CC BY
17
компонентом тензора R являются
dcgl2...n
= да
g 12...
n
а = ^ос суммирования нет). Таким образом, имеет место
Теорема 2. Метрика БМ интегрируема тогда и только тогда, когда ее компоненты удовлетворяют следующей системе уравнений в частных производных
о дс9\2...и Л да- = 0.
gl2...n
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Павлов Д. Г. Обобщённые аксиомы скалярного произведения // ГЧГФ, 2004, №1. С. 5-19.
2. Гарасъко Г.И., Павлов Д. Г. Геометрия невырожденных поличисел // ГЧГФ. 2007. №1(7). С. 3-25.
3. Широков А.П. Пространства над алгебрами и их применения // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения/ВИНИТИ. М,, 2002. Т. 73. С. 135-161.
4. Вишневский В. В. Интегрируемые аффинорные структуры и их плюральные интерпретации // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения/ВИНИТИ. М., 2002. Т. 73. С. 5-64.
5. Рунд X. Дифференциальная геометрия финелеровых пространств. М,: Наука, 1981. 502 с.
6. Галаев C.B. Об одной полиаффинорной структуре на гладком многообразии с метрикой Бервальда-Моора // Тр. Математического центра им. 11.11. Лобачевского: материалы Восьмой молодежной науч. шк.-конф. «Лобачевские чтения - 2009». Казань, 2009. Т. 39. С. 24-28.
7. Кручкович Г.И. Гиперкомплексные структуры на многообразиях, I // Тр. семинара по векторному и тензорному анализу. М,, 1972. Т. 16. С. 174-201.
УДК 517.984
С.А. Бутерин
ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ПУЧКА ВТОРОГО ПОРЯДКА ПО НЕПОЛНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ
Введение. Рассмотрим краевую задачу Ь = Ь(у0(х), ^(ж), Ь, Н) вида
¿у(ж) := у" + (р2 - 2pql(x) - #о(ж))у = 0, 0 < ж < п, (1) и (у) := у'(0) - Ьу(0) = 0, V (у) := у'(п) + Ну(п) = 0, (2)
где qj (x) G Wj [0, п] - комплекснозтачные функции, h, H - комплексные числа. Обратные спектральные задачи для дифференциальных пучков второго порядка исследовались в [1, 2] и других работах. В частности, в [2] с помощью идеи метода спектральных отображений [3] доказано, что пучок L однозначно восстанавливается по функции Вейля, являющейся обобщением классической функции Вейля для оператора Штурма^ Лиувилля, что равносильно заданию спектров двух краевых задач для уравнения (1) с одним общим краевым условием. Кроме того, получена конструктивная процедура решения обратной задачи.
В настоящей статье исследуется следующая неполная обратная задача: по спектру {рп} краевой задачи L найти функции q0(x), qi(x) и число H в предположении, что qo(x), q1(x) на (0,п/2) и h известны априори. Доказывается теорема единственности и приводится конструктивная процедура решения этой обратной задачи. Отметим, что в [4] исследовалась единственность решения рассматриваемой обратной задачи при дополнительном предположении, что функция q1(x) априори известна и на второй половине отрезка.
Теорема 1. Задание спектра {рп} однозначно определяет L в предположении, что функции, q0(x), q1(x) на (0, п/2) и число h известны априори. То есть если (1), (2) заданы на одной половине отрезка, то на другой они определяются по спектру.
1. Решение неполной обратной задачи. Пусть функции S(х,р), р(х,р), ф(х,р), Ф(х,р) являются решениями уравнения (1) при условиях
S '(0,р) = р(0,р) = Ф(п,р) = U (Ф) = 1, S(0, р) = U(р) = V= V(Ф) = 0.
рп
ее характеристической функции Д(р) := (^(x, р), р(х, р)), где (y,z) := = yz' — y'z. Очевидно, что Д(р) = V(р) = —UЧисла рп удобно занумеровать по n G A := {n : n = ±0, ±1,...}, тогда имеет место асимптотика
(1 \ Q(n) Гх
— ), n ^ ш =-, Q(x) = q1(x) dt. (3)
nJ п Jo
В дальнейшем для определенности будем считать, что ш G Z (случай целого ш вносит незначительные изменения).
Справедливо следующее представление
то
Д(р) = (р — р—0) sin шп ехр(пр ctg шп) ^ рп—р exp ^—р—(4)
п= —00
Функции Ф(ж, р) и М(р) := Ф(0, р) называются соответственно решением
Ь.
Ф(ж, р) = 5(ж, р) + М(р)р(ж, р) = -^^, М(р) = -Ар), (5)
где А0(р) = ^(0,р) - характеристическая функция краевой задачи для уравнения (1) с краевыми условиями у(0) = V(у) = 0. Пусть {рП} -спектр последней. Имеет место асимптотика
рП = п + + О^^ , п ^ п Е Ж, - соп
Формулы (5) дают
^>(ж, р) = А0(р)^(ж, р) - А(р)5(ж, р). (6)
Введем обозначения
А1(р) := -^'(п/2, р), А?(р) := ^(п/2,р),
0(р):= р(п/2,р), ~(р):= ^;(п/2,р). (7)
Заметим, что А1 (р) - характеристическая функция краевой задачи
¿у(ж) = 0, п/2 <ж<п, у'(п/2) = V(у) = 0, (8)
а функция
М1<р>:= - Ш <9»
является функцией Вейля для (8). Функции £(р) и 0(р), в свою очередь, являются характеристическими функциями краевых задач для уравнения (1) на интервале (0,п/2) с краевыми условиями Неймана и Дирихле соответственно в точке п/2 и общим краевым условием и (у) = 0 в точке 0. Пуст ь {<^п}пЕа И {#п}пЕж _ последовательности нулей функций £(р) и 0(р) соответственно, тогда
= 2п + + о( , 6>п = 2п + ^0 + О^ , п (10)
Пусть тп и тП - кратности нулей <^п и 0п соответственно. В силу (10) тп = тПп = 1 для достаточно больших |п|. Выберем подмножества индексов 5 С А, 50 С Ж так, чтобы подпоследовательности {£п}пе,д и
15
{^п}пб5'о содержали все нули функций £(р), в(р) без учета кратности. Далее, согласно (6) будем иметь
Д°(р) = Д°(р)в(р) - Д(р)£(п/2, р), ]
? (11) -Дх(р) = Д°(р)5(р) - Д(р)5"(п/2, р). ]
Согласно асимптотике функций ^(ж,р), ^'(ж,р) при |р| ^ то (см. [2 будем иметь
d(p) := Д:(р) + р sin (f + Q(П) - = O( exp (
f + Q© - шп) = o( exp(№ do(p) := Д?(р) - cos (Pi + Q(П) - Шп) = O(i exp (»
2 2 р 2 |р|
|/шр|п
(12)
|0(р)|> C,exp(р e ,
|S(P)|> C,|р| exp(H^), P e Gf, (13)
где Ga = {р : |р - 2n - a| > n e Z}.
Следующее утверждение следует из теоремы об интерполяции целых функций [5], а также может быть доказано непосредственно, исходя из (10), (12), (13).
Лемма 1. Задание чисел {<^n}neA, {#n}neZ,
{d(v) й.)}*Jwn ,ne S, , neSo'
(14)
а также вeлuчuнQ(|), ш однозначно определяет функции Д\(р), Д0(р). При этом
Дх(р) = -р si^ рп+q(2) - + ад,
Д?(р) = cos (f + Q(2) - шп) + do(р), (15)
где
«р) = £ , = £ , (16)
если все нули функций 0(р), 2(р) простые (в случае кратных нулей формулы (16) имеют более громоздкий вид).
Приходим к следующему алгоритму решения неполной обратной задачи и утверждению теоремы 1.
Алгоритм 1. Пусть задан спектр {р«}п€А, число h и функции q°(x), qi(x) на (0,п/2).
1) Находим число ш из асимптотики (3) и вычисляем функцию А(р) по формуле (4);
2) строим функции в(р), £(р) по формулам (7) и находим их нули ^«InGA; {$n}n€Z;
3) находим числа (14) с помощью формул (11), (12);
4) строим функции А1(р), А0(р) по формулам (15), (16);
5) вычисляем функцию Вейля М1(р) краевой задачи (8) по формуле (9) и находим функции q°(x), qi(x) на (п/2, п) и коэффициент H, используя алгоритм из [2].
Замечание 1. Согласно асимптотике (3) задание собственных значений рп определяет число ш с точностью до целого слагаемого. Поэтому в силу (4), (12) функция А(р), числа (14), а следовательно, и функции А1(р), А°(р) определяются с точностью до знака, в то время как их отношение (9) определяется однозначно.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, Национального научного совета Тайваня (проекты, 10-01-00099, 10-01-92001-ННС-а) и гранта Президента РФ (проект НШ-4888.2010.1).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Гасымов М.Г., Гусейнов Г.Ш. Определение оператора диффузии по спектральным данным // ДАН Азерб. ССР. 1981. Т. 37, JVS 2. С. 19-23.
2. Бутерин С.А., Юрко В.А. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов на конечном интервале // Вестн. Башкир, ун-та
2006. № 4. С. 8-12.
3. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М,: Физматлит,
2007.
4. Koyunbakan Н., Panakhov E.S. Half-inverse problem for diffusion operator on the finite interval //J. Math. Anal. Appl. 2007. Vol. 326. P. 1024-1030.
5. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М,: ГИТТЛ, 1956.
