CC BY
49
_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXXII 2 001
№3—4
УДК 629.735.33.015.4:539.43
ПРИМЕНЕНИЕ ЗАКОНОМЕРНОСТЕЙ ПРОЦЕССА ИСЧЕРПАНИЯ УСТАЛОСТНОЙ ДОЛГОВЕЧНОСТИ В ПРИКЛАДНОЙ ТЕОРИИ ЗАПАСОВ
А. В. Нестеров, В. Л. Райхер
Проведен анализ полученных материалов испытаний на основе методов линейной механики разрушения. Получен ряд новых данных об особенностях изменения корреляции между длительностями составляющих процесса исчерпания усталостной долговечности.
С учетом этих результатов получил дальнейшее развитие метод установления сроков осмотров конструкции в эксплуатации, основанный на использовании совместных распределений этих длительностей.
Современные методы обеспечения безопасности эксплуатации самолетов основаны на использовании, в первую очередь, принципа «допустимости повреждения» (Damage Tolerance), хотя на практике применяются все существующие подходы, т. е. и принцип «безопасного ресурса» (Safe Life), и принцип «безопасного разрушения» (Fail Safe). Принцип «безопасного разрушения» является особенно эффективным для обеспечения безопасности при возникновении случайных эксплуатационных повреждений; принципы «допустимости повреждения» и «безопасного ресурса» наиболее пригодны для «борьбы» с последствиями деградационных процессов, в первую очередь, усталости. Применительно к усталостному разрушению будем называть такой процесс процессом исчерпания усталостной долговечности.
Рассмотрение этого процесса базируется на использовании четырех фундаментальных понятий (рис. 1):
предельного состояния (критического размера повреждения)— /кр;
полной долговечности от начала эксплуатации до предельного состояния — t;
максимального необнаруживаемого размера повреждения — /0; длительности роста повреждения от максимального необнаруживаемого размера до предельного состояния —- v (и — соответственно длительность роста повреждения до максимального необнаруживаемого размера).
I,
Рис. 1. Принятые обозначения
Под предельным состоянием любого из критических мест конструкции понимается состояние, соответствующее допустимой остаточной прочности (как правило, составляющей не менее 67% от исходной [1]). Возникновение в любом из моментов эксплуатации конструкции уровня прочности ниже этого допустимого значения должно быть практически невероятным.
Максимальный необнаруживаемый размер характеризуется длиной трещины, которая может с допустимой малой вероятностью оказаться пропущенной при осмотре; этот размер существенно зависит от применяемых средств и методов контроля.
Знание полной долговечности от начала эксплуатации до предельного состояния и информация о длительности роста повреждения от максимального необнаруживаемого размера до предельного состояния позволяют установить такие сроки осмотров конструкции (первого и последующих) в процессе эксплуатации самолета, которые обеспечивали бы практическую невероятность возникновения предельного состояния.
При рассмотрении этих вопросов на первый план выступает одна из самых серьезных задач, «извечно» сопровождающих проблему усталости,— обоснованный учет очень большого рассеяния, к сожалению, свойственного этому физическому явлению. Как полная долговечность от начала эксплуатации до предельного состояния, так и длительйость роста повреждения от максимального необнаруживаемого размера до предельного состояния являются случайными величинами, индивидуальными для каждого отдельного экземпляра одной и той же конструкции. Исследование и анализ вероятностных характеристик этих длительностей даже по раздельности являются весьма непростой задачей, однако она давно и традиционно решается. В течение многих лет как отечественными, так и зарубежными специалистами проводилось множество обобщений и теоретических интерпретаций непрерывно накопляемого экспериментального материала; к числу последних примеров относятся работы [2], [3]. Такие данные позволили построить практически приемлемые системы запасов (коэффициентов надежности, 8сгаИег Расгоге), широко используемые (в том числе нормативные [1]) во всех развитых авиационных странах при решении задачи об установлении для авиационных конструкций (по условиям
сопротивления усталости) моментов первого и последующих осмотров, а также величин ресурсов.
Однако прежние «раздельные» вероятностные представления оказываются уже недостаточными для эффективного использования принципа «допустимости повреждения». Материалы настоящей статьи со всей очевидностью показывают, что нужны не только знания отдельно о разбросе полной долговечности и (тоже отдельно) о разбросе длительности роста трещины. Необходимы данные о рассеянии всего процесса исчерпания долговечности в целом, с определением совместных распределений полной долговечности и длительности роста трещин как двумерной случайной величины. Только такое детальное знание позволит более экономно, однако с требуемой степенью надежности, устанавливать необходимые сроки контроля.
Основные закономерности, которым подчиняются вероятностные характеристики длительности процесса исчерпания усталостной долговечности, а также методология использования этих данных и являются предметом исследования.
Для начала исследований поставленной проблемы использовались результаты испытаний на усталость плоских образцов шириной 1¥= 160 мм и толщиной (-2 мм с Центральным отверстием г = 3,4 мм из алюминиевого сплава Д16очАТВ. Испытания образцов на переменное растяжение проводились на трех режимах практически от нулевого циклического нагруже-
л
ния (Я = 0,03) с максимальным напряжением брутто 14,5, 12 и 9 кг/мм . Частота нагружения при испытаниях /=8 Гц. На каждом режиме нагружения было испытано по 10 образцов. При проведении эксперимента фиксировались точки зависимости длины трещины от долговечности 1(1V), начиная с 1 мм. Более подробные сведения о системе регистрации трещин и других особенностях эксперимента приведены в [4].
Вероятностные закономерности процесса исчерпания усталостной долговечности. За теоретическую основу решения проблемы, анализа вероятностных характеристик процесса исчерпания усталостной долговечности, примем сформированную в работах [5]—[7] модель «начального дефекта». Приведем здесь основные теоретические положения и допущения модели «начального дефекта»:
1. Процесс роста усталостной трещины описывается одним из простейших соотношений механики разрушения — зависимость Париса.
2. Исчерпание долговечности происходит только за счет роста имеющейся начальной трещины, этот начальный размер представляет собой некоторое условное, экстраполированное из области реальных длин трещин значение /нач, рассматриваемое как количественное обозначение исходного состояния, влияющего на дальнейший ход процесса.
3. Коэффициент интенсивности напряжений определяется как
К = -Осл//, где И — константа, не зависящая от /; это допущение справедливо лишь при достаточно больших размерах трещины, в связи с чем подчеркнем условность величины/нач.
Интегрирование зависимости Париса
(т V ^ ;
приводит к соотношениям
/=-
/н
1 —
лг
лг,
(2)
гран у
ИЛИ
фан
1-
(1 *нач
I
(3)
в которые помимо параметра /нач входят еще два: показатель степени — =
2-т
и долговечность Л^град, соответствующая положению на оси дол-
говечности вертикальной асимптоты соотношения (2). Полученное точное решение (2) предусматривает рост трещины в плоской пластине бесконечной ширины без концентраторов.
Для описания роста трещины в экспериментальных образцах удалось получить [4] аналогичное приближенное решение:
N=N¡
гран
^нач "*■
1 + в
(4)
где
С„,ч=г(1-е'г'НаЧ), 0 = г(
здесь
г = -
9+1/
10 /<? -1
Его более сложный вид объясняется наложением дополнительных условий на рост трещины: влияние отверстия, влияния конечной ширины образца. Эти условия учитываются в виде дополнительных поправочных функций в коэффициенте интенсивности напряжений. Их сложность не дает воз-
Л’, ЦИКЛЫ
Рис. 2. Расчетные кривые роста трещин
можности проинтегрировать в квадратурах получающуюся зависимость Париса. В связи с этим в работе [4] предложен метод получения приближенного решения и выведена его окончательная формула (4) применительно к условиям проведенного эксперимента.
Обработка результатов эксперимента, т. е. аналитическое описание результатов испытаний каждого образца в отдельности, в соответствии с моделью «начального дефекта» по трехпараметрическому (параметры /нач, Л'рран и #) соотношению (4), проводилась по критерию наименьших квадратов. Она показала, что предложенный подход оказался весьма работоспособным. Он дал возможность удобным способом получить для каждого образца индивидуальное поведение процесса и индивидуальные значения величин параметров /нач, , ц (или т). Оценки вероятностных характеристик параметров приведены в табл. 1, а графики расчетных реализаций на рис. 2.
Обращает на себя внимание зависимость среднего значения параметра т, а также параметра /нач от интенсивности нагружения, что не укладывается в принятые модели Париса и «начального дефекта». Следует особо отметить весьма скромное рассеяние параметра 1о§ Л^гран. Оценки коэффициентов корреляции между параметрами (табл. 2; верхняя строка — 9,
'У
средняя — 12, нижняя — 14,5 кг/мм ) показали, что ожидавшаяся слабая корреляция между Жфан и параметрами и /нач подтвердилась. Однако
неожиданной оказалась очень сильная корреляция между параметрами т (или q) и /нач. Следствием этого надо считать отмеченную выше зависимость от интенсивности нагружения как параметра д, так й параметра /нач.
Оценки вероятностных характеристик параметров модели
(М — символ математического ожидания,
5—символ среднего квадратического отклонения)
о, кг/мм2 9 12 14,5
М(/Нач) 0,0032 0,0322 0,058
M(log /цац) -2,664 -1,605 -1,259
М(<?) 0,586 0,984 1,184
М(т) 3,17 3,97 4,37
Мигран) 269 173 93 804 53 550
M(log Легран) 5,427 4,968 4,725
M(z) 310,82 35,08 22,18
^нач) 0,002 0,03 0,018
50°g V4) 0,512 0,295 0,161
т 0,1135 0,216 0,174
S(m) 0,227 0,432 0,348
■^(^гран) 33 970 13 090 7683
5(log Л'ррац) 0,056 0,062 0,06
ад 493,53 12,4 7,85
Таблица2
Коэффициенты корреляции
(верхняя строка — 9, средняя— 12, нижняя — 14,5 кг/мм2)
Опираясь на данное в начале статьи описание процесса исчерпания усталостной долговечности и на полученные расчетные данные в виде расчетных кривых роста трещины (см. рис. 2), исследуем поведение коэффициентов парной корреляции между индивидуальными для каждого образца (случайными) длительностями, которыми характеризуется процесс исчерпания усталостной долговечности с позиций двух фаз (см. рис. 1):
полной долговечностью I циклов от начала нагружения до достижения лидирующей трещиной критического размера /кр;
числом циклов и от начала нагружения до достижения лидирующей трещиной максимального необнаруживаемого размера /0;
числом циклов V от размера /0 лидирующей трещины До ее критического размера.
Наличие аналитической зависимости (4) дает возможность определения трех базовых параметров процесса исчерпания усталостной долговечности (/, и, V) практически в любой момент этого процесса, на любом уровне длин трещин. Располагая значениями /, и, V для каждого образца на каком-либо уровне /, можно определить их статистические характеристики на данном уровне и получить зависимость уже статистических характеристик от уровня длины трещины. Действуя таким образом, построим зависимости коэффициентов корреляции Г (и, О, Г (V, /), г (и, и) от уровня длины трещины /,, или, что тоже самое, от отношения ь/Т (рис. 3). Отношение и// вносит элемент относительности в оценку состояния процесса, так как позволяет сопоставлять параметры процесса и их вероятностные характеристики для разных уровней нагружения. На рис. 3 приведены статистические оценки коэффициентов корреляции г (и, О, г (у, 0 и г (и, V) раздельно для каждого из режимов нагружения в зависимости от величины отношения средней длительности роста обнаруживаемой трещины V к среднему значению полной долговечности Т. Отношение у/Г «пробегает» весь диапазон 0 < у/7 < 1 за счет того, что при обработке результатов эксперимента в качестве / принимались все возможные значения из диапазона
0</0 ^/крих-
Для удобства восприятия физического смысла характеристик /, и, V, а также их статистических зависимостей представим, что г-й уровень длины трещины /, является уровнем обнаружения трещины, который*соответствует точном^ или грубому способу выявления трещины. Таким образом, низкие уровни /, будут соответствовать более точным способам обнаружения трещины (рентген, ультразвук и т. д.), и соответственно с повышением уровня /( будет возрастать грубость способа обнаружения. Рассмотрим с изложенной позиции ряд важных результатов, следующих из рис. 3:
1) При у/г = 0 коэффициент корреляции г (и, 0, как и следовало ожидать, равен единице. Этот случай соответствует той гипотетической ситуации, когда трещина дорастает до своего критического уровня, оставаясь необнаруженной; следовательно, длительность роста обнаруженной трещины у = 0. При достижении трещиной своего критического размера, и становится равным и и, следовательно, корреляция г = 1. При и/Т = 1 коэффициент корреляции снижается до естественного в этом случае значения, близкого к нулю. Важным является то, что корреляция между и и / долго, вплоть до ь/Т = 0,5, сохраняется очень высокой (коэффициент корреляции г (и, 0 > 0,9). Отсюда следует, что в этом диапазоне и/Т можно принять допущение о едином (неслучайном) для всех экземпляров коэффициенте пропорциональности между долговечностью до обнаруживаемой трещины и и полной долговечности ?. Наконец, существенно, что этот диапазон значений и/Т отражает возможности применяемых средств и методов контроля целостности конструкций в эксплуатации.
2) Коэффициент корреляции г (и, /) ведет себя прямо противоположно, т. е. остается весьма малым, вплоть до значений ь/Т = 0,5. Другими словами, в диапазоне 0 < и/Г <0,5 длительность роста обнаруживаемой трещины и полная долговечность в статистическом смысле практически независимы. Затем растет и достигает, как и следовало ожидать, значения г{ь, при и/Т ~ 1. Этот случай соответствует той ситуации, когда трещина обнаружена уже на первых циклах, и, следовательно, длительность роста обнаруженной трещины и также начнет отсчитываться с первых циклов. При достижении трещины своего критического размера V совпадает с / и корреляция между ними равна 1.
3) Коэффициент корреляции между и и и, будучи близким к нулю (практическая независимость!) при и/Т = 0, затем становится отрицательным (!), особенно при больших значениях и/Т (т. е. при использовании средств и методов контроля, способных обнаружить трещины малых размеров), однако при приближении у/Т к единице опять становится близким
к нулю. Коэффициент корреляции между и и V, как правило, отрицателен, т. е. экземпляр, характеризуемый большой долговечностью «до обнаруживаемой трещины», имеет малую длительность ее роста.
Отметим результаты, которые частично можно объяснить уже сейчас, однако их важность требует проведения специального рассмотрения. Ожидавшаяся в соответствии с формальным физическим смыслом параметра /нач независимость его средних значений от режима (интенсивности) циклического нагружения не реализовалась (см. табл. 1). Этот результат можно считать следствием двух других «первичных» результатов: наличия сильной корреляции на каждом из режимов между параметрами /нач и т (или q); наличия зависимости от режима (интенсивности) циклического нагружения средних значений параметра т (или <?), что не укладывается в модель Париса типа соотношения (1).
Первый из результатов является неожиданным, поскольку не укладывается в представления об априорной независимости параметра т, «управляющего» процессом роста трещины в материале, и параметра /нач, являющегося следствием качества технологии выполнения отверстия. Этот результат «критичен» в смысле правомочности модели «начального дефекта», и если он в последующем подтвердится на статически более богатом материале, то он со всей определенностью будет свидетельствовать о необходимости построения более адекватной инженерной модели.
Использование корреляционных характеристик при установлении сроков осмотра конструкции в эксплуатации. Напомним основные положения эффективного подхода [5], [8], использующего для этой цели совместные распределения длительностей составляющих процесса исчерпания усталостной долговечности. Эксплуатацию критического места конструкции в промежутке между двумя осмотрами Тк и Тк+] следует считать безопасной с позиций усталостной прочности, если выполняется одно из двух условий:
либо его полная долговечность ( превышает момент очередного осмотра Тк+\ '■>
либр, если реализуется противоположный случай, т. е. (< Тк+], трещина должна быть обнаружена (т. е. иметь размер, превышающий максимальный необнаруживаемый) в момент осмотра Тк, или, что эквивалентно, характеристика и не должна превышать Тк.
В связи с этим первый квадрант плоскости двух переменных, t и и,— (см. рис. 4, а) можно разделить на ряд зон, характеризующих те или иные усталостные свойства критического места конструкции:
зону невозможных свойств (область внутри угла, образуемого биссектрисой и осью ординат), так как длительность и не может быть больше, чем полная долговечность V,
зоны небезопасности (заштрихованные треугольники, примыкающие снизу к биссектрисе), так как в каждом из них координата и превышает соответствующую координату Тк (т. е. трещина оказывается необнаруженной при осмотре в момент Тк), а полная долговечность / оказывается недостаточной для достижения момента осмотра Тк+];
зоны безопасности (прямоугольники, примыкающие снизу к зонам небезопасности), в пределах которых, хотя полной долговечности / и не хватило бы для достижения момента осмотра Тк+\> координата и превышает координату Тк, а следовательно, трещина обнаруживается при осмотре в момент Тк . Критическое место в таком состоянии к эксплуатации не допускается.
Зоны безопасности можно разделить на более мелкие прямоугольники в зависимости от того, при каком числе предшествующих осмотров трещина уже превышала максимальный необнаруживаемый размер и могла быть выявлена.
Зина невошожмых свойств /
2 2
/ А 1 1а
Ъ % % /С|К| Т/ 4} X
и <
Й> •)
Рис. 4. Зоны свойств на плоскостях (и, I), (V, I) и (и, а)
Цифрой 1 обозначены зоны, где это число минимально и равно одному осмотру, пропуск этого осмотра равносилен потере безопасности. Цифрой 2 и более обозначены зоны повышенной безопасности, «прощающие» пропуск соответствующего числа осмотров. На основе простой геометрической интерпретации вероятность того или иного события может быть определена, если известна плотность /(и, 0 совместного распределения случайных величин и и вероятность вычисляется как интеграл от /(и, I) по соответствующим зонам. В частности, полная вероятность небезопасности будет представлять собой сумму интегралов по всем «треугольникам небезопасности», начиная от интервала до первого осмотра и вплоть до достижения некоторого установленного ресурса.
Если плотность /(и, I) известна, всегда могут быть выбраны такие сроки осмотров, которые обеспечат требуемый уровень безопасности. Описанная ситуация может быть геометрически интерпретирована не только применительно к паре координат и и /, но и к двум другим возможным парам (см. рис. 4, б и в): координатам (и, и) и координатам (и, {). При этом соответствующие зоны деформируются (например, на плоскости и — V, очевидно, будет вообще отсутствовать зона невозможных свойств). Однако общая картина сохраняется и представляет собой совокупность «треугольников небезопасности» и «параллелограммов безопасности», вероятность попадания в которые будет определяться соответствующими плотностями /(и, и) или /(к, Г). Выбор той или иной пары координат безразличен и, если соответствующие плотности распределений /(и, /),/(м, V) ИЛИ /(V, О точно
известны, должен давать один и тот же конечный результат. Однако вид этих функций (тип распределения) и даже их параметры (среднее значение, дисперсия, коэффициент корреляции и др.) являются результатом эмпирических оценок, использующих, экспериментальные результаты весьма ограниченного объема, а также определенных допущений, построенных на базе инженерных обобщений. Поэтому следует выбрать такую пару координат, где выявленные вероятностные свойства составляющих процесса исчерпания усталостной долговечности вселяют наибольшую уверенность в пригодности принимаемых характеристик для решения поставленной задачи.
Полученные в анализируемом эксперименте данные показывают, что сегодня пара (и, /) более предпочтительна по следующим причинам:
1) Напомним, что в широком диапазоне изменения средней относительной длительности роста обнаруживаемой трещины (0<и/7<0,5), который, по-видимому, «накрывает» возможности практически всех существующих средств и методов контроля целостности конструкций в эксплуатации, коэффициент корреляции г {и, t) сохраняется весьма близким к единице. При этом г (и, t) будет особенно близким к единице при малых v/T, т. е. при использовании самого «популярного» метода контроля — визуального.
2) Поскольку наличие сильной корреляции является, по существу, не столько количественным, сколько качественным свойством, это позволяет, по-пёрвых, меньше заботиться о трудно получаемой его фактической величине (например, корреляция 0,95 вполне может быть признана как единица), а во-вторых, с достаточным основанием распространить отмеченное качественное свойство на относительно широкий класс практических ситуаций.
3) Если принять коэффициент корреляции между и и t весьма близким единице, то это приводит к приближенной пропорциональной зависимости u = kt, т. е. практически к прямой линии в координатах (и, /), на которой (см. рис. 4, а) должны быть расположены все случайные точки, соответствующие разным экземплярам конструкции. Распределение становится одномерным и может характеризоваться раздельно как распределением и, так и распределением t, различающимися только масштабом осей абсцисс. Что касается распределения t, то на основе многочисленных обобщений его можно принять логнормальным. Именно такое допущение используется в соответствующих отечественных регламентах, причем нормативная величина среднего квадратического отклонения S (log t) для типовых конструкций из алюминиевых сплавов принята равной ,0,15. Все это позволяет просто, на уровне таблиц, пособий по теории вероятностей, проводить расчеты вероятностей попадания в интересующие зоны типа, приведенных на рис. 4.
Вместе с тем следует отметить, что из-за t = u + v допущение пропорциональности u = kt неизбежно приводит к пропорциональности v = = (1 - к) t, т. е. к такой же сильной коррелированности между v и / в широ-
ком диапазоне v¡t . Однако эксперимент этого не показывает (см. рис. 3).
Более того, при и = ( 1 -k)t распределение v, как и распределение и, должно совпадать (также с точностью до масштаба) с распределением t; при условии t=u + v принадлежность распределений всех трех величин t, и и v к логнормальному (а не к нормальному!) типу, очевидно, невозможно (весьма полезные соображения, касающиеся «взаимоотношений» между нормальным и логнормальным распределениями, обсуждены в [8]). Среднее квадратическое S (log v) должно было бы быть равно среднему квадратическому S (log f) = 0,15, что однако не признается отечественной [1] (да и мировой) нормативной документацией. Принимаемое в [1] типовое значение S(log о) = 0,10 в 1,5 раза меньше, хотя достаточно серьезные соображения заставляют сомневаться в «безопасности» этой цифры. В целом ситуация представляется неоднозначной. В настоящее время, до получения более надежных данных о совместном распределении длительности роста обнаруживаемых трещин и полной долговечности, целесообразно все же использовать самый простой из изложенных выше подходов, рассматривающий сильную корреляцию между и vi t со всеми вытекающими из этого полезными и (возможно) консервативными последствиями.
ЛИТЕРАТУРА
1. Методы Определения Соответствия (МОС) к АП 25.571 «ОБЕСПЕЧЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТИ КОНСТРУКЦИИ ПО УСЛОВИЯМ ПРОЧНОСТИ ПРИ ДЛИТЕЛЬНОЙ ЭКСПЛУАТАЦИИ»,— Межгосударственный Авиационный Комитет, Авиационный регистр, № 5-96 от 30 декабря 1996 г.
2. С е л и х о в А. Ф„ Ч и ж о в В. М. Вероятностные методы в расчетах прочности самолета.— М.: Машиностроение.— 1987.
3. Raikher V. Fatigue and damage tolerance scatter models//Proc. of FAA/NASA Int. Symp., NASA CP-3274, Hampton.— 1994.
4. Raikher V., Nesterov A., Dotsenko A., Konovalov V. Scatter of the fatigue life depliting process characteristics//ICAF’99, Seattle, July 12—
16.—1999.
5. Л у ч и н с к а я Е. Л., Р а й х е р В. Л. Вероятностная модель запасов в проблеме усталостной долговечности конструкций/УУченые записки ЦАГИ.—
1997. T. XXVIII, №2.
6. Н е с т е р о в А. В., Р а й х е р В. Л; Модели возникновения и роста усталостных трещин и вероятностные распределения их размеров//Ученые записки ЦАГИ — 1997. T. XXVIII, № 3—4.
7. Н е с т е р о в А. В. Вероятностное моделирование процесса исчерпания усталостной долговечности//Канд. дисс.— М.: МАТИ.— 1997.
8. R a i k h е г V. L. On sone features of probability characteristics on the sum of two random values/In: Proceedings of the International Conference «AVIATION RELIABILITY, AviaRer99».— 20—21 April 1999, Riga, Latvia.
Рукопись поступила 20/VIl 2000 г.
