Вычисление проекций трубок достижимости линейных управляемых систем на основе методов эллипсоидального исчисления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.97

П. В. Гагаринов

ВЫЧИСЛЕНИЕ ПРОЕКЦИЙ ТРУБОК ДОСТИЖИМОСТИ ЛИНЕЙНЫХ УПРАВЛЯЕМЫХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ1

(кафедра системного анализа факультета ВМиК, e-mail: pgagarinov@attiedtesting.com)

1. Введение. Наглядное представление математических объектов на данный момент является важным инструментом ведения научных исследований. Решение многих задач теории управления и наблюдения в гарантированной постановке связано с построением трубок траекторий динамических систем, поэтому так высока актуальность задач вычисления и визуализации различных проекций множеств достижимости для систем данного класса, в частности для линейных управляемых систем с раздельными эллипсоидальными ограничениями на управление и начальное состояние "геометрического" типа. Среди прочих численных методов вычисления трубок траекторий в настоящее время активно развиваются методы, основанные на аппроксимации множеств достижимости эллипсоидами. Для задач визуализации важно не только уметь вычислять трубки достижимости, но и эффективно представлять их на графических устройствах без потери информации. Метод построения проекций, который является предметом данной статьи, позволяет представлять трубки достижимости через визуализацию проекций их эллипсоидальных оценок [1]. Внутренние и внешние эллипсоидальные оценки в сочетании со схемой регуляризации и двумя различными схемами проецирования (соответственно на статические и эволюционирующие во времени подпространства) позволяют решить задачу графического представления.

2. Эллипсоидальные схемы аппроксимации трубок достижимости. Будем рассматривать линейную динамическую систему

jx(t) = A(t)x(t) + v(t), teT,

I x(t0)=x°, (i)

где T = [io,ii], x(-) : T —> Rn, u(-) : T —> Rm, матрицы A(t),B(t) непрерывны на T, а управление u(-) является кусочно-непрерывной функцией на Т. Считаем, что имеют место следующие эллипсоидальные ограничения с неотрицательно определенными матрицами:

х° g Хо = е(х0,х0), teT, v(t) eiz(t) = £(r(t),R(t)), teT, (2)

Замечание 1. Под эллипсоидом понимается множество, заданное опорной функцией

p(-\£(a,Q)) = (;a) + (;Q-)ï.

Определение 1. Областью достижимости в момент времени т > to из Хо называется множество

Х[т] = X(r,t0,x°) = \J{x[r] : Х° е X0,u(s) eV(s),se (t0,T]}.

Здесь Xq — множество начальных состояний, ж [г] = x(t,to,x°) — точка траектории системы (1) на момент т, стартующей из позиции {¿о, ж0}- Многозначное отображение Х[-] : t i—у Х[т] называется трубкой достижимости, где Х[т] — сечение трубки в момент времени т.

Описанные ниже эллипсоидальные оценки основаны на системах дифференциальных уравнений с параметром, задающих динамику аппроксимирующего эллипсоида [2, 3]. Рассмотрение ограничим классом тугих или недоминируемых эллипсоидальных оценок, т.е. содержащих множество достижимости (содержащихся в множестве достижимости) и являющихся минимальными (максимальными)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке программы поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (грант № НШ-5344.2006.1).

по включению в каждый момент времени. С использованием в качестве аппроксимации пересечения внешних эллипсоидальных оценок, полученных для различных значений параметров, становится возможным приближать множество достижимости с любой степенью точности. Эллипсоидальные формулы удобно записывать, используя представление множества достижимости системы (1) в виде многозначного интеграла Лебега:

(

хщ = х{г, г0)х0 +1 т)Щт) ¿т, (з)

Ьо

где Х(Ь,т) — переходная матрица.

2.1. Внешние эллипсоидальные оценки. Опишем схему внешних эллипсоидальных оценок множества ХЩ. На начальном этапе будем оставаться в рамках следующего предположения.

Предложение 1. Матрицы Хо, Й(т), т Е [¿о>^]> являются положительно определенными. Начнем с определения тугой эллипсоидальной оценки.

Определение 2. Внешняя оценка £ Э ХЩ (внутренняя оценка £ С ХЩ) множества достижимости ХЩ называется тугой, если существует вектор I £ К" такой, что

р(±1\£) = р(±1\Х М).

Будем говорить, что £ "касается" области ХЩ вдоль направления I.

Следующий результат эллипсоидального исчисления определяет динамику параметров внешних эллипсоидальных оценок.

Теорема 1. В условиях предположения 1 для множества (3) справедливо включение

£+хЩ = 2 ХЩ,

где есть решения следующих уравнений:

(г) = А(г)0+(г) + я+х(т)а'(т) + тг(г)<2+(г) + п-^тщт), т е (*„,*],

д+(г) = А(г)д+(г) + г(г), ге(*0,*], = х0.

(4)

(5)

Если при этом выполнено равенство

тг(г) = (1х(т),К(т)1х(т)^/(1х(т),д+[т]1х(т)^, (6)

то эллипсоидальная оценка является тугой в каждый момент времени вдоль направления

1х(т) = х'(г0,т)10.

Замечание 2. Для получения оценки, касающейся по направлению 18 6 (0) множества достижимости в момент времени в, нужно выбрать /о таким образом, чтобы обеспечить равенство р(18\Х[з]) = р(18\£^[з]). Решая уравнение 1х(з) = = находим, что /о = ¿о

2.2. Регуляризация задачи достижимости. Покажем, что условия предположения 1 не всегда можно опустить. Для простоты рассуждений возьмем случай А{£) = 0 и рассмотрим поведение нормы (/,<Э£(£)/) для всех I 6 51(0).

Домножив обе части (4) на I, получим

з(/,д+(г)/)/Зг = 7г(г)(/,д+(г)/) + тг-1(г)(/,д(г)/), г 6 (*„,*], тг(-) ес+[*о,*]

{1,Я+Х{10)1) = (1,х01).

Пусть теперь в(г, ¿о) — решение задачи

д.з(т,г0)/дт = тг(г), ге(>о,£], «(¿о, ¿о) = 1-

Тогда по формуле Коши решение (7) представимо в виде

т

(l,Q+(T)l) = s(T,t0)(l,X0l) + j s{T,z)K~1{z){l,R{z)l)dz. (8)

to

Оценивая (8) снизу, получаем ^ (1,XqI) > О V/ G 5*1(0). Из представления (8) следует,

что если матрица R(t) вырождена, то для некоторых направлений I параметр тг (г) = 0 и как следствие вдоль соответствующих направлений аппроксимирующий эллипсоид неограничен. Если A(t) не нулевая, то эллипсоид неограничен вдоль меняющихся со временем направлений. Таким образом, невырожденность матриц R(t), г G (to,t], является необходимой для построения ограниченных эллипсоидальных оценок на [to,t] для всех /о- Для расширения области применения тугой аппроксимации системы (1) с нарушенным предположением 1 применим регуляризацию исходной задачи. Рассмотрим случай, когда матрицы Хо, R(t), т G (to,t], неотрицательно определены. Перепишем (3):

t

X[t] = X(t,t0)£(x0,X0) + j X{t,T)£{r{T),R{T))dT. (9)

to

1 J

Фиксируя малое e > 0, построим матрицы Xq = (X02 +e/)2, Rs(t) = (R? (т) + sl)2 и вместо задачи достижимости для (1) будем рассматривать регуляризованную задачу с ограничениями х° G £(хо, Xq), v(t) G £(r(t),R£)), t G T.

Заметим, что для регуляризованной задачи предположение 1 выполнено. Обозначим через Xs\t\ множество достижимости регуляризованной задачи. Допустим теперь, что задан некоторый уровень точности 8 и выберем параметр е регуляризованной задачи так, чтобы

тах{к(Хе[т],Х[т]),те [t0,t]} ^ (10)

где h — метрика Хаусдорфа. Поскольку из свойств метрики следует, что для X,У G compR" справедливо равенство

h(X,y)=ma,x{\p(l\X)-p(l\y)\, 1ЕВ?( 0)}, (11)

то переходя в (9) к опорным функциям и пользуясь непрерывностью Д(т), можно записать

t

p{l\x[t]) = p{l\X{t, t0)£(x0lX0)) + I p{l\X{t, т)£{г{т), R(t))) dr. (12)

to

Подобное представление справедливо и для Хе. Согласно неравенству треугольника

(lt (to), Х0% (io)) ■* = 11 [х! + ei)lt (to) 11 ^ 1111 + I\elt (to) 11, (lt(r),Re(r)lt(r))i = \\(rHt) + el)lt(r)\\ <: ||^(г)|| + |ИДг)||,

где /t(r) = X'(t,r)l, что с учетом (12) позволяет получить оценку

t

p(l\X£[t])-p(l\X[t])<:e(\\lt(to)\\ + I \\lt(T)\\dry (13)

to

Принимая во внимание (11), (13), а также то, что p(l\Xs[t]) — p(l\X[t]) ^ 0, можно записать

г

ma,x{h(Xs[T],X[T]),Te[to,t]}^sma,x^\\lt(to)\\+ f ||/T(s)||ds: l G i?"(0), rG[(0,t]J. (14)

to

Для выражения под знаком максимума в правой части (14) будем использовать следующую оценку:

т t

;max ^11^0)11+/|M*)||<fc) ^тахо)||/^0)|| + J ; тах } ||/Т(в)|| ds =

t о t о

Г т

= тах \\Х'(тЛ0)1\\+ [ тах \\Х'(т, s)/|| ds = \\Х'(т, t0) Il + / \\Х'(т, s) Il ds, ies?{o) J ies?{o) J

10 10

где || • || обозначает матричную норму, подчиненную векторной евклидовой норме. Тогда, для того чтобы при фиксированном S обеспечить выполнение (10), достаточно выбрать е из неравенства

^max|||X'(r,io)|| + yi|X'(r,S)||dS, те [*„,*]}) • (15)

to

С учетом неравенства ||Х'(т, s)|| ^ ||Х'(т, io)|| \\X'(to, s)|| условие (15) можно упростить:

t

е <: s(^m^\\X\T,t0)\\(l +J\\X\t0,s)\\dsyj . (16)

to

2.3. Внутренние эллипсоидальные оценки. Приведем без доказательства схему внутренних эллипсоидальных оценок множества (3) в том виде, в котором она приведена в [3] с учетом неотрицательной определенности матриц R(t) и Xq. Справедлива следующая

Теорема 2. Для множества (3) справедливо включение

£x[t] С X[t], £x[t] = £{q-x{t),Q~x{t)), (17)

где qx(t), Qx(t) определяются условиями

ilQ%(T) = S(t)RHT) + Q%(T)A'(T), T G (*„,*], (lg)

{ Q*x(to) = S0Xq ,

(дх(т) = А(т)дх(т) + г(т), т E {t0,t], ^

1 Qx(t o) = x0.

Если вектор l\ и матрица S(t) выбраны такими, что для направления lx{T) = X'(to,r)lo выполнены соотношения

S(t)R$(t)lx(t) = \(t)h, \(t) = (R(t)1(t),1(t))Ï, t Е (t0,t],

i _ ^ (20) 50X02 /0 -À0/i, Хо — (XqIQ, IQ) 2,

то эллипсоидальная оценка является тугой в направлении 1х{Т) в каждый момент времени.

Замечание 3. Для получения внутренней оценки, тугой по направлению ls в момент s G [to,t], достаточно выбрать Iq = X'(s,to)ls.

Важно отметить, что представленная схема внутренней аппроксимации не нуждается в регуляризации исходной задачи. Для доказательства этого факта заметим, что все формулы схемы определены и для неотрицательно определенных Хо, R(t), t G (to,t]. Это означает, что при таких параметрах схема дает некоторую аппроксимацию. Покажем, что она является тугой и в этом случае. Рассмотрим случай A(t) = 0, г(т) = 0, поскольку это не ограничит общности рассуждений. Действительно,

используя (18), (20), получим

t t t p2(l0\S~[t]) = ((S0X| + I S(r)R*(r)dr) (s0X¿+ I S(r)X*(r)dr)l0, ¿o) =

t o t o

= (Ao + / A(r)dr) (k,lo)= + J(Io,R(t)Io)* dr^j = p2{l0\X[t]).

10 t o

2.4. Оптимальный выбор параметров. В условиях предположения 1 построение матрицы 5(г), удовлетворяющей (20), эквивалентно построению ортогональной матрицы, переводящей единичный вектор а(т) в единичный вектор Ь(т), где

RHt)Ix(t) , X¡10

а(т) =-г, от =---г. 21

(lx(r),R(r)U(r))i' (Io,X0Io)i

Очевидно, что существует неопределенность в выборе матрицы, обладающей таким свойством. В данном пункте воспользуемся этой неопределенностью для изменения характеристик эллипсоидальных оценок.

Утверждение 1. Пусть a,b G К" — единичные векторы. Тогда множество S„ ортогональных матриц S, переводящих вектор а в вектор Ь, представимо в виде

{S = U0SV¿ + ba'\S G RÍ"-1^"-1) _ ортогональна}, (22)

где U0,\о G — фиксиров аны, а их столбцы задают ортонор мир о ванные базисы в орто-

гональных дополнениях к линейным подпространствам, натянутым на векторы Ь и а соответственно.

Доказательство. Простой проверкой можно доказать, что любая матрица вида UqSV¿ + ba', где Uo,S,Vo обладают указанными в утверждении свойствами, переводит вектор а в вектор Ь. Покажем, что любая ортогональная матрица S такая, что Sa = b, принадлежит классу (22). Из свойств ортогональных матриц следует, что S переводит некоторый ортонормированный базис a,v 2,.. .,vn в ортонормированный базис b, U2, ■ ■ ■, ип. Записав это в матричном виде, получаем равенство

5 = (b\U)(a\Vy = UV' + ba',

где столбцами матриц U и V являются векторы u2,...,un и v2,...,vn соответственно. Из свойств линейных ортогональных преобразований следует существование ортогональных матриц SU,SV G G R(«-1)x(«-1) таких, что U = U0SU, V = V0SU. Окончательно 5 = U0SV¿ + ba', где 5 = SUS'V.

Пусть ^(г),... и ^¡¡(т),.. .,и°(г) — ортонормированные базисы в пространствах, ортого-

нальных векторам а(т) и Ь(т) соответственно. Сформируем из векторов указанных базисов матрицы

V0(r) = («2°(г)| ... К(г)) , С/о(т) = (и°2(т)\... |<(г)) , Vo(t),Uo(t) G R^""1). (23)

По утверждению 1 матрица 5 (г) тогда и только тогда удовлетворяет свойству (20), когда 5 (г) может быть представлена в виде

5(r) = U0(t)S(t)V¿(t) + Ъ(т)а'(т), (24)

где 5(г) — ортогональна. Далее будем использовать это представление. Докажем вспомогательный факт.

Утверждение 2. Пусть A G К"х" — невырожденная матрица. Тогда множество оптимизаторов в задаче

ÍTr(SA) —у тах,

s s (25)

\ S'S = SS' = I v '

состоит из единственного элемента

S = NM', (26)

где N,M — ортогональные матрицы из некоторого сингулярного разложения А = MAN'.

Доказательство. Пусть А = MAN' — некоторое сингулярное разложение [7] матрицы А. Из свойств следа имеем

Tr(SA) = Tr(SMAiV') = Tr(iV'SMA) = Tr(tfA), (27)

где H = N'SM — ортогональная матрица, а Л — диагональная матрица с сингулярными числами Ai > 0,..., А„ > 0 на главной диагонали. Пусть h\,..., hm — столбцы матрицы Н = ||/ijj||. Тогда

п п

ТГ(НА) = ^/¿ггАг ^ Y. INIA' = ТГЛ' (28)

¿=1 ¿=1

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда Н = I. Очевидно, что если S = NM', где N, М выбраны из некоторого сингулярного разложения, то 5 — оптимизатор. Пусть теперь S — оптимизатор. Тогда для любых двух матриц М, N из сингулярного разложения имеем равенство N'SM = I, или S = NM'. Отсюда следует представление (26), а в силу того что М, N — произвольные матрицы из сингулярного разложения, и единственность оптимизатора тоже.

С учетом полученного результата нетрудно выбором матрицы 5 (г) максимизировать скорость роста объема эллипсоидальной оценки в каждый момент времени. Учитывая, что объем эллипсоида есть корень из определителя его матрицы с точностью до множителя, приходим к оптимизационной задаче

д det Q*x(s)

ds

—max,

s=t S(t)

S(T)a(T) = b(r), S(t)S'(t) = S'(t)S(t) = i.

(29)

Пользуясь формулой для производной определителя [6]

^^ЬсИА^АА-1), (30)

а также (18), можно записать

д^9/^ = с1е1;((5^("г)) тг(5(г)д2 (г)((5^(Г))-1) + с1е1;((5^("г)) Тг(А(г)). (31)

Применим представление (24) к первому слагаемому в правой части (31):

Тг(5(г)^(г)(д^(г))"1) = Тг (3(т)^(т)кЦт)(д*х(г)Г1и0(т)). (32)

Из (31), (32) видно, что задача оптимизации (29) сводится к задаче максимизации следа произведения ортогональной и невырожденной матриц на множестве ортогональных матриц. Решение данной задачи дается утверждением 2. Таким образом, доказано следующее

Утверждение 3. Множество максимизаторов в задаче (29) состоит из единственного элемента

5 = 11о(т) N (т) М' (т)У^ (т) + Ь(т)а'(т), (33)

где и0(т), ^(г) определены ранее, М(г),Лг(г) 6 М("-1)х("-1) ортогональны и получены из некоторого сингулярного разложения К2(т) = M(т)A(т)N'(т) матрицы

К2{т) = У^т)кЦтШх{т))-1и0{т).

Использование оптимизаторов по объему позволяет изменять геометрию эллипсоидальных оценок, улучшая их по сравнению с оценками, построенными с использованием более простых схем выбора матриц 5(г), например в виде преобразования Хаусхолдера [7]:

и>и>'

5(г) = / - 2—■—, т = а(т)-Ъ(т). (34)

ю'ю

3. Проецирование эллипсоидальных аппроксимаций. Эллипсоидальные схемы нуждаются в эффективных методах визуализации. При решении практических задач последняя затруднена высокой размерностью фазового пространства. Один из путей решения этой проблемы заключается в переходе от многомерных множеств к их проекциям на пространства малой размерности с их последующим графическим представлением. Основная идея метода проецирования — построить достаточное

количество проекций эллипсоидальных трубок на трехмерные или двумерные пространства, чтобы потом по этим проекциям можно было восстановить структуру решения в многомерном пространстве. Для построения указанных проекций вводится операция координатного проецирования, при этом проецирование на подпространства, эволюционирующие во времени, позволяет учесть важные свойства динамики эллипсоидальных оценок.

3.1. Ортогональное и координатное проецирование.

Определение 3. Будем называть Р G К"х" матрицей проецирования (проекционной матрицей), если Р2 = Р. В случае когда подпространство С С К" таково, что С = Im Р, где Im Р — образ матрицы Р, говорят, что Р — матрица проецирования на подпространство С.

Определение 4. Будем говорить, что Р G К"х" — матрица ортогонального проецирования, если (Рх, х - Рх) = 0 Ух G M".

Определение 5. Пусть К" = С ф С и х = х' -|- ж , ж' G С, х G С . Тогда х' называется проекцией вектора х на С параллельно С . Если разложение К" ортогонально, то х' называется ортогональной проекцией. Обозначение: Pr£ х или Ргж.

Пусть В является базисом подпространства С С К", где В = {Ьi,.. .,bm} — упорядоченное множество. Сформулируем без доказательства следующую теорему, основанную на простейших фактах линейной алгебры.

Теорема 3. Пусть Р G К"х" — матрица проецирования на подпространство С, dim С = т, а В G KmX" — матрица, строки которой образуют базис В подпространства С. Тогда следующие утверждения эквивалентны.

1. Р — матрица ортогонального проецирования, реализующая ортогональные проекции на подпространство С.

2. Ортогональная матрица однозначно определяется подпространством и не зависит от выбора

базиса подпространства, причем

Р = В'{ВВ')-1В. (35)

Замечание 4. Произведение В В1 невырождено как матрица Грама линейно независимой системы векторов.

Следствие 1. Операцию ортогонального проецирования в определении 5 можно представить как операцию умножения на некоторую матрицу ортогонального проецирования Р.

Доказательство. По теореме 3 матрица Р, определяемая из (35), где строки В образуют базис С, осуществляет ортогональное проецирование на С = Im Р. Действительно, поскольку С = Im Р, то С" = С'1- = (Im Р)1- = Ker Р и R" = Im Р © С".

Определение 6. Ортогональной проекцией множества X С К" на подпространство С называется множество Pr£ X = {z G К"|3ж G X : z = Pr£ х}.

Определение 7. Базис В = {е\,...,еп} пространства К" называется стандартным, если у вектора е^ в i-й позиции стоит единица, а в остальных позициях — нули.

Рассмотрим теперь некоторое множество X G convR", систему векторов В = {Ьi,..., bm}, т, < п, такую, что С = Lin В, и составим из векторов системы В матрицу В по правилу В' = (&i| ...\Ьт). Тогда матрица ортогонального проецирования Р, соответствующая операции Рг£, может быть построена по формуле (35), причем Pr£ X = РХ. Важно заметить, что множество Pr£ X состоит из векторов размерности п, что затрудняет задачу визуализации данных множеств. Тем не менее т-мерность проекций позволяет без потери информации представить их через координатные проекции, являющиеся множествами m-мерных элементов.

Определение 8. Пусть С = Lin В — подпространство в К", где В = {Ь\,... ,Ьт} — орто-нормированный базис в С. Будем говорить, что ВХ — координатная проекция множества X С К" с матрицей координатного проецирования В' = (Ь\,..., Ьт).

Рассмотрим случай, когда базис В является ортонормированным. Дополним его до ортонормиро-ванного базиса Т = {Ь\,..., Ьт, д\,..., дп-т} пространства Е". Тогда матрица С = (b\ \ .. .\bm\gi \ ... ... Iдп-т) является матрицей перехода от стандартного базиса к базису Т и (x)j= = C~lx = С'х, где (x)f, х - векторы в новом и стандартном базисах. Проекция (Рг£ Х)? множества X на С в базисе Т записывается в виде

(Р,£ = С РГ, Л' = (£) P-Y = (£) Л' = (f ) Л' = , (36)

где G' = (д\,..., дп-т). Как видно из (36), в случае когда базис В является ортонормированным, проекция Pr£ X может быть заменена координатной проекцией ВХ без потери информации. При этом размерность элементов множества ВХ равна то, в то время как множество Pr£ X этим свойством не обладает. При малых значениях то (то ^ 3) это позволяет без проблем строить визуализацию координатных проекций эллипсоидов, а также многомерных множеств, заданных с помощью функции цены или опорных функций. Везде далее, говоря о проецировании, будем иметь в виду построение координатных проекций.

3.2. Проецирование эллипсоидов. Покажем, как без потерь информации представлять многомерный эллипсоид £(q,Q) проекциями на подпространства размерности то < га. Построим проекцию на подпространство С = Lin В, где В — ортонормированная система из то векторов. Пусть строки В составлены из векторов системы В. Тогда

В£(а, Q) = £{Ва, BQB'), (37)

т.е. координатной проекцией эллипсоида в К" является эллипсоид в Rm. Для фиксированных упорядоченных множеств I С {1,...,га}, J С {1,...,то} введем оператор 7г/, действующий из ]R"Xm в RlJlxlJl, который каждой матрице A G R"Xm ставит в соответствие ее подматрицу с номерами строк из множества I и номерами столбцов из множества J. Через 7Г/ и irJ обозначим и у^ ^

соответственно. Обозначим к-й вектор стандартного базиса через Тогда для случая, когда В — подмножество векторов стандартного базиса в К", справедливо очевидное

Утверждение 4. Координатной проекцией эллипсоида £(а, Q) на пространство, порожденное базисом В = {ei1,..., eim}, является эллипсоид £(тт/а, 7t\Q), где I = {¿i,..., im}.

Определение 9. Пусть дано некоторое множество А произвольной природы. Будем говорить, что множество X С К" полностью представляется классом проекций {Рг£а X : a G А}, если X является единственным множеством, имеющим данный класс проекций.

Следующие два свойства позволяют ограничить число проекций при представлении га-мерных эллипсоидальных оценок и полезны при визуализации аппроксимаций в окнах.

Утверждение 5. Для полного описания эллипсоида в К" необходимо и достаточно га(га — 1)/2 проекций на различные двумерные подпространства, порожденные векторами стандартного базиса.

Доказательство. Заметим, что каждая двумерная проекция эллипсоида определяется четырьмя элементами его матрицы, два из которых находятся вне ее диагонали и равны между собой в силу симметричности матрицы эллипсоида. Таким образом, двумерная проекция несет информацию только об одном элементе матрицы Q из находящихся над главной диагональю, а таких элементов в матрице Q содержится га(га — 1)/2.

Утверждение 6. Для полного описания эллипсоида в К" достаточно (Lf"J)2 проекций на различные подпространства размерности то ^ 3, порожденные векторами стандартного базиса.

Доказательство. Так как любая проекция с размерностью выше 3 более информативна, чем 3-мерная проекция, то достаточно рассмотреть случай то = 3. Проведем доказательство по методу математической индукции. Для га = 3 утверждение очевидно. При га > 3 фиксируем индексы i,j G {1,...,га} такие, что г < j, и вводя обозначения I = {1,..., га} \ {i, j} и В = {ei\i G /}, рассмотрим координатную проекцию £(7Г/а, njQ) на подпространство, порожденное В. Данная проекция содержит информацию об элементах вектора а, кроме ¿-го и j-го, а также об элементах матрицы Q за исключением стоящих в строках или столбцах с номерами i,j. Таким образом, в силу симметричности матрицы Q остается построить 3-мерные координатные проекции, содержащие информацию об (2га — 3) элементах матрицы Q и о двух элементах вектора а. Рассмотрим множества = {г —k, j — k, j}, к = 1,..., i — 1 и ,Jk = {i, i + к, j + к}, к = 1,..., га — j. Легко заметить, что координатные проекции £(тг ik a, k^Q), к = 1,... ,i — 1, и £(^jk a, jrj^Q), к = 1,..., п — j, содержат информацию о всех оставшихся элементах вектора а и матрицы Q. Число этих проекций равно га — 1 + i — j. Положим i = 1, j = 2. Тогда полную информацию об эллипсоиде £(a,Q) содержит одна (га — 2)-мерная проекция и 3-мерные проекции в количестве га — 2. С использованием индуктивного предположения общее число 3-мерных проекций оценивается как га — 2 + (L21^])2 ^ (Lf J)2-

Таким образом, о геометрии эллипсоидальной оценки в R" можно судить по конечному числу ее проекций на подпространства меньшей размерности.

3.3. Динамика проекций. Подпространства, на которые осуществляется проецирование множеств достижимости и их эллипсоидальных оценок, могут обладать различной динамикой во времени. В данном пункте рассмотрены два варианта этой динамики: неподвижность подпространства и динамика подпространства в силу системы (1). Перед тем как переходить к рассмотрению этих двух случаев, выделим достаточные условия непрерывной динамики как наиболее подходящей для визуализации.

Определение 10. Многозначное отображение К, : Т —> сопуМ" называется непрерывным на интервале Т, если для любого г > 0 непрерывно на Т многозначное отображение

/Сг : г н-» /С(г) П .В™(0), т Е Т.

Далее под непрерывностью динамики подпространства С(т) будем понимать непрерывность многозначного отображения С( ) на интервале [¿о,^]- Пусть в момент г 6 проецирование осуществляется на подпространство £(т), порожденное базисом В(т) = {&!(т),..., Ьт(т)}. Если базис В(т) является ортонормированным для всех г 6 [¿о>^]> то справедливо

Утверждение 7. Если векторы базиса В(т) удовлетворяют свойству

|(адЛ(г + *))| —» 1, г 6 Г, г = {1,..., то}, (38)

в—5- 0

то многозначное отображение С( ) является непрерывным на интервале Т.

Доказательство. По определению многозначное отображение С( ) является непрерывным, если при каждом г > 0 для любого е > 0 существует 8 > 0 такое, что для всех в ^ 8 выполнено

/1(£(г + 5)ПБ?(0),£(Г)ПБ?(0)) (39)

Из определения метрики Хаусдорфа следует, что неравенство (39) эквивалентно следующей группе свойств:

Уж 6 С{т) П В?(0) Зу е С(т + 5) П В?(0) : ||ж - у\\ <С е, (40)

Уж 6 С(т + в) П В?(0) Зу е С(т) П Вр(0) : ||ж - у\\ <С е. (41)

т

Докажем (40). Поскольку х 6 £(т), то справедливо представление х = ^ «¿¿¿(г). Вектор у из множе-

¿=1

т

ства С(т + в) П В"(0) будем искать в виде: у = ^ (т + в). Оценим \\х — у||2 сверху:

¿=1

т т

II® - у||2 ^ I]\\<*Мт) - Шт + 5)||2 = + 01 - 2афг(Ьг(т),Ьг(т + в)) =

¿=1 ¿=1

т т

= - (ЗгЩп(Ьг(т),Ьг(т + з)))2 + - \(Ьг(т),Ьг(т + з))\). (42)

¿=1 ¿=1

т

Так как В(т),В(т + в) — ортонормированные базисы и х, у 6 В"(0), то ||ж||2 = ^ а2 ^ г2, ||у||2 =

¿=1

= /З2 ^ г и, следовательно, («¿| ^ г, \fii\ ^ г, i = 1,то. Тогда справедлива оценка:

¿=1

Х>А(1- КВДЛ(г + *))|) ^2]Г|1- |(6г(г),6г(г + «))||. (43)

¿=1 ¿=1

Поскольку (38) выполнено, то существуют числа i = 1,то, такие, что для каждого 1 ^ i ^ то при s ^ Si выполнено неравенство |1 — | (^¿(т), ^¿(г + s) \ | ^ е2/(тог2). Полагая S = min{^, 1 ^ i ^ то}, в силу (42), (43) получим, что при s ^ S справедливо неравенство

m ¿=1

Полагая /3j = оц sgn(bj(r), Ъ{(т + s)), тем самым обеспечиваем обнуление первого слагаемого в (44) и выполнение неравенства \\х — у|| ^ е. Таким образом, свойство (40) доказано, а (41) доказывается аналогично.

Рассмотрим сначала проецирование сечений эллипсоидальных трубок в момент времени г на неподвижное подпространство С(т) = т G [to,t]. В данном случае непрерывность отображения £(•) очевидна. Пусть I = {ii,...,im} С {1 ,...,п}, причем все элементы в множестве I различны. В качестве подпространства выберем С = Lin £>, где В = {е^,..., — подмножество векторов стандартного базиса. Составим матрицу В из векторов базиса В и построим отображение Zj?[-] из координатных проекций сечений эллипсоидальной трубки £[■] по правилу

Z§[t] = BS[T] Vr G [io> t]>

где S в обозначении указывает на статичность подпространства С(т). Далее трубку Zç[-] будем называть проекцией эллипсоидальной трубки £[■] на неподвижное подпространство.

Можно показать, что график многозначного отображения Q(Zg [•]) является координатной проекцией графика Q(£[•]) с матрицей координатного проецирования

(1 О уО В

Действительно,

g(Zi[-]) = {{t,z) G [î0,î] X Mm : zeB£[T]} = {{T,Bx)e[t0,t]xRm: x E £[т]} =

= {С{т,х) G [i0,i] ХГ : ж G £[т]} = CÇ{£[■]).

Поскольку множества многозначных отображений и их графиков изоморфны между собой, то трубка Zç[-] может быть получена посредством операции координатного проецирования графика £[•].

Рассмотрим теперь проецирование на подвижное подпространство, динамика которого определяется фундаментальной матрицей X(t,to) системы (1) и которое в момент времени s G [to,t] совпадает с фиксированным подпространством С = Im В'. Пусть 1х{т) = X'(to,r)l, где I = X'(s,to)ls, ls G S"(0), a s G [to,t] — фиксировано. Рассмотрим тугую эллипсоидальную аппроксимацию £х[-] (внутреннюю или внешнюю) для Х[-] такую, что

р{1Х{т)\£Х[т])=р{1х{т)\Х[т}), rG[io,i].

Вектор ls будем брать из подпространства, порожденного базисом В, введенным ранее. Тогда для ls справедливо представление ls = B'us, где us G Km — коэффициенты разложения вектора ls по базису В, и 1Х(Т) представим в виде:

1х(т) = X'(s, т)1„ = X'(s, t)B'us = тгJX'(s, t)us = (7rjX(s, t))'us. (45)

Из (45) видно, что при каждом т G [to,t] вектор 1х(т) принадлежит пространству £(т), порожденному столбцами матрицы kiX'(s,t), т.е. С(т) = Im 7Г , т) = Lin ^(г), где

Предположим теперь, что в пространстве С(т) для каждого т G [to,t] задан некоторый ортонормиро-ванный базис В(т) и пусть В(т) - матрица, строки которой составлены из векторов В(т). Обозначим через С(т) матрицу перехода от базиса J-{t) к базису В(т). Тогда В(т) и kiX'(s,t) связаны соотношением

В'(т) = тг1 X'(s, т)С(т) (46)

для всех т G [to,t]. С учетом последнего равенства (45) можно переписать как

1х(т) = тг ^'(s^CMC-VK = B'{t)vs,

т G [to,t], гДе vs = C~l (t)us. Используя матрицу координатного проецирования (46), построим трубку из координатных проекций сечений множества достижимости:

Z*i[t] = B(t)S[t], re[to,t], (47)

где M указывает на подвижность подпространства С(т). Далее трубку будем называть коорди-

натной проекцией эллипсоидальной трубки £[■] на подвижное подпространство. Заметим, что переход

от эллипсоидальной трубки £х[-] к трубке сохраняет свойство недоминируемости эллипсоидаль-

ной аппроксимации причем

p(Vs\Z*i[t])=p(Vs\B(t)X[t]),

где вектор vs = C~1(t)us = C~l (t)BIs имеет смысл направления касания координатных проекций сечений трубки достижимости и эллипсоидальной трубки. Данное свойство означает, что эволюционирующие проекции, связанные с динамикой системы, позволяют наблюдать касание эллипсоидальных оценок и множества достижимости на всей области определения системы.

Матрица перехода С(г), определяющая В(т) из соотношения (46) вместе с базисом £>(г), может быть выбрана многими способами, в частности можно считать, что С(т) соответствует применению алгоритма Грама-Шмидта к столбцам матрицы kiX'(s, г). Тогда в силу непрерывности г) свой-

ство (38) для векторов базиса В(т) будет выполнено, и тем самым будет обеспечена непрерывность подпространства С(т) как многозначного отображения. Резюмируя, можно выделить два основных отличия эволюционирующих и статических проекций: последние получаются посредством естественной операции проецирования графика, а также не позволяют (в отличие от эволюционирующих) отследить касание эллипсоидальной оценки £х[т] (внутренней или внешней) и множества достижимости Х[т] на всем интервале [io,i]-

3.4. Аппроксимация множества достижимости. Для вычислительных и визуализационных задач важно иметь возможность приблизить множество достижимости с использованием вычислительных схем. Описанные выше эллипсоидальные оценки и методы их проецирования позволяют это сделать в два этапа. На первом этапе множество достижимости приближается некоторым набором эллипсоидальных оценок с заданной точностью. Допустим, имеется набор внешних эллипсоидальных оценок {£г+[т], I £ Ат}, тугих по направлениям из множества Am = {/¿, i = 1,..., то} (предполагаем, что задача предварительно регуляризирована). Тогда пересечение данных эллипсоидальных оценок будет аппроксимировать множество достижимости не хуже, чем многогранник Рт, являющийся пересечением опорных полупространств в направлениях касания, т.е.

Р| s+[r]cpm= р|{ж: (x,i) <с р(1\х[т])}.

Алгоритмы асимптотически оптимальной полиэдральной аппроксимации [4] позволяют так выбрать конечное множество Ат = А(5), чтобы приблизить множество достижимости многогранником Рт = = Р(5) с любой наперед заданной точностью S в метрике Хаусдорфа. Располагая множеством А(5), несложно получить внешние эллипсоидальные оценки, тугие по направлениям из А(5), решив уравнения (4), (5) для направлений /о Е B(S) = {X'(T,to)l, I £ A(<S)}, причем для полученных оценок выполняется

МВД, П £?[т])^ЧХ[Т],Р(8))^0, 0.

ieA(S)

На втором этапе представляем (графически) каждую эллипсоидальную оценку £г+[т] конечным числом двумерных (трехмерных) проекций, не зависящим от S. Таким образом, имеется возможность представлять множество достижимости с помощью конечного числа двумерных (трехмерных) проекций с любой заданной точностью. Устраивая достаточно густые разбиения Q(S) отрезка [0,i] и решая уравнения (4), (5) для направлений из В* (6) = {X'(r,to)l, I £ т G можно приближать

трубки достижимости в виде пересечения эллипсоидальных трубок:

тах{ЦХ[т], р| £?[т]), т £ [0, t]} 0, 5-^0. ieA(S)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kurzhanski A.B., Valyi I. Ellipsoidal calculus for estimation and control. Ser. SCFA. Boston: Birkhäuser, 1997.

2. Kurzhanski A.B., Varaiya P. On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part I. External approximations // Optimization Methods and Software. 2001. 17. P. 177-206.

3. Kurzhanski А. В., Varaiya P., On ellipsoidal techniques for reachability analysis. Part II. Internal approximations, box-valued constraints // Optimization Methods and Software. 2001. 17. P. 207-237.

4. Glasauer S., Schneider R. Asymptotic approximation of smooth convex bodies by polytopes // Forum Math. 1996. 8. P. 363-377.

5. Boyd S., Vandenberhe L. Convex optimization. Cambridge University Press, 2004.

6. Chernousko F.L. State estimation for dynamic systems. CRC Press, 1994.

7. Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ. M.: Мир, 1989.

8. Красовский Н.Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

Поступила в редакцию 02.06.06

УДК 519.7

С. Н. Селезнева

ОБ АЛГОРИТМИЧЕСКОЙ СЛОЖНОСТИ НАХОЖДЕНИЯ ОСТАТКА ОТ ДЕЛЕНИЯ НА СТЕПЕНЬ ДВОЙКИ ВЕСА БУЛЕВОЙ ФУНКЦИИ, ЗАДАННОЙ ПОЛИНОМОМ1

(кафедра математической кибернетики факультета ВМиК, e-mail: mathcyb@cs.msu.su)

Введение. Булевы функции являются одной из основных модельных систем, которые находят широкое применение как в теории, так и на практике. Систематическое исследование булевых функций было изложено в работе Э. Поста [1], ставшей классической. В настоящее время булевы функции нашли широкое применение в кодировании и криптографии [2].

Пусть Е2 = {0,1}. Булевой функцией от п переменных называется отображение /" : Е" —> Е2, п = 0,1, 2,.... Множество всех булевых функций от переменных х\,... ,хп обозначим через Р" ■

Одним из удобных способов записи булевых функций являются полиномы Жегалкина. Произведение вида Xi1 •.. .-Xir, где Х{ ф Xiq при р ф q, назовем мономом ранга г. По определению будем считать 1 вырожденным мономом ранга 0. Сумма вида М\ © ... © М/, где М{ — попарно различные мономы, называется полиномом Жегалкина. При этом число I — длина полинома, степенью полинома называют максимальный из рангов его слагаемых. Будем считать 0 вырожденным полиномом с длиной и степенью, равными 0.

Полиномы Жегалкина являются полиномами над полем Е2 с операциями сложения ф и умножения • по mod 2 (полем вычетов по mod 2).

Теорема 1 [3, 4]. Каждая булева функция из Рможет быть единственным образом записана полиномом Жегалкина.

Введем некоторые обозначения. Буквой с тильдой наверху будем обозначать векторы из п соответствующих координат.

Так, х = (xi,..., хп), а= (аь ..., ап).

Через ха будем обозначать моном х"1 ■ ... ■ , где

ха=(х если а = 1, ^ £ [1, если а = 0,

Тогда каждая булева функция из Роднозначно может быть записана в виде f(x) = c(l)

7 е-Е™

где с (у) есть коэффициент при мономе ж7, с (у) G Е2.

В соответствии с теоремой 1 для булевой функции f(x) определим ее степень deg(/) как степень задающего ее полинома.

1 Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант 06-01-00438а.