CC BY
1
УДК 539.1
В. А. Астапенко, Е.В. Сахно
Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)
Когерентное возбуждение фононов в GaAs лазерными
импульсами
Данная работа посвящена численному анализу особенностей возбуждения квантового осциллятора лазерными импульсами на примере поперечных оптических фононов в GaAs с помощью прямого механизма возбуждения. Рассмотрены временные и спектральные зависимости среднего числа квантов осциллятора для различных параметров электромагнитного импульса. Проведено сравнение временных зависимостей среднего числа квантов осциллятора, рассчитанных через полную энергию, работу и с помощью асимптотического выражения для работы.
Ключевые слова: когерентное возбуждение фононов, фононы в GaAs, механизмы возбуждения фононов, квантовый осциллятор
V. A. Astapenko, Е. V. Sakhno Moscow Institute of Physics and Technology (National Research University)
Coherent excitation of phonons in GaAs by laser pulses
This work is devoted to a numerical analysis of the features of the excitation of a quantum oscillator by laser pulses on an example of transverse optical phonons in GaAs using the direct excitation mechanism. The time dependences of the average number of oscillator quanta are considered for various parameters of an electromagnetic pulse. A comparison is made of the time dependences of the average number of oscillator quanta calculated through the total energy, work and using the asymptotic expression for work.
Key words: coherent phonon excitation, phonons in GaAs, phonon excitation mechanisms, quantum oscillator
1. Введение
Квантовый гармонический осциллятор - уникальная физическая модель, у которой временная динамика ее эволюции при взаимодействии с возмущением произвольной величины может быть аналитически описана вне рамок теории возмущений [1, 2, 3].
Особенности возбуждения квантового осциллятора без затухания лазерными импульсами при произвольном значении амплитуды электрического поля рассмотрены в работе [4]. В этой статье аналитически и численно проанализированы зависимости вероятности перехода осциллятора (за все время действия импульса) между стационарными состояниями от несущей частоты, длительности и амплитуды импульса. Динамика временной эволюции возбуждения квантового осциллятора импульсом исследовалась в работе [3]. Зависимость вероятности возбуждения квантового осциллятора без затухания от времени рассмотрена вне рамок теории возмущения для различных параметров импульса. В статье [5] исследовано возбуждение квантового осциллятора без затухания чирпированным лазерным импульсом. В работах [3, 4, 5] аналитический и численный анализ зависимости вероятности возбуждения квантового осциллятора от различных параметров импульса выполнен с использованием точной формулы вероятности возбуждения.
© Астапенко В. А., Сахно Е. В., 2023
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования
«Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023
Взаимодействие квантового гармонического осциллятора без учета затухания с чирпи-рованным гауссовским и sin2 импульсами рассматривалось соответственно в [6, 7]. В данных работах получены аналитические решения для уравнения движения Гейзенберга, записанного для гамильтониана, который представляет взаимодействие квантового гармонического осциллятора с лазерным импульсом в приближении вращающейся волны. С помощью полученных выражений проведен численный анализ для среднего числа фотонов как функции времени и спектра излучения осциллятора.
Модель квантового осциллятора может быть, в частности, применена для описания когерентного возбуждения фононов. Процесс когерентного возбуждения фононов ультракороткими лазерными импульсами привлекает большой интерес в связи с развитием и усовершенствованием полупроводниковых устройств [8], а также позволяет исследовать акустические свойства в плазмонных резонаторах [9-13]. Благодаря такому возбуждению фононов стало возможным не только изменять свойства [14] и структуру материалов [15], но и осуществлять контроль над процессами [16, 17], протекающими в них.
Когерентное возбуждение оптических фононов осуществляется с помощью прямого и непрямого механизмов возбуждения. Прямой механизм означает, что фотон непосредственно конвертируется в фонон. При этом частота фотонов в возбуждающем импульсе должна быть примерно равна частоте фононов. При таком механизме возбуждаются поперечные оптические фононы, т.е. у которых отклонение фононной координаты перпендикулярно волновому вектору. Прямой механизм подробно рассматривается в статье [18]. В случае непрямого механизма, возбуждение фононов может осуществляться с помощью разных процессов, таких как эффект рамановского рассеяния [19], или, как показано в работе [20], одновременное возбуждение фононов с плазмонами в полярных полупроводниках происходит с использованием сверхбыстрого оптического источника. При рамановском рассеянии частота фононов примерно равна разности между частотами падающих и частотами рассеянных фотонов. В таком случае возбуждаются продольные оптические фононы. При прямом механизме генерация оптических фононов возникает в терагерцовом диапазоне [18], в то время как при непрямом механизме возбуждение фононов происходит в оптическом диапазоне [19, 20].
Для описания движения фононов, как правило, используется классическое уравнение гармонического осциллятора. Так, в работе [18] колебания кристаллической решетки моделируются с помощью уравнения для гармонического осциллятора с учетом затухания. В цитируемой статье впервые экспериментально показана возможность когерентного возбуждения оптических поперечных фононов в GaAs электромагнитными импульсами в терагерцовом диапазоне с помощью прямого механизма. В статье сообщается, что ранее это было невозможно сделать в связи с недостаточно широким спектром терагерцового источника. В работе [19] колебания моделируются с помощью уравнения для гармонического осциллятора без учета затухания, при этом генерация фононов осуществляется с использованием непрямого механизма возбуждения. В статье также представлена не только теория, но и обзор экспериментальных работ по когерентному возбуждению оптических фононов фемтосекундными импульсами. В цитируемой работе, в частности, приведено подробное сравнение экспериментальных и теоретических результатов по генерации фононов в GaAs.
Данная статья посвящена теоретическому исследованию когерентного возбуждения фононов в GaAs фемтосекундными лазерными импульсами с помощью прямого механизма возбуждения.
2. Метод расчета
Вероятность перехода Wmn квантового осциллятора без затухания из стационарного состояния \п) в состояние |т) определяется формулой, полученной в статье [1]:
где п< - соответствует меньшей величине из чисел т, п, а п> - соответствует большей величине из чисел т,п, (V) - обобщенные полиномы Лагерра.
С использованием выражения (1) формула для временной зависимости вероятности возбуждения Што(Ь) квантового осциллятора иод действием электромагнитного импульса из основного состояния в стационарное состояние |т) принимает вид
V т(Л
wmo(t) = -^вМ-" №
т\
(2)
Параметр V(¿) в формуле (1) и (2) пропорционален работе над классическим осциллятором [3|:
К*) =
т,
Нш0
(3)
где А(Ь) - работа, совершенная импульсом поля над квантовым осциллятором при воздействии на него лазерным импульсом к данному моменту времени шо - собственная частота осциллятора.
В данной статье рассматривается возбуждение квантового осциллятора импульсами малой длительности, т.е. для которых выполняется условие: шт/2к ~ 1.
Поэтому для дальнейших расчетов используется «скорректированный» гауееовекий импульс (СГИ) [211:
Е (г) = Ее
-гЕо
(1 + И/шт2)2 + (1/(шт))
вхр(-¿2/2т2) вхр(ш1)
1 + 1/(шт )2
где Ео - амплитуда поля, ш - несущая частота импульса, т - длительность импульса. Фурье-образ СГИ имеет вид
(4)
Е(ш') = гЕот, -
ж ш'2т2
2 1 + ш2т2
{ вхр(-(ш - ш')2т2/2) - вхр(-(ш + ш')2т2/2)}
(о)
где ш - текущая частота.
Спектр СГИ представлен на рис. 1.
Рис. 1. Спектр СГИ при Ео = 10-2 а.е., ш = 8 ТГц для различных значений длительности импульса: красная сплошная кривая - т = 48 фс, синяя пунктирная кривая - т = 84 фс, коричневая штриховая кривая - т = 120 фс
С использованием формулы Швингера (1) для вероятности возбуждения квантового осциллятора из основного состояния в стационарное состояние |п), покажем, что среднее
число квантов в результате такого возбуждения будет равняться параметру По определению среднее число квантов п в результате такого возбуждения
п = ^nWnQ(t).
(6)
п= 1
Тогда из (6) получаем
ñ(t) =
ж
Е
m
( ) exp—(t)) = ^
fc+i
( )
=1 (m — 1)
fc=о
k!
exp(—v(t)) = u(t).
(7)
Далее рассматривается возбуждение когерентных фононов в GaAs. Временная зависимость колебаний гармонического осциллятора дается следующим равенством [22]:
x(t) =
2ттМ
т (j) Е(и' )ex2p(-ш' ? du', 22
(8)
Ш '2 — Ш0 + 17Ш
где ц - заряд осциллятора, М - масса осциллятора, 7 - коэффициент затухания осциллятора, Т(ш') - коэффициент пропускания электромагнитной волны границе вакууму ОаАв, который в случае нормального падения определен по следующей формуле [18]:
Т (ш) =
2
1 + nGaAs(u) '
где nGaAs - показатель преломления GaAs:
2 шо
nGaAs(u) = + (£st — 2 . ;
ш2 — ш2 — г^ш
(9)
(10)
где и е¡й - высокочастотная и статическая диэлектрическая проницаемость соответственно.
График коэффициента пропускания электромагнитной волны при нормальном падении на границе вакуум/ваАв представлен на рис. 2.
Рис. 2. Частотная зависимость коэффициента пропускания электромагнитной волны на границе вакуум/GaAs
Из (8) следует, что скорость гармонического осциллятора равна
X (t) = —
2ттМ
Т ,) ш'Е(ш')exp(-ш t) d
ш '2 — ш0 + i ^ш'
(11)
ОС
СО
Временная зависимость напряженности поля лазерного импульса внутри образца СаАв имеет вид
1 Г™ ,
E(t) = — Т (u')E (u')exp(-i u't )du'. (12)
Среднее число квантов осциллятора (7) может быть рассчитано с использованием формулы для полной энергии классического осциллятора (в таком случае в (3) нужно положить A(t) = edas(t)):
п m = Sclas(t) = 1 I MulX2(t) + M X2 (t)\
П (t) = fui = fuA 2 + 2 ' (idj
либо с помощью выражения для работы, которая совершается лазерным импульсом над квантовым осциллятором:
4 q Г1 _ .. Г™ Т(u')Е(u') iu' exp(-iu't') , , , ,
па (t) = E(t) —-—-—-—- ——i-2-'-du'dt', 14
А () MuiJ-™ ( 'J-™ 2ж u'2 — u2 + i^u' ' V ;
a также с помощью формулы для работы A(t) в пределе больших времен т < t < 1/7:
,, = ^ Г |Т(u')|2 УУ2 ,du'. (15)
2nMu0 J-(Х u'2 — u02 + %7u'
С использованием формул (7), (13) исследуем временную и спектральную зависимости среднего числа квантов осциллятора для различных параметров электромагнитного импульса. Также проведем сравнение зависимостей n(t), рассчитанных через полную энергию (13), работу (14), а также с помощью асимптотического выражения (15).
Для численных расчетов использовались следующие параметры для поперечных оптических фононов в GaAs [23]:
ш0 = 8.0276 ТГц, М = 65834 а .е., q = 2.2 а .е., е= 10.88, est = 12.85,7 = 0.055 ТГц.
Здесь М - приведенная масса атомов галлия и мышьяка.
Для сравнения с результатами дальнейших расчетов отметим, что среднее число тепловых фононов при комнатной температуре (Т = 300 К) составляет пт = 0.384.
3. Результаты и обсуждение
Рассмотрим временную зависимость среднего числа фононов, возбужденных в СаАэ лазерным импульсом, рассчитанную через энергию (13), работу (14), а также с помощью асимптотического выражения (15). Соответствующие графики представлены на рис. 3.
П №
0 ЯЮ им' 15*ЮЭ
Г, фс
Рис. 3. Временная зависимость среднего числа возбужденных фононов при Е0 = 10-2 а.е., ш = 7.896 ТГц, т = 120 фс, рассчитанная через полную энергию (сплошная кривая), работу (пунктир). а также с помощью асимптотического выражения для работы (штриховая горизонтальная прямая)
Из рис. 3 видно, что на малых временах (мнохх) меньших времени релаксации) зависимости, полученные с помощью формул полной энергии и работы, совпадают. При больших временах (мнохх) больших времени релаксации) данные зависимости начинают сильно различаться: сплошная кривая стремится к нулю, а пунктирная кривая приближается к константе, что некорректно, т.к. после воздействия импульса колебания должны затухать.
Временная зависимость ереднмх) числа фононов, рассчитанная с помощью аеимптоти-ческохх) выражения для работы, на рис. 3 показана штриховой горизонтальной прямой.
Для дальнейших расчетов воспользуемся формулой (13) для ереднмх) числа фононов.
Временная зависимость ереднмх) числа кох'ерентных фононов, возбужденных СГИ в ОаАя, для различных несущих частот лазернох'о импульса при малых и больших значениях длительности импульса представлена на рис. 4, 5 соответственно.
П£ 5г-г-1-I-1-
0 2С0 «0
Г, фс
Рис. 4. Временная зависимость среднего числа фононов для Е0 = 10-2 а.е., т = 48 фс для различных значений несущей частоты: сплошная кривая — ш = 6.58 ТГц, пунктирная кривая -ш = 7.896 ТГц, штриховая кривая - ш = 9.87 ТГц
Как видно из рис. 4, при достаточно малых значениях длительности импульса (т = 48 фс) с ростом несущей частоты, среднее число когерентных фононов уменьшается.
П£ »г-,-,-,-
м>
Г, фс
Рис. 5. Временная зависимость среднего числа фононов для Е0 = 10-2 а.е., т = 120 фс для различных значений несущей частоты: сплошная кривая — ш = 6.58 ТГц, пунктирная кривая -ш = 7.896 ТГц, штриховая кривая - ш = 9.87 ТГц
Из рис. 5 следует, что при достаточно больших значениях длительности импульса (т = 120 фс) максимум зависимостей достигается при ш = 7.896 ТГц (частота поперечных опти чееких фононов в ОаАв равна ш0 = 8.0276 ТГц). Смещение максимума для различных несущих частот на рис. 4, 5 объясняется смещением максимума спектра СГИ с ростом длительности импульса (см. рис. 1).
Наличие высокочастотных осцилляций объясняется вкладом суммарной частоты (частоты несущей и собственной частоты) в вероятности возбуждения когерентных фононов.
ГС ЗА,-1-1-
13 -
ю -
5 -
о), ТГц
Рис. 6. Спектральная зависимость среднего числа фононов для Е0 = 10-2 а.е. и различных длительностей импульса: сплошная кривая — т = 48 фс, пунктирная кривая — т = 96 фс, штриховая кривая - т = 240 фс
Спектральная зависимость среднего числа когерентных фононов в пределе больших времен £ >> г, возбужденных СГИ в для различных длительностей лазерного им-
пульса представлена на рис. 6.
Из рис. 6 следует, что спектральные зависимости имеют максимум, который сдвигается в область более низких несущих частот с уменьшением длительности импульса г, причем амплитуда в максимуме уменьшается, а также наблюдается уширение данных зависимостей. Изменение положения спектрального максимума объясняется тем, что рассматривается возбуждение фононов скорректированным гауееовеким импульсом, для которого максимум спектра смещается в область больших частоты с уменьшением длительности (см. рис. 1).
О 50 100 150
Т, фс
Рис. 7. Среднее число фононов как функция длительности импульса для Е0 = 10-2 а.е. различных значений несущей частоты: сплошная кривая — ш = 6.58 ТГц, пунктирная кривая — ш = 7.896 ТГц, штриховая кривая - ш = 9.87 ТГц
Из рис. 7 видно, что с приближением несущей частоты ш к собственной частоте шо, зависимость с единственным максимумом преобразуется в монотонно возрастающую функцию. При малых длительностях импульса (меньших 75 фс) порядок кривых совпадает с порядком кривых рис. 4. При больших значениях длительности импульса (больших 75 фс) порядок кривых соответствует рис. 5.
4. Заключение
В работе проведено численное и аналитическое рассмотрение когерентного возбуждения поперечных оптических фононов в (тнАн «скорректированным» гауееовеким импульсом с помощью прямого механизма возбуждения.
Выполнен расчет среднего числа возбужденных фононов с помощью формул для полной энергии и работы с учетом коэффициента пропускания. Установлено, что зависимость п(Ъ) совпадает с физической интерпретацией при малых и больших временах (по сравнению со временем релаксации 1/7) только для формулы, полученной через полную энергию, в то время как данная зависимость, рассчитанная с помощью формулы для работы, корректна только при малых временах.
Рассчитана временная зависимость среднего числа когерентных фононов для различных несущих частот. Показано, что возникают высокочастотные осцилляции, которые объясняются вкладом суммарной частоты (частоты несущей и собственной частоты) в вероятность возбуждения когерентных фононов.
Исследована спектральная зависимость среднего числа когерентных фононов для различных длительностей импульса в пределе больших времен (много больших времени релаксации). Показано, что с уменьшением длительности импульса максимум данной зави-
симости смещается в область более низких несущих частот.
Проанализирована зависимость среднего числа фононов как функции длительности импульса для различных значений несущей частоты. Показано, что зависимость с единственным максимумом преобразуется в монотонно возрастающую функцию с приближением несущей частоты w к собственной частоте шо-
Список литературы
1. Schwinger J. The Theory of Quantized Fields 11 Phvs. Rev. 1953. V. 91. P. 728-740.
2. Husimi K. Miscellanea in Elementary Quantum Mechanics // Prog. Theor. Phvs. 1953. V. 9. P. 238-244.
3. Астапенко В.А., Розми Ф.Б., Сахно E.B. Динамика временной эволюции возбуждения квантового осциллятора электромагнитными импульсами // ЖЭТФ. 2021. Т. 160.
C.155-166.
4. Astapenko V.A., Sakhno E.V. Excitation of a quantum oscillator by short laser pulses // Appl. Phvs. B. 2020. V. 126, N 23.
5. Astapenko V.A., Sakhno E.V. Chirped laser pulse effect on a quantum linear oscillator // Symmetry. 2020. V. 12, N 1293.
6. Hassan S.S., Alharbey R.A., Jarad Т., Almaatooq S. Driven harmonic oscillator by train of chirped gaussian pulses // International Journal of Applied Mathematics. 2020. V. 33, N 1. P. 59-73.
7. Hassan S.S., Alharbey R.A., Matar G. Haar wavelet spectrum of sin2-pulsed driven harmonic oscillator // Nonlinear Optics and Quantum Optics. 2016. V. 48. P. 29-39.
8. Cho G.G., Kütt W., Kurz H. Subpicosecond time-resolved coherent-phonon oscillations in GaAs 11 Phvs. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 764-766.
9. Delia Picca F. [et al.}. Tailored Hvpersound Generation in Single Plasmonic Nanoantennas 11 Nano Lett. 2016. V. 16. P. 1428-1434.
10. O'Brien K. [et al.}. Ultrafast acousto-plasmonic control and sensing in complex nanostructures // Nat. Commun. 2014. V. 5. P. 1-6.
11. Medeghini F. [et al.}. Controlling the Quality Factor of a Single Acoustic Nanoresonator by Tuning its Morphology 11 Nano Lett. 2018. V. 18. P. 5159-5166.
12. Xu F. [et al.}. All-optical in-depth detection of the acoustic wave emitted by a single gold nanorod // Phvs. Rev. B. 2018. V. 97.
13. Keif T.A. [et al.}. Ultrafast Vibrations of Gold Nanorings // Nano Lett. 2011. V. 11. P. 3893-3898.
14. Gerber S., Kim K.W., Zhang Y., Zhu D., Plonka N., Yi M., Dakovski G.L., Leuenberger
D., Kirchmann P.S., Moore R.G. [et al.}. Direct characterization of photoinduced lattice dynamics in BaFe2As2 11 Nat. Commun. 2015. V. 6, N 7377.
15. Forst M., Manzoni G., Kaiser S., Tomioka Y., Tokura Y., Merlin R., Cavalleri A. Nonlinear phononics as an ultrafast route to lattice control // Nat. Phvs. 2011. V. 7. P. 854-856.
16. Han K.J., Kim J.H., Jang D.W., Yee K.J. Control of coherent phonon decay in GaAs by using a secondary pump pulse // Journal of the Korean Physical Society. 2007. V. 50. P. 781-784.
17. Zhang Y., Wang Y. The effect of coherent optical phonon on thermal transport // Appl. Phvs. A. 2014. V. 117. P. 2183-2188.
18. Fu Z., Yamaguchi M. Coherent Excitation of Optical Phonons in GaAs by Broadband Terahertz Pulses // Nature: Scientific Reports. 2016. V. 6, N 38264.
19. Merlin R. Generating Coherent THz Phonons with Light Pulses // Solid State Communications. 1997. V. 102. P. 207-220.
20. Kuznetsov A.V., Stanton C.J. Coherent phonon oscillations in GaAs // Physical Review B. 1995. V. 51, N 12.
21. Lin Q., Zheng J., Becker W. Subcvcle pulsed focused vector beams // Phvs. Rew. Lett. 2006. V. 97. P. 253902-1-253902-4.
22. Rosmej F.B., Astapenko V.A., Lisitsa V.S. Plasma Atomic Physics // Springer Ser. 104. 2021.
23. Cardona M. Fundamentals of Semiconductors. New York : Springer Berlin Heidelberg, 2005. References
1. Schwinger J. The Theory of Quantized Fields. Phvs. Rev. 1953. V. 91. P. 728-740.
2. Husimi K. Miscellanea in Elementary Quantum Mechanics. Prog. Theor. Phvs. 1953. V. 9. P. 238-244.
3. Astapenko V.A., Rosmej F.B., Sakhno E. V. Dynamics of Time Evolution of Quantum Oscillator Excitation by Electromagnetic Pulses. Journal of Experimental and Theoretical Physics. 2021. V. 133. P. 125-135.
4. Astapenko V.A., Sakhno E. V. Excitation of a quantum oscillator by short laser pulses. Appl. Phvs. B. 2020. V. 126, N 23.
5. Astapenko V.A., Sakhno E.V. Chirped laser pulse effect on a quantum linear oscillator. Symmetry. 2020. V. 12, N 1293.
6. Hassan S.S., Alharbey R.A., Jarad T., Almaatooq S. Driven harmonic oscillator by train of chirped gaussian pulses. International Journal of Applied Mathematics. 2020. V. 33, N 1. P. 59-73.
7. Hassan S.S., Alharbey R.A., Matar G. Haar wavelet spectrum of sin2-pulsed driven harmonic oscillator. Nonlinear Optics and Quantum Optics. 2016. V. 48. P. 29-39.
8. Cho G.G., Kütt W., Kurz H. Subpicosecond time-resolved coherent-phonon oscillations in GaAs. Phvs. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 764-766.
9. Delia Picca F., et al, Tailored Hvpersound Generation in Single Plasmonic Nanoantennas. Nano Lett. 2016. V. 16. P. 1428-1434.
10. O'Brien K., et al., Ultrafast acousto-plasmonic control and sensing in complex nanostructures. Nat. Commun. 2014. V. 5. P. 1-6.
11. Medeghini F., et al., Controlling the Quality Factor of a Single Acoustic Nanoresonator by Tuning its Morphology. Nano Lett. 2018. V. 18. P. 5159-5166.
12. Xu F., et al., All-optical in-depth detection of the acoustic wave emitted by a single gold nanorod. Phvs. Rev. B. 2018. V. 97.
13. Keif T.A., et al., Ultrafast Vibrations of Gold Nanorings. Nano Lett. 2011. V. 11. P. 3893-3898.
14. Gerber S., Kim K.W., Zhang Y., Zhu D., Plonka N., Yi M., Dakovski G.L., Leuenberger D., Kirchmann P.S., Moore R.G., et al., Direct characterization of photoinduced lattice dynamics in BaFe2As2. Nat. Commun. 2015. V. 6, N 7377.
15. Forst M., Manzoni G., Kaiser S., Tomioka Y., Tokura Y., Merlin R., Cavalleri A. Nonlinear phononics as an ultrafast route to lattice control. Nat. Phvs. 2011. V. 7. P. 854-856.
16. Han K.J., Kim J.H., Jang D.W., Yee K.J. Control of coherent phonon decay in GaAs by using a secondary pump pulse. Journal of the Korean Physical Society. 2007. V. 50. P. 781-784.
17. Zhang Y., Wang Y. The effect of coherent optical phonon on thermal transport. Appl. Phvs. A. 2014. V. 117. P. 2183-2188.
18. Fu Z., Yamaguchi M. Coherent Excitation of Optical Phonons in GaAs by Broadband Terahertz Pulses. Nature: Scientific Reports. 2016. V. 6, N 38264.
19. Merlin R. Generating Coherent THz Phonons with Light Pulses. Solid State Communications. 1997. V. 102. P. 207-220.
20. Kuznetsov A.V., Stanton C.J. Coherent phonon oscillations in GaAs. Physical Review B. 1995. V. 51, N 12.
21. Lin Q., Zheng J., Becker W. Subcvcle pulsed focused vector beams. Phvs. Rew. Lett. 2006. V. 97. P. 253902-1-253902-4.
22. Rosmej F.B., Astapenko V.A., Lisitsa V.S. Plasma Atomic Physics. Springer Ser. 104. 2021.
23. Cardona M. Fundamentals of Semiconductors. New York : Springer Berlin Heidelberg, 2005.
Поступим в редакцию 21.06.2022
