Модель процесса преобразования продольной волны деформации на границе разнородных участков стержня с сосредоточенной массой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Санкин Юрии Николаевич, доктор технических наук., профессор, действительный член АИН РФ, окончил Ленинградский политехнический институт, физико-механический факультет по специальности «Динамика и прочность машин». Имеет публикации в области теории колебаний и устойчивости двга/сения

Гурьянов Михаил Владимирович, окончил Ульяновский государственный технический университет, аспирант кафедры «Теоретическая и прикладная механика» УлГТУ. Имеет статьи в области устойчивости движения.

УДК 622.233.6

В. К. МАНЖОСОВ

МОДЕЛЬ ПРОЦЕССА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОДОЛЬНОЙ ВОЛНЫ ДЕФОРМАЦИИ НА ГРАНИЦЕ РАЗНОРОДНЫХ УЧАСТКОВ СТЕРЖНЯ С СОСРЕДОТОЧЕННОЙ МАССОЙ

Построена модель процесса преобразования продольной волны деформации на границе разнородных участков стержня с сосредоточенной массой. Составлены уравнения, описывающие распространение волн в пределах однородного участка малой длины и преобразование волн на границах сопряжения участков.

Анализируется распространение волн деформаций по стержневой системе в рамках моделей волновых процессов, изложенных в работах [1-4]. Рассматривается стержень неограниченной длины

оо < х < со) з представляющий множество разнородных участков (рис.1).

Рис. 1. Схема стержня с последовательно сопряженными участками

В сечении п ^х = хп) расположена

сосредоточенная масса М. К этому сечению в момент времени I - 0 подходит продольная волна деформации. Этой волной охвачены участки стержня

от 1 до п (0< х< хп ) • Параметры продольной волны

деформации на произвольном у-м участке стержня в начальный момент времени описываются функцией

1]{а^-х)> ъфжЩ* гле Щ - скорость

распространения волны на у -м участке стержня; г0 -начальное время; х - координата сечения; -

координата начала / - го участка; Ху - координата

конца/ -го участка.

Участок 1 в сечении х = 0 сопряжен с нулевым (]

- 0) однородным участком стержня со < х < 0),

имеющим такие же свойства материала и площадь поперечного сечения. Участок «к» в сечении

X = X^ сопряжен с (к+1)-м однородным участком стержня ^ < х < со), имеющим такие же свойства

материала и площадь поперечного сечения, как и участок к.

В сечении X = Хп (сечение п), где

расположена масса М, параметры падающей волны /п(а^ — хпУ Часть падающей волны проходит через

границу X = Хп и распространяется далее по участкам п + \,п + 2 и т. д. Параметры волны,

прошедшей через границу X = Хп, описываются некоторой неизвестной функцией

/Д] = п9п + \,п + 29...,к,к + \ > х] < X < Хм.

Часть падающей волны отражается от границы

X = Хп и распространяется от участка п в

противоположном направлении по участкам п, п — 1, п — 2 и т. д. Параметры отраженной волны

х,х <х<х/ •

описываются неизвестной функцией ф^а ¡1 + х

Данные представления о поведении волны соответствуют модели, когда движение поперечных сечений на ] -м участке стержня описывается волновым уравнением вида

32и/*,0 1 д2и{Ы) ■

~Т7>--ТТ я,2 = 0? хя ^ * ^ * 1

ох а. о t

и^х, г) = /у [а/ - х) + Фу(ау/ + х),

(1)

где иДх,/) ~~ продольное перемещение поперечного сечения стержня; уДду —^ - функция,

описывающая прямую волну, распространяющуюся в направлении оси х ; + ~~ функция ,

описывающая обратную волну, распространяющуюся в противоположном направлении.

Уравнение (1) должно быть дополнено соответствующими начальными и граничными условиями. Для участков стержня 1 < у < и,

охваченных падающей волной

начальные условия имеют вид

при I = /()

/у (я/о"*) = ио (х)> аЛ(аА~Х) = у0 (*).

О £ у < п, - оо < х £ х},

^ Ы0 + *) = (Л/о + *) = 0>

О < У < Я, -00 < т.,

/>/<>-*) = 0, /;(а/о-*) = 0, 1 < у < А + 1, ^ , < .х < со,

<Р) + *) = (<Уо + *) = О,

/7 + 1 < У < А + 1, < X < 00,

где (х), у0 (х) - начальные перемещения и

скорости поперечных сечений участков стержня.

Граничные условия для сопряженных участков стержня имеют вид

У = 0,1,2,— 1,п + >(2)

ш

где NJ{xJ)t\ " продольные силы в

сопряженных сечениях ^ = Ху ^ у - го и (/+1)-го

участков стержня; -СК0Р0СТИ

сопряженных сечений у - го и (/+1)-го участков;

скорость сечения Х^Х^, где

расположена сосредоточенная масса М Учитываем, что

(5)

V

/ \

(6)

(-V) = [Л Ы - */)+Ы+*/)]'

VI (*/' 0 = «Ж - ■*/ ) ■+ ? + )]' (7)

гДе Е Е -+1 ~~ модуль упругости 1-го рода материала

сопряженных у" - го и (/+1) -го и участков; площадь поперечного сечения соответственно у - го

и

(/+1)-го участков, -'), + 1 м -

ах

3 х

продольная деформация в сечении х = х. у - го и

(/'+1)-го участков стержня.

Тогда для граничных условий (2) и (3) имеем

V;

+

+[-/;, (а^ - х )+(в,,,/ + *)=о] ■•

а

у

(8)

у = 0,1,2,..., и -1, п + \у...,к -Из равенств (8) следует, что функция - определяется как

где , , 2ву/в/+1 - коэффициент прохождения

(9)

(о-+

прямой волны

, падающей на границу

х = х] со стороны у'-го участка; ^ ___ау>1

7

отношение волновых сопротивлений сопряженных

- коэффициент отражения

участков;

>0) -

1+Г

7

обратной волны 1 + ^> падающей на

границу X = X ■ со стороны (/'Ы)-го участка .

Функция фМйГ-Г + Ху) из равенств (8)

определяется как

(% (у)-^)+^(у)/;(^/ -^) л1 °)

где

2ауЧ| I а^ _ коэффициент прохождения

Г. + 1

обратной волны фу+1 + Ху)> падающей на границу х - со стороны (/+1) -го участка;

г.— 1 - коэффициент отражения прямой волны

^¿у-Ху)* падающей на границу д: = со стороны у-го участка.

Из граничного условия ( 4 ) следует 4 Интегрируя, пол>^1им

и Гу» ^дс,/ V"^х»,/01 ^ = ^Л"»+ ^Л'",/^]Л. (11)

Учитывая из (5), что для / = л и =

приходим после преобразования ( 11 ) к следующему уравнению

Е..., А

м + 1 /í + l

Л/

х

(12)

/i+f

■л + Г A#i*l

«i

,о ьс - )+Ф-1 +) ]dt

Учитывая из ( 6 ), что скорость п - го сечения v„ fa [f'„ (pj - х„ )■+ ф;, (aj + х„ )\

получим из (12)

/¿{aj -хв) + 4>'n{a„t + x„) = fn'(ant0 - x„) + cp;(<y0 +x„) +

F A

I + \ x

a JA

(13)

X

Al + 1

^Wl^rt+l

f'nÁanJ-x„)+(s?'fí+,{anj + xn)

dt.

Из условия равенства скоростей сопряженных сечений ( 8 ) для сечения х = хп следует

ап[/:{ап( - хп) + (?-„{ап1 + хп)] = ап+1[/^(ал+11 -х„) + ц>'п^(ал1 + х„)\

откуда

/;(«„' - *„)++*„)=(«»*.' - *„)+*„)].

(14)

Учитывая (14) в (13), получим

—[.с, -хп)+Ф;+1 (а,**+*.)] = />л ) +

п

+ф; («Л+*„)++'íí#4- л («.< - *) -

+1

К Л

ci_

откуда

/1+1

+

F А

í

i

/<* /Í

- Ь+ik« fo.* - ■*л) ■+ 0 - rM+1 (<w+х-)

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Алимов О. Д., Манжосов В. К., Еремьянц В. Э. Распространение волн деформаций в ударных системах. - Фрунзе: Изд-во «Илим», 1978.

2. Алимов О. Д., Манжосов В. К, Еремьянц В. Э. Удар. Распространение волн деформаций в ударных системах. - М.: Наука, 1985. - 386 с.

3. Манжосов В. К. Преобразование продольной волны деформации постоянной интенсивности на границах стержневой системы //Механика и процессы управления. - Ульяновск: УлГТУ, 1996. - С. 13-29.

4. Манжосов В. К. Отражение и прохождение продольной волны деформации на границе сопряженных стержней //Вестник УлГТУ. - 1999-№1- С. 70-78.

Манжосов Владимир Кузьмич, доктор технических наук, профессору заведующий кафедрой « Теоретическая и прикладная механика» Ульяновского государственного технического университета, окончил механический факультет Фрунзенского политехнического института. Имеет монографии и статьи в области динамики механических систем переменной структуры, продольного удара в стержневых системах, преобразования продольных волн деформаций в механических волноводах..