Решение обратной задачи для оператора диффузии в симметричном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ДИФФУЗИИ В СИММЕТРИЧНОМ СЛУЧАЕ

И.М. Набиев, А.Ш. Шукюров

Бакинский государственный университет, кафедра прикладной математики; * Институт математики и механики НАН Азербайджана, отдел функционального анализа, Баку E-mail: [email protected]; [email protected]

В работе доказывается единственность и приведены достаточные условия разрешимости обратной задачи восстановления оператора диффузии по одному спектру.

Ключевые слова: обратная задача, оператор диффузии, спектр.

Solution of Inverse Problem for the Diffusion Operator in a Symmetric Case

I.M. Nabiev, A.Sh. Shukurov

Baku State University, Chair of Applied Mathematics; * Institute of Mathematics and Mechanics, NAS of Azerbaijan, Baku E-mail: [email protected]; [email protected]

In the paper uniqueness of reconstruction of the diffusion operator by a spectrum is proved and sufficient solvability conditions are provided.

Key words: inverse problem, diffusion operator, spectrum.

ВВЕДЕНИЕ

Обратными задачами спектрального анализа называются задачи, в которых требуется восстановить операторы по каким-либо их спектральным данным. Такими данными могут быть спектры, спектральная функция, данные рассеяния, функция Вейля и др. В настоящей работе впервые рассматривается вопрос о восстановлении на отрезке оператора диффузии по одному спектру в случае, когда коэффициенты уравнения диффузии симметричны относительно середины отрезка. Доказывается единственность и приводятся достаточные условия разрешимости обратной задачи восстановления оператора диффузии с граничными условиями Дирихле. Аналогичный вопрос для оператора Штурма - Лиувилля с разделенными и неразделенными граничными условиями ранее полностью изучены ([1-7]).

Обозначим через ^П[0, п] пространство функций /(х), х Е [0, п], таких, что функции /(т) (х), т = 0,1, 2,..., п — 1 абсолютно непрерывны и /(п) (х) Е Ь2 [0, п]. Рассмотрим краевую задачу, порожденную на отрезке [0, п] дифференциальным уравнением диффузии

у'' + [А2 — 2Ар(х) — д(х)]у = 0 (1)

и граничными условиями

у(0) = у(п) = 0, (2)

где р(х) Е [0, п], #(х) Е [0, п] = Ь2 [0, п] — вещественные функции. Эту задачу будем обозначать через Для уравнения (1) при различных граничных условиях ранее подробно исследованы некоторые варианты обратных задач, в которых в качестве основных спектральных данных используются два, три спектра, спектральная функция, спектр и нормировочные числа, функция Вейля (см. [8-12] и библиогр. список в них).

В дальнейшем будем предполагать, что коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условию симметричности

р(п — х) = р(х), д(п — х) = д(х). (3)

Пусть {Ап} (п = ±1, ±2, ...) — спектр задачи В данной работе решается обратная задача, которая ставится следующим образом: по заданному спектру {Ап} построить функции р(х) и д(х).

1. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ФАКТЫ

В этом пункте приводятся некоторые вспомогательные утверждения, используемые при доказательстве основных результатов этой работы.

Обозначим через с(х, А) и в(х, А) решения уравнения (1) при начальных условиях

с(0, А) = в'(0, А) = 1, с'(0, А) = в(0, А) = 0. (4)

© И.М. Набиев, А.Ш. Шукюров, 2009

ПЛ Набиев, А.Ш. Шунюров. Решение обратной задачи для оператора диффузии_

Очевидно, что спектр задачи L будет совпадать с последовательностью нулей функции s(n, Л). Лемма 1 [9]. Справедливы следующие представления:

cos п(Л — а) sinп(Л — а) 1 [П , , , iXt ,

с(п, Л) = cos п(Л — а) — ai-^-- + nci-\-- + - фг (t)eiXtdt,

Л Л Л J-п

i, /л \ cosп(Л — a) sinп(Л — а) 1 !'П , , , iXt ,

s'(п, Л) = cos п(Л — а) + аг-^-- + псг-^-- + - ф2(t)eiAtdt,

Л Л Л J-п

где а = П P(t)dt, аг = 2[p(0) — p(n)], ci = ¿ ¡П [«(t) + Р2(t)] dt, фг(t) e L2[—п,п], i = 1, 2. Лемма 2 [9, 12]. Для того чтобы целые функции u(z) и v(z) допускали представления

/л- / % л л z — а , л f (z — а)

u(z) = sin n(z — а) + 4An—-^-cos n(z — а) +

4(z — а)2 — 1

z — а

^ sin n(z — а) g(z — а)

v(z) = cos n(z — а) — Bn---- + —--,

z — а z — а

где

f (z)= Р0 sinnz + / F(t)eitzdt, F(t) e L2[—п,п], f (0) = f'(0) = 0,

-п

g(z) = рг cos nz +/ G(t)eitzdt, G(t) e L2 [—п,п], g(0) = 0,

-п

необходимо и достаточно, чтобы

ж

( \ f л п uk — z A 5k

u(z) = n(z — а) Д —-—, uk = k + а — — + —,

k k

Vk — z , , 1 . , B ^k

k=-<x k = 0

/ л ТГ Vk — z 1 . в uk

"(2)= k=-L k — 2 sign k • Vk = - + а — 2slgn k - J + IT,

k=0

где А, В, а, р0, р1 — некоторые числа, {5к} {5'к} — произвольные числовые последовательности, удовлетворяющие условию ^ к{ 1$к |2 + |^к |2} < го.

В случае уравнения диффузии справедлив следующий аналог леммы 4 из работы [13], который доказывается с использованием результатов статьи [8].

Лемма 3. Тождество с(п, А) = в'(п, А) имеет место тогда и только тогда, когда выполняются условия симметричности (3).

Дальше в этом и в следующем пункте всюду будем считать, что функция д(х) удовлетворяет следующему дополнительному условию: для всех функций у(х) е [0, п], у(х) = 0, удовлетворяющих равенству у'(0)у(0) — у'(п)у(п) = 0, выполняется неравенство

[|у'(п)|2 + д(х)|у(х)|2] 4х> 0.

п

J0

Легко заметить, что последнее неравенство заведомо выполняется, если д(х) > 0.

Лемма 4 [8]. Собственные значения краевой задачи Ь вещественны, отличны от нуля и простые. Эти собственные значения можно располагать в последовательность

... < А-2 < А-1 < 0 < А1 < А2 < ..., (5)

причем при |п| ^ го имеет место асимптотическая формула

А ап , ,

Ап = п + а +- + —, (6)

п п

где а = П ¡0 p(x)dx, A = ¡q [q(x) + p2(x)} dx, {an} e I2■

ж

Лемма 5. Если выполняются условия (3), то s'(п, An) = (-1)n.

Доказательство. Поскольку функции p(x) и q (x) удовлетворяют условию (3), то функция s(n — x,A) также удовлетворяет уравнению (1). Так как функции c(x, A), s(x, А) образуют фундаментальную систему решений уравнения (1), то функция s(n — x, А) равна их линейной комбинации: s(n — x, А) = Cic(x, А) + C2s(x, А), где Ci, C2 — некоторые постоянные. Отсюда

—s'(п — x, А) = Cic'(x, А) + C2s'(x, А). (7)

Полагая в последних двух равенствах x = 0 и учитывая (4), получим

Ci = s(n, А), C2 = —s'(п, А). (8)

Соотношения (7), (8) влекут s'(n — x, А) = s'(n, A)s'(x, А) — s(n, А)с'(x, А). Отсюда при x = п вытекает, что s'2(п, А) — s(^ А)с'(п, А) = 1. Из этого равенства при А = Ап следует, что s'2(п, Ап) = 1. Значит, s'(п, Ап) = ±1. Известно [9], что sign s'(п,Ап) = (—1)n. Последние два равенства показывают, что

s'(п, Ап) = (—1)n. □

2. ЕДИНСТВЕННОСТЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ДИФФУЗИИ СПЕКТРОМ ЗАДАЧИ L

Исследуем теперь вопрос об однозначной определенности уравнения диффузии спектром задачи L. По последовательности {Ап} можно восстановить функцию s(^ А) в виде бесконечного произведения. Согласно лемме 1, функция s'(п, А) представима в виде

i, /л \ sinп(А — а) f(А) , ,

s'(п, А) = cos п(А — а) + Ап-\-- + , (9)

АА

где f (А) — целая функция экспоненциального типа не выше п, принадлежащая L2 (—то, то) при

вещественном А (представление (9) в случае p(x) = 0 получено в [14, с. 38]). Из асимптотической формулы (6) получаем

А = lim n(An — n — а). (10)

n—

Далее, из формулы (9) получаем f (Ап) = Ап [s'(п, Ап) — cos п(Ап — а)] — Ап sin п(Ап — а), откуда, принимая во внимание лемму 5, имеем

f (Ап) = Ап [(—1)n — cos п(Ап — а)] — Ап sin п(Ап — а). (11)

Легко убедиться, что {f (Ап)} £ 12. Тогда функцию f (А) можно восстановить по формуле

f(а)=^ £ (а—&и), (12)

n = 0

где точка над функцией означает дифференцирование по А. Известно [15, с. 120], что этот ряд сходится равномерно на каждом компакте комплексной плоскости, а на вещественной оси — по норме пространства L2(—то, то). Последняя формула устанавливает взаимно однозначное соответствие между 12 и множеством целых функций экспоненциального типа не выше п, принадлежащих L2(—то, то) на вещественной оси. Соотношения (9)-(12) показывают, что функция s'(п, А) однозначно определяется спектром {An} краевой задачи L. Множество нулей {vn} функции s'(^ А) совпадает со спектром краевой задачи, порожденной уравнением (1) и граничными условиями

y(0) = у'(п) = 0. (13)

По двум спектрам {An} и {vn} однозначно восстанавливаются коэффициенты p(x) и q(x) уравнения (1) (см. [8]).

Таким образом, справедлива следующая теорема единственности. Теорема 1. Задание спектра {Ап} однозначно определяет краевую задачу L. Легко заметить, что приведенное выше рассуждение содержит также процедуру восстановления функций p(x) и q(x) по спектру {An}.

И.М. Набиев, А.Ш. Шунюров. Решение обратной задачи для оператора диффузии_ ^¿гГ^^Ш^Щ

3. ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ РАЗРЕШИМОСТИ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Теперь приведем достаточные условия разрешимости обратной задачи.

Теорема 2. Для того чтобы последовательность вещественных чисел (5) была спектром некоторой краевой задачи вида L с вещественными коэффициентными функциями p(x) и q(x), удовлетворяющими условиям (3), достаточно, чтобы имели место асимптотическая формула (6) и неравенство

Л sin na s(0) ^ (n

cos na + An-+ ^ > л Л > 0, (14)

a a Ans'(An)

n = 0

где a = 0 и A — вещественные числа, (n = [(- 1)n — cos n(An — a)] (An — a) — An sin n(An — a),

ж

s(z ) = п П ^ •

n= — oo

n = 0

Доказательство. Поскольку для {An} имеет место асимптотическая формула (6), то, согласно лемме 2, функция (z — a)s(z) допускает следующее представление:

, \/\ ./ ^ . z — a , , g(z — a)

(z — a)s(z) = sin n(z — a) — 4An—--cos n(z — a) +--,

4(z — a)2 — 1 z — a

где g(z) = ao sin nz + J-n g(t)eitz dt, g(t) £ L2 [—n,n], g(0) = g'(0) =0, a0 — некоторое число. Рассмотрим функцию

, . , . sin n(z — a) ((z — a) , *

s! (z)=cos n(z — a) + An---- + —--, (15)

z — a z — a

где

ж

(n

((z) =s(z) У"

n= — o (z — An)s'(An)

n = 0

Принимая во внимание асимптотические формулы cosx = 1 + O(x2), sinx = O(x), при x ^ 0 и (6), получаем

( —1)n — ( — 1)41+ A "2

(n =

O (n) — O | П I •

т. е. = O (П). Следовательно, } £ l2• Поэтому функция ^(z) — целая функция экспоненциального типа не выше п, суммируемая с квадратом на вещественной оси. Тогда нули vn (n = ±1, ±2,...) функции si(z) удовлетворяют асимптотической формуле

1 a

Vn = n -- sign n + a +---+ —, {^n} £ I2 (16)

2 n n

(см. лемму 2). Полагая в равенстве (15) z = An, получим

si (An) = cos n(An - a) + An Sin ^An ~ a) + т^ = (-1)n. (17)

An - a An - a

С другой стороны, неравенство (14) показывает, что s1(0) > 0. Поэтому в каждом интервале (A-2, A-1), (A-1, 0), (0, A1), (A1, A2),... лежит один и в силу асимптотики (16) только один нуль функции s1 (z). Следовательно, нули функций s1 (z) и s(z) перемежаются в следующем смысле:

. . . < A-2 < V—2 < A-1 < V-1 < 0 < V1 < A1 < V2 < A2 < ... .

Отсюда, учитывая асимптотические формулы (6) и (16), заключаем, что последовательности {An} и {vn} удовлетворяют условиям теоремы 3 работы [8]. Поэтому {An}, {vn} являются спектрами краевых задач, порожденных на отрезке [0, п] одним и тем же уравнением (1) с вещественными коэффициентами p(x) £ W1 [0, п], q(x) £ L2[0, п] и граничными условиями (2), (13) и

s(A) = в(п, A), S1 (A) = s'(п, A). (18)

Остается показать, что восстановленные функции р(х) и #(х) удовлетворяют условиям (3). Действительно, из равенств (17), (18) и тождества с(п, А)в'(п, А) — с'(п, А)в(п, А) = 1 вытекает, что

с(п,Ап ) = -ТтЛгг = "тАт = (—1)П

в' (п,Ате) (Ате)

Поэтому функция а(А) = с(п, А) — в' (п,А) обращается в нуль в нулях функции в (А) = в(п, А).

Из равенств (15), (18) и леммы 1 вытекает, что для построенной задачи а1 =0 (р(0) = р(п)). Кроме того, из представлений для с(п, А) и в'(п, А) (см. лемму 1) следует, что

а(Л) = Л f* ВДешdt,

где Ф(£) g L2[—п,п]. Отсюда получается |а(Л)| = |А| 1 en|Imл|o(1), при |Л| ^ то. Значит, функция v(Л) = a(A)/s(A) — целая, причем lim max |v(Л)| = 0, где Kn — последовательность неограниченно

расширяющихся контуров, ограничивающих квадраты {А : |ReЛ — а| < n + 2, |ImЛ| < n + Ц. Тогда по теореме Лиувилля v(Л) = 0. Таким образом, при любом Л имеет место равенство с(п, Л) = s'(п, Л) (для восстановленного уравнения). Отсюда, согласно лемме 3, получаем, что p(x) и q(x) удовлетворяют условию симметричности (3). □

Замечание 1. Условия теоремы 2 являются также необходимыми, если функция q(x) удовлетворяет дополнительному условию, приведенному в п. 1. Но построенная вещественная функция при доказательстве теоремы 2 не обязана удовлетворять этому условию.

Замечание 2. Подобные результаты могут быть получены и в случае граничных условий вида y'(0) — hy(0) = 0, y'(п) + hy(n) = 0, где h — вещественное число. При этом широко используются результаты, полученные в работе [16].

Библиографический список

1. Юрко В.А. Введение в теорию обратных спектральных задач. М.: Физматлит, 2007. 384 с.

2. Левитан Б.М. Об определении оператора Штурма-Лиувилля по одному и двум спектрам // Изв. АН СССР. Сер. математическая. 1978. Т. 42, № 1. С. 185199.

3. PoschelJ., Trubowitz E. Inverse Spectral Theory. N.Y.: Academic Press, 1987. 192 p.

4. Гусейнов И.М., Набиев И.М. Определение дифференциального оператора по спектру // Мат. заметки. 1994. Т. 56, № 4. С. 59-66.

5. Yurko V. A. The inverse spectral problem for differential operators with non-separated boundary conditions // J. Math. Anal. Appl. 2000. V. 250. Р. 266289.

6. Набиев И.М. Свойства спектров и восстановление дифференциальных операторов на отрезке: Автореф. дис... .д-ра физ.-мат. наук. Баку, 2007. 36 с.

7. Мазур Т. В. О разрешимости обратной задачи Штурма-Лиувилля в симметричном случае// Изв. Са-рат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2008. Т. 8, № 1. С. 21-24.

8. Гусейнов Г. Ш. К спектральному анализу квадратичного пучка операторов Штурма - Лиувилля // Докл. АН СССР. 1985. T. 285, № 6. C. 1292-1296.

9. Гусейнов Г. Ш. Обратные спектральные задачи для квадратичного пучка операторов Штурма - Лиувилля на конечном интервале // Спектральная теория операторов и ее приложения. Баку, 1986. Вып. 7. С. 51-101.

10. Юрко В. А. Обратная задача для пучков дифференциальных операторов // Мат. сборник. 2000. Т. 191, № 10. С. 137-160.

11. Набиев И.М. Обратная квазипериодическая задача для оператора диффузии // Докл. РАН. 2007. Т. 415, № 2. С. 168-170.

12. Гусейнов И.М., Набиев И.М. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов // Мат. сборник. 2007. Т. 198, № 11. С. 47-66.

13. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярными краевыми условиями // Мат. заметки. 1975. Т. 18, № 4. С. 569-576.

14. Марченко В.А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. Киев: Наук. думка, 1977. 332 с.

15. Левин Б.Я. Целые функции (курс лекций). М.: Изд-во МГУ, 1971. 124 с.

16. Гасымов М.Г., Гусейнов Г.Ш. Определение оператора диффузии по спектральным данным // Докл. АН Азерб. ССР. 1981. Т. 37, № 2. С. 19-23.