CC BY
23
6. Заключение
В цилиндрической системе координат получена функция Грина уравнений Максвелла для плоского волновода. С помощью этой функции записано четырехмерное интегральное уравнение для поля в волноводе, заполненном холодной изотропной плазмой, возникающей в нулевой момент времени. Получено явное представление резольвентного оператора в случае аксиально-симметричного распределения поля. При возбуждении волновода линейным источником получено первичное и пре-
образованное поле. Установлено, что структура поля зависит от последовательности моментов включения источника и возникновения плазмы. Показано, что после возникновения плазмы поле приобретает осциллирующий характер.
Литература: 1. Nerukh A., Scherbatko I., Marciniak M. Electromagnetic wave frequency shift by temporal variation of medium parameters// Pr. Inst. Lacznosci., 110, 1998. 3. 7-27. 2. Hepyx А.Г.,Хижняк НА. Современные проблемы нестационарной макроскопической электродинамики. Харьков: НПО”Тест-радио”.1991. 279с. 3. Борисов В.В. Неустановившиеся поля в волноводах. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та. 4. Сахненко Н.К., Hepyx А.Б. Нестационарное аксиально-симметричное излучение источника в плоском волноводе //Вісник Харківського національного університету. 2000. №467. С. 144-147.
Поступила в редколлегию17.05.2000
Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Буц В.А.
Сахненко Наталия Константиновна, ассистент кафедры высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: распространение электромагнитных волн в нестационарных средах. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.
Нерух Александр Георгиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики ХТУРЭ. Научные интересы: нестационарная электродинамика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. (0572) 40-93-72.
УДК 537.877
РАСЧЕТ ИСКАЖЕНИЯ ОГИБАЮЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ИМПУЛЬСА ПРИ ЕГО РАСПРОСТРАНЕНИИ В РЕГУЛЯРНОМ ВОЛНОВОДЕ. III
здесь u(r, z) и v(r, z) должны быть известными (заданными по условию задачи) функциями; и граничному условию Ez = 0 при r = а, т.е.
8 2П(а, z, t) 1 8 2 П(а, z, t) _
r = a ----v ’ ’ 7--------v ’ ’ 7 = 0 . (4)
8 z
2
2
81
2
Решение задачи
Искомую функцию ищем в виде интеграла Фурье
ЧУМАЧЕНКО С.В.
Предлагается решение задачи о распространении электромагнитного импульса по круглому волноводу с произвольной огибающей [1,2]. Используемый математический метод — интегральное преобразование Фурье. Рассматривается случай заданного распределения электромагнитного поля в пространстве.
Постановка задачи
Требуется найти электромагнитное поле, представимое потенциалом Герца:
П(г, z, t) = zoП(г, z, t), (1)
где функция П(г, z, t) удовлетворяет уравнению
АП(г, z, t)-А АЩуЛ = 0
8 Ґ
начальным условиям
(2)
c
t = 0 П(г, z,0) = u(r, z), (3а)
t = 0
d П(г, z, t)
dt
t=0
v(r, z) ,
(3б)
П(г, z, t)
1 <X
-= J A(h, r, t)
"V2^ —Ж
eihzdh
(5)
Подставим искомое решение в виде (5) в уравнение (2):
Д-
1 82 ^ c2 a t2
( 82
1 8
П(г , z, t) = 2 ^
1 8Z
к8r2 r 5r 8z2 c2 812 j
П(г , z, t) =
1 <Ю
-JT/k _x
82 A 1 8A ,2л 1 82 A
1-------h 2 A -
8r
2 r 8r
c2 at2
eihzdh = 0
a2 a 1 8A 1 a2 a ,2/ln
---+----------------h A = 0 (6)
ar2 r 8r c2 at2 ■ (6)
Поскольку переменные в цилицдрической системе координат разделяются, то решение уравнения (6) должно иметь вид
A(h, r, t) = A(h)R(h, r )T (h, t)
(7)
2
25
РИ, 2000, № 2
где A(h) — пока будем рассматривать как произвольную константу.
Подставив (7) в (6), получим
A(h)
T + T— - R-2 - h 2 RT
dr
2
dr
c 2 dt2
1 d2R 1 dR , 2 11 d2T or
------+--------h =-----------=------(h) (8)
R dr2 rR dr T c2 а2 ’• (8)
= 0
c dt
Из (8) следуют два уравнения:
2
,2
1 d 2 R
^IT2
A. dR
rR dr
1 d 2T
Tit2
b\(h) - h2 c 2
= -<a2(h).
Обозначим
2
Y2 =\(h) - h 2-Y 2(h) c2
2
Тогда, умножив (9) на r R , будем иметь
(11)
2 2 d2R
у r -----
П(г , z, t) =
J A+ (h) J o[ Y(h)r ] ei
и заменяя h на - h во втором слагаемом равенства (15), получаем
і <Х)
П(г, z, t) =-j= J A+ (h) J0[ y(h)r ] eihz ~ ia(h)tdh +
1 <x>
+ — JA_ (-h)Jo [y(h)r] e~ihz+ira(h)tdh (16)
V2^ v ’
Формула (16) для П(г, z, t) определяет электромагнитное поле в комплексных амплитудах. Реальный физический процесс определяется вещественными функциями. Для того чтобы (16) была вещественной функцией, необходимо обязательное выполнение условия
A_ (-h) = A+ (h),
= 0 , (9)
(10) где * означает комплексное сопряжение. Обозначим: A+ (h) = — A(h) . Тогда искомая функция примет окончательный вид:
dR 2 2 (yr)—- + Y r = 0
d (yr У d (Yr)
R(h, r) = a(h)J0 (yr) + b(h)H^1 (yr), (12)
где b(h) = 0 , так как поле не должно иметь особенностей внутри волновода; a(h) выберем равным единице, поскольку в искомом решении общего вида (7) уже есть произвольная константа A(h) (или иначе — a(h) включим в константу A(h)).
Аналогично решение уравнения (10) представим в виде
T(h, t) = a(h) e_iro(h)t +p(h) eia(h)t. (13) Итак, согласно (7), (12), (13) имеем
A(h, r, t) = A(h)a(h) J0 (yr) e ~ia(h)t +
+ J~(h)P(h) J 0 (yr) eia(h)t =
= A+ (h) J0 (yr) e _iro(h)t + A_ (h) J0 (yr) eira(h)t .(14) Искомая функция u(r, z, t) согласно (5) имеет вид
і ГО
1 г ' ^ r ’ Jhz-ia(h)tdh +
1 ГО
П(г , z, t) = —= J A(h) J0 (yr) ei(hz _ro(h)t) dh + 2^2% _<Xi
і ГО
+ J A* (ft)J0(yr) e ~ ) dh (17)
2Ы2п '
До сих пор A(h), а следовательно, и A*(h) были произвольными константами. Определим их, воспользовавшись начальными условиями (3а) и (3б). Согласно (17) и (3а) имеем:
П(г , z,0) = ^= J A(h) J0 (yr) elhzdh +
2\2%
1 “ h
+ і— \ A* (h) J0(yr) e“ihzdh = u(r, z). (18*) 2\2%
Или, меняя h на - h и пределы интегрирования во втором слагаемом
1 “ h
J A(h) J 0 (yr) eihzdh +
242м j
1 “ h
J A* (-h) J0 (yr) elhzdh = u(r, z)
242m 1
1 ® A(h) + A* (-h) . ihzj7 . .
J -------------- J0(yr) e n dh = u(r, z) (18)
л/2л j
2
42m _z
1 <X)
2= J A_(h)J0[y(h)r]eihz+ira(h)tdh . (15)
42n _ж
Известно, что во всех волноводах, кроме заполненных гиротронными средами, ra(h) = ra(-h). Принимая во внимание, что у(—h) = y(h) согласно (11)
26
Умножая (18) на .— e и интегрируя по z в
yJ2%
пределах от - да до да (обратное преобразование Фурье), получаем
A(h) + A*(-h) т ,_ч 1 _ч_-ihz.
2
J0 (Yr) = ^= Ju(r, z)e dz (19)
»2л -да
Аналогично используем начальное условие (3б) и (17). Найдем сначала производную по времени от функции П(г , z, t), определенной формулой (17):
РИ, 2000, № 2
dn(r’zt) =—^ f(~ia(h))A(h)J0(yr)ei(hz~at)dh + dt 2/2я
і ГО
+ —^ J (i^(h))A* (h)Jc(yr) e-i(hz“rof)dh . (20)
2\2% _да
Подставим в (20) t = 0 и воспользуемся (36):
1 “ h - J (~i<a)A(h)J0 (yr) elhzdh -
2 -Ж
1 ж 4
----1= J (-ira)A* (h)Jo(yr) e lhzdh = v(r, z) (21)
2\2k _x 'v 7
Преобразуем интеграл (21) так же, как и (18*). Применяя обратное преобразование Фурье, получаем
1 1 “ 7
- [і®Ш~ [-A(h) -AA(-h)]Jo (yr) =-= Jv(r,z)e lhzdz
2 -да ‘
(22)
Итак, (19) и (22) можем записать в виде
A(h) + A (-h) 2
A(h) - A* (-h) _
1 r U(r, z) e-ihz
^ JOT^rre dz • (23)
yf-K-ю J0 (Yr)
2
J
i v(r, z) ihz
V-^jL<a(h) Jo (yr)
dh
(24)
Получим систему алгебраических уравнений относительно A(h) и AA (-h) . Складывая и вычитая (23), (24), соответственно, получаем
A(h) = !— J -——[u(r, z) н—l—v(r, z)]e~ihzdz
'І—К-ж J0(Yr) 1
ra(h)
(25)
і ■*-
A*(-h) =^L J
__ . [u(r, z)---1—v(r, z)]e ihzdz
J0(vr) Ф) •
(26)
1
Напомним, что y(-h) = y(h), a(-h) = &(h). Заменим в (26) параметр (-h) на h (так как - да < h < да по определению), а также заменим z на - z и порядок интегрирования по z , тогда получим из (26)
A* (h)
1 ® 1 4—л__ж J0(Yr)
[u(r, z)
—-—v(r, z)]e ihzdz ®(h) •
(27)
Действительно, (27) есть комплексно-сопряженное от (25). Если известны функции u(r, z) и v(r, z) (а они должны быть заданы по условию задачи), то тогда по ним находим A(h) и A*(h) по формуле (25).
Пока у нас оставалась неизвестной постоянная разделения переменных в уравнении (8) — ю (h). Определим ее. Это можно сделать, воспользовавшись граничным условием (4) в постановке задачи:
Ez =
^2 1 д2^
я - - ~,,2
ydz с dt j
П(г, z, t). (28)
Подставим сюда выражение П(г, z, t) из (17) и учтем обозначение (11):
Ez =—= Jy 2 A(h) J 0 (yr) ei(hz ~af) dh +
2\2к -да
+ -^= Jy2A*(h)J0(yr)e"l(hz_rat)dh . (29) -yJ2%
Потребуем выполнения граничного условия (4)
Ez\ = 0,
zlr=a ’
1 I 1 ®
2 \J—k
Jy2A(h)J0(ya)ei(hz~at)dh ■
1 ^ I
+ -= Jy2A*(h)J0(ya)e"i(hz_rat)dh \ = 0 . (30) y]2% J
Это граничное условие должно выполняться при любых значениях z и t (- да< z < <х> , - <х>< t < <х> ). Его можно обеспечить только при условии
J0(ya) = 0 . (31)
Отсюда следует, что
ya = р0п , п = 1,2,3,..., (32)
где р 0п — один из корней функции Бесселя ( р 0п — известные числа). Отсюда согласно (11) и (32):
2 2 2 Y a =^0п,
Л
( 2 V h2
Vc J
- 2 ю- =^0п , h2
с2~ а—
a~ =^0п ,—— = '-A!L + h г0п - 2
а = rn(h) =
Ц 0пс
, 2 2 ha
» 0п
а согласно (33)
Y =
Ц 0п
(33)
(34)
(35)
Из (35) видно, что для выполнения граничного условия при любых z и t необходимо, чтобы у зависела от h и определялась величиной по формуле (35).
Перепишем основные формулы (17) и (25) с учетом результатов (35) и (34):
і ГО
П(г,z,t) = -^ J A(h)Jo(\^0nL)e-(hz~a(h)t)dh +
2уі—ж_х a
і ГО
+ -^ J A* (h)J0(p0пГ~) e"-(hz~a(h)t)dh (36)
2у—К _да a ,( )
1
a
a
РИ, 2000, № 2
27
A(h) =
1
І
1
J0(МПГ- )L a
u(r, z)-
&(h)
v(r, z)
(
где
ra(h) =
Ц 0nc
1
, 2 2 h a
2
^ On
e~ihzdz
(37)
(38)
&(h)
Ц 0nc
a
1
22
ha
(45)
Вернемся к начальным условиям (3) в целях их уточнения. До сих пор было существенно только то,
что функции u(r, z) и v(r, z) должны быть известными. Эти функции по своему смыслу есть потенциал Герца и его производная по t в фиксированный момент времени t = 0, который определяет электромагнитное поле внутри волновода.
Естественно, что и при t = 0 должно выполняться граничное условие. Отсюда следует, что
0 0n
v(r,z) = J0(ЦOn
где v(z) и V(z) уже могут быть произвольными (но должны быть известными по постановке задачи).
Учитывая (39), (40), формулу (37) следует переписать в виде
ч 2^ 0n;
Применяемую процедуру можно строго обосновать, производя оценку интеграла методом стационарной фазы.
Вводя в (45) обозначения
2
В 0nc 2 a
v n =■
формулу (45) перепишем в виде
^ 0n
(46)
&n (h) = vt
22 h a n
2
^ 0n J
(47)
Подставляя (47) в интеграл (43) и пользуясь готовым результатом Джексона, получаем:
r )v(z), a (39)
r -)V(z), a (40)
П(г, z, t) = -і Re
exp|-(z - va2h0t)2/21? (1+ia2vt /1?')]
д/і + (ia2vt /1?)
22
x exp[ih0z - iv(1 + h0 a /2)t] + exp[-(z + va2h01)2 /2I?(1 + ia2vt /I2)]
(48)
A(h) =
1
42?? j
J
v(z)
ra(h)
V(z)
e ~ihzdz
Рассмотрим [3] пример, когда „2
v(z) = e 21 cos h0 z , V(z) = 0 . Подставив (41) в (37), получим
(37*)
(41)
■\j1 + (ia 2 vt /12)
2^1 r
x exp[-ih0 z - iv(1 + h0 a / 2)t] J0 (P0n _)
0 ’ a
Физический анализ огибающей электромагнитного импульса будет приведен в следующей статье.
В частности, групповая скорость (по точной формуле (38)) равна
2
I
2
I
2
A(h) =—(exp--(h - h))
2
2
I2 2
+exp 2 (h+h0)2
vrp =-
dro(h)
dh
>=A (h).
p0nc h0a*
1
h=h0
2
» 0n
ф + h02 a 2/Ц 2n
(42)
= c-
h0 a
P 0n
Для вычисления П(г , z, t) подставим (42) в (36):
і
1 + h0 a / P 0n
1
П(г,z,t) = —1= Re J (exp
242? _Q
I 2 2
~ — (h - h0)2
exp
I2
(h +h0)2
J0(H0n —)ei[hz~°m']
dh
(43)
Если волновое число h0, задаваемое в условии (4) таково, что при заданном радиусе волновода
1 V_ „ 1
8 и0„ ' <44)
то (38) можно заменить приближенной формулой
Литература: 1. Чумаченко С.В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. I // Радиоэлектроника и информатика. 1999. №4. С.10-12. 2. Чумаченко С.В. Расчет искажения огибающей электромагнитного импульса при его распространении в регулярном волноводе. Основные положения. II // Радиоэлектроника и информатика. 2000. № 1. С.19-23. 3. ДжексонДж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. 702с.
Поступила в редколлегию 19.02.2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Руженцев И.В.
Чумаченко Светлана Викторовна, канд. физ.-мат. наук, ассистент кафедры АПВТ ХТУРЭ. Научные интересы: математическая физика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 40-93-26.
i
a
a
1
i
a
1
2
a
28
РИ, 2000, № 2
