CC BY
1
УДК 535.3
В. А. Астапенко1, Т. К. Бергалиев1, Ю. А. Кротов1'2
1 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) 2АО «НИИ «Полюс» им. М. Ф. Стельмаха»
Фазовый контроль при возбуждении квантового осциллятора экспоненциальным импульсом
Аналитически и численно исследован фазовый контроль возбуждения квантового осциллятора без затухания из основного состояния под действием экспоненциального импульса произвольной длительности и амплитуды. Установлены специфические черты данного процесса, характерные для экспоненциального импульса, отличные от случая возбуждения импульсом с гауссовской огибающей. Показано, что коэффициент фазовой модуляции максимален для ультракоротких импульсов, а для достаточно длинных импульсов уменьшается при приближении несущей частоты импульса к собственной частоте осциллятора.
Ключевые слова: импульсное возбуждение, фазовая модуляция, абсолютная фаза
V.A. Astapenko1, Т. К. Bergaliyev1, Yu. A. Krotov1'2
1
2
Phase control during excitation of quantum oscillator
by exponential pulse
The phase control of the excitation of a quantum oscillator without damping from the ground state under the influence of an exponential pulse of arbitrary duration and amplitude is studied analytically and numerically. Specific features of this process have been established, characteristic of an exponential pulse, different from the case of excitation by a pulse with a Gaussian envelope. It is shown that the phase modulation coefficient has maximum for ultrashort pulses, and for sufficiently long pulses it decreases as the pulse carrier frequency-approaches the eigenfrequency of the oscillator.
Key words: pulsed excitation, phase modulation, absolute phase
1. Введение
Генерация электромагнитных импульсов с заданной абсолютной фазой (или СЕР -carrier envelope phase) открывает новые возможности фазового управления фотоиндуци-рованными процессами (фазовый контроль), в отличие от традиционного способа за счет изменения амплитуды поля [1]. Наряду с этим в последнее время достигнут значительный прогресс в технологии генерации коротких и ультракоротких импульсов с заданной длительностью (Нобелевская премия по физике за 2023 год, присужденная Ф. Краусу, А. Люийе и П. Агостини). Все это делает актуальным детализацию описания импульсного возбуждения вещества, при котором учитывается зависимость вероятности фотопроцесса от всех характеристик возбуждающего импульса.
© Астапенко В. А., Бергалиев Т. К., Кротов Ю. А., 2024
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2024
Фазовый контроль возбуждения двухуровневой системы под действием гауссовского импульса анализировался в статье [2] с помощью численного решения уравнений Блоха. Было, в частности, показано, что с изменением абсолютной фазы можно практически свести к нулю населенность верхнего энергетического уровня после окончания действия импульса. Кроме того, были установлены границы применимости приближения вращающейся волны. В статье [3] теоретически исследовался фазовый контроль возбуждения классического осциллятора под действием ультракороткого лазерного импульса с переменной фазой и гауссовской огибающей. Рассматривался как гармонический осциллятор, так и осциллятор Морзе. В первом случае были получены аналитические выражения для коэффициента фазовой модуляции и спектральной функции возбуждения. В случае осциллятора Морзе численно рассчитывалась зависимость мощности излучения от абсолютной фазы для различных значений параметров импульса, а также энергия возбуждения как функция амплитуды одноциклового импульса.
Квантовый осциллятор является фундаментальной квантово-механической моделью, применимой для широкого круга материальных объектов. Уникальной чертой данной модели является возможность аналитического описания возбуждения при любой амплитуде внешнего воздействия [4,5]. Это позволяет учесть точно нелинейные эффекты электромагнитного взаимодействия и влияние на них параметров возбуждающего импульса. Так, в работе [6] аналитически и численно исследовалось возбуждение квантового осциллятора мультицикловыми электромагнитными импульсами с гауссовской огибающей и огибающей в форме гиперболического секанса для произвольного значения амплитуды поля. Были рассчитаны и проанализированы зависимости вероятности возбуждения от длительности, несущей частоты и амплитуды. Специфические черты возбуждения квантового осциллятора мультцикловыми импульсами с различными огибающими исследовались в статье [7]. Было установлено наличие двух режимов возбуждения: слабого и сильного, а также изучены зависимости вероятности возбуждения от параметров импульса для каждого из этих режимов. В работе [8] рассматривалось импульсное возбуждение классического гармонического осциллятора с затуханием для различных значений длительности, несущей частоты и формы огибающей импульса. Было, в частности, показано, что зависимость энергии возбуждения осциллятора имеет качественно различный характер в случае экспоненциального и гауссовского импульсов. Наконец, в недавней работе [9] исследовалось влияние абсолютной фазы на вероятность возбуждения квантового осциллятора из основного состояния под действием короткого электромагнитного импульса с гауссовской огибающей. Были рассчитаны и проанализированы временные и спектральные зависимости вероятности возбуждения для различных абсолютных фаз, а также установлен критерий возникновения фазовых эффектов для гауссовского возбуждающего импульса.
В данной статье аналитически и численно исследуется влияние абсолютной фазы экспоненциального импульса на вероятность возбуждения квантового осциллятора без затухания за все время действия импульса с произвольной длительностью и амплитудой.
В отличие от гауссовского импульса экспоненциальный импульс имеет резкий передний и экспоненциально затухающий задний фронт, что характерно для лазерных импульсов, генерируемых в режиме модуляции добротности. Для экспоненциального импульса можно получить относительно простое аналитическое описание возбуждения, при котором в явном виде прослеживается зависимость от параметров импульса, что позволяет установить качественные закономерности процесса.
2. Основные формулы
Выражение для вероятности возбуждения квантового осциллятора из основного состояния в п-е стационарное состояние под действием электромагнитного импульса можно получить из общей формулы Швингера [4], оно имеет вид [6,9]:
ТЬ\Т ( ю)п
, шс, ю) =-^-ехр (-й(т, шс, ю)), (1)
где т, (с — длительность и несущая частота импульса, ю — фаза «несущей по отношению к огибающей» (абсолютная фаза), п(т,шс,ю) - среднее число квантов в результате возбуждения, которое для осциллятора без затухания равно
й(т, (с, ю) = ^о|Е((о, т, (с, ю)|2, (2)
здесь (о _ собственная частота осциллятора,
^ = д Ео 0 /2 М П( о
— частота Раби, д, М — заряд и масса осциллятора, Ео — амплитуда напряженности электрического поля в импульсе, Е((о,т,шс,ю) — фурье-образ нормированной на амплитуду напряженности электрического поля на собственной частоте осциллятора.
Заметим, что формулы (2) - (3) справедливы для импульса силы, пропорционального напряженности электрического поля:
Е (*, г) = дЕ (*, г). (4)
Равенство (4) отвечает прямому механизму возбуждения осциллятора, в отличие от непрямых механизмов, при которых сила пропорциональна второй степени поля.
Таким образом, согласно (1) - (2) вероятность возбуждения квантового осциллятора без затухания за все время действия импульса определяется квадратом модуля фурье-образа поля на собственной частоте осциллятора.
Нормированный на амплитуду напряженности электрического поля экспоненциальный импульс имеет вид
Е = 0(£) ехр(-£/т)со8(шс£ + ю). (5)
0(1) _ функция Хэвисайда, ю _ абсолютная фаза.
Квадрат модуля фурье-образа напряженности электрического поля экспоненциального импульса (5), который входит в выражение (2), определяя тем самым вероятность возбуждения квантового осциллятора (1), можно представить в виде
|Еехр(ш,(с,Т,ю)|2 = 4^«р(ш,шс, г) {1 + Кехр(ш,шс, г) С08(2(^ + Л^ехр)} , (6)
где
„ ( ) = 2г__1 + (ш2 + (2) т2_
аехр(( ^ Т) = ^ [1 + (( + (с)2т2] [1 + (( - (с)2Г2] ^
— спектральная форма импульса, для мультицикловых импульсов (сост ^ 1) и околорезо-
( = (о
К ((,пт\ У[1 + (Щ +(с)У2] [1 + (( - (с)2Т2]
КехрТ) = -1 + ((2 +(2)Т2--(8)
— коэффициент фазовой модуляции,
/ 1 + ((2 -(2)г2 .
Л ю«р = агссов < с == } (9)
IV[1 + ((2 -(с2)т2]2 + 4(с2г2
— фазовый сдвиг. Заметим, что Л <рехр(т = 0) = 0.
Собирая формулы (1) - (2) и (6) - (9) и полагая, что ш = шо , получаем вероятность возбуждения квантового осциллятора из основного состояния в стационарное состояние п за все время действия импульса с учетом абсолютной фазы р.
Точные выражения (6) (9) получены вне приближения вращающейся волны, в котором пренебрегается нерезонансными членами по сравнению с резонансными. Приближение вращающейся волны не применимо в данном случае, поскольку рассматриваются произвольные длительности, включая субцикловые импульсы.
Интересно сравнить фазовую зависимость возбуждения экспоненциальным импульсом с аналогичной зависимостью для возбуждения гауееовеким импульсом
Ё = ехр(-£2/2т 2)ео8(Шс£ + р), (10)
для которого
|£(ш,т,шс,^)|2 = 2т2 еЪ(2шшст2) {1 + вееЬ(2иист2)еов(2^)} .
Отсюда следует, что коэффициент фазовой модуляции в случае возбуждения квантового осциллятора гауееовеким импульсом (10) равен [9]:
Кс(ш,шс, г) = 8ееЬ(2шшсг2). (11)
Это значение получается также для возбуждения классического осциллятора гауееовеким импульсом [3].
Как видно из формулы (8), в пределе мультициклового экспоненциального импульса ^ехр(^с = ^ 1) = 0. В этом же пределе коэффициент фазовой модуляции при
возбуждении квантового осциллятора гауееовеким импульсом равен нулю, как это следует из формулы (11). В этом состоит качественное различие фазового контроля под действием импульсов с различными огибающими.
3. Результаты расчета
Сравнение коэффициентов фазовой модуляции при возбуждении квантового осциллятора экспоненциальным и гауееовеким импульсом как функции длительности импульса приведено на рис. 1 для несущей частоты импульса шс = 1.05 отн. ед. и собственной частоты осциллятора Шо = 1 отн. ед.
Рис. 1. Коэффициент фазовой модуляции как функция длительности импульса: сплошная кривая — экспоненциальный импульс, пунктир - гауссовский импульс; = 1, шс = 1.05
В данной статье частоты и длительность импульса измеряются в относительных единицах, поскольку справедливо скэйлинговое преобразование ш' ^ Бш ш т' ^ т/Б, где 5 -произвольная константа.
Из рис. 1 видно, что для субцикловых импульсов шст < 1 коэффициент фазовой модуляции близок к единице, а с ростом длительности импульса он уменьшается. При этом в случае гауееовекого импульса уменьшение происходит существенно быстрее, чем для экспоненциального импульса (экспоненциальным образом, как это следует из формулы (11)).
На рис. 2 представлена зависимость коэффициента фазовой модуляции от длительности экспоненциального импульса для различных несущих частот. Видно, что в соответствии с (8) для околорезонансных несущих частот коэффициент фазовой модуляции убывает быстрее с ростом длительности импульса, однако к нулю он стремится только в случае точного резонанса ш = шс.
Рис. 2. Коэффициент фазовой модуляции как функция длительности экспоненциального импульса: сплошная кривая — шс = 1.01, пунктир — шс = 1.5 штриховая кривая — шс = 2; = 1
Фазовый сдвиг (9) как функция длительности импульса показан на рис. 3 для различных несущих частот экспоненциального импульса. Видно, что для т = 0 сдвиг равен нулю, а с ростом частотной отстройки его асимптотическое значение (для больших длительностей) изменяется от ж/2 до ж, как это следует из формулы (9).
Д<р
г|-г-1-1-т-
т
Рис. 3. Фазовый сдвиг Д^ещ> в зависимости от длительности экспоненциального импульса: сплошная кривая — шс = 1, пунктир — шс = 1.5 штриховая кри вая — шс = 2; = 1
На рис. 4 5 показана зависимость от абсолютной фазы экспоненциального импульса вероятности возбуждения перехода 0 1 в квантовом осцилляторе для различных длительностей, а также для больших) значения частоты Раби (рис. 5).
Видно, что с ростом параметра т глубина модуляции уменьшается (минимальное значение возрастает), а значение вероятности растет. При этом максимум фазовой зависимости
незначительно смещается в область меньших значений абсолютной фазы.
9
Рис. 4. Зависимость вероятности возбуждения перехода 0 1 в квантовом осцилляторе от абсолютной фазы экспоненциального импульса для различных длительностей импульса: сплошная кривая — т = 0.5, пунктир - т = 1, штриховая кривая - т = 2; шс = 1.1 = 1, П0 = 0.3
Для большого значения частоты Раби (рис. 5), отвечающих) насыщению [7], уменьшение глубины фазовой модуляции становится более проявленным: вероятность возбуждения перехода 0 1 но мере роста абсолютной фазы осциллирует около своего среднего значения с малой амплитудой, а сдвиг максимума для т = 2 становится существенным.
И-.-.-
Рис. 5. То же, что па рис. 4 для большей частоты Раби П0 = 1
На рис. 6 представлена фазовая зависимость вероятности возбуждения перехода 0 1 для заданного значения длительности импульса и различных несущих частот.
Из рис. 6 следует, что увеличение частотной отстройки уменьшает величину вероятности и смещает ее максимум. При этом глубина фазовой модуляции изменяется несущественно.
Расчет показывает, что с увеличением частоты Раби и переходе в режим насыщения при больших частотных отстройках фазовая зависимость становится негармонической: максимум уширяется, приобретая столообразную форму, а глубина фазовой модуляции при этом увеличивается.
При возбуждении переходов О-п с п > 1 качественные закономерности фазового контроля остаются прежними, отличаясь лишь по абсолютной величине.
Wio
oJ-'-1-
о 1 i з
9
Рис. 6. Зависимость вероятности возбуждения перехода 0 1 в квантовом осцилляторе от абсолютной фазы экспоненциального импульса для различных несущих частот импульса: сплошная кривая — шс = 1, пунктир — шс = 1.2, штриховая кривая — шс = 1.5 = 1 т = 2,
= 0.3
4. Заключение
В работе установлены основные закономерности фазового контроля при возбуждении квантового осциллятора без затухания экспоненциальным импульсом. Получены аналитические выражения для коэффициента фазовой модуляции, фазового сдвига и спектральной формы импульса вне приближения вращающейся волны. Показано, что фазовый сдвиг в случае экспоненциального импульса, вообще говоря, не равен нулю в отличие от гауееов-ского импульса. Коэффициент фазовой модуляции максимален при малых длительностях импульса и увеличивается с ростом частотной отстройки несущей частоты от собственной частоты осциллятора для достаточно длинных импульсов. Фазовый сдвиг монотонно возрастает с ростом длительности импульса, асимптотически приближаясь к своему предельному значению, зависящему от вышеуказанной частотной отстройки.
Проведен численный расчет фазовой зависимости вероятности возбуждения перехода 0 1 в квантовом осцилляторе для различных длительностей и несущих частот экспоненциального импульса, а также для различных значений частоты Раби. Показано, что с ростом длительности импульса глубина фазовой модуляции уменьшается и максимум вероятности незначительно смещается в область меньших значений абсолютной фазы. Аналогичный сдвиг (но больший но величине) происходит с увеличением частотной отстройки несущей частоты импульса от собственной частоты осциллятора.
При переходе в режим насыщения с ростом частоты Раби фазовая зависимость вероятности становится более слабой, и положение фазовых максимумов существенно изменяется при изменении длительности импульса.
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках государственного задания (договор 075-03-2023-106 от 13.01.2023).
Список литературы
1. Heide С., Boolakee Т., Eckstein Т., Hommelhoff P. Optical current generation in graphene: CEP control vs. u + 2u control // Nanophotonics. 2021. V. 10, N 14. P. 3701-3707.
2. Arustamyan M.G., Astapenko V.A. Phase control of the Excitation of a Two-Level System with Short Laser Pulses /7 Laser Physics. 2008. V. 18, N 6. P. 768 773.
3. Arustamyan M.G., Astapenko V.A. Phase control of Oscillator Excitation under the Action of Ultrashort Laser Pulses 11 Laser Physics. 2008. V. 18, N 9. P. 1031-1036.
4. Schwinger J. The Theory of Quantized Fields 11 Phvs. Rev. 1953. V. 91. P. 728-740.
5. Husimi K. Miscellanea in Elementary Quantum Mechanics // Prog. Theor. Phvs. 1953. V. 9. P. 238-244.
6. Astapenko V.A., Sakhno E.V. Excitation of a quantum oscillator by short laser pulses // Appl. Phvs. B. 2020. V. 126.
7. Astapenko V. Peculiar Features of Quantum Oscillator Excitation by Pulses with Different Envelopes 11 Mathematics. 2022. V. 10. 1227.
8. Астапенко В.А., Кроткое Ю.А., Сахно С.В. Импульсное возбуждение гармонического осциллятора: зависимость от параметров возбуждающей силы // Труды МФТИ. 2023. Т. 15, № 1. С. 41-47.
9. Астапенко В.А., Бергалиев Т.К., Сахно С.В. Возбуждение квантового осциллятора короткими электромагнитными импульсами: зависимость от абсолютной фазы // Известия Вузов. Физики. 2023. Т. 66, № 12. С. 143-150.
References
1. Heide С., Boolakee Т., Eckstein Т., Hommelhoff P. Optical current generation in graphene: CEP control vs. и + 2и control. Nanophotonics. 2021. V. 10, N 14. P. 3701-3707.
2. Arustamyan M.G., Astapenko V.A. Phase control of the Excitation of a Two-Level System with Short Laser Pulses. Laser Physics. 2008. V. 18, N 6. P. 768-773.
3. Arustamyan M.G., Astapenko V.A. Phase control of Oscillator Excitation under the Action of Ultrashort Laser Pulses. Laser Physics. 2008. V. 18, N 9. P. 1031-1036.
4. Schwinger J. The Theory of Quantized Fields. Phvs. Rev. 1953. V. 91. P. 728-740.
5. Husimi K. Miscellanea in Elementary Quantum Mechanics. Prog. Theor. Phvs. 1953. V. 9. P. 238-244.
6. Astapenko V.A., Sakhno E. V. Excitation of a quantum oscillator by short laser pulses. Appl. Phvs. B. 2020. V. 126.
7. Astapenko V. Peculiar Features of Quantum Oscillator Excitation by Pulses with Different Envelopes. Mathematics. 2022. V. 10. 1227.
8. Astapenko V.A., Krotov Yu.A., Sakhno S. V. Pulse excitation of a harmonic oscillator: dependence on the parameters of the exciting force. Proceedings of MIPT. 2023. V. 15, N 1. P. 41-47 (in Russian).
9. Astapenko V.A., Bergaliev Т.К., Sakhno S. V. Excitation of a quantum oscillator by short electromagnetic pulses: dependence on the absolute phase. Izvestia Vuzov. Physics. 2023. V. 66, N 12. P. 143-150 (in Russian).
Поступим в редакцию 31.01.2024
