Математические модели динамики манипуляторов как стержневых систем меняющейся конфигурации на заключительном этапе движения Текст научной статьи по специальности «Физика»

4. Логинов Б. В., Коноплева И. В., Русак Ю. Б. О ветвлении решений нелинейных уравнений с потенциальными и частично потенциальными уравнениями разветвления // Межвуз. сб. науч. работ «Функциональный анализ» - 2003. — Вып. 38. - С. 41-52.

5. Sidorov N.A., Loginov B.V., Sinitsyn A.V., Falaleev M.V. Lyapunov-Schmidt Methods m Nonlinear Analysis and Applications. MIA, v.550, 2002. - 54cSp.

6. Berger M, Berger M. Perspectives m Nonlineanty. Benjamin, NY-Amsterdam, 1968.

Коноплева Ирина Викторовна, кандидат физико-математических наук, доцент. Имеет статьи в области нелинейного анализа и нелинейных дифференциал ьн ых у роен ен и и.

Логинов Борис Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор. Имеет монографии и статьи в области нелинейного анализа и нелинейных дифференциальных уравнений.

УДК 539.1

Ю. Н. САНКИН, В. М. БАР АХОВ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИНАМИКИ МАНИПУЛЯТОРОВ КАК СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕНЯЮЩЕЙСЯ КОНФИГУРАЦИИ НА ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНОМ ЭТАПЕ ДВИЖЕНИЯ

Рассмотрены методы построения математических моделей и динамического расчета манипуляторов, рассматриваемых как стержневые системы переменной конфигурации.

Динамический расчет манипуляторов с учетом распределенных параметров в настоящее время разработан недостаточно^]. Манипуляторы, обычно схематизируются в виде стержневых систем, однако при исследовании его динамики, манипулятор рассматривается как система твердых тел[2]. И, если учитываются распределенные параметры, то это осуществляется приближенно, аппроксимируя дополнительные перемещения, возникающие за счет деформаций звеньев, с помощью полиномов. При этом получаются громоздкие выражения, которые приводят к большим трудностям при конструировании системы управления. Кроме того, стремление повысить быстродействие манипулятора приводит к увеличению его динамической нагруженности. А это требует всестороннего прочностного анализа звеньев механизма. Прочностной анализ целесообразно осуществлять, определяя коэффициенты динамичности по переходным процессам, имеющим место, например, при торможении вблизи заданной позиции, а также в момент приложения управляющих воздействий. Таким образом, в области современной робототехники приходится решать задачи колебаний сложных стержневых систем при различных условиях, а также задачи оптимизации управления движением системы.

Реальные задачи оптимизации сложных технических систем, состоящих из некоторых элементов, весьма трудоемки, так как обычно это задачи со

сложной математической моделью анализа состояния (напряженно-деформированного, устойчивости, колебаний и др.). Решение таких задач весьма затруднительно, если пользоваться точными уравнениями каждого элемента в отдельности.

Методика расчета колебаний, представленная в [3,4], позволяет осуществить строгий переход от сложной системы к ее простой эквивалентной модели. Данная методика использует построение и анализ амплитудно-фазо-частотных характеристик (АФЧХ).

При построении АФЧХ решается задача о вынужденных колебаниях упругой системы под действием периодических возмущающих сил при любых значениях частот, лежащих в заданных пределах. Учет трения необходим в задачах динамики стрежневых систем, так как в этих задачах требуется определить амплитуды колебаний при всевозможных значениях состояния системы на заключительном этапе движения. Непосредственный учет 'фения при расчете вынужденных колебаний упругих систем осуществляется методом малого параметра, пропорционального силам трения. Преимущество метода малого параметра, пропорционального силам трения, заключается в том, что с его помощью можно строить АФЧХ упругих систем с распределенными параметрами, не определяя предварительно ни частот, ни форм свободных колебаний.

Рис.1

Учет рассеивания энергии в каждом элементе конструкции получается простым и естественным образом, а все необходимые величины находятся из задачи без фения.

Итак, для того, чтобы учесть внутреннее рассеивание энергии, необходимо все характеристики упругости системы Е, С, С, £ заменить комплексными

величинами:

Е = Е{1 + ^); 0 = С(1-ы>2); С = С(1 + 1>з);| = ^(1 + 1>4),

где Е - модуль упругости; О - модуль сдвига; С -сосредоточение жесткости; й - коэффициент упругого основания,

У к ¿=1,2,...,/и ,

2л

где т - число элементов конструкции различными интегральными коэффициентами рассеивания энергии срк . Учет в таком виде берется в случае применения гипотезы Сорокина. В отличие от гипотезы Кель-вина-Фойгта гипотеза Сорокина по учету внутреннего рассеивания энергии приводит к тому, что с ростом частоты амплитуда возмущающих сил растет.

3

Состояние 2 Состояние 1

•а бч ст(-6) ■

> 2

/77777

Рис. 2

Заметим, что АФЧХ получены с использованием гипотезы Сорокина, по учету внутреннего рассеивания энергии существенно отличаются от АФЧХ, полученных с использованием гипотезы Кельвина-Фойгта, лишь после 3-го колебательного витка.

Для сравнения на рис. 1 и рис. 2 показаны АФЧХ одного и того же узла стержневой системы с применением гипотез Сорокина (пунктирная) и Кельвина-Фойгта (сплошная) для разных состояний системы.

Указанная методика рассмотрена на примере решения задачи колебаний стержневой системы, состоящей из трех последовательно соединенных шар-нирно стержней и закрепленной на одном из концов, показанной на рис. 3. Здесь изображены два состояния системы, для которых велись расчеты.

Уравнения динамики линейной вязко-упругой системы, у которой зависимости между деформациями и напряжениями задаются линейными соотношениями, в операторной форме можно записать следующим образом:

д2и ди Ва + Я—- + Т--/ =0,

дг

д1

1 д1

При силовом возмущающем воздействии передаточная функция стержневой системы при малой диссипации определяется следующим рядом:

«=1 Т„гР +ТшР + ]

_Яп-ип(а)-итп(Ю

и

п

Рис. 3

где р - параметр преобразования Лапласа.

Используя известные формулы метода перемещений [3] для плоского случая (т.е. берется в расчет только поперечный изгиб, и не рассматриваются продольные перемещения), получаем следующие уравнения в единой системе координат:

к=2

(А |2. + А23 )иа - В23из = -В 12[и, ] - В23 [и, ] ■ к=3

~В2зи2 + (А23 + Ан)иэ -В34и4 = -В23[и2]-ВЗА[щ); к=4

Здесь \]тк =[н'к,(рк], А34 = Ц3А3°4Ь]3, В34 = Ц3Вз4Ь,3, А,.+| - А°+|, В,+1 = В°.+|, где

г =1,2, а А°+|,В°+|,(/ = 1,2,3) - матрицы в местной

системе координат. Для участка п-к:

= вычисляются

по следующим формулам:

К ] = I Р,К„0 (1 - ?,) -х м,кш (1 - й) +

V.

[pj=X р,кл (1 - ft) -У м,кгМ (1 -ft)+

.f.

+

Pistil-s)ds-

.V,

к ] = -X м,км (ft) -

s-

-^¡Pd-s^^ds-

w = X ^ (ft)+X (ft)+

Si

+

Si

Считаем, что движение рассматриваемой системы происходит в плоскости. Узлы системы пронумерованы соответственно 1, 2, 3, 4.

/,2, /23, /34 ~ длины стержней между соответст-

вуюшими узлами. - угловые скорости

поворота соответствующих узлов в момент фиксирования состояния.

В данной задаче нас интересует амплитуда колебаний 4-го узла системы на момент мгновенного останова в узле 1.

В работах [5, 6, 7] были исследованы возможные состояния такой системы, построены АФЧХ и переходные процессы для 4-го узла (узла-схвата манипулятора). Проанализировав полученные данные, можно сделать следующий вывод: так как для рассматриваемой системы существенным оказывается лишь одно колебательное звено, то интересующее нас движение будет описываться следующим дифференциальным уравнением второго порядка [4]:

х + 2пх + к"х = и .

Рис. 4

Итак, мы построили математическую модель сложной механической системы в виде системы с одной степенью свободы.

Таким образом получаем возможность решать задачи об оптимальном по быстродействию управления. Синтез оптимальных управлений для уравнения с неотрицательными коэффициентами к показан в

[8]. Управляющий параметр и при этом ограничен и меняется в пределах — 1 < и < 1 .

Рис. 5

Кусками фазовых траекторий будут полуокружности при /7 = 0 (рис, 4) и дуги логарифмических спиралей при п > 0 (рис. 5).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Boyer F., Khalil W. Geometric modelling of flexible manipulators with large elastic displacements and rotatons// Robot control, 1997, a proceeding volume IFAC simposium Nantes, France, 3-5 September 1997. - pp. 45-52.

2. Stramigioli S. Modeling and IPC control of interactive mechanical systems: a coordinate free approach. Springer, 2001.-278 p.

3. Санкин Ю. H. Динамические характеристики вязко-упругих систем с распределенными параметрами / 10. Н. Санкин. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1977.-312 с.

4. Санкин Ю. И. Малые колебания механических систем с одной степенью свободы. - Ульяновск: Ул-ПИ, 1991. - 36 с.

5. Санкин Ю. Н., Барахов В. М. Колебания промышленных роботов с учетом распределенных параметров. Ульяновск: УлГТУ // Тез. докл. XXXV науч.-техн. конф. - УлГТУ, 2001. - С.35-36.

6. Санкин Ю. Н., Барахов В. М. Оптимизация переходного процесса узла-схвата промышленного робота при выходе в заданную позицию// Математическое моделирование и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2002. - С. 131-134.

7. Санкин Ю. Н., Барахов В. М. Динамическая модель стержневой системы при кинематическом управляющем воздействии на ее узлы// Математиче-

УДК 622.233.6 В. К. МАНЖОСОВ

ское моделирование и краевые задачи. - Самара: СамГТУ, 2003.

8. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления. - М., 1966. - 308 с.

Санкин Юрий Николаевич, доктор технических наук, профессор, действительный член ЛИН РФ. Имеет публикации в области теории колебаний и уст ойч ив ост и движен ия

Барахов Владимир Михайлович, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет публикации в области теории колебаний.

ВОССТАНОВЛЕНИЕ СКОРОСТИ СТЕРЖНЯ ПРИ ПРОДОЛЬНОМ УДАРЕ О ЖЕСТКУЮ ПРЕГРАДУ

Рассмотрена задача продольного удара стержня о 'жесткую преграду и сделана оценка коэффициента восстановления скорости стержня после удара. Показано, что коэффициент восстановления скорости существенно зависит от формы стержня

При описании движения виброударных систем широко используется модель удара Ньютона, когда скорость движения ударной массы после удара определяется через коэффициент восстановления скорости [1]. Величина коэффициента восстановления скорости изменяется в диапазоне (0 < Я < 1). При 11=0

удар абсолютно пластичный, при удар абсолютно упругий.

Представление данных о коэффициенте восстановления весьма проблематично, так как он зависит не только от материала соударяемых тел, но и от их формы и размеров.

Рассмотрим упругий удар однородного стержня о жесткую преграду (рис. 1).

х

-1//

о I

Рис. 1. Схема продольного удара

Движение сечений стержня описывается волновым уравнением

дги (х,/) 1 д2и (х,0

¿г

а

зе

=о,

(1)

с начальными и граничными условиями ди (х ,/0)

---= У0, и(х,Г0) = 0,

¿7Г

(2)

ди (0>0_0 ди М

где

дх ди [х ,/)

Л

дг

П ди М п

= и, если-< 0,

дх

- скорость и продольное пе-

ремещение поперечного сечения стержня; Уо - предударная скорость стержня; х - координата сечения; а - скорость звука в материале стержня; г - время. Решение уравнения (1) представим в виде

и (х,/)= /{аг-х)+ф (ш4-х), (3)

где /(¿# — х) - функция, описывающая прямую волну, распространяющуюся в направлении оси х ;

+ х) - функция 5 описывающая обратную

волну, распространяющуюся в противоположном направлении.

На интервале времени 0 < / < 21 / а на сечение х=1 действует прямая волна /' (а1 — 1)—Уо / 2а и формируется в этом сечении обратная волна (р' (а? + /)= —Уо / 2а. В этот период продольная

ди (/,*) Уо

деформация в сечении х=1 —

д х

а

На интервале времени 0 <[< I / а на сечение х—0 действует обратная волна (р ' (ш + 0)= Уо / 2 а и формируется в этом сечении прямая волна f' — 0)= Уо / 2а . На интервале времени