Восстановление распределения долговечности по незавершенному распределению с известными характеристиками Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И Том II 1971

№ 4

УДК 519.27

ВОССТАНОВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ ПО НЕЗАВЕРШЕННОМУ РАСПРЕДЕЛЕНИЮ С ИЗВЕСТНЫМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

В. Л. Райхер

Введено понятие незавершенного распределения долговечности, определяемое как распределение случайной величины т=т!п (й, О), где й—долговечность, а О — случайная величина, характеризующая момент прекращения испытаний без разрушения.

Получены соотношения, позволяющие восстановить функцию распределения долговечности Г(х) = Р(с1<^х) по известным характеристикам незавершенного распределения.

Результаты могут быть использованы для непараметрической оценки распределения долговечности в ситуациях, когда некоторые изделия не доведены до разрушения.

При оценке распределения долговечности (в частности, усталостной) достаточно часто встречается ситуация, когда о долговечности образцов известно лишь, что она превышает некоторую величину. Простейшим примером является случай, когда образцы подвергаются испытаниям до некоторого наперед заданного граничного значения долговечности О, либо (при одновременных испытаниях группы из N образцов) испытания прекращаются после возникновения г-го отказа (г<Л/), либо момент прекращения испытаний определяется выполнением любого из этих двух условий. Результаты испытаний в этом случае характеризуются тем, что существует некоторое значение долговечности, левее которого все образцы разрушены, а правее — остались неразрушенными*.

Более сложной является ситуация, когда существует совокупность возможных граничных значений долговечности, причем вероятность выбора того или иного значения известна и определяется условиями эксперимента. В этом случае, очевидно, результаты испытаний представляют собой перемежающуюся совокупность значений долговечности, относящихся как к разрушенным, так и к неразрушенным образцам.

* Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М., „Наука”, 1965.

Наконец, возможно и такое положение, когда информация

о граничных значениях долговечности является трудно доступной по принципиальным или практическим причинам. Простым примером является случай, когда при испытаниях возникает побочный отказ, не позволяющий довести испытания до отказа (разрушения) интересующей части изделия. Более сложная ситуация этого типа возникает при попытке контроля распределения долговечности изделий по результатам их эксплуатации. Действительно, начало эксплуатации каждого изделия связано с моментом его выпуска и другими факторами, приводящими к достаточно произвольному распределению наработки. В этом случае информация о результатах эксплуатации в любой момент времени представляет собой перемежающееся по наработке сочетание данных о долговечности отказавших (разрушившихся) и неразрушившихся изделий.

В настоящей статье задача об определении распределения долговечности в условиях, когда информация неполна в указанном выше смысле, рассмотрена в чисто вероятностной постановке*, т. е. в предположении, что законы распределения анализируемых случайных величин известны абсолютно точно. Полученные результаты могут явиться основой для проведения соответствующих статистических оценок.

Итак, пусть функция распределения (ф. р.) долговечности й есть непрерывная функция Р(х), а функция распределения другой случайной величины £), которая характеризует условия прекращения испытаний, есть /?(*) (вообще говоря, разрывная). Случайные величины с? и .О независимы.

Рассмотрим случайную величину т, определяемую как

т = ш1п(а?, И). (1)

Распределение величины т назовем незавершенным распределением, так как среди т будут находиться не только значения й (разрушение), но и значения £> (прекращение испытаний без разрушения).

Для незавершенного распределения ф. р. случайной величины т в виде

ЧГ(*) = Р(т<*) (2)

не является достаточной его характеристикой. Введем поэтому дополнительно следующие две функции:

Ф(д:) = Рх=а(%<х), (3)

где Ф(л) — вероятность того, что значение т, соответствующее разрушению, меньше величины х\

0(х) = Р^о( х<х), (4)

где в(х) — вероятность того, что значение т, соответствующее прекращению испытаний без разрушения, меньше величины х.

Так как

«■(*) = Ф (*> +(7 (*), (5)

то, очевидно, что незавершенное распределение будет полностью описано, если определена любая пара из функций ЧГ (х), Ф(х) и й(х).

* Автор приносит благодарность Д. М. Чибисову за обсуждения, способствовавшие уточнению предлагаемых подходов.

Задача состоит в том, чтобы по известному незавершенному распределению восстановить ф. р. долговечности Г(х).

Из определения х ясно, что для независимых случайных величин й и О

хр(х)-=\-[1-Р(х)][\-Я(х)}. (6)

Далее, из (1) и (3) следует, что

Ф(л;) = .Рт=^(т<л-) = Р(^<0 и й<^х).

Отсюда функция Ф(х) определится как интеграл от совместного распределения независимых случайных величин с! и О по заштрихованной области фиг. 1 в виде

ф(*) =/Л.МІ-ЯО')]^ (7)

где f(x) = F' (я) — плотность искомого распределения долговечности.

Продифференцировав (7), получим

?(■*) = Ф'С*) ■=/(*) [1 —Ж*)]. (8)

Из сопоставления соотношений (6) и (8) видно, что при условии

1 — R{x) ф 0 (9)

функция X(jc), носящая в теории надежности название интенсивности отказа, определится как

/(•*) _ ?(•*)

Фиг. 1

Х(х) =

1 — F(x) \—W(x)

(10а)

Отсюда, используя известное соотношение, связывающее ф. р. Р (х) с функцией Х(х), получим

/’(*)=1-ехр [-у

(106)

Важной особенностью полученного решения является то, что функция F(x) полностью определяется только свойствами незавершенного распределения и не зависит от вида ф. p. R(x). В связи с этим соотношения (10) носят весьма общий характер и могут быть широко использованы. Единственное ограничение, накладываемое видом функции R(x) [см. условие (9)], имеет ясный физический смысл. По существу, оно означает, что функция F(x) не может быть определена в той области, информация о которой заключается лишь в факте прекращения всех испытаний до достижения долговечностей из этой области.

Пример 1. Функция R(x) имеет вид, показанный на фиг. 2*. Для значений d > хг ф. р. /"(.*) не определена. Для значений d^x

* Статистический смысл функции такого вида заключается в том, что имеется одно граничное значение долговечности хи при достижении которого испытания прекращаются. Напомним одновременно, что, как всякая ф. р., Я(х) непрерывна слева, что на графике обозначено точкой.

выполняется условие X = й, и поэтому из (2) и (3) следует, что в этой области 1" (х) == Ф (лс). Подставляя в соотношение (106) вместо функции 'Г (х) функцию Ф(х), получим

/?(*) = ( прИ

I не определена при *>.*,.

Это естественный и хорошо известный результат.

Пример 2. Проводятся испытания группами по т. изделий в каждой группе до разрушения одного (наихудшего) из группы.

Л(х)

Фиг. 2

Фиг. 3

Учитывая независимость соотношений (10) от ф. p. R(x), вид которой в данном случае неизвестен, воспользуемся лишь характеристиками самого незавершенного распределения. Так как каждому разрушенному изделию будет соответствовать (т—1) неразрушенное с тем же значением долговечности, то

*(*)=“*(*). (И)

Подстановка <р(х) = Ф' (л) в соотношение (Юб) дает следующее выражение для F(x):

F(x)=l — [1 -'F0t)]1'm. (12)

Это известный результат, если учесть, что ЧТ (х) одновременно есть ф. р. минимального члена выборки объема т.

Пример 3. Испытания проводятся до одного из граничных значений xl(i= 1, 2, . . и), причем вероятность выбора /-го гранич-

П

ного значения равна г,- = Этот случай является обобще-

i =1

нием примера 1.

Функция R(x) представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках xt, равными rt (фиг. 3).

Функция G(x), как следует из ее определения [см. (4)], окажется разрывной со скачками gt в точках xit равными вероятности неразрушения при долговечности xt. При решении этого примера удобно вместо использования общего соотношения (106) применить несколько другой подход, заключающийся в следующем.

Величина вероятности gt определится как

gt — Pt„D(i — xi) = P(D <Cd, D = xt).

Учитывая независимость случайных величин d и D, полу-чим, что

£. = (1 - F{) г„

где Ft = F (xt).

С другой стороны, соотношение (6) примет вид

где Яг = Я(*г) = Р(0<л'г) = £гй,

k=i

ЧГ, = ЧГ(*|)=Р(т<х<) [см. (2)J.

Сопоставляя соотношения (13) и (14), получим

Si - ri ~

1 - *F, 1 —Ri

Учитывая (15), легко видеть, что 1 — z,= Д:—, откуда

1 —Ri

i-1

произведение •к1 = П (1 — zk) оказывается равным яг=1—/?;, по-

скольку /?i = P(D<x1) = 0.

Из соотношения (16) получим

ri = z((\— Rl) = ziTzi = zi(l-Zi-i) . . . (1— гг). (17)

Так как, исходя из (13),

^=1--^. 08)

Г i

подстановка выражения rt из (17), где zt определяется в соответствии с (16), дает следующее выражение для значений искомой функции Ft в точках xt:

ft»,)-i-(i-^n(4-4--g;_,.-) о»)

(г = 2, 3, . . re).

Значение F(x{) определяется непосредственно по выражению (14) (напомним, что Rx = 0) в виде

^(^i) = w(x,). (20)

При промежуточных значениях долговечности функция F(x) может быть получена по известным уже значениям Ft, исходя из того, что в этих промежутках ф. p. R(x) постоянна

и равна Ri [см. фиг. 3 и соотношение (15)]. Тогда, в соответствии

с (14),

F(X)=1 , (21)

откуда сразу следует, что F(х) — гГ (*) при (см. пример 1).

(13)

(14)

(15)

(16)

Подстановка (15) в (21), где rk выражены в соответствии с (13), дает

Наконец, при х^>хп условие (9) не выполняется, в связи с чем F(x) не определена.

Итак, искомая функция F(x) определится в следующем виде:

W(x)

при x^xt

при х = х{

(/ = 2, 3..., п)

при х,-1<л<д:г (22)

(i = 2, 3,..., п)

Не определена

при х^>хп

Рукопись поступила 26\l 1971 г.