CC BY
41
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м II 197 1
М 5
УДК 629.7.018:4.519.28
ОЦЕНКА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДОЛГОВЕЧНОСТИ НА ОСНОВЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ С НЕПОЛНОЙ ИНФОРМАЦИЕЙ
В. Л. Райхер
Предложен способ непараметрической оценки распределения долговечности в случае, когда о долговечности некоторых изделий известно лишь то, что она превышает определенную величину. Оценка предлагается взамен несостоятельных оценок, используемых на практике в настоящее время. Приведены примеры, иллюстрирующие применение предлагаемого способа.
Как уже отмечалось в работе [1], при оценке распределения значений долговечности о некоторых изделиях известно лишь то, что их долговечность превышает определенную величину.
Если вид распределения долговечности известен с точностью до малого числа параметров, оценка величины этих параметров* в условиях неполной информации может быть проведена на основе принципа максимума правдоподобия (см., например, [2], [3]).
Однако во многих случаях нельзя считать известным даже вид распределения, причем именно результаты испытаний должны быть использованы для решения вопроса о принятии распределения того или иного вида. Возникает задача о непараметрической оценке распределения долговечности.
Следует иметь в виду, что на практике для такой непараметрической оценки в большинстве случаев оказывается достаточным простое построение графика с использованием соответствующей вероятностной функциональной шкалы. Поэтому тонкий аппарат математической статистики (выяснение свойств оценок, определение доверительных интервалов и т. д.), как правило, целесообразно применять уже на стадии оценок параметров распределения, выбранного в результате достаточно грубого анализа. Такой путь является, по-видимому, наиболее оправданным, особенно если учесть, что объем имеющихся экспериментальных данных всегда очень ограничен.
* Для усталостной долговечности наибольшее распространение получило допущение о логарифмически нормальном распределении; в этом случае оценке подлежат лишь два параметра: математическое ожидание и стандартное отклонение логарифма долговечности.
Для рассматриваемой ситуации, когда испытания части изделий прекращены до выявления их фактической долговечности, не существует метода непараметрической оценки распределения. Поэтому на практике используются некоторые приемы, заключающиеся в следующем:
1) экземпляру изделия, фактическая долговечность которого при испытаниях не выявлена, приписывается значение долговечности, до которого он был испытан; дальнейшее построение выборочной функции распределения проводится обычным порядком;
2) экземпляры изделия, не доведенные до разрушения, для построения выборочной функции распределения учитываются лишь при подсчете суммарного числа опытов (знаменатель статистической частоты, являющейся оценкой вероятности). В числителе статистической частоты учитываются лишь экземпляры, доведенные до разрушения;
3) экземпляры, для которых испытания прекращены без разрушения, вообще исключаются из рассмотрения.
Нетрудно видеть, что эти оценки распределения долговечности явно не являются состоятельными, т. е. не приближаются к функции распределения долговечности с ростом объема эксперимента. Кажущаяся допустимость третьего приема связана с недооценкой того факта, что исключение неразрушившихся экземпляров нарушает случайность выборки, а следовательно, приводит к невыполнению условий предельных теорем теории вероятностей. Яркой иллюстрацией является очевидная неприемлемость использования для оценки распределения долговечности значений долговечности худших экземпляров из серий образцов.
В настоящей статье предложен способ получения оценки распределения, основанный на использовании работы [1]. Результаты ограничиваются получением самой оценки; вопрос о характеристиках ее распределения (математическое ожидание, дисперсия), позволяющих судить о свойствах оценки (состоятельность, несмещенность и т. д.), является весьма сложным и в статье не рассматривается. Тем не менее, как будет видно из самого способа построения оценки, базирующегося на естественной замене вероятности соответствующей статистической частотой, такую оценку следует считать явно более предпочтительной, чем используемые в настоящее время. Определенным аргументом в пользу предлагаемого способа служит рассмотренный в статье пример 2.
Оценка распределения по незавершенной выборке большого объема. Понятие о незавершенном распределении, введенное в работе [1], позволяет рассматривать всякую экспериментально полученную совокупность перемежающихся значений фактической долговечности и значений долговечности, при которых испытания прекращены, в качестве случайной выборки из некоторого незавершенного распределения.
Если объем незавершенной выборки велик, можно воспользоваться соотношениями (10а) и (106) из работы [1], взяв вместо распределений, входящих в эти соотношения, их выборочные оценки*. Тогда выражение для оценки распределения долговечности запишется
* В дальнейшем оценку будем обозначать волнистой линией над соответ' ствующей буквой.
(1)
где
(2,
i-fw
Значение F(x), очевидно, будет оценкой F(x) лишь в том случае, когда обеспечивается случайность выборки из гипотетического незавершенного распределения, строящегося в соответствии с принципами, изложенными в работе [1]. Как правило, такая процедура достаточно хорошо отражает возникающие на практике ситуации. Вместе с тем использование предлагаемых способов оценки требует внимательного отношения к причинам возникновения той или иной незавершенной выборки.
Для получения оценки к(х) (см. работу [4]), а следовательно, и F(х), разобьем диапазон распределения долговечностей на ряд последовательных интервалов так, чтобы как число интервалов, так и количество отказавших изделий, долговечность которых попадает в интервал, были достаточно велики.
Введем следующие обозначения: mt — число отказавших изделий, долговечность которых попадает в /г-й интервал;
m,k — число изделий, испытания которых прекращены при достижении значения долговечности, попадающего в k-я интервал; mk = mt + rnj.
Если суммарное число испытанных изделий равно М, то в k-м интервале
на левой границе k-ro интервала
А—1
**(*лев) = Е.
г=1
на правой границе
^ k С^прав) — 5«<1
i = l
Тогда соотношение (1) запишется в виде
^(■*прм)=1—ехр
* +
ту
1
/=і 2
/ м м
mi -f X mi Ki=j ;=/+i
(3)
определяющем оценку на правой границе &-го интервала. Интегрирование здесь заменено приближенным суммированием по интервалам, причем значение внутри интервала принимается
ПОСТОЯННЫМ И равным полусумме значений ^(.«лев) И Ч^О^прав)-
Пример 1. После определенного срока эксплуатации 622 изделий выявилась картина их долговечности, приведенная в табл. 1.
Результаты расчета по соотношению (3) приведены на фиг. 1. Распределение можно считать логарифмически нормальным со средним значением логарифма долговечности ^7^ 2,77 (соответ-
ствующее значение Т ^=590 час) и стандартным отклонением 31гг~0,1. Для сравнения на этом же графике приведены оценки функции распределения долговечности, полученные приемами, описанными выше.
Таблица 1
Число изделий Наработка Т [час]
о о о о о см •I- о о 200-н300 300-5-400 400ч-500 500-ь-600 600-^700 700-^800 800н-900
"Чг _ 1 15 46 48 16 3
тк 73 98 62 100 112 39 5 — 4
тк 73 98 63 115 158 87 21 — 7
Оценка распределения при малом объеме незавершенной выборки. Этот случай на практике является весьма распространенным, особенно при статистической обработке результатов лабораторных испытаний. Если объем выборки относительно мал, группировка данных по интервалам значений долговечности становится нецелесообразной; рассмотрению подвергается результат по каждому отдельному экземпляру изделия.
53 300 г
Р[°/о]
60,000 50 ООО ч-д ООО
• Рс
фа*
20} ООО 10000
6,0
62
6,4 6/
Фиг. 2
6д
70
gk = const =.
«А ч а к н Я a SB ^ *, Н ы «в ад £ н м « (0, N [млн. цикл.] lg N 1 —^ 1 4- gk
1 "Г ^ 1-W*-
1 1,13 6,052 1,36 0,25 1,0000 1,0232
2 1,23 6,090 3,41 0,50 0,9773 1,0238
3 1,41 6,149 5,68 0,75 0,9545 1,0244
4 1,41 6,149 7,95 1,00 0,9318 1,0250
5 2,10 6,322 10,2 1,13 6,052 0,9091
6 2,10 6,322 12,5 1,23 6,090 0,8864
7 2,39 6,378 14,8 1,25 6,096 0,8636 1,0270
8 2,45 6,389 17,0 1,50 6,176 0,8409 1,0278
9 2,51 6,400 19,3 1,75 6,243 0,8182 1,0286
10 2,66 6,424 21,6 2,00 6,301 0,7954 1,0294
11 2,83 6,452 23,9 2,10 6,322 0,7727
12 2,97 6,472 26,1 2,39 6.378 0,7500
13 3,04 6,482 28,4 2,45 6,389 0,7273
14 3,31 6,520 30,7 2,50 6,398 0,7045 1,0333
15 3,33 6,522 33,0 2,51 6,400 0,6818
16 3,54 6,549 35,2 2,66 6,424 0,6591
17 3,62 0,558 37,5 2,75 6,439 0,6364 1,0370
18 4,21 6,624 39,8 2,83 6,452 0,6136
19 4,56 6,659 42,0 2,97 6,472 0,5909
20 4,66 6,668 44,3 3,00 6,477 0,5682 1,0417
21 5,09 6,706 46,6 3,04 6,482 0,5454
1/44 = 0,02273
- ёк п 1 2 1 — 2 1 -Й Ь Рк [%}
1 -Ь
1,0000 1,0000 0,0227 0,0227 0,9773 0,000
1,0232 1,0000 0,0227 0,0454 0,9546 0,000 —
1,0475 1,0000 0,0227 0,0681 0,9319 0,000 —
1,0731 1,0000 0,0227 0,0908 0,9092 0,000 —
0,9999 0,0001 1,26
0,9749 0,0251 3,76
1,0929 0,9499 0,0239 0,1147 0,8853 0,0501 5,01
1,1296 0,9499 0,0239 0,1386 0,8614 0,0501 5,01
1,1610 0,9499 0,0239 0,1625 0,8375 0,0501 5,01
1,1942 0,9499 0,0239 0,1864 0,8136 0,0501 5,02
0,9497 0,0503 6,42
0,9218 0,0782 9,21
0,8939 0,1061 12,0
1,2293 0,8660 0,0256 0,2120 0,7880 0,1340 13,4
0,8652 0,1348 14,9
0,8364 0,1636 17,8
1,2702 0,8084 0,0281 0,2-101 0,7599 0,1916 19,1
0,8075 0,1915 20,7
0,7776 0,2224 23,7
1,3172 0,7484 0,0304 0,2705 0,7295 0,2516 25,2
0,7476 0,2524 26,8
22 5,10 6,707 48,9 3,25 6,512 0,5227 1,0454
23 5,50 6,740 51,1 3,31 6,520 0,5000
24 5,74 6,758 53,4 3,33 6,522 0,4773
25 6,38 6,805 55,7 3,50 6,544 0,4545 1,0526
26 6,43 6,808 58,0 3,54 6,549 0,4318
27 6,55 6,816 60,2 3,75 6,574 0,4091 1,0588
28 6,64 6,822 62,5 4,00 6,602 0,3864 1,0625
29 7,04 6,847 64,8 4,21 6,624 0,3636
зо 7,06 6,848 67,0 4,25 6,628 0,3409 1,0714
31 7,57 6,878 69,3 5,00 6,699 0,3182 1,0769
32 7,58 6,879 71,6 5,09 6,706 0,2954
33 7,72 6,887 73,9 5,50 6,740 0,2727
34 7,80 6,892 76,1 5,74 6,758 0,2500
35 8,27 6,917 78,4 6,00 6,778 0,2273 1,1111
36 8,38 6,923 80,7 6,43 6,808 0,2045
37 8,71 6,940 82,9 7,04 6,847 0,1818
38 9,08 6,958 85,2 7,06 6,848 0,1591
39 9,30 6,968 87,5 7,75 6,889 0,1364 1,2000
40 9,68 6,985 89,8 8,27 6,917 0,1136
41 10,17 7,008 92,0 8,71 6,940 0,0909
42 10,30 7,013 94,3 9,25 6,966 0,0682 1,500
43 10,38 7,016 96,6 9,68 6,985 0,0454
44 18,43 7,265 98,9 10,25 7,010 0,0227
1,3721 0,7172 0,0317 0,3022 0,6978 0,2828 28,3
0,7165 0,2835 30,0
0,6840 0,3160 33,2
1,4344 0,6519 0,0349 0,3371 0,6629 0,3481 34,8
0,6514 0,3486 36,5
1,5098 0,6177 0,0368 0 3739 0,6261 0,3823 38,2
1,5986 0,6177 0,0368 0,4107 0,5893 0,3823 38,3
0,6170 0,3830 40,2
1,6985 0,5790 0,0392 0,4499 0,5501 0,4210 42,1
1,8198 0,5790 0,0392 0,4891 0,5109 0,4210 42,1
0,5782 0,4218 44,4
0,5338 0,4662 48,8
0,4893 0,5107 53,3
1,9597 0,4454 0,0510 0,5401 0,4599 0,5546 55,5
0,4447 0,5553 58,0
0,3953 0,6047 62,9
0,3459 0,6541 67,9
2,1774 0,2970 0,0765 0,6166 0,3834 0,7030 70,3
0,2962 0,7038 73,3
0,2371 0,7629 79,2
2,6129 0,1782 0,1275 0,7441 0,2559 0,8218 82,2
0,1774 0,8226 86,7
3,9194 0,0890 0,2553 0,9994 0,0006 0,9110
Оценка по таким данным функции ®(х) очень недостоверна. В связи с этим более предпочтительным, по-видимому, будет использование подхода, оперирующего с вероятностями неразру-шения при некоторых граничных значениях долговечности (см. пример 3 в работе [1]).
Итак, будем считать имеющиеся результаты выборкой из незавершенного распределения, характеризующегося конечным числом граничных значений долговечности х1(1—\, 2,...,«), при которых испытания отдельных образцов могут быть прекращены. В качестве х1 примем значения долговечности, при которых испытания действительно прекращены без разрушения в рассматриваемом конкретном эксперименте. Тогда, используя результаты примера 3 работы [1] и принимая соответствующие статистические частоты в качестве оценок распределений случайных величин, получим
Если незавершенная выборка состоит из т значений долговечности, расположенных в виде вариационного ряда, то оценка Чг(х) определяется обычным путем как выборочная функция распределения для рассматриваемой незавершенной выборки, а gk есть частное от деления на т числа экземпляров, испытания которых прекращены без разрушения при долговечности хк (обычно
Из соотношений (4) видно, что в первую очередь должны быть вычислены оценки Р{х^ в точках, соответствующих неразрушенным образцам, а затем по этим значениям — оценки в точках, соответствующих разрушению.
Порядок вычислений наиболее удобно проиллюстрировать на конкретном примере. Как будет видно из дальнейшего, в ходе вычислений выявятся некоторые моменты, на которые полезно обратить внимание.
Пример 2. Имеются результаты испытаний на выносливость до разрушения* 44 образцов из сплава АВТ-1 при переменном напряжении аа=14 кгс/мм2. Эти результаты в виде вариационного ряда приведены в столбцах 2 и 3 табл. 2.
В соответствии с общепринятой практикой получена оценка функции распределения долговечности в виде
где пк — порядковый номер значения долговечности в вариационном ряду; т — общее число испытанных образцов (т = 44). Значения Рфакт представлены в табл. 2, а также на фиг. 2.
* Автор благодарен Л. Н. Екименкову, любезно предоставившему материалы этих испытаний.
ЧГ(х)
при х < л,;
(4а)
?(х) =
1 —(1 -
при х = х1 (1=2,3,...,«); (46)
т
(5)
Данные этого эксперимента использованы для построения незавершенной выборки по следующей схеме. Каждому из образцов случайным образом поставлено в соответствие одно из 44 граничных значений хк = Л^ран *, определяемых в виде Легран* = 0,25-106к (*= 1, 2, . . . , 44).
В случае, если фактическая долговечность удовлетворяет условию Л^>Л/гран*, образец считается неразрушенным и ему приписывается долговечность Легран А.
Полученная таким способом незавершенная выборка в виде вариационного ряда приведена в столбцах 5 и 6 табл. 2 (значения долговечности „разрушенных" образцов выделены полужирным шрифтом).
Дальнейшие расчеты проводились в соответствии с соотношениями (4). В первую очередь по формуле (46) получена оценка 1 — /^ при граничных значениях долговечности (неразрушенные образцы). Затем по соотношению (4в) определена оценка 1 —/^ в точках, соответствующих разрушению образца. Все промежуточные вычисления иллюстрируются таблицей. В предпоследнем столбце приведена оценка функции распределения Р для всех значений долговечности в незавершенной выборке.
Наконец, учитывая, что распределение долговечности является непрерывным, по аналогии с соотношением (5), в качестве лучшей оценки приняты значения
Рй= Рк +2к+У 100%’
которые приведены в табл. 2 и на фиг. 2.
Сравнение оценки Рь с оценкой Рфакт, построенной непосредственно по результатам испытаний до разрушения всех 44 образцов, показывает их хорошее совпадение.
Из соотношений (4) можно получить следующие полезные для контроля вычислений результаты (см. табл. 2):
— в точках, соответствующих неразрушенным образцам с долговечностью, не превышающей минимальную долговечность разрушенного образца, значения оценки /% равны нулю;
— оценки функции распределения Т7 при значениях долговечности разрушенного образца и непосредственно ему предшествующего в вариационном ряду неразрушенного одинаковы;
— оценки функции распределения Т7 для любого числа подряд идущих в вариационном ряду значений, соответствующих неразрушенным образцам, одинаковы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Райхер В. Л. Восстановление распределения долговечности по незавершенному распределению с известными характеристиками, .Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 4, 1971.
2. Л и н н и к Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы теории обработки наблюдений. М., Физматгиз, 1962.
3. Артамоновский В. П. Об использовании метода максимума правдоподобия для оценки параметров распределения времени безотказной работы авиационных деталей. Труды РКИИГА, вып. 107,
Рига, 1967.
4. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А. Д. Математические методы в теории надежности. М., „Наука*, 1965.
Рукопись поступила 26Ц 1971 г.
