О некоторых обобщениях понятия эквивалентности режимов нагружения в проблеме усталостной долговечности Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Томі 1970

№ б

УДК 629.735.33.015.4 : 539.43

О НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЯХ ПОНЯТИЯ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ РЕЖИМОВ НАГРУЖЕНИЯ В ПРОБЛЕМЕ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ

В. Л. Райхер

Рассмотрен подход к выбору упрощенных режимов, эквивалентных реальному спектру нагружения в достаточно широком диапазоне величин параметров, определяющих долговечность. На основе применения линейной гипотезы суммирования усталостных повреждений определены характеристики таких эквивалентных режимов. Полученные результаты использованы для оценки рассеивания долговечности при сложных спектрах нагружения.

1. О выборе эквивалентных режимов испытаний на выносливость. При проведении лабораторных испытаний на выносливость натурных конструкций важен выбор упрощенной совокупности циклов нагружения, эквивалентной сложному реальному спектру переменных нагрузок по усталостному повреждению. Выбор таких режимов, как правило, осуществляется по условию равенства суммы усталостных повреждений с использованием:

1) линейной гипотезы суммирования усталостных повреждений;.

2) некоторой гипотетической кривой выносливости, принимаемой обычно в виде

ЫР? = А, (1)

где Ра — амплитуда переменной нагрузки;

N—число циклов с такой амплитудой до разрушения;

А, т — параметры, зависящие от материала, конструкции и других факторов.

Погрешности выбора эквивалентных режимов, связанные с использованием линейной гипотезы суммирования усталостных повреждений, обсуждались во многих экспериментальных и теоретических работах. Исследования в этом направлении позволили получить достаточно ясное представление о порядке ожидаемой погрешности.

Выбор параметров кривой выносливости обычно воспринимается как второстепенный, хотя ошибки, связанные с ним, могут иногда

•существенно превышать погрешности, вносимые гипотезой суммирования. Действительно, величины параметров /га и А при испытаниях натурных конструкций по существу всегда неизвестны. В первую очередь, это связано с тем, что, как правило, неизвестно заранее наиболее слабое место конструкции. Однако если даже удается до натурного эксперимента испытать достаточное количество образцов, имитирующих это наиболее слабое место, величины /га и Л, определенные для средней кривой выносливости, не обязательно останутся такими же для данного конкретного натурного образца. Выход из этого положения заключается в выборе такой упрощенной совокупности циклов при испытаниях, которая с достаточной для практики точностью (в рамках принятой гипотезы суммирования усталостных повреждений) не зависела бы от величин параметров т и А в некотором диапазоне их изменения.

Перейдем к решению этой задачи. Пусть совокупность переменных нагрузок в эксплуатации состоит из 5 групп с амплитудами л л

(У = 1, 2, . . ., 5) по Лу циклов в каждой группе. Суммарное усталостное повреждение \ с учетом (1) определится как

где I при заданной совокупности нагрузок (х1, га,) является функцией параметров от и Л кривой выносливости.

Это же усталостное повреждение можно внести другой совокупностью нагрузок, состоящей из М групп (/И<5) с амплитудами х1 (г=1, 2, . . ., М) по га, циклов в каждой группе. Из условия равенства усталостных повреждений с учетом (2) после сокращения параметра Л получим:

Таким образом, вследствие линейности суммирования при замене ■одной совокупности нагрузок другой (с сохранением усталостного повреждения) существенной оказывается лишь величина параметра т кривой выносливости.

Так как соотношение (3) накладывает одну связь на 2М неизвестных хь и га(, можно достаточно произвольно выбирать эти характеристики нагружения. Однако при условии равенства усталостных повреждений не при одной определенной величине параметра /га, а при 2М различных его значениях получим систему 2М уравнений, аналогичных (3), в виде

из которой и определятся величины х1 и гаг.

Такая формулировка задачи эквивалентна построению в некотором диапазоне изменения аргумента /га простой интерполирующей функции, точно совпадающей с более сложной функцией при некотором конечном числе значений аргумента (в интерполяционных узлах). В промежутках между этими значениями условие (3) равен-

(2)

л л

(3)

м

£га;л;Г*=/(лг*) {к = 0, 1, 2, . . ., 2Л4 — 1),

(4)

ства усталостных повреждений будет удовлетворяться лишь приближенно, однако из-за однотипности правой и левой частей соотношения (3) расхождение будет небольшим и практически приемлемым.

Для решения системы (4) выберем интерполяционные узлы равноотстоящими:

Задача свелась к проблеме моментов, способы и условия разрешимости которой подробно исследованы в работе [1]. В частности, величины )., определяются, как корни полинома /?.м(Х) М-й степени, имеющего вид

Для определения [11 можно воспользоваться известными соотношениями [см. [1]), однако практически более удобно получать ц,- по уже вычисленным значениям X., используя любые М уравнений из (7), которые для образуют линейную систему.

Величины х1 и га,-по известным значениям Х(. и ^ определяются* в соответствии с (6).

Пример 1. Пусть спектр нагружения есть совокупность пере-

менных нагрузок с амплитудами х} = \, 2, 3 и 4 дан и соответст-

Л

вующими повторяемостями га;- = 1000, 100, 10 и 1 циклам. Определим эквивалентное нагружение, содержащее вместо четырех лишь две ступени нагрузок.

Выбирая тк — 3, 4, 5 и 6 (т0 — 3, Д/га —1) и подставляя полученные значения fk в уравнение

получим >4 = 2,97 и Х, = 1,24.

Используя первое и последнее уравнение системы (4), определим (л, =; 600 и 1*2 ~ 1530.

* Следует иметь в виду, что амплитуды эквивалентных режимов по величине сравнимы с амплитудами исходного нагружения, в связи с чем нельзя ожидать значительного сокращения усталостных испытаний за счет увеличения нагрузок.

тк = тй-\-кЪ.т.

(5>

После введения обозначений

ПіХ'?° = Рі-, ХЇт = Хг; /(«*)=/*

(6>

система уравнений (4) запишется в виде

м

(* = 0, 1, 2, . . ., 2М— 1).

(7)'

;=і

/о /і • • • /. и

/і Л • • • /и+1

Ям (X) =

(8>

Л

/о /і /»

Я*(Ь)= /і Л /з =0,

1 X X2

Учитывая (6), окончательно имеем: д;1 = 2,97 дан, х2 = 1,24 дан-щ — циклам, «2 = 800 циклам.

“ Л

В исходном спектре £«,■ = 1111 циклам, в упрощенном Ега~ = 823 циклам (сокращение по числу циклов примерно в 1,35 раза при одновременном упрощении самого процесса испытаний).

На фиг. 1 видно, что в широком диапазоне 2^ т ^8 условие эквивалентности выполняется с точностью около 10%, вполне приемлемой для практических приложений. 10‘

2. Локально-эквивалентные режимы испытаний. На практике достаточно часто встречаются и такие случаи, когда можно указать наиболее вероятную величину т параметра т, причем воз- ^ч можные отклонения от т не очень велики. В этом случае более целесообразно определить режим, эквивалентность которого в каком-то наилучшем смысле обеспечивается в окрестности т. (ло- ^ кально-эквивалентный режим). Характеристики этого режима можно получить по методу, аналогичному рассмотренному выше, _

на основе требования о равенстве при значении т как самих интерполирующей и интерполируемой функций, так и достаточного числа их производных по аргументу т.

Тогда, аналогично системе уравнений (4), можно записать систему 2/И уравнений в виде

л

Для исходного нагружения!!! Дмя упрощен^ пример! наго режима / пример 2 'у

У Г ин) Узмьг т/ерпа/гя &—1 ции

5 Фиг. 1

т

1),

(9)

(Ю)

(И)

^п1х’[‘\пкх1 = /{,1)(т) (А — 0, 1, ..., 2М

1 = 1

которая после введения обозначений

щх? = ч1, \пх, = р1

также приводится к уравнениям моментов м _

£4, ?*=/(*)(«) (* = 0,1,..., 2М 1)

1=1

Пример 2. Определим для условий примера 1 локально-эквивалентный двухступенчатый режим при т = 4.

Подставляя значения /<А)(4) в уравнение

/(4) /'(4) /"(4)

/'(4) /"(4) /"'(4) =0,

1 р р2 : 0,074.

Я* (Р) =

получим р1 *= 0,458 и р2 =

ЮЗ

Используя первое и последнее уравнения системы (11), опре-

делим у1 = 1936,

1730.

Учитывая (10), окончательно имеем: л:1 = 2,87 дан, лг2=1,19 дан\ пг = 28 циклам, п2 — 865 циклам.

Полученные значения, как и следовало ожидать, мало отличаются от результатов примера 1 (см. фиг. I).

3. Одноступенчатый локально-эквивалентный режим. Простейшим локально-эквивалентным режимом является одноступенчатый режим, заменяющий весь спектр нагрузок нагружением с постоянной амплитудой хэ.

Величина р = 1пд-э определяется из условия

/(/и) Г(т) 1 Р

откуда

хэ = ехр

а

йт

= 0,

П9 = /(»») Хэ‘

(12)

На графике типа фиг. 1 одноступенчатый эквивалентный режим соответствует прямой линии, касательной к функции <р = 1п/(т) в точке т.

Пример 3. Пусть нагружение представляет собой стационарный нормальный процесс. Используя для определения повторяемости нагрузок метод пересечений (подсчет числа превышений заданного уровня), получим интегральную повторяемость амплитуд в виде

Р%

п = п0 ехр

2о2

где п0 — среднее число пересечений уровня, соответствующего математическому ожиданию; а2 — дисперсия процесса.

С учетом (1) усталостное повреждение по линейной гипотезе определится как

где Г — гамма-функция.

Так как

1п/(/п) = 1п А%(т) = 1п«0 —/те 1п (з]/2) + 1п Г^1.

учитывая (12), получим амплитуду одноступенчатого локальноэквивалентного режима в виде

хэ = а >/2 ехр

с1 / т + 2 1п Г

йт

-И!-

где <!> (г) — логарифмическая производная функция Г (1 + г) (см., например, [2]).

Интересно отметить, что амплитуда одноступенчатого локальноэквивалентного режима практически совпадает с амплитудой х0,

соответствующей максимуму усталостного повреждения. Действительно, величина х0, определяемая из условия

d ( 1 dn

dp;nv ~dpn

будет

nn

d

Лз3 dP„

P*+1exp

P2

1 a

= a V m + 1 .

0,

Разлагая ф ( I и 1п М + | в ряд, получим

In

хп

In /2

2 '

m

\nV m + 1 =

= ln /2+ -g---^Лп /ra + -L-

^ V m

3 /га2

2/ra2

-4^ + ofO-

12/га3 V /га3

Отсюда с точностью до величины порядка -=■

m

1

сэ ~ х0 ( 1 +

12/га2

При /га>2 ошибка не превышает 2%, поэтому приближенно можно записать хэ ^ о Ут + 1.

На фиг. 2 приведена иллюстрация замены рассматриваемого

случайного процесса нагружения ступенчатым_режимом с амплитудой хэ % а Vт, + 1= 2,45 а в окрестности т — 5.

4. Оценка величины рассеи-

локально-эквивалентным одно-

!ООг

£ const

Для случайного процесса

1 , I I

Для зкоооалентного

вания при нагружениях сложного вида. Введенные выше обобщения понятия об эквивалентных режимах позволяют предложить подход к решению важной для приложений задачи об оценке рассеивания долговечности при нагружении сложного вида.

Рассмотрим следующую возможную модельрассеивания.Пусть зависимость числа циклов до разрушения от амплитуды нагрузки для каждого отдельного образца сохраняет степенную форму (1),

однако параметры /га и Л являются случайными, меняющимися от образца к образцу. Рассеивание долговечности, таким образом, оказывается следствием рассеивания случайных параметров /га и Л.

Представим себе, что каждый экземпляр, входящий в совокупность идентичных образцов, может быть испытан до разрушения дважды: один раз под действием нагружения сложного вида,

Фиг. 2

другой — под действием упрощенного эквивалентного нагружения, характеристики которого определены одним из рассмотренных выше способов.

Легко видеть, что отношение усталостных повреждений от нагрузок этих двух типов вследствие линейности суммирования усталостных повреждений будет зависеть лишь от величины параметра тк, которым характеризуется к-й экземпляр образца. Однако

0,2

0,1

N •

• •

• і о°°° сР с* °° О о

а)

0,2

0,1

в ід А/ 0 /

• /

/ •

< ^_0£&. о 0^"^» »

• гармоническое нагружение , о случайное нагружение

Фиг 3

из условия построения эквивалентного режима следует, что в достаточно широком диапазоне изменения параметра т выполняется соотношение

где — усталостное повреждение от нагружения сложного вида;

— усталостное повреждение от упрощенного эквивалентного режима нагружения.

Так как долговечность аI обратно пропорциональна усталостному повреждению из (13) следует, что <1"1& ^ с, где константа с является одинаковой для любого экземпляра из совокупности образцов. Тогда

\%<1а + \%с,

т. е. для двух рассматриваемых видов нагружения логарифмы долговечности как случайные величины отличаются друг от друга на постоянное неслучайное слагаемое.

Отсюда получаем важный результат: распределения логарифма долговечности при сложном нагружении и при соответствующем упрощенном эквивалентном режиме являются приближенно одинаковыми.

Применение этого вывода к самому простому одноступенчатому локально-эквивалентному режиму позволяет оценивать рассеивание при сложном нагружении по известному рассеиванию при гармоническом нагружении. Полученный вывод, безусловно, является приближенным уже хотя бы потому, что его основой служит линейная гипотеза суммирования усталостных повреждений. Определенные возражения может вызвать и принятая модель

рассеивания. В целом приемлемость предложенного подхода должна контролироваться соответствующими экспериментальными материалами.

В качестве иллюстрации проведем сопоставление предложенного подхода с данными усталостных испытаний, полученными в работе [3]. Эксперимент проводился как при гармоническом, так и при случайном нагружении гауссовым процессом с тремя различными типами спектральных плотностей. •

На фиг. 3, а представлена зависимость оценки стандартного отклонения логарифма долговечности S\gN от среднего значения IgN. Для случайного нагружения в качестве меры долговечности, сопоставимой с числом циклов для гармонического нагружения, принято число пересечений процессом нулевого уровня. Из графика можно заключить, что зависимость между рассеиванием и долговечностью при случайном нагружении резко отлична от аналогичной зависимости при гармоническом рагружении. Однако если воспользоваться изложенным выше подходом и в качестве меры долговечности при случайном нагружении принять число циклов соответствующего одноступенчатого локальноэквивалентного режима*, данные испытаний можно представить в виде фиг. 3, б, свидетельствующей о возможном существовании единой зависимости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахиезер Н. И. Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею. М., Физматгиз, 1961.

2. Янке Е., Эмде Ф. Таблицы функций. М. —Л., Гостехиздат.

1949.

3. Fuller I. Research on techniques of establishing random type fatigue curves for broad band sonic loading. SAE Paper, № 671C, 1963.

Рукопись поступила 4/V 1970 г.

* По результатам рассматриваемого эксперимента среднее значение пара, метра т ~ 8,4.