CC BY
1
УДК 535.3
В. А. Астапенко, Т.К. Бергалиев, C.B. Сахно
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Возбуждение вещества электромагнитными импульсами со случайной фазой
Теоретически исследуется возбуждение вещества электромагнитными импульсами со случайной фазой на примере двухуровневой системы и квантового гармонического осциллятора.
В рамках теории возмущений получено выражение для вероятности возбуждения двухуровневой системы через Фурье-образ огибающей импульса.
Численно проанализировано возбуждение квантового осциллятора гауссовским и экспоненциальным импульсами с различными фазовыми характеристиками в терминах вероятности возбуждения за все время действия импульса. Установлены характеристические черты данного процесса как функции длительности импульса для различных значений частоты Раби.
Ключевые слова: импульсное фото-возбуждение, случайная фаза, двухуровневая система, квантовый осциллятор
V. A. Astapenko, T. K. Bergaliyev, S. V. Sakhno
Moscow Institute of Physics and Technology
Excitation of matter by electromagnetic pulses with a
random phase
The excitation of matter by electromagnetic pulses with a random phase is theoretically-studied using the example of a two-level system and a quantum harmonic oscillator.
Within the framework of perturbation theory, an expression is obtained for the probability of excitation of a two-level system through the Fourier transform of the pulse envelope.
The excitation of a quantum oscillator by Gaussian and exponential pulses with different phase characteristics is analyzed numerically in terms of the probability of excitation over the entire duration of the pulse. The characteristic features of this process have been established as a function of the pulse duration for various values of the Rabi frequency.
Key words: pulsed photo-excitation, random phase, two-level system, quantum oscillator
1. Введение
Развитие технологии генерации лазерных импульсов с заданными параметрами [1] требует конкретизации теоретического описания фотопроцессов в поле таких импульсов с целью корректного учета влияния этих параметров на вероятность рассматриваемого процесса. Помимо традиционно учитываемых величин, таких как амплитуда и несущая частота, в случае импульсного возбуждения вещества необходимо принимать во внимание длительность, временную огибающую и начальную фазу импульса. Существенно учитывать также
© Астапенко В. А., Бергалиев Т. К., Сахно С. В., 2024
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024
и взаимное влияние этих характеристик. Так, в работах [3-6] было показано, что зависимость вероятности возбуждения осциллятора от начальной фазы для гауссовского импульса (симметричного во времени) наиболее сильная в пределе коротких длительностей. В то же время в случае экспоненциального импульса (резко асимметричного во времени) фазовая зависимость имеет существенно иные черты, такие как ненулевую асимптотику коэффициента фазовой модуляции в пределе длинных импульсов и наличие фазового сдвига вероятности.
Цель настоящей статьи - аналитически и численно исследовать особенности возбуждения вещества импульсами с различными фазовыми характеристиками, включая случайную начальную фазу, на примере двухуровневой системы и квантового осциллятора.
2. Основные формулы
Пусть вещество возбуждается импульсом напряженности электрического поля в виде
Е (*) = Ео/ (¿)ес8(^ + <р), (1)
здесь f (¿) — огибающая импульса, Ео амплитуда, Шс несущая частота, ^р начальная (абсолютная) фаза.
В дальнейшем предполагаем, что начальная фаза в импульсе (1) распределена равновероятно на всем интервале возможных значений от 0 до
Возбуждение двухуровневой системы
Рассмотрим сначала возбуждение двухуровневой системы (ДУС) с дипольно-разрешенным переходом под действием импульса (1). Вероятность этого процесса на переходе между энергетическими уровнями 1 и 2 за все время действия импульса в рамках применимости теории возмущений дается формулой [8]:
те
^(^ = ¿2/ (^)|2 , (2)
о
где
2^2е2
012(ш) = -/12^12^) (3)
тс
— сечение возбуждения фотоперехода, /12 — сила осциллятора переход а в ДУС, С12(ш) — спектральная форма линии, Е(со,(р) — фурье-образ возбуждающего поля (1).
В выражении (2) явно выделена зависимость от начальной фазы поля, что существенно для дальнейшего.
Формулу (2) с учетом равенства (3) можно переписать в виде
те
W1^2(V) = П212 [ ^С12М Р(и, <р) 2 , (4)
здесь
„2 р2
^2 = 2Ц2- /12 (5)
2 тпш12
— квадрат частоты Раби перехода в двухуровневой системе, ^12 — собственная частота ДУС, Ё= Е(ш,^)/Ео — нормированный на амплитуду фурье-образ поля. Отметим, что частота Раби описывает интенсивность взаимодействия между ДУС и импульсом поля.
о
Как видно из (4), усредненная по начальной фазе вероятность возбуждения ДУС определяется средним от квадрата модуля фурье-образа поля:
те
= ^2/с/иСМ^ | Р (со,р) | ^ .
(6)
Выразим теперь величину
Р(ш,р) через фурье-образ от огибающей поля /(со):
2 1 2 Р(и,ф) =4 |ехр(г<р)/(ш + шс) + ехр(-г^>)/(ш - шс)\ =
+ )|2 + |/(со - ^с)|2 + 2 Ие [е2г^/(со + шс)/*(со -
со.
Отсюда после усреднения данной функции по начальной фазе <р получаем
2 \ = 1
<Р
( | РК р) | ^ = 4 [|/(^ + ^е)|2 + |/(^ - ^с)|2
(7)
(8)
Из сравнения (7) и (8) видно, что в случае действительной функции /(со) и для р = 7г/4 эти выражения совпадают.
С учетом (8) из (6) получаем для вероятности возбуждения ДУС за все время действия импульса со случайной фазой
= (1/4)^2 / ¿соС 12И |/(со + ^с)|2 + |/(со - ^с)|
(9)
Рассмотрим гауссовский и экспоненциальный импульсы. Для них, соответственно, временные формы огибающих имеют вид (г - длительность импульса):
2т2 )
/с(£) = ехр ^-2л) и /ехр(^) = 0(г) ехр ( -^
(-О
Фурье-образы огибающих равны
( ш2Т2\
¡с(ш) = ^/2^т ехр (--—\ И /ехр (ш) =
1 — шт
(10)
(11)
После подстановки (11) в (8) и в (6) получаем усредненную по начальной фазе вероятность возбуждения ДУС гауссовским и экспоненциальным импульсом.
Возбуждение квантового осциллятора
Рассмотрим возбуждение квантового осциллятора (без затухания) из основного состояния |0} в стационарное состояние |п} под действием импульса с заданной начальной фазой р. Вероятность этого процесса дается равенством [6,9]:
Wo^n(p) = ехр(-п(р)),
п!
где
п(р) = ^ Р(р,Шо)
среднее число возбужденных квантов, шо - собственная частота осциллятора,
дЕо
По =
л/2МКй0
(12)
(13)
(14)
о
2
о
— частота Раби для квантового осциллятора с зарядом ц и массой М. Заметим, что частота (14) соответствует частоте Раби для ДУС (5) с учетом того, что для осциллятора /12 = 1.
В случае, когда отсутствуют релаксационные процессы и С12(ш) = 5(ш — ш12), из равенств (4) и (13) следует, что вероятность возбуждения ДУС совпадает со средним числом возбужденных квантов осциллятора при условии равенства их параметров (собственных частот, зарядов и масс). Таким образом, и соответствующие величины, усредненные по начальной фазе возбуждающего импульса, тоже совпадают. Поэтому для среднего числа квантов (п(р))^ справедлива формула (9), если спектральная форма линии ДУС описывается дельта-функцией.
Для усредненной по начальной фазе импульса вероятности возбуждения квантового осциллятора из основного в стационарное состояние имеем выражение
(Жо^(р))^ = ^ / ехр(—п(р))^р, (15)
о
которое можно использовать в численных расчетах с учетом явного вида фурье-образа 17(р,ш). Для гауссовского импульса этот фурье-образ равен
Р ( ) /* / ( ■ (ш — ш^)2т2\ + (. (ш + шс)2т2\у
^с(р,ш) = у 2Т 1ехр I --2-) +ехР --2-У ' ' ( )
и для экспоненциального импульса имеем соответственно
р (,пш) т [ ехр(—р) ехр(гр) \
Еехр(Р, ш) = - < --Г,-7- + --Г,-,-Г" > . (17)
2 [1 — г(ш — шс)т 1 — г(ш + шс)т)
Итак, с помощью формул (12) - (17) можно рассчитать вероятности возбуждения квантового осциллятора (без затухания) из основного в стационарное состояние гауссовским и экспоненциальным импульсами с фиксированной и случайной начальной фазой, равномерно распределенной в интервале [0,2к].
3. Результаты численного расчета
Расчетные зависимости вероятности возбуждения квантового осциллятора на перехо-
щих и фазовых характеристик импульса. Положено, что собственная частота осциллятора шо = 6 отн. ед., несущая частота импульса шс = 5 отн. ед., длительность импульса тоже измеряется в относительных единицах. Как отмечалось в статье [7], возможность использования относительных (безразмерных) единиц для частотных и временных параметров задачи, связана с тем, что в рассматриваемом случае справедливо скэйлинговое преобразование частоты и времени: ш' ^ Бш и т' ^ т/Б, где 5 - произвольная константа.
На рис. 1 представлены данные для гауссовского импульса и частоты Раби Оо = 2 отн. ед. Видно, что различные функции Шо1(т) для различных значений р, включая случайную фазу, существенно для малых значений длительности импульса. При этом рассматриваемая зависимость для импульса со случайной фазой практически совпадает со случаем р = к/4. Данное обстоятельство следует также из формулы для вероятности возбуждения ДУС (4) и замечания, сделанного после равенства (8), с учетом того, что /с(ш) — действительная функция.
С ростом частоты Раби начинает сильнее проявляться нелинейность при возбуждении квантового осциллятора, что, в частности, приводит к различию вероятностей возбуждения гауссовским импульсом со случайной фазой и с заданной фазой р = к/4. Это видно из рис. 2, на котором представлена функция Шо1(т) для частоты Раби Оо = 5 отн. ед. Из данного рисунка также следует общее усиление фазовой зависимости вероятности возбуж-
Рис. 1. Вероятность возбуждения квантового осциллятора на переходе 0 1 иод действием гауссов-ского импульса с различными фазовыми характеристиками как функция длительности импульса: сплошная кривая — случайная фаза, пунктир — р = 0, штриховая кривая — р = ж/4, штрих-пунктир — р = ^/2; ш0 = 6, шс = 5, О0 = 2
Рис. 2. То же, что на рис. 1 для = 5
Зависимости Шо\(т) при возбуждении квантового осциллятора экспоненциальным импульсом с различными фазовыми характеристиками представлены на рис. .3 4 для двух значений частоты Раби. Из рис. .3 видно, что при меньшем значении этого параметра (Оо = 2 отн. ед.) влияние фазы на вероятность возбз^ждения мало для всех длительностей импульса.
При значении частоты Раби О0 = 4 отн. ед. (рис. 4) зависимость вероятности возбз^ж-дения квантового осциллятора от фазовых характеристик становится весьма заметной для длинных импульсов в отличие от случая гауссовского импульса, когда влияние фазы существенно в обратном пределе коротких импульсов (рис. 1 2). Кроме того, в этом случае усреднение вероятности процесса по случайной фазе приводит примерно к тому же результат}', что и для значения начальной фазы импульса р = ^/4. В этом проявляется аналогия возбуждения вещества экспоненциальным и гауссовским импульсом.
Рис. 3. Вероятность возбуждения квантового осциллятора на переходе 0-1 под действием экспоненциального импульса с различными фазовыми характеристиками как функция длительности импульса: сплошная кривая — случайная фаза, пунктир — р = 0, штриховая кривая — р = к/4, штрих-пунктир — р = к/2; шо = 6, шс = 5, Оо = 2
Рис. 4. То же, что на рис. 3 для О0 =4
Проведенное выше рассмотрение несложно обобщить на случай осциллятора с затуханием. Для этого, как показано в статье [10] в рамках модельного подхода, нужно ввести спектральную форму линии для осциллятора (7 — константа затухания).
С08с (ш,7) = -
4ш27
к (ш2 — ш,2)2 + 4ш272 '
тогда выражение для среднего числа возбужденных квантов (13) перепишется в виде
п(р, 7) = °о
С08с(ш, 7)Р(р,ш)кш
(18)
(19)
Среднее число возбужденных квантов осциллятора с затуханием (19) нужно подставить в формулы (12), (15), чтобы получить фазовые зависимости вероятности возбуждения, включая возбуждение импульсом со случайной фазой.
2
о
4. Заключение
В настоящей статье рассмотрено возбуждение вещества импульсами со случайной фазой, равномерно распределенной на всем интервале возможных значений, на примере двух фундаментальных моделей: двухуровневой системы и квантового гармонического осциллятора. Получены общие выражения для вероятности возбуждения ДУС через фурье-образ огибающей импульса.
Численно проанализировано возбуждение квантового осциллятора из основного в стационарное состояние для различных значений параметров задачи при возбуждении гаус-совским и экспоненциальным импульсами со случайной начальной фазой. Проведено сравнение со случаем возбуждения импульсом с фиксированной фазой. Установлены характерные черты вероятности процесса как функции длительности импульса при слабом (низкие частоты Раби) и сильном (высокие частоты Раби) режиме возбуждения. В частности, показано, что для значения начальной фазы импульса р = к/4 вероятность возбуждения квантового осциллятора практически совпадает со своим аналогом для импульса со случайной фазой в случае гауссовской огибающей на низких частотах Раби, а в случае экспоненциальной огибающей — для всех значений частоты Раби.
Указано простое обобщение проведенного рассмотрения на случай квантового осциллятора с затуханием.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда № 24-49-10004, https: //rscf.ru/project/24-49-10004/
Список литературы
1. Chini, М., Zhao, К., Chang, Z. The generation, characterization and applications of broadband isolated attosecond pulses // Nature Photonics. 2014. V. 8, N 3. P. 178-186.
2. Arustamyan M.G., Astapenko V.A. Phase control of the Excitation of a Two-Level System with Short Laser Pulses 11 Laser Physics. 2008. V. 18, N 6. P. 768-773.
3. Arustamyan M.G., Astapenko V.A. Phase control of Oscillator Excitation under the Action of Ultrashort Laser Pulses 11 Laser Physics. 2008. V. 18, N 9. P. 1031-1036.
4. Astapenko V. Peculiar Features of Quantum Oscillator Excitation by Pulses with Different Envelopes 11 Mathematics. 2022. V. 10. P. 1227.
5. Астапенко В.A., Kpomoe Ю.А., Сахно С.В. Импульсное возбуждение гармонического осциллятора: зависимость от параметров возбуждающей силы // Труды МФТИ. 2023. Т. 15, № 1. С. 41-47.
6. Астапенко В.А., Бергалиев Т.К., Сахно С.В. Возбуждение квантового осциллятора короткими электромагнитными импульсами: зависимость от абсолютной фазы // Известия Вузов. Физика. 2023. Т. 66, № 12. С. 143-150.
7. Астапенко В.А., Бергалиев Т.К., Кроткое Ю.А. Фазовый контроль при возбуждении квантового осциллятора экспоненциальным импульсом // Труды МФТИ. 2024. Т. 16, № 1. С. 144-151.
8. Astapenko V.A. Simple formula for photoprocesses in the ultrashort electromagnetic field 11 Physics Letters A. 2010. V. 374. P. 315-327.
9. Schwinger J. The Theory of Quantized Fields 11 Phvs. Rev. 1953. V. 91. P. 728-740.
10. Astapenko V, Bergaliyev Т., Sakhno S. Pulsed excitation of a quantum oscillator: a model accounting for damping 11 Open Physics. 2024. V. 22. 20230208.
References
1. Chini, M., Zhao, K., Chang, Z. The generation, characterization and applications of broadband isolated attosecond pulses. Nature Photonics. 2014. V. 8, N 3. P. 178-186.
2. Arustamyan M.G., Astapenko V.A. Phase control of the Excitation of a Two-Level System with Short Laser Pulses Laser Physics. 2008. V. 18, N 6. P. 768-773.
3. Arustamyan M.G., Astapenko V.A. Phase control of Oscillator Excitation under the Action of Ultrashort Laser Pulses Laser Physics. 2008. V. 18, N 9. P. 1031-1036.
4. Astapenko V. Peculiar Features of Quantum Oscillator Excitation by Pulses with Different Envelopes Mathematics. 2022. V. 10. P. 1227.
5. Astapenko V.A., Krotov Yu.A., Sakhno S. V. Pulse excitation of a harmonic oscillator: dependence on the parameters of the exciting force. Proceedings of MIPT. 2023. V. 15, N 1. P. 41-47 (in Russian).
6. Astapenko V.K., Bergaliyev T.K., Sakhno S. V. Excitation of quantum oscillator by short electromagnetic pulses: dependence on absolute phase. Izvestiva Vuzov. Phvsica. 2023. V. 66, N12. P. 143-150. (in Russian).
7. Astapenko V.K., Bergaliyev T.K., Krotov Yu.A. Phase control of quantum oscillator excitation by exponential pulse. Proceedings of MIPT. 2024. V. 16, N 1. P. 144-151.
8. Astapenko V. A. Simple formula for photoprocesses in the ultrashort electromagnetic field. Physics Letters A. 2010. V. 374. P. 315-327.
9. Schwinger J. The Theory of Quantized Fields. Phvs. Rev. 1953. V. 91. P. 728-740.
10. Astapenko V., Bergaliyev T., Sakhno S. Pulsed excitation of a quantum oscillator: a model accounting for damping. Open Physics. 2024. V. 22. 20230208.
Поступим в редакцию 10.06.2024
