CC BY
5
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Миракьян Г. М. Аппроксимирование непрерывных функций е помощью поли-
та
помов e-nx ck,nxk Ц Докл. АН СССР. 1941. Т. 31. С. 201-205. к=0
2. Szasz О. Generalization of S. Bernstein's polinomials to the infinite interval // J. Res. Nat. Bur. Standards, Sect. B. 1950. Vol. 45. P. 239-245.
3. Коровкин П. П. О сходимости линейных положительных операторов в пространстве непрерывных функций // Докл. АН СССР. 1953. Т. 90, JVS 6. С. 961-964.
4. Xiehua Sun. On the simultaneous approximation of functions and their derivatives by the Szasz-Mirakvan operator // Journal of Approximation Theory. 1988. Vol. 55, iss.
P. 279-288.
5. Гудошникова E. В. Приближение операторами типа Саса-Миракьяпа и Баскакова с весовыми множителями : дис. ... канд. физ.-мат. наук. Саратов, 1996
6. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М, : Наука, 1966.
7. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. М, : Наука, 1977.
УДК 517.984
Л. С. Ефремова, В. А. Юрко
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ И ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПУЧКОВ НА А-ГРАФАХ
Исследуется обратная спектральная задача для несамосопряженных пучков дифференциальных операторов второго порядка, заданных на компактных А-графах с произвольным числом циклов при стандартных условиях склейки во внутренних вершинах и краевых условиях в граничных вершинах. Основное внимание уделено наиболее важной нелинейной обратной задаче восстановления коэффициентов дифференциальных уравнений (потенциалов) при условии, что структура графа известна априори. Для этой обратной задачи доказана теорема единственности и получена конструктивная процедура построения решения. При этом используется развитие идей метода спектральных отображений [1]. Отметим, что некоторые классы обратных задач для интегро-дифференциальных операторов сводятся к изучению дифференциальных операторов и пучков операторов на А-графах.
Рассмотрим компактный связный граф О в с множеством ребер Е = (б1,..., еа}, множеством вершин V = {^1,..., ут} и с отображением а, которое каждому ребру еj € Е ставит в соответствие упорядоченную пару (возможно равных) вершин: ) := [u2j-1,U2j], и^ € V. Вершины
п2у-1 =: о-(ву) и п2у =: о + ) называются начальной и конечной вершинами ребра ву, соответственно. Будем говорить, что ребро ej выходит, из -1 и заканчивает,ся в п2у Точки и := {пу}у=т,2з называются концевыми, точками для Е. Каждая вершина V £ V порождает класс эквивалентности (который обозначается тем же символом V): V = {пу1,..., п^}
так, что v = Uj1 = ... = Ujv.
Другими словами, множество концевых точек U распадается на m классов эквивалентности vi,..., vm. Число концевых точек в классе Vk называется валентностью вершины vk и обозначается val (vk).
Вершина vk £ V называется gpawwwoй, если val (vk) = 1. Остальные вершины называются внутренними. Пусть Vo = {v1,... , vp} - граничные вершины, a Vi = {vp+1,... , vm}- внутренние вершины. Ребро ej называется граничным, если одна из его концевых точек принад-Vo
E0 = {e1,..., ep}- граничные pe бра и vk £ ek при k = 1,p. Пусть lj - длина ребра ej. Каждое ребро ej £ E параметризуется пара метром Xj £ [0, lj ] так, что начальная точка u2j-1 соответствует xj = 0, а конечная точка u2j соответствует xj = lj.
Цепочка ребер bk = {bk1,..., bk,nk}, bkj £ E называется циклом, если она образует замкнутую кривую. Точка wk := a-(bk1) называется начальной точкой цикла bk- Если nk = 1 (т-е. цепочка состоит только из одного ребра), то цикл называется граничным. Каждый цикл bk параметризуется параметром tk £ [0,Lk], причем начальная точка wk соответствует tk = 0. Занумеруем ребра следующим образом: E1 = {e1 ,...,er} - так называемые простые ребра (они не являются частью циклов), E2 = {er+1,... ,es} - ребра, которые образуют множество циклов B := {bk}k=TÑ- Элементы множества E := E1 U B, E := {Ek}k=1 r+N (т.е. простые ребра и циклы) называются а-ребрами. A-ребро Ek £ E называется примыкающим к вершине v £ V, если v £ Ek. Через R(v, G) обозначим множество a-ребер графа G, которые
v.
Предположим, что если bk, bj £ B, k = j и bk П bj = 0, то bk П bj = v £ V1, т.е. любые два цикла могут иметь не более одной общей точки. Такие графы называются А-графами.
Пусть для определенности p > 1 (случаи p = 0 и p = 1 требуют
небольших изменений; см. замечание в конце статьи). Возьмем в каче-
vp ep
ej £ E1
стое ребро, то точка u2j лежит ближе к корн ю, чем u2j-1) и есл и bk £ B
_ цИКЛ? т0 начальная точка Wk лежит ближе к корню, чем остальные точки цикла bk-
Зафиксируем Ek Е E. Наименьшее число Шк a-ребер между корневым ребром и Ek (включая Ek) называется порядком Ek. Порядок корневого ребра равен нулю. Число ш := maxEkwk называется порядком графа G. Через E¡1 = 0, ш, обозначим множество a-ребер порядка Например, E(1) - множество a-ребер, примыкающих к корневому ребру.
Рассмотрим цикл bk = {bki,... , bk,nk} Е B. Если мы немного сдвинем начальную точку Wk в точку w0 EG (не меняя положения других bk bk bk называемый "разомкнутый цикл "bk = {bk1, bk2,..., bk,nk}, где bk1 - простое граничное ребро, а W0 - граничная вершина. Через Gk обозначим граф с "разомкнутым циклом "bk вмест о bk-
Интегрируемая функция Y на G может быть представлена в виде Y = {yjгде функция yj(xj), xj Е [0, lj] определена па ребре ej. Обозначим
Y\u2j-i := yj(0), y\u2j := yj(lj), Щи^ := yj(0) Щи2з := -yj(lj).
Если v Е V, то Y\v = 0 означает, что Y\u. = 0 для всex uj Е v. Let Q = {qj }j=\Ss and P = {Pj }j=TS ke complex-valued functions on G; they are called the potentials. Assume that qj (xj) Е L(0,lj), pj (xj) Е AC[0, lj].
G
y'-(xj) + (p2 + ppj(xj) + qj(xj))yj(xj) = 0, xj Е [0, lj], (1)
гДе3 = 1, 5, р- спектральный параметр, функцииyj^у'^, 3 = 1, в, абсолютно непрерывны на [0, ^] и удовлетворяют следующим условиям склейки (УС) в каждой внутренней вершине € VI:
= при всех иг, и € , ^ дУ\щ = 0. (2)
УС (2) называются стандартными условиями. В электрических сетях они выражает закон Кирхгофа; при колебаниях упругих сетей - баланс напряжений и т.д. Зафиксируем цикл Ък € В с начальной точкой ш^ € и. Если (2) выполняется для множества и \ {'к}, то такие условия называются шк-УС.
Рассмотрим краевую задачу Ь0(О) для уравнения (1) на О с УС (2) во
внутренних вершинах VI и с условиями Дирихле в граничных вершинах % _
Уч = 0, 3 = 1,р. (3)
Отметим, что обратный оператор, соответствующий этой краевой задаче, является интегродифференциальпым оператором второго порядка.
Рассмотрим также краевые задачи Lk(G), k = 1,p — 1, для уравнения (1) при УС (2) и при граничных условиях
3YH = 0, = 0, j = 1^ \ k.
Таким образом, Lk(G) получается из L0(G) заменой условия Дирихле в вершине vk = a-(ek) на условие Неймана в vk-
Обозначим Ak = {pkn}, k = 0,p — 1 - собственные значения (с учетом их кратностей) задачи Lk(G).
Пусть LV (G), £ = 1, N, v = 0,краевая задача для уравнения (1) с w^-УС и с граничными условиями:
dV Yw = 0, YJvj =0, j = 1^,
где d0Y := Y, d 1Y := dY. Обозначим = {p|n} _ собственные значения (с учетом их кратностей) задачи LV (G). Обратная задача формулируется следующим образом.
Обратная задача 1. Даны спектры Ak, k = 0^—1, и А*, £ = = 1, N, v = 0,1, построить потенциалы P и Q на G.
Сформулируем теорему единственности решения обратной задачи 1.
Теорема 1. Задание Ak, k = 0,p — 1, w A^, £ = 1,N, v = 0,1,
Q P.
Используя метод спектральных отображений, мы также получаем конструктивную процедуру решения обратной задачи 1.
Замечание 1. Пусть p < 1 (i.e. p = 0 или p =1). Тогда обратная задача ставится следующим образом: даны спектры А|, £ = 1, N, v = 0,1,
P Q G. p = 1 таты остаются верными; в частности, процедура построения потенциалов P и Q остается той же. При p = 0 требуется одно изменение, а именно
G
по крайней мере один граничный цикл. Для определенности пусть b^ -граничный цикл. Тогда берем b^ в качестве корневого ребра.
Замечание 2. Аналогичные результаты верны и для интегро-дифференциальных пучков, являющихся возмущением дифференциального пучка интегральным вольтерровым оператором.
Работа выполнена при финансовой поддержке РИФ (проект Ms 17-11-01193).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Yurko V. A. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series, VSP, Utrecht, 2002, 250 p.
УДК 517.95, 517.984
В. В. Корнев, А. П. Хромов
СХОДИМОСТЬ ФОРМАЛЬНОГО РЕШЕНИЯ ПО МЕТОДУ ФУРЬЕ В СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПРОСТЕЙШЕГО НЕОДНОРОДНОГО ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ
Рассмотрим простейшую смешанную задачу:
= + f e Q = [0,1] x [0,n T > 0; (1)
и(0, *) = и(1, *) = и(ж, 0) = и£(ж, 0) = 0, (2)
при минимальном требовании
/(ж,*) е ОД).
Теорема. Ряд формального решения задачи (1) - (2) по методу Фу-
ж 1 [
= — an(r) sin nnx sinnn(t — т) dr (3)
Z—f nn J
рье
ТО 1
u(x,t) = 2 > — , ' nn
n=l o
сходится в любой точке (x,t) £ Q и для его суммы справедлива формула
t x+t-т
u(x,í) = iy dr J Ф(п,т) dn, (4)
0 x-t+т
1
где ап(т) = / f (£,т) sind£; Ф(п,т) _ 2-периодическая no n wa всей 0
ocw7 нечетная на [-1,1] w Ф(п, т) = f (n, т) npw n £ [0,1]-
Доказательство. (Это доказательство дополняет доказательство, приведенное в [1]).
Зафиксируем произвольную точку (x,t) £ Q. Как показано в [1], соотношение (3) можно записать в виде
