Вероятностная модель запасов в проблеме устaлостной долговечности конструкций Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

______ УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVIII 19 9 7

УДК 629.735.33.017.1 ч; ( , ...~

ВЕРОЯТНОСТНАЯ МОДЕЛЬ ЗАПАСОВ В ПРОБЛЕМЕ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ КОНСТРУЮЩЙ

Е. Л. Лучинская, В. Л. Райхер

Предложена вероятностная модель безопасности, учитывающая совместное распределение долговечности до обнаружения усталостной трещи- ' ны и длительности ее дальнейшего роста. Получены необходимые соотношения для определения вероятности достижения предельного состояния при условии периодических осмотров конструкции в эксплуатации. Необходимые для решения поставленной задачи вероятностные характеристики длительности процесса накопления усталости определялись с использованием методов линейной механики разрушения на основе предложенной модели рассеяния усталостной долговечности. Проведен количественный анализ надежности действующих нормативных требований.

1. Исходные положения. Основой для принятия необходимых правил поддержания безопасности эксплуатации являются результаты лабораторных усталостных испытаний натурных: конструкций, поставляющие зачетную (сертификационную) информацию о следующих основных усталостных характеристиках рассматриваемого критического места конструкции (рис. 1):

долговечности х от начала эксплуатации до достижения усталостной трещиной максимального необнаруживаемого размера /0, при котором риск ее необнаружения при контроле является достаточно малым;

длительности роста ц усталостной трещины от максимального необнаруживаемого размера /0 до предельной величины /пред, превышение которой в эксплуатации недопустимо;

полной долговечности / = х + ц от начала эксплуатации до момента достижения повреждением размера /пред.

Величины х, ц и / являются случайными, различными для разных экземпляров номинально одной и той же конструкции.

2. Вероятностная модель безопасности. Будем считать недопустимой ситуацию, когда в момент 7} трещина еще не достигла размера /0 и, следовательно, может оказаться незамеченной и конструкция будет

эксплуатироваться далее, а в промежутке между Т{ и Тм предельное состояние /пред Уже будет достигнуто [1]. Условие возникновения такой ситуации запишем в виде системы двух неравенств

(1)

Вероятность возникновения такой ситуации равна вероятности попадания (рис. 2) случайной точки на плоскости (*, ц) в треугольник Л1+1.

ц, то вероятность попадания в этот треугольник определится в виде

На тех экземплярах конструкции, свойства которых характеризуются попаданием случайной точки (/, ц) в область 2?,+1, трещина будет обнаружена в момент осмотра 7}. При выполнении совокупности к последовательных осмотров в моменты времени ТХ,Т2,..., Т^, 7}+1,..., Тк с прекращением эксплуатации (списанием) конструкции при наработке Тк+1 суммарная вероятность возникновения недопустимого состояния определится в виде

3. Нормативные требования. Действующие правила установления по результатам лабораторных испытаний конструкции момента первого контроля и его периодичности в эксплуатации базируются на допущении о постоянстве отношения //ц для любого экземпляра конструкции. В этом случае различные реализации процесса роста усталостного повреждения являются подобными по долговечности и любая из них, в том числр и для «худшего» экземпляра, может быть получена из

О 7-_, П. тм

ГМ *

Рис. 1

Рис. 2

Если известно совместное распределение /(*, ц) случайных величин t и

Р1+1=

(2)

А1+1

*+1

Р= ЕЗ-

(3)

«лабораторной реализации» простым изменением масштаба долговечностей (см. рис. 1), т. е. введением единого для обеих стадий усталостной долговечности запаса (коэффициента надежности) г|. Совместное распределение /(/, ц) вырождается в одномерное распределение на линии t/\L - const, для которого на рис. 3 приведены соответствующие частные распределения ф(/) и ¥(ц).

<p(t)

Рис. 3

Момент первого контроля в эксплуатации устанавливается из условия вероятности достижения предельного состояния за время эксплуатации до момента Т\, не превышающей некоторый приемлемый уровень (принято значение у = 0,001). Величина Тх = 1ясп/т\ определяется по среднему значению долговечности ?исп при лабораторных испытаниях с использованием запаса г|, зависящего от числа экземпляров и испытанных номинально идентичных конструкций. Значения коэффициента запаса, нормированные в предположении о логарифмически нормальном распределении долговечности t со стандартным отклонением логарифма этой долговечности а = 0,15 [2,3], приведены ниже.

Нормативные запасы (коэффициенты надежности)

и 1 2 3 4 5 6

Л 5,0 4,0 3,5 3,2 3,1 3,0

Периодичность последующего контроля через моменты времени АТ = Ti+i -Tj, i = 1,2... устанавливается с использованием этих же запасов по отношению к полученной по результатам лабораторных испытаний величине цисп. Во избежание развития многоочаговых повреждений не допускается эксплуатация после достижения наработки, равной ^ДОП - *ИСп/2"

В целом такой подход, если считать справедливым основное допущение |i/t = const, выглядит весьма надежным, поскольку, как видно

из

из рис. 3, вероятность достижения предельного состояния в промежутках между моментами контроля оказывается равной нулю. При этом по мере роста наработки случайная точка (7, ц) все более удаляется от зоны недопустимых ситуаций.

Опьгг применения этой процедуры подтверждает ее высокую практическую надежность. В то же время очевидно, что отклонения от основного допущения должны привести к ненулевой вероятности достижения предельного состояния за счет интервалов между моментами контроля. Проанализируем условия, которые могут привести к нарушению этого допущения, и оценим степень их влияния на надежность действующей нормативной процедуры.

4. Модель усталостного разрушения. Примем следующие упрощающие допущения:

процесс роста усталостной трещины при любых сколь угодно малых ее размерах описывается одним из простейших соотношений механики разрушения — формулой Париса [4];

исчерпание долговечности происходит только за счет роста трещины, начальный размер которой представляет собой некоторое условное, экстраполированное из области реальных длин трещин в соответствии с соотношением Париса значение /тч.

Величина /нач рассматривается как количественное обозначение исходного состояния, влияющего на дальнейший ход процесса.

Предложенные допущения принадлежат к довольно распространенному типу допущений, которые могут быть названы «допущениями по экстраполяции». Классическим примером является использование в теории упругости аппарата «бесконечно малых» для описания поведе-ниия в области макродеформаций реальных материалов, весьма далеких от сплошной среды. Заметим, кстати, что степень условности использования параметра /нач является вполне сопоставимой с привычной (хотя, как правило, и завуалированной) условностью, определяющей долговечность для первой фазы усталости (фазы «отсутствия» трещины) N0 как долговечность до достижения трещиной некоторой «договорной» длины. Вероятностные характеристики как случайной величины /нач, так и величины N0 (тоже случайной) могут быть получены лишь эмпирически, а при необходимости экстраполяции таких характеристик за область имеющихся экспериментальных данных проявлять свою условность будут оба подхода.

Интегрирование уравнения

Ш/йЫ = Л (ера Л)п (4)

приводит к зависимости (см. рис. 1)

^/нач/и-^/^ан)]^ (5)

в которую, помимо упоминавшегося параметра 4«ч> входят еще два:

показатель степени 1/д = 2/ (в - 2) и зависящая от долговечность

Л'гран, соответствующая вертикальной асимптоте соотношения (5). Параметры формул (4) и (5) связаны соотношением

(«>

Осредним случайные параметры и и В. Так как Л^граи приближенно представляет собой долговечность до разрушения, получим зависимость, полностью идентичную традиционной степенной форме представления средней кривой выносливости (до разрушения), а именно:

. ::1 Ма ” =В. (6а)

Отсюда следует, что при принятых; исходных допущениях модели среднее значение п параметра уравнения Париса должно приближенно совпадать со средним значением показателя степенной зависимости, описывающей кривую выносливости. Как известно, экспериментальные данные действительно подтверждают их близость.

Распространим этот вывод и на индивидуальные кривые выносливости, описываемые соотношением (6), т. е. будем считать, что случайные параметры п и В характеризуют каждый отдельный экземпляр одной и той же конструкции: Используем подкрепленный экспериментально [5] важный результат [6], заключающийся в том, что индивидуальные степенные крйвые выносливости типа (6) в координатах ]£ а -1§ должны образовывать «веер» прямых линий с узким «горлом» при некотором характерном уровне напряжений ст*. Случайная долговечность ^1ран* на этом уровне напряжений, соответствующая каждой индивидуальной кривой выносливости, оказывается некоррелированной с Показателем Степени для этой же кривой.

Из соотношения (6) следует, что

^гран = Л%ан./ (схЛТ = ^1ран./К^*)й(/„ан//„ач)?], (7)

где /нач — среднее значение начальнрго размера «дефекта», а величина ^чин*=^ч/[^(фа*т&’)И] (8)

определяет положение асимптот кривых роста трещины в случае, если все трещины начинаются от «дефекта» одного и того же размера /ияд. В результате введения параметра долговечность оказывается

функцией трех, независимых случайных величин: параметра п и параметров .... , .

= <9а>

и

* = 1ё(/нач/^нач)- • (96)

Можно показать, что, в случав если параметры а* и д (или я) не-коррелированы, обеспечивается и отмеченное выше свойство некоррелированности параметра п и долговечности ■^1ран* •

Учитывая, что распределения случайных параметров а* и п (или д) можно считать гауссовыми, а также допуская, что, несмотря на всю условность понятия начального «дефекта», оно сохраняет свойство «начальности», т. е. не связано со случайными особенностями последующего роста трещины, все три параметра: а*, д (или и) и Ъ являются независимыми.

После подстановки (7) в (5) и логарифмирования получим соотношение для определения логарифма случайной долговечности до достижения состояния, характеризуемого длиной трещины / > /нан, в виде

\gNil) = а*-дЬ-п\&(а/а*). + ^[1 - 10«ь (10)

Полная долговечность t определяется как t = N (/пред), а длительность роста трещины как разность ц = N (/пред) - ^(/0). Две случайные

величины / и )1, соответствующие одному и тому же экземпляру кон-

струкции, в общем случае зависимы, так как определяются через характеризующую этот же экземпляр единую совокупность случайных параметров 1тч, ^1ран. и д.

5. Оценка вероятностных характеристик. Учитывая, что скорость роста трещины при ее больших размерах весьма велика, в качестве приемлемой оценки N (/пред) будем использовать величину ТУгр-щ.

С учетом этого допущения рассматриваемые случайные виличины запишем в виде

1§/ =■а* -дЬ- п1$(а/а*); (11)

1ё\х = а* -д 1ё (/0//нач) ~ « 1в (с/а* ) • (12)

В предположении о гауссовости и независимости величин а*,д и Ь вероятностные характеристики для / и ц. полностью определятся, если известны математические ожидания д и а* (из (96) следует, что Ь « 0) и средние квадратические отклонения , я . и $ь или дисперсии

Л(*),2)(<|*)и2>(й).

Приведем сводку основных характеристик случайных величин t И 1б ц, которые можно получить из (11) и (12) с учетом того, что и = 2(4 + 1):

£Ы-(7 + 1)1ё[(а/а*)]2; (13)

]%)>. = а* -дЫ[(У1шч)(о/а*)2]- ^[(а/а*)2]; (14)

где у — коэффициент вариации;

2) (18 ц) = Л (а*) + Я (?) 1е2 [(/0/7„а«) (ст/сг*)2]. (16)

Коэффициент корреляции г между величинами и 1@|х определяется формулой

г = {2)(в*) + 1)(<г)18[(а/<т*)2]18[(^//и«)(®/о*)2]}/(*1вг*1ви)- <17>

Из (13) и (14) следует важное соотношение

, 18/-18Ц*18(//ц) = 918(/0//нам)> (18)

позволяющее использовать весьма осязаемую и экспериментально просто оцениваемую величину Математического ожидания логарифма отношения */ц вместо условной величины /нан, являющейся результатом достаточно спорной экстраполяции.

В качестве примера получения конкретных количественных оценок рассмотрены тонкостенные конструкции из , алюминиевого сплава Д16. В результате анализа традиционно используемых для этого материала значений параметров, а также некоторых дополнительных данных [6], [7] были получены следующие исходные величины: д = 1;

Уд = 0,4; а* - 4; Х>(1в/*) = 0,01. При этом из (15) следует, что 2)(а*) +

+1,16Б(Ь) = 0,01.

Выполненные расчеты показали, что величина коэффициента корреляции г не является некоторой константой, а в зависимости от условий нагружения и других определяющих параметров может принимать значения практически во всем возможном диапазоне его изменения (-15 г ^ 1). В частности, при достаточно высоких уровнях нагрузки, весьма малом рассеянии размеров начального «дефекта» (т. е. при высоком качестве изготовления) и при небольших средних значениях отношения //ц (т. е. при методах контроля, позволяющих обнаруживать наличие усталостной трещины малых размеров) действительно между параметрами / и ц может реализоваться достаточно сильная положительная корреляция, что, как правило, и фиксируется при испытаниях лабораторных образцов. Однако при практическом использовании принципа допустимого повреждения на натурных авиационных конструкциях возникает прямо противоположная ситуация, поскольку уровни на1ружения низкие, технология производства «типовая», а наиболее распространенный визуальный метод дефектоскопии позволяет обнаруживать трещины лишь достаточно больших размеров. В этих условиях корреляция может не только снизиться практически до нуля, но и оказаться отрицательной.

Неблагоприятными оказываются и характеристики рассеяния величины ц. Используемое при нормировании неравенство 51яи - ^ 0,15 перестает выполняться в практически важном диапа-

зоне 18 (//ц) ^ 0,7, и уже цри значении ]в(//ц) = 1 величина достигает значений 0,3 + 0,5.

С учетом этих обстоятельств был выполнен контроль степени консервативности действующей нормативной процедуры при следующих условиях: 18^ = 4; 18ц. = 3; 5^/ = 0,15; = 0,5 (!); коэффициент

корреляции г между 18/ и 18ц равен нулю.

Полученные результаты проиллюстрированы на рис. 4, где приведены линии равных уровней совместного распределения /(ц, /); обо-

Рис. 4

значения на линиях соответствуют вероятности попадания случайной точки в область, ограниченную линией. Расчеты показали, чтов рассматриваемом случае существует вероятность возникновения недопустимой ситуации в промежутках между осмотрами, которая растет по мере увеличения наработки и оказывается равной: в интервале между первым и вторым осмотрами Р2 = 0,00017, между вторым и третьим осмотрами Р3 = 0,00025, затем Р4 = 0,00042 и Р5 = 0,00063. Далее эта вероятность равна нулю из-за наличия ограничения Тдоп- Суммарная вероятность достижения предельного состояния в процессе эксплуатации после момента первого осмотра оказалась равной Р = 0,0015, т. е. практически такой же, как и вероятность этого события при наработке до первого осмотра (напомним, что эта величина была принята равной 0,001). Хотя общая вероятность достижения предельного состояния и увеличилась в 2,5 раза, она все же- осталась допустимо малой, несмотря на то, что в рассмотренном случае были приняты Существенно отличные от нормативных и весьма жесткие условия: полное отсутствие предполагавшейся сильной зависимости между ц и / й чрезвычайно большое рассеяние величины 18щ более чем втрое превышающее нормативное. Л

На основе предложенной модели рассеяния договечности получены предварительные количественные оценки вероятностных характеристик длительности процесса накопления усталости, указывающие на

возможность их существенного отличия в неблагоприятную сторону от используемых в настоящее время. Однако влияние этих отличий на вероятность достижения предельного состояния, даже для вероятностных параметров, достаточно далеких от обычно используемых, оказалось небольшим.

ЛИТЕРАТУРА

1. Зимонт Е. Л. Определение сроков осмотров авиационных конструкций с учетом двухстадийности усталостного повреждения // Ученые записки ЦАГИ.— 1977. Т. VIII, №1.

2. Райх ер В. Л. Определение безопасного по условиям выносливости срока службы современных самолетов // Труды ЦАГИ.—1967.

3. Единые нормы летной годности гражданских транспортных самолетов стран ~ членов СЭВ (НЛГС). — М.— 1985.

4. Paris Р. С. and Erdogan F. A critical analysis of crack propagation laws // J. of Basic Eng. Trans, of AFME.— 1963.'V. 85.

5. Селихов А. Ф., Сеник В. Я. К вопросу о рассеянии характеристик выносливости материалов и конструкций // В сб.: Прочность и долговечность авиационных конструкций,— Киев: Киевский институт инженеров гражданской авиации.— 1971.

6. Райхер В. Л. О некоторых следствиях из двухпараметрической модели рассеяния долговечности // Ученые записки ЦАГИ.— 1982. Т. XIII,

№ 1.

7. Райхер В. Л., Селихов А. Ф. Вероятностные модели усталостной прочности, использующие понятие индивидуальных кривых сопротивления усталости // В сб.: Механика и научно-технический npoipecc. Т. 4,—

М.: Наука.— 1988.

Рукопись поступила 21/V1995 г.