CC BY
4
УДК 535.3
В. А. Астапенко1, Ю. А. Кротов1'2, С. В. Сахно1
1 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) 2АО «НИИ «Полюс имени М. Ф. Стельмаха»
Импульсное возбуждение гармонического осциллятора: зависимость от параметров возбуждающей силы
Исследована зависимость энергии возбуждения гармонического осциллятора с затуханием под действием импульса периодической силы за все время действия импульса от его длительности, несущей частоты и формы огибающей. Рассмотрены импульсы с экспоненциальной и гауссовской формами огибающей. Получены простые аналитические выражения, описывающие данный процесс. Установлено, что в случае экспоненциального импульса зависимость энергии возбуждения от длительности импульса может иметь точку перегиба, а в случае гауссовского импульса - экстремумы при достаточно большой отстройке несущей частоты импульса от собственной частоты осциллятора. Показано, что при возбуждении квантового осциллятора среднее число квантов и амплитуда среднего от оператора его координаты определяются теми же зависимостями от параметров возбуждающего импульса, что и в случае классического осциллятора.
Ключевые слова: гармонический осциллятор, импульсное возбуждение, экспоненциальный импульс, гауссовский импульс.
V.A. Astapenko1, Yu. A. Krotov1'2, S. V. Sakhno1
1
2
Pulse excitation of a harmonic oscillator: dependence on the parameters of an exciting force
We study the dependence of the excitation energy of a harmonic oscillator with damping under the action of a pulse of a periodic force over the entire duration of pulse on its duration, carrier frequency, and shape of the envelope. Pulses with exponential and Gaussian envelope shapes are considered. Simple analytical expressions describing this process are obtained. It is established that in the case of an exponential pulse, the dependence of the excitation energy on the pulse duration can have an inflection point, while in the case of the Gaussian pulse, extrema can occur at a sufficiently large detuning of the carrier frequency of the pulse from the eigenfrequency of the oscillator. It is shown that when a quantum oscillator is excited, the average number of quanta and the amplitude of its coordinate averaged from the operator are determined by the same dependences using the parameters of the exciting pulse as in the case of a classical oscillator.
Key words: harmonic oscillator, pulse excitation, exponential pulse, Gaussian pulse. 1. Введение
Развитие технологии генерации импульсных источников волн различной природы (электромагнитных, акустических и др.) с заданными параметрами (длительностью, несущей частотой и формой огибающей) делает актуальным исследование особенностей и специфических черт их взаимодействия с веществом. Важной моделью для описания этого взаимодействия как в классической, так и в квантовой физике является гармонический осциллятор.
© Астапенко В. А., Кротов Ю. А., Сахно С. В., 2023
(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2023
Это обусловлено как минимум двумя обстоятельствами. С одной стороны, данная модель применима к широкому кругу объектов при их относительно слабом возмущении. С другой стороны, в квантовой физике динамика гармонического осциллятора может быть описана точно при любой силе воздействия [1]. Здесь стоит отметить важную связь, которую осуществляет классический осциллятор при описании явлений в квантовой и классической физике. Эта связь проявляется в известном принципе спектроскопического соответствия [2], а также в том, что динамика квантового осциллятора определяется ассоциированным с ним классическим осциллятором [3]. Еще одним важным обстоятельством является то, что использование осцилляторной модели позволяет в ряде случаев упростить задачу, выявив при этом основные существенные черты исследуемого явления.
Настоящая статья посвящена исследованию зависимости энергии возбуждения классического осциллятора с затуханием под действием импульса периодической силы различной длительности от параметров импульса, включая форму огибающей, за все время его действия.
2. Классический осциллятор
Рассмотрим возбуждение гармонического осциллятора с затуханием под действием импульса периодической силы с частотой, близкой к собственной частоте осциллятора. Соответствующее уравнение имеет вид
р
ж+ 27 х + ш20х = М ,т,шс), (1)
где Ро _ амплитуда силы, М - масса осциллятора, 7 - константа затухания, /(£,т,шс) -безразмерный временной профиль силы, т - длительность импульса, шс - несущая частота силы, которая предполагается близкой к собственной частоте осциллятора шо-
Энергия возбуждения осциллятора за все время действия импульса определяется равенством
Ае(т, шс) = А = Ро У ¡^, т, ШсЩгЩ (2)
где А - работа силы над осциллятором.
Для дальнейшего удобно выразить энергию возбуждения через безразмерную величину Аё(т, шс) в соответствии с формулой
Дф ,шс ) = Мш Ас(т ,Шс). (3)
Как видно из данного выражения, зависимость энергии возбуждения от параметров возбуждающей силы (длительности, несущей частоты) определяется функцией Аё(т,шс). Для нее из формул (1) - (3) вытекает следующее выражение [4]:
ш2 р 27ш2|¡(ш,т,шс)|2
Ае(т,шс) =— -2,2' ' 2 2Лш. (4)
* Уо (ш2 - ш0)2 + 472ш2
Здесь ¡(ш, т, шс) - фурье-образ от временного профиля силы на частоте ш. В дальнейшем предполагаем, что выполняется неравенство шо >>7 (осциллятор имеет высокую добротность), тогда из (4) следует приближенное выражение
Аё(г,шс) - ш2 Г ^^У+)|22Лш = ш2^Гь(ш,шо, 7)|/(ш,т, шс)^ш, (5) 2* Уо (ш -шо)2 +72 2 Уо
где
Ь(ш,шо,7) = (ш+72 (6)
- лоренциан, который, в частности, описывает форму спектральной линии при однородном уширении излучательного перехода.
Рассмотрим далее две огибающие импульса силы: экспоненциальную и гауссовскую.
Экспоненциальный импульс
Экспоненциальный импульс определяется выражением
¡ер (*, г) = 0(*) ехр(—/т) 0С8М), (7)
где - функция Хэвисайда. Соответствующий квадрат модуля фурье-образа в приближении вращающейся волны (шст >> 1) имеет вид
1 г2
1 ¡ЕР Кт.^12 - 1ТТ(—р^. И
После подстановки (8) в (5) и вычисления интеграла находим
(7 + т-1) /тг
АеЕР(т,Шс) = {Шс -^о)2 + (7 + т-!)2. (9)
Таким образом, в рассматриваемом случае спектральный профиль (9) описывается ло-ренцианом с шириной
АшЕр = 7 + т-1. (10)
В пределе ультракоротких импульсов т << 1/7 из (9) получаем
А--^2 + 1 . <">
Отсюда, в частности, следует квадратичный рост энергии возбуждения с длительностью импульса, если (шс — шо)2т2 < 1.
7 >> 1
АёЕр(т, шс) = --—2 = ^ш1тЦшс, шо, 7). (12)
8 (шс — шо)2 +72 8
Таким образом, в этом случае энергия возбуждения является линейной функцией длительности импульса силы.
Как следует из (9), поглощенная энергия под действием экспоненциального им-
щей при малых длительностях и линейно возрастающей в пределе длинных импульсов. Соответствующие зависимости представлены на рис. 1, для различных отстроек несущей частоты силы от собственной частоты осциллятора.
Точка перегиба на приведенных зависимостях дается выражением, следующим из формулы (9):
г* = /-1-. (13)
\/3| шс — Шо| — 7
Таким образом, перегиб функции Аёер(т) существует, если выполняется неравенство
|шс — шо| > 7//3, (14)
т.е. при достаточно больших частотных отстройках.
Как видно из рис. 1 с увеличением частотной отстройки растет ширина области па-
длительности импульса.
1 10 100 Ы03 1=<Ю4 Ь<105
т
Рис. 1. Зависимость энергии возбуждения гармонического осциллятора под действием силы с экспоненциальной огибающей для различных отстроек Д^ несущей частоты силы от собственной частоты осциллятора: сплошная линия - Д^ = 0.01 отн. ед., пунктир - Д^ = 0.1 отн. ед., штриховая линия - Д^ = 0.5 отн. ед., ^о = 2 отн. ед., 7 = 0.001 отн. ед.
Гауссовский импульс
Гауссовский импульс определяется следующим временным профилем:
fG(t,r) = exp(-i2/2r 2)cos (uct), (15)
квадрат модуля фурье-образа которого в приближении вращающейся (wcr >> 1) волны равен
|/G(w,r,wc)|2 = - г2 exp(-(w - ис)2т2). (16)
Подстановка (16) в формулу (5) и вычисление возникающих) интеграла дает
Дес(т,шс) ^ 2Бе{Ц(ио - шс)т + г7т]}, (17)
где ю(г) = ехр(-,г2)ег/с(-г£) - комплексная функция ошибок, ег/с(х) - дополнительная функция ошибок.
Из формулы (17) следует, что спектральный профиль в данном случае описывается контуром Фойгта [5] со спектральными ширинами Дшс = 1/т, Дшь = 7В квазимонохроматическом пределе (7т >> 1) из (17) вытекает линейная зависимость энергии возбуждения от длительности импульса по аналогии с формулой (12):
2
Дес(т,Шс = ио) и . (18)
чу/ъ
На рис. 2 представлена энергия возбуждения осциллятора как функция длительности гаусеовекого импульса, рассчитанная по формуле (17), для различных отстроек несущей частоты.
1*1 о3
S00
Т
Рис. 2. Зависимость энергии возбуждения гармонического осциллятора под действием силы с гаус-совской огибающей для различных отстроек Д^ несущей частоты силы от собственной частоты осциллятора: сплошная линия - Д^ = 0, пунктир - Д^ = 0.005 отн. ед., штриховая линия -Д^ = 0.01 отн. ед., = 2 отн. ед., 7 = 0.001 отн. ед. Ордината сплошной кривой уменьшена в 10 раз
Существенное отличие приведенных на данном рисунке кривых от графиков рис. 1 заключается в том, что в случае достаточно больших отстроек имеют место экстремумы функции Дё(т). Можно сказать, что при переходе от экспоненциального импульса к гауееовекому точка перегиба в данной функции преобразуется в экстремумы (максимум и минимум). Положение максимума можно описать приближенным равенством
На резонансной несущей частоте энергия возбуждения сначала растет квадратично с ростом т, а затем линейно при больших длительностях (18).
Отметим, что выражения, аналогичные (9) и (17), были получены в статье [6] при исследовании временной зависимости резонансных фотопроцеееов в поле лазерных импульсов различной длительности в рамках квантово-механичеекого подхода.
3. Квантовый осциллятор
Рассмотрим возбуждение квантового осциллятора из т-го стационарного состояния иод действием той же силы, что и в случае классического осциллятора. Классическая сила переводит квантовый осциллятор из стационарного в когерентное состояние \х) {ъ - параметр когерентного состояния). Поэтому квантовое число п конечного стационарного состояния не фиксировано, а дается распределением Штп (Штп - вероятность возбуждения осциллятора на переходе т ^ п). В работе [3] было показано (см. также [7]), что среднее квантовое число п в результате возбуждения осциллятора выражается через работу возбуждающей силы А согласно формуле
1
(19)
7"max ~ I
|WC - Wq
А
n = m + -—. nwQ
(20)
С учетом (3) отсюда находим
Таким образом, среднее число квантов осциллятора после возбуждения определяется безразмерной функцией Дё(т,шс), для которой справедливы все результаты предыдущего раздела. Заметим, что величина пНшо равна средней энергии квантового осциллятора после возбуждения. Любопытно отметить, что эта энергия пропорциональна квадрату амплитуды возбуждающей силы, в то время как вероятность возбуждения, например, на переходе 0 ^ п пропорциональна Рд"", как это следует из общей формулы для вероятности, полученной впервые в статье [1].
Среднее значение оператора координаты квантового осциллятора <5 в когерентном состоянии на временах, меньших времени затухания (£ < 1/7), равно
Поскольку величина п дается формулой (21), то амплитуда колебаний среднего от оператора координаты квантового осциллятора также определяется функцией Дё(т, шс).
4. Заключение
В работе теоретически исследована зависимость энергии возбуждения гармонического осциллятора с затуханием от параметров импульса околорезонансной возбуждающей силы за все время действия силы. Рассмотрены две формы огибающей импульса: экспоненциальная и гауссовская.
Получены простые выражения, описывающие энергию возбуждения классического осциллятора как функцию длительности и несущей частоты силы в обоих случаях. Рассмотрены пределы ультракоротких и квазимонохроматических импульсов.
Установлено, что при достаточно больших отстройках несущей частоты импульса от собственной частоты осциллятора зависимость энергии возбуждения от длительности импульса имеет точку перегиба в случае экспоненциальной огибающей и экстремумы (максимум и минимум) - в случае гауссовской огибающей.
Показано, что средняя энергия возбуждения квантового осциллятора и средняя амплитуда его колебаний определяются той же зависимостью от параметров возбуждающей силы, что и в случае классического осциллятора.
Работа выполнена при поддержке Министерства науки и высшего образования Российской Федерации в рамках государственного задания (договор 075-03-2023-106 от
Список литературы
1. Schwinger J. The theory of quantized fields // Phvs. Rev. 1949. V. 91, P. 728-740.
2. Bohr N., Kramers H.A., Slater J.C. The quantum theory of radiation // Phil. Mag. 1924. V. 47. P. 785.
3. Husimi K. Miscellanea in Elementary Quantum Mechanics // Prog. Theor. Phvs. 1953. V. 9. P. 381-402.
4. Astapenko V.A., Sakhno E. V. The spectroscopic correspondence principle for the time evolution of quantum transitions under the action of electromagnetic pulses // Phvsica Scripta. 2020. V. 95. P. 115504.
5. Voigt W. Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums // Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. 1912. V. 25. P. 60.
(22)
причем
(23)
13.01.2023).
6. Астапенко В.А. Временная зависимость резонансных фотопроцессов, индуцированных электромагнитными импульсами различной длительности // ЖЭТФ. 2022. Т. 162, вып. 1(7). С. 5-13.
7. Астапенко В.А., Розми Ф.Б., Сахно Е.В. Динамика временной эволюции возбуждения квантового осциллятора электромагнитными импульсами // ЖЭТФ. 2021. Т. 160, вып. 2(8). С. 125-135.
References
1. Schwinger J. The theory of quantized fields. Phvs. Rev. 1949. V. 91, P. 728-740.
2. Bohr N., Kramers H.A., Slater J.C. The quantum theory of radiation. Phil. Mag. 1924. V. 47. P. 785.
3. Husimi K. Miscellanea in Elementary Quantum Mechanics. Prog. Theor. Phvs. 1953. V. 9. P. 381-402.
4. Astapenko V.A., Sakhno E.V. The spectroscopic correspondence principle for the time evolution of quantum transitions under the action of electromagnetic pulses. Phvsica Scripta. 2020. V. 95. P. 115504.
5. Voigt W. Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums. Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften. 1912. V. 25. P. 60.
6. Astapenko VA. Time dependence of resonant photoprocesses induced by electromagnetic pulses with various durations. JETP. 2022. V. 162, I. 1(7). P. 5-13. (in Russian).
7. Astapenko V.A., Rosmej F.B., Sakhno E. V. Dynamics of time evolution of quantum oscillator excitation by electromagnetic pulses // JETP. 2021. V. 160, I. 2(8). P. 125-135. (in Russian).
Поступим в редакцию 15.03.2023
