Вопросы независимости пороговых равновероятных булевых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ВОПРОСЫ НЕЗАВИСИМОСТИ ПОРОГОВЫХ РАВНОВЕРОЯТНЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ

А.В. БУРДЕЛЕВ, н. с. лаборатории ТВП ИКСИ

Нейрокомпьютером в литературе называют многоуровневую адаптивную обучающуюся сеть из нейроподобных элементов, связи между которыми частично предопределены и фиксированы, частично перестраиваются в процессе решения задачи. Успехи в этом направлении связаны с прогрессом нейронауки, изучающей принципы переработки информации в живых организмах. Так еще в 40-х годах XX века Мак-Каллоком и Питтсом на основании достижений в нейрофизиологии была построена простейшая модель нейрона, функционирование которой задается пороговой булевой функцией. Таким образом, вычислительной средой нейрокомпьютера является сеть пороговых элементов. Последние разработки в области оптической микроэлектроники дают основание надеяться на широкое применение пороговых функций при создании схем на оптических элементах.

В этом случае простота обуславливается естественностью выполнения операции сложения уровней сигналов. Задача построения биективного преобразования векторного пространства V2n в нейробазисе сводится к построению регулярных систем пороговых булевых функций. Данная статья посвящена изучению их свойств.

Рассмотрим произвольное преобразование F2n пространства V2n, заданное системой координатных функций F = fj, f2,..., f). В этом случае преобразование F2n: (xp x2,..., xn)

^ (y y ..., yn) записывается в виде:

У: = fl(xl, x2,..., xn)

У2 = f2(xv x2,..., xn)

_ Уп = fiX P X2,..., Xn), (1)

где f.( i e 1, n ) булевы функции n переменных.

Важнейшим прикладным требованием, предъявляемым к преобразованию

vgnikonov@mail.ru

F" пространства V2n, является его биектив-ность.

Определение 1

СистемаF = (f f2,..., fj булевых функций от n переменных называется регулярной, если преобразование (1) является биективным.

Широко известен ряд критериев регулярности системы функций [5,6].

Теорема 1

(критерии регулярности)

Пусть F = (f f f) система булевых функций n переменных. Следующие утверждения эквивалентны:

1. система F = (f f,,..., f) является регулярной;

2. для любого вектора (a , ..., a) про-

1 1...fnn X0;

3. для любого вектора (a, ..., a) пространства Z|| f 1...fnn || =1;

4. для всех 1 < k < n и 1< i < ... < i, < n

1 k

(Ilf; ...f ||)mod2

т 4

0, для1 < k < n

1, дляk = n

5. для всех 1 < k < n и 1< i < ... < i, < n

1k

функция

f © f © ... © f - равновероятна;

6. для всех 1 < k < n - 1 и 1< i < ... < i, <

1k

n произведение fifi ... f не содержит члена xy2...xn, а произведение ff2...fn содержит такой член;

7. группа инерции системы F в группе S n подстановок на Z" тривиальна:

Is п (F)=М;

2 8. система функций F = (f f,,..., fn) об-

ладает нормальным распределением весов, т.е. для всех 1 < k < n и 1< i < ... < i, < n

1k

Ilf ...fll= 2n-k.

В литературе [5] критерий 8 получил название критерия Хаффмана.

Далее будут рассматриваться системы пороговых булевых функций.

116

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Определение 2

Булева функция f называется пороговой, если существует такой набор действительных чисел ар ... ,а, X, что справедливо соотношение

Ях,, ... ,x ) = 0 <=> а x+а x + .+а x < X fx 1, ... ,x ) = 1 <=> X< а, x, +а x. + . ,.+а x .

11 22 n n

Покажем, что любая пороговая равновероятная функция обладает свойством «самодвойственности». Это свойство понадобится нам при доказательстве основного результата.

Теорема 2

Любая пороговая равновероятная функция является самодвойственной (обладает свойством «нечетности»):

f (^ ^.^ xn) = f (xl, x2 ^.^ xn) •

Отрицание в булевом случае задается по закону а = 1 - а .

Доказательство

Покажем, что свойство нечетности инвариантно относительно инвертирования переменной x = 1 - x.

Пусть функция/ получена из функции f инвертированием переменной x тогда

f X ^ x2,..., xn) = f (^ x2 — xn) =

= [нечетность f = f (Х^ ^..^ xn ) =

= f (Х1, ^.^ xn ) = f X ^ Х2 , ..., xn ).

Пусть

f =|1, a1x1 + ... + anxn > Ъ I0, а1 x1 + ... + anxn < Ъ

- равновероятная пороговая функция и пусть а^,а ,...а. - все отрицательные весовые коэффициенты. Инвертируем переменные с номерами i1,i2,..., i, тогда определяющее пороговое соотношение a1x1 + ... + axn > Ъ примет вид

ax +... + а (1 -x ) +... + а (1 -x ) +

11 х У ?2 ^ ?2 '

+... + а (1 - x ) + ... + а x > Ъ

it / n n

V = Ъ - от - - от и избавимся от знака минус

в записи, заменив соответствующие а. и -а. на а.'. Получим равновероятную пороговую функцию

dx +...+а x > Ъ’

1 1 n n

0, аx1 +... + a’nxn < Ъ'

Покажем, что она обладает свойством нечетности.

От противного, пусть существует вектор x = (xt,...,xn) е V2nтакой что

f (x1,..., xn) = f (Х,..., xn).

Без ограничения общности рассуждений считаем, что

f(Х1,..., xn ) = f(x1 Xn )= 1.

На языке пороговых соотношений это означает, что

Е а Ъ и Е а Ъ.

iel

Обозначим

ieN„ \ I

вид

Е а' = S.

ieNn

Тогда пороговые соотношения примут Е а' > Ъ' и S - Е а' > Ъ'.

Отсюда, сложив неравенства, получим Ъ' < S/2. (2)

Но так как функция f равновероятна и существует вектор x = (x1,...,xn) е V2nтакой, что f (x,...,xn) = f (x,...,xn) = 1, то найдется другой вектор x = (x1,...,xn) е V2nтакой, что

f (Х1,..., xn) = f (Х Х ) = 0.

На языке пороговых соотношений это

будет означать, что

Е а. < Ъ и Е а. < Ъ

ieJ

ieNn \ J

или

Е а\ < Ъ' и S - Е а\ < Ъ'.

(3)

Сложив, получим Ъ ' > S/2.

Условия (2) и (3) противоречат друг другу. Полученное противоречие доказывает утверждение теоремы.

Конец доказательства

ox +... - ox +... - Ox +... -

11 ij ij I2 I2

-алХ: +... + ax > Ъ - a. - a. - a. .

i^ i^ n n .2 .

Теперь все весовые коэффициенты положительны. Введем новое обозначение

Определение 3

Булевы функцииf f2,..., fn будем называть k-независимыми, если для любых 1< .1 <

... < h < n \f ...fj|= 2n-kX

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009

117

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

В частности, булевы функции f f2,..., f будем называть попарно независимыми (2-независимыми), если для любых i, j е 1, n i Ф j выполняется \f/\\ = 2n-2 и независимыми в совокупности, если они k-независимы для любого 1 < k < n.

Докажем основной результат.

Теорема 3

Если f f fn пороговые равноверо-

ятные ^-^-независимые функции и k нечетно, то они независимы в совокупности.

Доказательство

Проведем доказательство теоремы методом от противного. Предположим, что / f2,..., fk (k - 1)-независимы, но не k-независимы. Это означает, что

\fi®f2® ... ®L)L * 2П-1.

Не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что

\f1®f2® ... ®fJL > 2П-1.

Так как k нечетно, то f® f2® ... ® fk1 «антисамодвойственная» как сумма четного числа самодвойственных функций. Действительно, по теореме 6 и ввиду четности числа k - 1, имеем

Xj, Х2 ,..., X„ ) ® f2 (^ ^.^ Xn ) ® ... ®

®fk-1( X^ X2 ^.^ Xn ) = f1( ^ X2,..., Xn ) ®

® flxv х^.^ х„) ®...® fk_x{xv Х^.^ х„)®

® (k - 1) = fl(Xl, X2,..., Xn) ® f2(XV X2,..., Xn) ® ®...® fk-l(Xl, X2,..., Xn)

Функция fk самодвойственная по теореме 2. Значит, она не может совпадать с /1® f2® ... ® fk 1 более чем на 2n-1, так как совпадая с ней в одной точке (x1, x2,..., x„) она точно не совпадает с ней в точке (X1,X2,...,Xn). Получаем противоречие.

В случае |f1®f2® ... ®/J/ < 2n"1 рассуждения проводятся аналогично с заменой

f1® f2® ... ® fk-1 на f® f2® ... ® fk-1®1, и также

приводят к противоречию.

Значит

\(/1® f2® ... ® /М = 2n-1.

Отсюда следует, что f1,f2,..., fk k-независимы.

Конец доказательства.

Приведем пример из области булевых равновероятных не самодвойственных функций, когда утверждение теоремы не выполняется:

X1, X2, X3 f1 / /з

000 1 1 1

001 0 0 1

010 0 0 1

011 0 1 0

100 1 0 0

101 0 1 0

110 1 0 0

111 1 1 1

Функции от 3 переменных f f f являются равновероятными, но не самодвойственными; они 2-независимы, но не являются 3-независимыми (независимы в совокупности).

Изначальная гипотеза автора состояла в том, что для пороговых равновероятных функций независимость попарно равносильна независимости в совокупности. Тогда Критерий Хаффмана (пункт 8 теоремы 1) регулярности системы преобразился бы следующим образом: для любых i, j е 1, n i Ф j

\ff\\ = 2n-2.

Однако завершить доказательство гипотезы не удалось - был найден контрпример, опровергающий гипотезу: система булевых пороговых функций

ai,1(X1-Я)+...+a,,n(x„ -К) >0 . —

i = 1 n

au( X1- Ю+...+ai,n (x„ - lA) <0’ ’

весовые коэффициенты которых задаются

матрицей

Г-1 0 0 0 -1 1 1 1

0 -1 0 0 1 -1 1 1

0 0 -1 0 1 1 -1 1

(a ) = v j 0 0 0 -1 1 1 1 -1

-1 1 1 1 1 0 0 0

1 -1 1 1 0 1 0 0

1 1 -1 1 0 0 1 0

ч 1 1 1 -1 0 0 0 1

не является регулярной. Координатные функции являются попарно независимыми, 3-независимыми, но не являются 4-независимыми.

118

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2009