CC BY
16
4. Санкин Ю. И. Малые колебания механических систем с одной степенью свободы. - Ульяновск: Ул-ПИ, 1991. - 36 с.
5. Санкин Ю. Н., Барахов В. М. Колебания промышленных роботов с учетом распределенных параметров. Ульяновск: УлГТУ // Тез. докл. XXXV науч.-техн. конф. - УлГТУ, 2001. - С.35-36.
6. Санкин Ю. Н., Барахов В. М. Оптимизация переходного процесса узла-схвата промышленного робота при выходе в заданную позицию// Математическое моделирование и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2002. - С. 131-134.
7. Санкин Ю. Н., Барахов В. М. Динамическая модель стержневой системы при кинематическом управляющем воздействии на ее узлы// Математиче-
УДК 622.233.6 В. К. МАНЖОСОВ
ское моделирование и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2003.
8. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. - М.5 1966. - 308 с.
Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор, действительный член ЛИН РФ. Имеет публикации в области теории колебаний и уст ойч ив ост и движен ия
Барахов Владимир Михайлович, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет публикации в области теории колебаний.
ВОССТАНОВЛЕНИЕ СКОРОСТИ СТЕРЖНЯ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ
Рассмотрена задача продольного удара стержня о 'жесткую преграду и сделана оценка коэффициента восстановления скорости стержня после удара. Показано, что коэффициент восстановления скорости существенно зависит от формы стержня
При описании движения виброударных систем широко используется модель удара Ньютона, когда скорость движения ударной массы после удара определяется через коэффициент восстановления скорости [1]. Величина коэффициента восстановления скорости изменяется в диапазоне (0 < Я < 1). При 11=0
удар абсолютно пластичный, при И-1 удар абсолютно упругий.
Представление данных о коэффициенте восстановления весьма проблематично, так как он зависит не только от материала соударяемых тел, но и от их формы и размеров.
Рассмотрим упругий удар однородного стержня о жесткую преграду (рис. 1).
х
-1//
о I
Рис. 1. Схема продольного удара
Движение сечений стержня описывается волновым уравнением
дги (х,/) 1 д2и (х,0
¿г
а
зе
=о,
(1)
с начальными и граничными условиями ди (х ,/0)
---= У0, и(х,Г0) = 0,
¿7Г
(2)
ди (0>0_0 ди М
где
дх ди [х ,/)
Л
дг
П ди М п
= и, если-< 0,
дх
- скорость и продольное пе-
ремещение поперечного сечения стержня; Уо - предударная скорость стержня; х - координата сечения; а - скорость звука в материале стержня; г - время. Решение уравнения (1) представим в виде
и (х,/) = /{аг-х)+ф (ш4-х), (3)
где /(¿# — х) - функция, описывающая прямую волну, распространяющуюся в направлении оси х ;
+ х) - функция 5 описывающая обратную
волну, распространяющуюся в противоположном направлении.
На интервале времени 0 < / < 21 / а на сечение х=1 действует прямая волна /' (а1 — 1)—Уо / 2а и формируется в этом сечении обратная волна (р' (а? + /)= —Уо / 2а. В этот период продольная
ди (/,*) Уо
деформация в сечении х=1 —
д х
а
На интервале времени 0 <[< I / а на сечение х—0 действует обратная волна (р ' (ш + 0)= Уо / 2 а и формируется в этом сечении прямая волна f' — 0)= Уо / 2а . На интервале времени
/ а < t < lia на сечение х=0 действует обратная волна (р ' (at + 0)= -Vo / 2а н формируется в этом
сечении прямая волна f (at — 0)= — Vo / 2а .
Таким образом, в момент времени / = 2/ / а скорость всех сечений стержня, определяемая как
ôJ!^ = a[r{at_x)+(p.{at + x)l
du (je ,/j
становится равной
ât
= -Vo, и при неудер-
живающей связи в сечении х=1 стержень отрывается от жесткой преграды (процесс удара завершен).
Для оценки коэффициента восстановления скорости стержня после удара в общем случае можно воспользоваться теоремой об изменении количества
движения механической системы. В этом случае
/
0-<2о= jP(l>t)c/l, где <2о , - количество дви-
0
женил механической системы в начальный и текущий моменты времени; Р(1,0 - ударная сила в сечении х—1.
Учитываем, что Оо^-тУо, О, =т Ус, ди (/,?)
Р(1,()=ЕА-, где Ус - скорость центра масс
д х
стержня; ЕА - продольная жесткость поперечного сечения стержня; т - масса стержня. Так как на интервале времени 0 < / <211 а продольная деформа-
ди (1,1) Уо
-=--3 то изменение
д х а
ция в сечении х=1
количества движения стержня равно
Vo
m Ус-т У о = - ЕА — Л или
Ve t ЕА --1 =--t.
a Vo т - а
Принимая во внимание, что Ус= - RVo, где R -коэффициент восстановления скорости, что масса
стержня т- рА1\Е= а р( Е - модуль упругости
материала стержня; р - плотность материала; / -
длина стержня; А - площадь поперечного сечения стержня), получим, что в момент завершения удара
(/ = 2 На)
2 пАИ
откуда R = 1.
п , а2рА21
R+\=—-
рА1а2
Таким образом при ударе однородного стержня о жесткую преграду коэффициент восстановления скорости 7? =1, т. е. удар является абсолютно упругим.
Уо
i
~7(
1\
j N
и 1 р
X
Рис. 2. Схема удара ступенчатого стержня
Рассмотрим задачу продольного удара ступенчатого стержня массой т и длиной /, движущегося со скоростью Уоу о жесткую преграду (рис. 2).
Стержень в общем случае состоит из множества разнородных участков длиной А/ . Движение
поперечных сечений на у -м участке стержня описывается волновым уравнением вида
дги 1 дги .(>,0
дх
a) ât2
= О, xjM < х < Xj, (4)
uj(x>t)=fj(a t-x)+<Pj{a t + x\
где
дх
Ы -^Х,^ - продольное перемещение поперечного сечения стержня на у-м участке; /.[с:1 — х)-функция, описывающая прямую волну, распространяющуюся в направлении оси х ; <р • [р t + x)-
функция , описывающая обратную волну, распространяющуюся в противоположном направлении;
[а X — ху.) и ф'.^ (аI + х .) - производные функций.
Рассмотрим некоторое произвольное сечение у на 1-м интервале времени. Это сечение является границей сопряжения у-го и (/+/)-го участков. На сечение у слева падает прямая волна {а1 — х]_]) ,
сформированная на (ь/)-м интервале времени в (/-/)-м сечении, а справа - обратная волна
(р^ (а{ + ) , сформированная на (г-У)-м интервале времени в (/+/)-м сечении. Интервал времени &
— равен времени распространения волны
At =
а
xj-\ и xj+\
деформации на участке длиной А/ ,
координаты 0'-1)-го и (/+/)-го сечений.
При преобразовании падающих волн в сечении /
формируется прямая волна Л+1 (а/ — х .), распространяющаяся от сечения / к сечению у +1, и обратная волна ф + х.)9 распространяющаяся от сечения у к сечению у-1. Причем производные функций определяются как [2]
где
ь 0)=
b+О/о
- коэффициент прохождения
прямой волны fj[a t — Xj ), падающей на границу
X = X - со стороны у -го участка; r _
- отноше-
ние площадей поперечных сечений сопряженныху-го
1 — г •
и (/+1)-го участков; г (у) =
_¿ - коэффициент
V
l+rj
отражения обратной волны (р /+] [at + х .), падаю-
щей на фаницу X = X - со стороны (/+1)-го участка ;
, 0)=
9
Г.+1
волны (Pj^ [at + Xj ], падающей на границу х = X •
со стороны (у-Н)-го участка; rf(J)-
О-'
rJ+1
коэф-
фициент отражения прямой волны fj[pt + x^.j, падающей на фаницу х — X ^ со стороны (/—1)-го уча-
стка .
Изменение количества движения механической
/
системы 0 - = J^C^O^ где Q° > Q ~~ коли"
о
чество движения механической системы в начальный и текущий моменты времени; Р(1Л) - ударная сила в
сечении х=1. Учитываем, что £)о=тУо, О^-тУс,
диы (/,/)
Р(1,0=Еи А ы-, где Кс - скорость центра
масс стержня; Е ы А ы - продольная жесткость поперечного сечения стержня на участке, прилегающем к
. ¿«Л*,О
ударному сечению;
- продольная деформа-
ция в ударном сечении; /л - масса стержня.
Если учесть, что на г-м интервале времени
(вг-о + ^^ + О),. про-
¿7 X
должительность удара равна Т = А/ • п (где л - число интервалов времени до завершения процесса удара), что на интервале времени А/ параметры функций /д, (а(—1)1 и (р'х(а1 + 1)1 постоянны, то изменение количества движения за время удара
т Ус - тУ0 =
п
X ("Л О* - 0 ++ <РМ № + 0); А/ ,
/ = 1
а отношение
Ко ; = ]
Масса стержня, состоящего из N разнородных
N
участков длиной А/, определится как т — ^ т/ ,
М
тj = р -AjAl. Материал стержня на всех участках одинаков (рj = const), поэтому
N
т
= pAl^TAj рА1(А] + Л2 + ...+ An).
м
п
Ус
- коэффициент прохождения обратной у0
= 1 +
м
2 W'X*
Так как£д, =а р , Д/ = яЛ/,— = R, то
Vo
Ус
n
Л=1+
i=J
V Щ А.
у=1 Л
Из граничного условия -——-=0 следует
(<p'N(at + /)). - - (/^ (at-I)) i и коэффициент восстановления скорости определится как
п
откуда
2 -/)),.
Л=1 -
У ^ А
-[Кт-)+Ч
Л /=1 -Л'
Полученное выражение показывает, что коэффициент восстановления скорости /? существенно зависит от конфигурации стержня, так как падающие
на ударное сечение прямые волны (а1 — 1))} и
отношение площадей поперечных сечений различных
4
участков
j
А
к площади поперечного сечения уча-
N
стка стержня, прилегающего к ударному сечению, зависят от формы стержня.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Алимов О. Д. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах / О. Д. Алимов,
B. К. Манжосов, В. Э. Еремьянц. - М.: Наука, 1985. -386 с.
2. Манжосов В. К. Отражение и прохождение продольной волны деформации на границе сопряженных стержней // Вестник УлГТУ. - 1999. - № 1. -
C. 70-78.
Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стерэ/сневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах.
