ЭФФЕКТ НАСЫЩЕНИЯ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ ВОЗБУЖДЕНИИ КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 535.3

1)(>1: 10.53815/20726759_2022__14__1__58

В. А. Астапенко1, Ю. А. Крот,ов1'2, С. В. Сахно1

1 Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет) 2АО «НИИ «Полюс имени М. Ф. Стельмаха»

Эффект насыщения при импульсном возбуждении квантового осциллятора

Аналитически и численно исследован эффект насыщения при возбуждении квантового гармонического осциллятора электромагнитным импульсом. Рассмотрена зависимость вероятности перехода между основным и вышележащими стационарными состояниями от длительности, несущей частоты и амплитуды поля в импульсе. Установлены характерные черты процесса возбуждения и их эволюция с изменением силы внешнего возмущения. Обсуждается различие эффекта насыщения для двухуровневой системы и квантового осциллятора.

Ключевые слова: квантовый гармонический осциллятор, лазерные импульсы, фотовозбуждение, эффект насыщения.

V.A. Astapenko1, Yu. A. Krotov1'2, S. V. Sakhno1

1 Moscow Institute of Physics and Technology 2Joint Stock Company «Polyus Research Institute of M. F. Stelmakh»

Saturation effect on the pulsed excitation of a quantum

oscillator

The effect of saturation on the excitation of a quantum harmonic oscillator by an electromagnetic pulse is studied analytically and numerically. The dependence of a transition probability between the ground and overlying stationary states on the duration, carrier frequency, and field amplitude in a pulse is considered. The characteristic features of excitation process and their evolution with a change in the strength of the external disturbance are established. The difference between the saturation effect for a two-level system and a quantum oscillator is discussed.

Key words: quantum harmonic oscillator, laser pulses, photoexcitation, saturation effect.

1. Введение

При взаимодействии интенсивного резонансного излучения с веществом возникают различного рода нелинейные явления [1], среди которых важную роль играет эффект насыщения. Этот эффект, в частности, приводит к выравниванию населенностей в двухуровневой системе, что ограничивает коэффициент усиления излучения в лазерах [2].

Развитие технологии генерации лазерных импульсов в широкой области изменения длительности, несущих частот и амплитуд поля [3] делает актуальным детальное исследование особенностей их взаимодействия с различного рода мишенями как при умеренных, так и при высоких интенсивностях излучения.

Квантовый гармонический осциллятор (КО) является уникальной физической моделью, для которой существует аналитическое решение при произвольном возмущении.

© Астапенко В. А., Кротов Ю. А., Сахно С. В., 2022

(с) Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (национальный исследовательский университет)», 2022

В этой связи теоретическое рассмотрение возбуждения КО лазерными импульсами с различными параметрами, включая случай высоких значений амплитуды поля, представляется актуальным и интересным.

В данной работе исследуется зависимость вероятности возбуждения квантового осциллятора от длительности и несущей частоты электромагнитного импульса для различных значений амплитуды поля с целью выявления влияния интенсивности излучения на основные характеристики процесса.

2. Основные формулы

Эффект насыщения при взаимодействии интенсивного резонансного излучения с дипольно-разрешенным переходом рассматривался в классической работе Р. Карплуса и Дж. Швингера [4] для монохроматического поля. Было показано, что форма линии поглощения под влиянием излучения модифицируется и принимает вид (в наших обозначениях)

О(ш) ж

1/Î2

(1)

(ш - ио)2 + (1/Т2)2 +

где ^о — собственная частота возбуждаемого перехода, Т2 — время поперечной (фазовой) релаксации, Оо — частота Раби, пропорциональная амплитуде действующего электрического поля.

При импульсном воздействии на двухуровневую систему в общем случае невозможно получить аналитическое решение для отклика на электромагнитное поле.

Выражение для вероятности возбуждения КО между стационарными состояниями т ^ щ [п > т] под действием заданного электрического тока было выведено в работе Дж. Швингера [5]:

Wn

= £ (и2)'

exp

и I2)

Тг'

и I2

гп—т -'т

, (2) обобщенный полином

здесь .] — фурье-образ безразмерного электрического тока, Щ Лагерра.

Рассмотрим возбуждение квантового осциллятора без затухания под действием электромагнитного импульса вида

Е (*)= Ео/(1,шс,т), (3)

здесь Ео, /(Ь,шс,т) — амплитуда и временная зависимость электрического поля, т — несущая частота и длительность импульса.

Гамильтониан возмущенного КО может быть представлен в виде [6]

H = Но - Шо/(t,uc,r),

(4)

где Но — невозмущенный гамильтониан КО.

Чтобы получить выражение для вероятности возбуждения КО лазерным импульсом, воспользуемся формулой (2) и соотношением [7]:

|JI2 ^ Н,Шс,Т)|2,

F (ш,шс,т )= f (t,wc,T )exp(iwt)dt

(5) здесь

(6)

— фурье-образ от временной зависимости электрического поля в импульсе, Шо - собственная частота осциллятора.

Далее рассмотрим возбуждение КО из основного состояния. Выражение для вероятности этого процесса следует из формулы (2):

Wn о = — exp(-n), (7)

здесь

n = Q0l^ (^0 ,шс,т )|2 (8)

— среднее число квантов осциллятора в результате возбуждения.

Пусть лазерный импульс имеет экспоненциальную огибающую (так называемый «двойной экспоненциальный импульс»):

/2exp(i,wc,T) = exp(-|i|/r )eos(wci). (9)

Тогда с помощью формулы (8) для среднего числа возбужденных в осцилляторе квантов имеем

1 Q2r2

^2exp = 4 [1 + (wo - )2r2]2 . (10)

Выражение (10) получено в приближении вращающейся волны, которое применимо для мультицикловых импульсов (wcr >> 1), что здесь и предполагается. В резонансном случае (шс = w0) из равенства (10) следует

гг = П^т 2/4, (11)

т.е. среднее число возбужденных квантов возрастает как квадрат длительности импульса. Можно показать, что такое же соотношение справедливо и для других огибающих импульса, а также для коротких импульсов г < |шс — ^о|-1.

3. Результаты и обсуждение

Рассмотрим сначала зависимость вероятности возбуждения от длительности импульса (т-зависимость — для краткости) для различных значений частоты Раби, которая является мерой силы возмущения КО электромагнитным полем.

Наряду с размерными параметрами, используем в дальнейшем безразмерные переменные, определенные равенствами

а = шот; 5 = |^с — ^о|/^о; С = ^о/^о. (12)

Таким образом, а — безразмерная длительность импульса, 5 — безразмерная несущая частота и £ — безразмерная частота Раби.

На рис. 1 показана зависимость вероятности возбуждения КО между стационарными состояниями на переходе 0 ^ 1 для фиксированной несущей частоты импульса и различных безразмерных частот Раби.

Видно, что с увеличением параметра £ в т-зависимости вместо одного максимума появляются два. Для слабого возмущения, когда частота Раби удовлетворяет неравенству

Q0 < 4V^|wo - ud = ^0е, (13)

возникает один максимум при длительности импульса

1 (14)

|wc - W0|

max

Рис. 1. Вероятность возбуждения перехода 0 ^ 1 как функция безразмерной длительности импульса для 5 = 0.03 и следующих значений безразмерной частоты Раби: сплошная линия — £ = 0.1, пунктирная линия — £ = 0.2, штриховая линия — £ = 0.3

Заметим, что этот максимум исчезает в случае резонансной несущей частоты импульса, когда = ^о.

Для более высоких частот Раби (сильное возмущение), когда

^о > ^0е = 4^фо - шс\, (15)

максимум в т-зависимости, положение которого определяется формулой (14), превращается

в минимум, и при этом возникают два других максимума на длительностях импульса, равных

^0 ± д/^о - 16п|^с - ^о|2 ,л ^ Тшах,1,2 = --[О-. (ДЬ;

В пределе ^о ^ - ^о| из формулы (16) вытекают следующие приближенные соотношения:

2л/п ^о

т1 ~ "о-; то - ^^-12 • ^^

Таким образом, характерная частота Раби = 4у/п|^о - разделяет две области с различной качественной зависимостью вероятности возбуждения КО от длительности импульса. Эти две ооласти отвечают слаоому и сильному возмущению в случае низких и высоких частот Раби соответственно. В резонансе ^ое = 0 и имеет место только сильное возмущение, которому, однако, отвечает один максимум в т-зависимости, ПОСКольку тогда то ^ ж, как это следует из второго равенства (17).

Рассмотрим теперь зависимость вероятности возбуждения КО от несущей частоты импульса (спектр возбуждения).

Результаты соответствующего расчета представлены на рис. 2 для перехода 0 ^ 1, фиксированной дЛИтельности импульса и различных значений безразмерной частоты Раби

0.4

8

Рис. 2. Спектры возбуждения для а = 50 и следующих значений безразмерной частоты Раби: сплошная линия — £ = 0.035, пунктирная линия — £ = 0.06, штриховая линия — £ = 0.1

Из приведенного рисунка видно, что для слабого возмущения (низкие частоты Раби), когда

Оо < 2^/т = ^о"*, (18)

имеет место один спектральный максимум на несущей частоте шс = ^о • Для высоких частот Раби

Оо > %аЬ (19)

возникает эффект насыщения: центральный максимум превращается в минимум, и появляются два боковых максимума на несущих частотах импульса, определяемых равенством

|^с — ^о | шах = — 1. ^

Таким образом, при импульсном возбуждении КО характерное значение частоты Раби, определяющей насыщение, дается вторым равенством в формуле (18):

О^ = 2^/т.

(21)

Эффект насыщения для фиксированной частоты Раби и различных значений длительности импульса демонстрируется графиками рис. 3.

0.4

0.2

Рис. 3. Спектры возбуждения для £ = 0.1 и следующих значений безразмерной длительности импульса: сплошная линия — а = 20, пунктирная липия — а = 30, штриховая липия — а = 50

Видно, что с ростом длительности импульса вместо центрального максимума возникает «провал», и появляются два боковых максимума при выполнении неравенства (19).

Отметим, что из формулы (1) следует, что частота Раби насыщения для двухуровневой системы в монохроматическом ноле равна

^тъз = • (22)

Сравнение формул (21) и (22) показывает, что в случае импульсного возбуждения квантового осциллятора без затухания роль времени фазовой релаксации играет длительность импульса: Т2 ~ т. Это обстоятельство имеет простое физическое объяснение: когерентная связь возбуждающих) монохроматического поля и двухуровневой системы определяется временем фазовой релаксации, в то время как в случае импульсного возбуждения осциллятора без затухания продолжительность этой связи определяется длительностью импульса.

Существенная разница в эффекте насыщения для двухуровневой системы и перехода между стационарными состояниями квантового осциллятора заключается в том, что если в первом случае с ростом амплитуды поля населенности уровней выравниваются, то во втором населенность заданного стационарного уровня уменьшается в пределе сильного возмущения на резонансной частоте (рис. 2, 3). Последнее обстоятельство объясняется тем, что с ростом частоты Раби при возбуждении квантового осциллятора в нем происходит перераспределение населенностей между уровнями. Это видно из выражения для срсднсх'о числа возбужденных квантов (10), которое неограниченно возрастает в пределе высоких частот Раби, т.е. для больших значений амплитуды электрического ноля в импульсе.

4. Заключение

Таким образом, на основании проведенного исследования можно сделать вывод о наличии двух областей возбуждения КО, разделяющихся по амплитуде электрического поля (частоты Раби) в лазерном импульсе. Эти области сильного и слабого возбуждения отличаются количеством и положением экстремумов в зависимостях вероятности процесса от длительности и несущей частоты импульса.

Установлены границы данных областей и получены выражения для положения вышеуказанных экстремумов.

Возникновение рассмотренных особенностей связано с влиянием эффекта насыщения на процесс возбуждения КО. Показано, что данный эффект в рассмотренном случае существенно отличается от своего аналога при возбуждении двухуровневой системы монохроматическим электромагнитным полем. В частности, он проявляется также в зависимости вероятности возбуждения от длительности импульса.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (Соглашение № 22-22-00537).

Литература

1. Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика // Москва : Наука, 1980.

2. Звелто О. Принципы лазеров // СанктПетербург : Лань, 2008.

3. Chini М., Zhao К., Chang, Z. The generation, characterization and applications of broadband isolated attosecond pulses // Nat. Photonics. 2014. V. 8. P. 178-186.

4. Karplus R., Schwinger J. A note on saturation in microwave spectroscopy // Phvs. Rev. 1948. V. 73. P. 1020-1026.

5. Schwinger J. The theory of quantized fields III // Phvs. Rev. 1953. V. 91. P. 728-740.

6. Hassan S.S., Alharbey R.A., Jarad T. [et al]. Driven harmonic oscillator by train of chirped Gaussian pulses // Int. Journ. Appl. Math. 2020. V. 33. P. 59-73.

7. Astapenko V.A., Sakhno E.V. Excitation of a quantum oscillator by short laser pulses // Appl. Phvs. B. 2020. V. 126. P. 23.

References

1. Klyshko D.N. Photons and nonlinear optics. Moscow : Nauka. 1980. (in Russian).

2. Zvelto O. Principles of Lasers. Saint Petersburg : Lan'. 2008. (in Russian).

3. Chini M., Zhao K., Chang, Z. The generation, characterization and applications of broadband isolated attosecond pulses. Nat. Photonics. 2014. V. 8. P. 178-186.

4. Karplus R., Schwinger J. A note on saturation in microwave spectroscopy. Phys. Rev. 1948. V. 73. P. 1020-1026.

5. Schwinger J. The theory of quantized fields III. Phys. Rev. 1953. V. 91. P. 728-740.

6. Hassan S.S., Alharbey R.A., Jarad T., et al., Driven harmonic oscillator by train of chirped Gaussian pulses. Int. Journ. Appl. Math. 2020. V. 33. P. 59-73.

7. Astapenko V.A., Sakhno E.V. Excitation of a quantum oscillator by short laser pulses. Appl. Phys. B. 2020. V. 126. P. 23.

Поступим в редакцию 20.03.2022