CC BY
12
С.А. Бутерин
УДК 517.984
ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ПУЧКОВ ВТОРОГО ПОРЯДКА С УСЛОВИЯМИ ДИРИХЛЕ
1. Рассмотрим краевую задачу Ь := Ь^0(ж), ^(х)) вида
у" + (р2 - 2рд1(ж) - д0(ж))у = 0, 0 < х < п, (1)
у(0) = у (п) = 0, (2)
где qj(х) Е Ж/[0,п] - комплекспозпачпые функции, ар спектральный
Ь
спектральным характеристикам. В качестве основной спектральной характеристики используется функция Вейля, являющаяся аналогом классической функции Вейля для оператора Штурма - Лиувилля. Показана эквивалентность функции Вейля заданию спектров двух краевых задач для уравнения (1) с одним общим краевым условием, а также спектру вместе с так называемыми весовыми числами. С помощью развития идей метода спектральных отображений [1, 2] доказана единственность решения обратной задачи. Отметим, что обратная задача для дифференциальных пучков второго порядка с вещественными коэффициентами при некотором дополнительном ограничении, обеспечивающем, в частности, простоту спектра, исследовалась в [3] и других работах методом оператора преобразования. В [4] решена обратная задача восстановления дифференциального уравнения (1) на полуоси по функции Вейля.
2. Пусть функции S(х, р), 51 (х, р), С(х, р) и Ф(ж, р) являются решениями уравнения (1) и удовлетворяют условиям 5(0,р) = 51(п,р) = С'(0,р) = Ф(п,р) = 0, 5"(0,р) = -51 (п,р) = С(0, р) = Ф(0,р) = 1. Функции ф(ж,р) и М(р) := Ф'(0,р) называются соответственно решением Вейля и функцией Вейля пучка Ь. Обозпачим (у, г) := уУ — у'г. Собственные значения рп, |п| Е Н, краевой задачи (1), (2) совпадают с пулями ее характеристической функции Д(р) := (51(х,р),5(х,р)) = 5(п,р) = 51(0,р). Имеем
Ф(х, р) = С (х, р) + М (р)5 (х, р) = ^Др^, М (р) = - Др), (3)
где Д1(р) = -51 (0,р) - характеристическая функция краевой задачи для уравнения (1) с краевыми условиями у'(0) = у(п) = 0. Обозначим рП, п Е Ж, - ее собственные значения. Очевидно, что {рп} П {рП} = 0. Таким образом, М (р) - мероморфная функция с п ол юсами рп и нуля ми рП. Положим
Г 1
д(х)=/ (Ц, и = -д(п), Са5 = {р : |р - к - а| > к Е Ж}.
Jо п
б
Известным методом (см., например, [2]) доказывается следующая Лемма 1. Имеют место представления:
pS(х, р) = вт(рх — Q(x)) + р),
} (4)
рБ\(х, р) = вт(р(п — х) — Q(п) + Q(x)) + П1(х, р),
где
г](и\х, р), — х, р) = О^—^ ехр(|1тр|х)^ , |р| ^ то, V = 0,1, (5)
равномерно по х £ [0,п]. Кроме того,
д^^^(1 + о( 1)), р £ су, (6)
р — ы \ \р// Д1(р) = ео8(р — ы)п( 1 + О(р)) , |рНто, р £ 1. (7)
Используя (6), (7) и теорему Руше, известным методом [2] получаем, что
рп = п + ы + , рП = п — 2 + ы + , |п| ^ то. (8)
Без ущерба для общности будем предполагать, что рп = при пк < 0. Обозначим тп - кратность собственного значения рп (рп = рп+1 = ... = рп+ш„ —1 ) и положим § := {п : п £ Ж \ {0,1}, рп—1 = рп} и {1}. Согласно (8)
| п| тп = 1 .
интегрирования доказывается следующее утверждение.
Теорема 1. Справедливо представление
м(р) = Е Е м
п+и
п.§ „=0 (р — рп^ '
Коэффициенты Мп, |п| £ Н, называются весовыми числами. Они обобщают классические весовые числа для самосопряженного оператора Штурма -Лиувилля, являющиеся величинами скачков его спектральной функции. Как и для несамосопряженного оператора Штурма - Лиувилля [5], можно получить выражение чисел Мп через собственные и присоединенные функций пучка Ь.
С помощью асимптотик (6)-(8) и теоремы Адамара о разложении целой функции конечного порядка в бесконечное произведение доказывается следующее утверждение.
Теорема 2. Справедливы представления
. sin wn (( 1
A(p) =-exp--п ctg wn
w Ww
p) П
|n|eN
pn - p
n + w
exp
p
n + w
Ai(p) = cos wn exp(np tg wn) TT ——— exp
it П — 2 + w
p
П — 2 + w
w G Z, (9)
w — 2 G Z.
(10)
(Случаи других значений и вносят незначительные изменения.)
Заметим, что из асимптотики (8) величина и определяется с точностью до целого слагаемого, и поэтому функции Д(р), Д^р) согласно (9), (10) определяются по своим пулям с точностью до знака. Однако функция ВейляМ(р) согласно (3), (9), (10) определяется по спектрам {рп}|п|бМ, {рП}пеЪ однозначно. Таким образом, задание функции ВейляМ(р) равносильно заданию двух спектров {рп}|п|бМ, {рП}п€Ъ или спектральных данных {рп,Мп}|п|ем.
Обратная задача формулируется следующим образом: задана функция Вейля М(р), найти Ь. Докажем теорему единственности решения обратной задачи. Для этого наряду с Ь будем рассматривать пучок Ь = Ь (до (ж), <21 (ж)). Условимся, что если некоторый символ а обозначает объект, относящийся к Ь, то а обозначает аналогичный объект, относящийся кЬ, и а = а — а.
Теорема 3. Если, М(р) = М(р), то Ь = Ь, то есть ^(ж) = ^(ж) и ^0(ж) = д0(ж) почти всюду на [0,п].
Доказательство. Рассмотрим матрицу Р(ж, р) = [Р^(ж, р)]^,к=1,2, определяемую равенством
р (ж,р)
5(ж,р) Ф(ж,р) <9'(ж, p) Ф'(ж,р)
S (ж,р) Ф(ж,р) S'(x,p) Ф'(ж, p)
(11)
Так как (S(ж, p), Ф(ж, p)) = —1, то
Рд(ж, p) = Ф(j—1)(ж, p)S'^, p) — S(j—11)(ж, p)§'(ж, p), Pj'2(ж, p) = S(j —1) (ж, p) — Ф— 1)(ж, p)^, p).
(12)
Согласно (З)-(б) для любого фиксированного 5 > 0 будем иметь
Piifep) = cos <3(ж) + о( 1), Р12 (ж, p) = — sinQM + o(i) (13)
при |p| ^ oo, p G равномерно по ж G [0,п]. Кроме того, (3), (12) дают Р11 (ж, p) = C(ж, p)S'^, p) — S(ж, p)^'^, p) + M(p)S(ж, p)S'^, p), Р12(ж, p) = S (ж, p)^^, p) — C (ж, p)^^, p) — M(p)S (ж, p)^^, p).
Поскольку М(р) = 0, для каждого фиксированного x £ [0,п] функции P\j(x,p), j = 1, 2, являются целыми аналитическими по р, что вместе с (13) дает Рц(х,р) = cos Q(x), P12(x,p) = 0. Также имеем sin Q(x) = 0. Следовательно, QQ(x) = па, где а £ Z. В силу непрерывности QQ(x) число а те зависит от x, и поэтому Q(x) = 0, то есть q1(x) = q1(x). Получаем P11(x,p) = 1. Согласно (11) получаем S(x,p) = S/(x,p), и следовательно, q0(x) = qo(x) почти всюду на [0,п]. □
Работа выполнена при финансовой поддержке грантов Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты МК-1701.2007.1 и НШ-2970.2008.1), РФФИ и EEC (проекты, 07-01-00003, 07-01-92000-ЕЕС-а).
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Yurko V. Method of Spectral Mappings in the Inverse Problem Theory, Inverse and Ill-posed Problems Series, Utrecht: VSP, 2002,
2, Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач, М,: Физматлит, 2007,
3, Гасымов М.Г., Гусейнов Г.Ш. Определение оператора диффузии по спектральным данным // ДАН Азерб. ССР. 1981. Т.37, №2. С.19-23.
4, Юрко В.А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Матем. сб. 2000. Т.191, Ж°-10. С.137-160.
5, Buterin S.A. On inverse spectral problem for non-selfadjoint Sturm - Liouville operator on a finite interval // J. Math. Anal. Appl. 2007. V.335. Issue 1. 739-749.
УДК 512.7
A.M. Водолазов
АЛГЕБРЫ ЦЕЛОЗНАЧНЫХ ФУНКЦИЙ ДЛЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ТОРОВ МАЛОЙ РАЗМЕРНОСТИ
Пусть k - поле р-адпческнх чисел, O - кольцо целых р-адических. T -алгебраический k-тор. В работах [1-3] рассматривается алгебра
A = {f £ k[T] | f (Uk) С O} ,
где Uk - максимальная компактная подгруппа группы T(k). Эта алгебра представляет интерес при исследовании целых моделей алгебраических торов. Она имеет бесконечный набор образующих. В [1] был поставлен ряд вопросов об изучение свойств этой алгебры. В частности, вопрос о нахождении образующих для разложимых торов T = Gr'fn. Образующие для разложимых торов были найдены в работе [4].
Дальнейшие изучение алгебры A можно проводить в двух направлениях. Во-первых, переходить к более сложным классам алгебраических торов,
