Возбуждение ребристого цилиндра аксиальносимметричным электронным сгустком Текст научной статьи по специальности «Физика»

ко', см"1 0,25 0,24 0,23 0,22 0,21 02 0,19 0,10

Заключение

При оптимальном выборе конфигурации рассмотренной резонансной системы разработанный алгоритм может быть реализован для решения проблемы микроволновой диагностики.

Литература: 1. Pournaropoulos C.L., Misra D.K. The coaxial aperture electromagnetic sensor ant its application in material

characterization. Means. Sci. Technol. ko'cM"1 8(1997), p.i 191-1202. 2. XuY. andBasisio R G. Nondestructive measurements of -0,04375 the resistivity of thin conductive films and the dielectric constant of thin substrates using an open-end coaxial line. IEE Proc. H 139, 1992. P.500-506. 3. ТихоновА.Н., СамарскийA.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 735 с.

Поступила в редколлегию 02.02.01

Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Еордиенко Ю.Е.

Слипченко Николай Иванович, канд. техн. наук, профессор, проректор по научной работе ХТУРЭ. Научные интересы: радиофизика и электроника. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-9020.

Костычев Юрий Григорьевич, канд. физ.-мат. наук. Научные интересы: электродинамика полых систем, ферритовая электродинамика, микрополосковая техника. Увлечения и хобби: вычислительная математика, программирование. Адрес: Украина, 61145, Харьков, ул. Новгородская, 10, кв. 90, тел. 40-97-15.

Золотарев Вадим Анатольевич, канд. техн. наук, доцент кафедры сетей связи ХТУРЭ. Научные интересы: защита информации в информационных системах. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.40-93-33.

Рис. 6

УДК 621.385.6

2. Постановка задачи

ВОЗБУЖДЕНИЕ РЕБРИСТОГО ЦИЛИНДРА АКСИАЛЬНОСИММЕТРИЧНЫМ ЭЛЕКТРОННЫМ СГУСТКОМ

ЧУМАЧЕНКОВ.С., ЧУМАЧЕНКО С.В.

Рассмотрим задачу о возбуждении электромагнитного излучения азимутально-однородным цилиндрическим сгустком с плотностью заряда

, ч 5(r - Ъ)

p(r, z, t) = р о------exp

Ъ

(z - vt)2

2L

2

о

(1)

Определяется условие излучения, полное поле излучения, одноволновый режим и спектр излучения в неподвижной и подвижной системах координат в задаче о возбуждении электромагнитного излучения азимутально-однородным цилиндрическим сгустком.

1. Введение

Применение отрезков аксиально-симметричных периодических структур, в частности, в антенной технике общеизвестно [1,2]. Вопрос о применении такого рода структур в дифракционной электронике представляет теоретический и практический интерес [3]. При исследовании эффекта дифракционного излучения большое внимание уделяется его возникновению при движении заряженных частиц вблизи дифракционных решеток. В связи с этим выделяется класс задач о возбуждении открытых структур. Такого рода исследования направлены на создание генераторов электромагнитных колебаний, использующих эффект дифракционного излучения. Многообразие структур, при помощи которых можно создать генераторы дифракционного излучения, порождает совокупность теоретических и экспериментальных исследований, к которым относится и настоящая работа.

который движется со скоростью v вдоль открытой структуры типа ребристый цилиндр; Ъ — радиус пгЬпоёа; Lo- 0 ебеї а паЗпоеа; S(x) - дельтафункция. Выбор функции распределения плотности заряда обусловлен, в частности, тем, что решение квантово-механической задачи о взаимодействии электрона с медленной волной является гауссовой функцией продольной координаты.

Требуется определить условие излучения, полное поле излучения, одноволновый режим и спектр излучения в неподвижной и подвижной системах координат.

3. Решение задачи

Потенциал Герца, описывающий искомое электромагнитное поле, представим в виде разложений в интегралы Фурье:

І ^

П(г,z, t) = Zo— |ПЮ (r,z)e~mtd® , (2)

— ГС)

где Пю =П ^°) +П ® ; П ^)) — Фурье-компонента потенциала собственного поля сгустка; П ® — Фу-

24

РИ, 2001, № 1

рье-компонента рассеянного поля, которое нужно добавить к полю источника, чтобы выполнялись граничные условия на периодической поверхности ребристого цилиндра.

Можно убедиться, что Фурье-компонента собственного поля заряженного сгустка представима выражением

а

2 т-2 L0

Пф) = 4про — e 2v2 F(a, r), (3)

/ю

Ж V

^ S0n

p 2

n = -да Pn

I

exp

( M2 T2 }

ю Lo

\

2v

2

exp[-/pn (r - о)]фП1) (®,r)

ф <v, r)=K o(q° >) H»)((pn)

K0(qa) H®(pna) ,

En (ю) = exp i[-at + hnz + pn (r - a)],

здесь

здесь аэ— радиус электронного потока.

U0(qb)K0(qr), r>ь, V0(qr)K0(qb), г <<ь,

q =

v

c

Фурье-компоненту рассеянного поля в области распространения и в дополнительной области будем искать соответственно в следующем виде:

П !о1) = 4лР0 L°exP /ю

(

„2 т2 ^ ш "L0

2v

2

(4)

х X An (a )Rn (®, r) exp(i —— z),

n=-да

r > a,

Заметим, что применяемая нами процедура отыскания поля, которое создается заряженным сгустком при движении его над конкретной периодической структурой — ребристым цилиндром, применима для определенного класса задач. В самом деле, существенным моментом для вычисления поля, создаваемого ограниченным источником, является отыскание в аналитической форме решения краевой электродинамической задачи для спектральной составляющей интеграла Фурье и последующее вычисление соответствующих интегралов с помощью одного из асимптотических моментов.

Следовательно, можно утверждать, что для всех тех случаев, когда удается получить решения в явном виде для монохроматических полей с помощью развиваемой в настоящей работе методики, можно получить и решения задач об отыскании полей, создаваемых пространственно-ограниченными зарядами типа заряженных сгустков.

П ю1) = 4^p0 —exp /ю

( „2 т2 ^ ш "L0

V

2v

2

exp(i — 2Nl) х (5)

х £am (o)Qm (ю, r) cos—— (z + d + 2Nl), ь < r <a. m =0 2d

Итак, перепишем функцию, определяемую равенством (6), в следующем виде:

да

П(г , z, t) = £П n (r, z, t) , (7)

n=—да

где

Подчиним полное электромагнитное поле точным граничным условиям на периодической поверхности раздела r = a ребристого цилицдра при произвольном фиксированном значении частоты и воспользуемся известными результатами решения аналогичных задач для плоских дифракционных решеток [4]. Тогда потенциальную функцию для поля, создаваемого электронным сгустком, получим в такой форме:

1 да да

n(r, z, t) = — J Хфn (®)En (ra)dra , (6)

-го n=-a>

где

Фn(a) = ■

Q0

p 0 q0 —гK 00 aQ0

1 q Q0

1 - q0-T Z

Rs

Q0 s=-да psRs

K 0sLi

0sL0s

1 да

П n = q {Фп (®)e 2%

i[-at+hnz+pn (r-a)]

da

(7а)

hn

ю

v

%n

T ■

Вычислим функцию Пn (r, z, t) = Пn, определяемую формулой (7а). С этой целью введем новые переменные и сделаем соответствующие замены:

ral

Х = —, z1 nc

я я . . я

lz • р=l(r -a) • t1=lt •

pn

Ml

2

2

n

hn ~

n

l IP

\

/

РИ, 2001, № 1

25

С учетом новых переменных функцию Пn запишем так:

Пп = 21 ^ °n(x)exp[?

— ГО

(у ^

— + n

Z1

Для практики наиболее важным является одноволновый режим излучения, т.е. когда на каждой из частот оно возникает на одной пространственной

1

гармонике. Это происходит при %< — . Тогда в (12) в сумме по n надо оставить только одно слагаемое

Фі

* + n

- iXct1]dX

2

2

с n = -nQ . Количество частот, на которых может (8) быть реализован одноволновый режим излучения на n -й пространственной гармонике, равно

У

Обозначим -^ = no + Ц , где По — целое число, - — ^ Р ^ —. Тогда (8) можно переписать так:

сВ

П n = —L 2' |Ф n (no, V)En (n0- P)dP, (9)

3 —1 / 2

ю 1/2

2L no =-ж

En (no, ц) = exp[i(n + По + ц)z— +

I 2 2

+ ipVX -(n + no +Ц) -i(no + р)сРД] •

где скобки означают выделение целой

части заключенного в них числа. Среди этих N нижних частот имеется одна, которую принято называть основной; ей соответствует значение

по = 1. Потенциал Герца для всей совокупности нижних частот, включая основную, определяется интегралами следующего вида:

П = СЁ e~ino$ct1

no

21

|Ф(по, Р) х

Р2(по +р)2 >р2

Штрих в сумме (9) означает, что при суммировании надо опустить слагаемое с индексом no = 0, так как для этого слагаемого не выполняется условие излучения. Выражение для потенциала Герца рассеянного поля (9) можно упростить, записав его в виде двух комплексно-сопряженных функций:

R 1/2

Пп = 2L I e~in°Vct1 J Фп(no,p)ei(n +no)Z1 х 2Lno =0 -1/2

і 2 2 2

х е^(Ч —cPt1)e» Р (По +Р) -(п+По +Р) Рф + kc (10)

Условие излучения при этом определяется неравенством

p2(no + р)2 > (n+по + р)2 . (11)

Введем движущуюся систему координат по формулам

С = Z1 -Pct1, Р = у (Г - а).

В этой системе координат зависимость от времени определяет множитель exp(-inoPct!). Следовательно, спектр излучения в движущейся системе координат дискретный ХПо = noP и суммирование по по есть суммирование по всем частотам излучения. Полное поле излучения равно

х е№+ЦР2(по +р)2 VРф+ kc . (13)

Выполнить интегрирование в (13) и в результате получить точные явные формулы для поля излучения не представляется возможным. Однако эти интегралы можно вычислить приближенно с помощью асимптотических методов. При оценке интеграла, входящего в правую часть соотношения (13), воспользуемся методом стационарной фазы. С этой целью введем движущуюся вместе со сгустком полярную систему координат

р = R cos 0, ^ = R sin 0 .

В новой системе координат интересующий нас интеграл из (13) запишется в виде

I (no) = pno |ф(по, Ы1 no Rf

(1+РО2 ^ '

Здесь введена новая переменная интегрирования

2, = ц(рПо)_1. При хПоR >>1 возможна асимптотическая оценка интеграла (14), в котором

f ф = £, sin 0 + cos0д/(1 + p^)2 -^2 (15)

стационарная точка определяется условием

П= in n = СЁ£ Z e_'nopct1 +i(n+no) Z1 x f '(^)

n =-Ю 21 По =1 n =-Ю

|ФП(и0,ц)єірС+^ p2(n°+p)2 -(n+n°+p)2pdp+kc p2(no+p)2 >(n+no +p)2

(12)

0 , из которого следует

f ^

^0 =-

1

1 -р

р

sin 0

^1 -p2cos2 0

(16)

26

РИ, 2001, № 1

Если р2 = v 2с 2 << 1 (а это условие обычно выполняется в дифракционной электронике), то

^0 =Р + sin0 , f (^о) = 1+ Рsin0 . (17)

Так как из условия (1 + р^)2 >^2 следует, что ^тах = 2, то при Р << 1 имеем

f (^) = £,sin0 + cos1 -^2 ?

а стационарная точка ^о = sin 0 . Итак, окончательно для интеграла (14) имеем такое выражение:

I(no) = P«0cos 0л/2ЙФ(«о, %) ЄХР /4^ (18)

л/РноR - ’

Таким образом, в волновой зоне в сопутствующей системе координат поле излучения представляет собой расходящуюся цилиндрическую волну с тороидальным волновым фронтом. Центр кривизны фазового фронта лежит на поверхности цилин -дра r = a.

Поле излучения определяется потенциальной функцией

пно = сЁ2но,/2яеЧноИ1 cosвх

По 21

ei($no R-Л /4)

VP«0 R ■ (19)

При желании вычислить поле излучения в лабораторной системе координат необходимо осуществить обратный переход от сопутствующей системы координат к неподвижной. Осуществив указанные преобразования, получим для поля излучения в волновой зоне в неподвижной системе координат такую формулу:

П«о _

cos0O(яо^оХЧІЇЧГ^Г1^ х

х ехр[і(£По7z2 + (r - a)2 -n /4)]x

x exp

- i

&Пр

1 -p cos 0

t

(20)

~&по c •

В физическом плане основным результатом данного исследования является вывод, что локализованный в пространстве источник возбуждения порож-

дает локализованное в пространстве электромагнитное поле дифракционного излучения этого источника. Характеристики излучения — амплитудные и направленности — можно существенно изменять, варьируя параметры периодической структуры и заряженного сгустка. Последний вывод усматривается из того, что поле излучения (20) пропорционально множителю Ф(но, ^о), который согласно (6) зависит от геометрических размеров периодической структуры и величины заряда сгустка. Спектр излучения в движущейся системе координат состоит из линий излучения и определяется периодом структуры

„ _ ^Рнос

Юно ■ l

(21)

В неподвижной системе координат частота излучения зависит от угла наблюдения и находится по формуле

шно =^Рнос[1 (1 -р cos 0)] 1. (22)

4. Выводы

В результате решения задачи о возбуждении ребристого цилиндра аксиально-симметричным электронным сгустком, плотность заряда которого является гауссовой функцией продольной координаты, установлено, что:

1) ограниченный в пространстве источник возбуждения создает локализованное в пространстве электромагнитное поле;

2) характеристики этого излучения зависят от геометрических размеров периодической структуры и параметров электронного сгустка;

3) спектр излучения в движущейся системе координат является линейчатым и зависит от периода структуры, а в неподвижной системе координат частота излучаемого поля зависит от угла наблюдения.

Литература: 1. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. М.: Сов. радио, 1957. 582 с. 2. Уолтер К. Антенны бегущей волны. М.: Энергия, 1970. 448 с. 3. Шестопалов В.П. Дифракционная электроника. Харьков: Выща шк., 1976. 232 с. 4. Бржечко Л.В. К самосогласованной теории генераторов разонансного типа // Радиотехника. 1972. Вып. 20. С.32-38.

Поступила в редколлегию 21.10.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев И.В.

Чумаченко Виктор Савельевич, канд. физ.-мат. наук, старший научный сотрудник Научного физико-технологического центра НАНУ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61145, Харьков, ул. Новгородская, 1, тел. 32-45-67.

Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры АПВТ ХТУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.

РИ, 2001, № 1

27