О способе построения взаимнооднозначных отображений при помощи квазиадамаровых матриц Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

n

QSp) = П

n

(p -p.) = pn + 1 ckpn-k.

Коэффициенты ск|хп выражаются через значения п различных действительных корней полинома Qn(p) по формулам Виета:

ск|1п = (-1)к х

n-( к-1) n-(k-2) n-1 n

х 1 (p. 1 (p... 1 (Phl 1 Plt))).

h =1 1 2 =1+1 >k-i = k-2+1 hk = k-i+1

3.10.2. При N = 1 для параболической аппроксимации имеем [2]

fx) *f + /о(1)- (x - x0) - 1/2 K (х - x0)2>

K = (fo(1)- У1(1)) / (Х1 - Xo),

f * fo + 1/2 (/o(1)+/1(1)) • (X1- Xo);

M * Д(0 = /o + (f -/o) • t • [1 + (1 - t) • X],

t = (x - xo) / (x1 - x0),

ДД) * (/1 -fo) • [1 + (1 - 2- t) • X],

o < X < 1 и -1 < X < o - для монотонных функцийf(t), выпуклых, соответственно, вверх и вниз; по критерию

X/1 - fo) = 13o<*1 - ъ2) - 5/2f + /) min J [ft) - P2(t)]2 dt;

X o

по условию заданной касательной в узле to = o или t1 = 1

X = /o(1)/ (Я - fo) - 1 ) или (1 - У1(1) / f1 - fo)).

Апробации других эффективных приемов конструирования неосциллирующих аппроксимаций функций, в частности общими кривыми второго порядка или степенными одночленами, для проведения гладкого интервального сращивания предельных решений, сглаживания разрывов при реализациях численных алгоритмов даются в [1-4].

Библиографический список

1. Антонец, А.В. Аппроксимирование сложных зависимостей величин подбором весовых коэффициентов в формулах осреднения / А.В. Антонец // Изв. АН СССР. МЖГ. - 1986. - № 1. -С. 161-165.

2. Антонец, А.В. Решение уравнений гидроаэромеханики в лагранжевых переменных / А.В. Антонец // Космонавтика и ракетостроение. - 1999. - Вып. 17. - С. Ш-16.

3. Антонец, А.В. Простые приближения функций с дополнительными условиями / А.В. Антонец // Журн. вычисл. матем. и мат. физ. - 1985. - Т 25. - № 11. - С. 1589-1598.

4. Антонец, А.В. Определение нестационарных аэродинамических характеристик путем расчетов стационарного обтекания летательных аппаратов с видоизмененной формой поперечных сечений / А.В. Антонец // Изв. РАН. МЖГ. - 2oo3. - № 6. -С. 132-139.

о СПОСОБЕ ПОСТРОЕНИЯ ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫХ

отображений при помощи квазиадамаровых матриц

В.Г НИКОНОВ, вед. н. с. лаборатории ТВПИКСИ, действительный член РАЕН, д-р техн. наук, Е.С. СИДОРОВ, м. н. с. лаборатории ТВП ИКСИ

Преобразование пространства Vn двоичных векторов длины n может быть задано с помощью системы координатных функций f1,..., fn). Вычисление образа (у1,..., yn) входного вектора (х .., xn) производится по формуле

y = ДУ— Xnl h = 1,2,.,n.

При этом в случаях, когда система координатных функций (f1,..., fn) задает биективное преобразование, она называется регулярной.

Одним из направлений исследований в области построения таких систем является задание их с помощью так называемых квази-адамаровых матриц.

[email protected]

Квазиадамаровой матрицей будем называть квадратную матрицу над полем действительных чисел, состоящую из элементов {-1, o, 1} с попарно ортогональными строками и имеющую четный размер, причем каждая строка и каждый столбец такой матрицы содержат хотя бы один нуль и хотя бы один отличный от нуля элемент. Некоторые свойства этих матриц описаны в работе [2], а в работах [5, 6] приведены способы их построения.

По квазиадамаровой матрице система координатных функций выписывается следующим образом. Пусть есть квазиадамарова матрица A = (a)nxn, составим систему из n неравенств

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 2/2oo9

155

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

a,, x1 + x212 +.. a . + x1" n > k1 / 2

А л n?5 + x222 +. , a. n . + x n > k2 /2

xan 1 1 a + x2" +. , an .. + x n > к /2 n

причем

jc., если а.. = 1

] ’ У

хц - < (1 -х.\ если а. - -1

/ 4 У

О, если а.. =0

x е {0,1},

а к. равняется числу ненулевых элементов в i-й строке матрицы. Значения каждой координатной функции f:Vn ^ V определяются условием:

f = 1 о xa1 + xa2 +... + xa~ > к /2.

При этом будем говорить, что матрица A порождает преобразование ga-Vn ^ Vn, которое задается системой координатных функЦий (f1,...,/,).

Напомним, что двоичная функция f: Vn ^ V называется пороговой, если для некоторых действительных чисел a ,a с значения функции f определяются условием: fx ...,xn) = 1 о a,X + ... + a x > с. Ясно, что для одной и той же пороговой функции коэффициенты a ...,a с выбираются неоднозначно. Нетрудно видеть, что каждая координатная функ-цияf преобразования gA является пороговой. Следует отметить, что преобразование gA не всегда является биективным. Доказательство биективности этого преобразования, порождаемого матрицей с одним нулем в каждой строке, в общем случае пока требует дополнительных исследований. Общие критерии регулярности систем координатных функций можно найти в [4].

Приведем несколько утверждений, которые пригодятся в дальнейшем при доказательстве более важных результатов. Везде далее будем предполагать, что имеем дело с матрицами четных размеров.

Утверждение 1. Диагональная квази-адамарова матрица порождает четную подстановку.

Утверждение 2. Матрица П х , полученная из единичной матрицы путем перестановки строк, порождает четную подстановку.

Утверждение 3. Пусть D, D' - диагональные квазиадамаровы матрицы, A - произвольная квазиадамарова матрица, порождающая подстановку. Тогда

gDxAxD' = gD °gA 0gD',

где ° означает композицию отображений.

Для квазиадамаровых матриц, содержащих один нуль в каждой строке, справедливы свойства [5, 6]:

1. Если квазиадамарова матрица Anxn существует, то n должно быть четным. Если n = 2 (mod 4), то A х может быть приведена к симметричному виду при помощи перестановки строк и столбцов, а также домножения строк и столбцов на (-1). Если n = 0 (mod 4), то матрица Anxn может быть приведена к антисимметричному виду (то есть к виду AT = -A), при помощи тех же преобразований.

2. Если существует симметричная квазиадамарова матрица Anxn с одним нулем в каждой строке, то n = 2 (mod 4) и число (n - 1) представляется в виде суммы квадратов (n - 1) = a2 + b2, где a, b - целые числа. Если же существует антисимметричная ква-зиадамарова матрица Ann, содержащая ровно по одному нулю в каждой строке, то либо (n - 2) = 0 (mod 4), либо n = 0 (mod 4).

Используя приведенные свойства, можно доказать

Утверждение 4. Пусть квазиадамарова матрица Anxn содержит в каждой строке ровно по одному нулю и порождает биективное отображение gA е S(Vn), где S(Vn) - симметрическая группа на Vn. Тогда подстановка gA четная, то есть принадлежит знакопеременной группе подстановок на Vn.

Доказательство. Рассмотрим два слу-

чая.

1) Пусть n = 2 (mod 4). Из свойств ква-зиадамаровых матриц следует, что перестановкой строк и столбцов, а также умножением строк и столбцов на (-1) можно привести матрицу A к симметричной матрице A Эти преобразования соответствуют умножению gA на некоторые четные подстановки, при этом четности подстановок gA и gA совпадают. Но так как A1T = A1, то подстановка gA состоит из 2n-1 циклов длины 2, то есть является четной.

2) Пусть n = 0 (mod 4). Тогда матрицу A можно привести к антисимметричной матри-

156

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

це A Значит g4 = s (s - тождественная подстановка), что означает, что gA состоит из 2”-2 циклов длины 4. Следовательно, и в этом случае четность подстановки gA доказана.

Утверждение 5. Пусть A квазиадама-рова матрица, порождающая отображение gA. Тогда для любых векторов (xp..., xn) и (yp..., yj из пространства V gA(x1,..., x) = (у^... yj тогда и только тогда, когда

(У 0 0 0 ^ xi 0 0 0 ^ fl>

0 у2 0 0 x A x 0 x2 0 0 x j IV О <-

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 Уп j 10 0 0 xn j j j

где x г x - i 1/2,у/ = yt - 1/2 для i = 1, • • 5 n.

Теорема 1. Пусть квазиадамарова матрица Anxn порождает подстановку. Тогда из того, что сумма элементов в каждой строке матрицы A больше нуля следует, что сумма элементов в каждом столбце матрицы A больше нуля.

Доказательство. Пусть A = (a) .

”--------------- J nxn v ljnx-П

Введем параметр M(A) равный количеству (-1) в матрице A. Пусть M = min M (A). Ясно, что M > 0. Проведем доказательство от противного. Пусть сумма элементов каждой строки матрицы A больше нуля, но существуют столбцы с номерами j ..., j сумма элементов в каждом из которых меньше нуля. Из того, что сумма элементов в каждой строке матрицы больше нуля, следует, что gA(1,...,1) = (1,...,1). Обозначим Dh л диагональную квазиадамарову матрицу размеров n x n, у которой на местахj1,...,jk, диагонали стоят (-1), а на остальных местах диагонали стоят 1, то есть

Dji...jt = diag О— "1,•••, -1,...,1).

h Jk

Пусть Aj = A x Dh h . Тогда сумма элементов в каждом столбце матрицы A больше нуля, но при этом количество (-1) по сравнению с матрицей A уменьшилось, то есть M(A) > M(A)

Обозначим j,..., j - номера строк матрицы A1, сумма элементов в каждой из которых меньше нуля. Путем умножения A слева на матрицу D^ t , получим матрицу A2, у которой сумма элементов в каждой строке больше нуля. При этом M(A) > M(AJ) > M(A2). Далее продолжаем описанную процедуру, и так как M > 0, то на каком-то шаге процесс прекратится. Рассмотрим только два послед-

них этапа и, не ограничивая общности, обозначим получаемые матрицы A , A1, A 2. Так как матрица A2 получена на последнем этапе, то сумма элементов в каждой ее строке больше нуля, а также сумма элементов в каждом ее столбце больше нуля. Следовательно, gA2(1,...,1) = (1,...,1) и gat (1,...,1) = (1,...,1).

Из последовательности построения матриц следует

A2 = D i x A x D .

Тогда имеем, что

AT = D . x A x D и

Jj... Jk 2 il...i/

gAT (1,...,0,...,0,...1) = (1,...,0,...,0,...1).

b b Ji Jk

Также из способа получения матриц, имеем Aj = A x D. . , следовательно Aj = D^ j x A . В матрице A1T сумма элементов в каждой строке больше нуля, значит g T (1,...,1) = (1,...,1). Отсюда, с учетом предыдущего равенства, получаем

gAT (1,...,1) = (1,...,0 ,...,0 ,...1).

A jl jk

Пришли к противоречию с полученным выше равенством. Таким образом, теорема доказана.

Следствие 1. Пусть квазиадамарова матрица A порождает биективное отображение gA. Тогда квазиадамарова матрица AT порождает отображение gA-l, то есть обратное к отображению gA.

Доказательство очевидным образом следует из теоремы 1 и утверждения 5.

Таким образом, для получения обратного отображения нужно просто транспонировать матрицу. Из приведенной теоремы следует, что если симметричная квазиадама-рова матрица порождает подстановку, то эта подстановка инволютивна, то есть состоит из циклов длины 2.

Приведем еще одно важное свойство отображений, порождаемых квазиадамаро-выми матрицами, которое справедливо вне зависимости от того, является ли порождаемое отображение биективным или нет.

Лемма. Пусть gA:Vn ^ Vn - отображение, порождаемое квазиадамаровой матрицей A. Тогда если

gACV- xn) = {у^ У),

то gA (xj ^.. xn ) = (У1 ^.. Уп ),

где a = a + 1 (mod 2).

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 2/2009

157