CC BY
34
Computational nanotechnology
4-2015
ISSN 2313-223X
2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И КОМПЛЕКСЫ ПРОГРАММ
2.1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ БИЕКТИВНОСТИ ОДНОГО КООРДИНАТНО-ПОРОГОВОГО
ОТОБРАЖЕНИЯ
Никонов Владимир Глебович, доктор технических наук, член Президиума РАЕН
Литвиненко Виталий Сергеевич, сотрудник ФГУП «НИИ «КВАНТ». E-mail: [email protected]
Аннотация: Использование пороговых операций представляется перспективным направлением построения узлов переработки дискретной информации, ввиду потенциальной возможности реализации вычисления скалярного произведения непосредственно в среде-носителе сигнала, например, перспективных оптических вычислительных средах.
В статье анализируется представление в пороговом базисе биективных отображений двоичных векторов, обладающих простотой реализацией как исходного, так и обратного преобразования с помощью, так называемых, квазиадамаровых матриц Дп. В настоящее время эмпирически показана биективность таких отображений при n = 4, 6, 8, однако, не было дано соответствующих строгих доказательств. В данной работе приводится первое подобное доказательство, основанное на изучении геометрических свойств отображения, порожденного квазиадамаровой матрицей Д4.
В ходе доказательства установлено, что оно носит уникальный характер и возможно в предложенном виде лишь при n = 4. Вместе с доказательством важного прикладного утверждения о биективности отображения, заданного квазиадамаровой матрицей Д4, в статье выделены интересные особенности его геометрической интерпретации.
Ключевые слова: биективные отображения, пороговые функции, многомерные конусы, квазиадамаровы матрицы.
GEOMETRICAL APPROACH TO THE ARGUMENTUM OF BIJECTION OF ONE COORDINATE-THRESHOLD REFLECTION
Nikonov Vladimir Glebovich, Doctor of Technical Sciences, a member of the Presidium of Russian Academy of Natural Sciences
Litvinenko Vitaly Sergeevich, employee of Federal State Unitary Enterprise Scientific Research Institute KVANT. E-mail: [email protected]
Abstract: The application of threshold operations is the perspective direction of the construction of discrete information processing nodes considering the potential possibility of realization of calculating the scalar product directly in the carrier signal, for instance, perspective optical computing medium.
The article analyzes the reflection of bijective binary vectors with simple implementation of both the initial and inverse transformation by means of so-called quasi-hadamard matrices A n in threshold basis. Currently bijection of such reflection is empirically shown for n = 4, 6, 8, however there was no relevant strict proof. The first relevant proof based on the study of the geometrical properties of the reflection generated by quasi-hadamard matrice A4 is provided in this work.
During the proof it was found that it is unique and possible as proposed only for n = 4. The article highlights the interesting features of its geometrical interpretation together with the proof of important applied statement about bijection of reflection generated by quasi-hadamard matrice A4.
Index terms: bijections, threshold functions, multivariate cones, quasi-hadamard matrices.
Рассмотрим произвольное преобразование динатных функций (f1,fn). В этом случае F пространства Vn, заданное системой коор- преобразование
26
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ БИЕКТИВНОСТИ ОДНОГО КООРДИНАТНО-ПОРОГОВОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Никонов В. Г., Литвиненко В. С.
Fхп) ^ (Ух,-,Уп), где (xv ..., хп) , (ух, ..., уп) е Vn
записывается в виде 'Ух = fl(Xl,■■■, *п); У 2 = fi (Xl,..., хп);
[уп fn(X 1, ■■■, Хп),
(1)
где fi , i е 1,п - двоичные функции от n переменных. Важнейшим прикладным требованием, предъявляемым к преобразованию F пространства Vn, является его биектив-ность. Пороговые функции представляют интерес в связи с простотой технической реализации, а также в связи со своими вычислительными возможностями.
Напомним определение двоичной пороговой функции.
Определение 1: Двоичная функция
f: Vn ^ Vx называется пороговой, если для некоторых действительных чисел
ах,... , ап , с . значения функции f определяются условием:
f(x 1,-, Хп) = 1 О aiXi + ... ап хп > с, (2) где суммирование производится в действительной области. Действительные числа ах,... , ап получили название коэффициентов линейной формы, а с - порога.
Для одной и той же пороговой функции коэффициенты и значение порога могут выбираться неоднозначно.
Определение 2: Квазиадамаровой матрицей будем называть квадратную матрицу над полем действительных чисел, состоящую из элементов {-1, 0, 1}, с попарно ортогональными строками и имеющую чётный размер, причём каждая строка и каждый столбец такой матрицы содержат хотя бы один нуль и хотя бы один отличный от нуля элемент.
Пусть L - векторное пространство над полем М размерности n. Рассмотрим множество Vn векторов, состоящих из ±1, которое образует n-мерный двоичный куб.
При построении биективных отображений будем использовать квазиадамаровы матрицы следующего вида:
(аХ,1 ... a in-i 0
An= а2,1 .0 а2;п 1 (3)
.0 .. О'П.П— 1 &п,п /
где а и = ±1, со свойством AnAn = (n-1)E.
Заметим, что матрицы подобного вида, так называемые конференс-матрицы, изучались Витольдом Белевичем (см [1]) и рассматривались в работе [6].
Определение 3: На множестве Vn определим координатно-пороговое отображение SAn: Vn^Vn , задаваемое матрицей An. Пусть (ui,...,Un), (vi,..,Vn) eVn,
SAn .((Ui,..,Un)) = (vb...,Vn), где
(v1 = 1 <=> a11u1 + —+ a1n—1un—1 > 0
vn = 1 <=> an,2Ui + ••• + an,nun > 0 (4)
Замечание 1: Отображение SAn. можно задать эквивалентным образом. Рассмотрим произвольный вектор
~й е Vn, иА = С = (с1,..., сп)..
Тогда SA(xl) =jc = (vv ..., vn), где
Vi = sign(ci), i = 1, n, а функция знака
Г 1, а >0
определяется условием sign(a) = < —1, а < 0. .
(. 0, а = 0
Замечание 2: Так как размер матриц вида (3) четен (см [1]), то, в условиях замечания 1, Ci = v А\. - нечетное целое число.
Задачей данной работы является исследование вопроса о биективности координатнопорогового отображения SA.. В докладе предлагается оригинальное геометрическое доказательство биективности отображения SA. для случая n = 4. Эмпирически было зафиксировано существование матриц, задающих биективное координатно-пороговое отображение, при n = 4, 6, 8, однако при n = 10, 12 были найдены матрицы, задающие не биективные координатно-пороговые отображения.
Определение 4: Элементарными преобразованиями матрицы будем называть перестановку строк, перестановку столбцов, умножение строки на -1 и умножение столбца на -1. Зафиксируем квазиадамарову матрицу
27
Computational nanotechnology
4-2015
ISSN 2313-223X
1 1 1 0
А4 = ( 1 —1 0 1 м о 4 (5)
0 1 —1 1
Система (4) для координатно-порогового отображения SA4 .((u1,u2,u3,u4)) = (v1/V2/v3/V4), задаваемого матрицей (5), примет вид
(v7 = 1 <=> и1 + и2 + и3 >0 v2 = 1 <=> щ—щ + и4 >0 v3 = 1 <=> и1—и3—и4 >0 ( )
v4 = 1 <=> и2-и3 + и4 > 0.
Пример____1 Рассмотрим вектор
и = (-1,1, —1,1).. Подставляя вектор и. в систему неравенств (6), получим (—1) + 1 + (—1) < 0 (—1) — 1 + 1 < 0 — 1 — (—1) — 1 < 0 1 — (—1) + 1 > 0,
откуда 5д4 (и) = v = (—1, —1, —1,1).. Образ вектора и при отображении SA4. можно вычислить и другим способом. Умножим ЙА4. = с = (-1,-1,-1,3) и, покоординатно применив к вектору с. функцию знака, вновь придем к вектору v = (—1, —1, —1,1)..
Замечание 3: Любая квазиадамарова матрица An порядка 4 с помощью элементарных преобразований сводится к матрице А4. Справедливость этого факта можно установить непосредственной проверкой.
Определение 5: Пусть vi = ±1, i = 1, п. Ор-тант Ort((v1, v2,..., vn)) в Rn есть подмножество
{(x1,...,xn) I viXi > 0, i = 1, n}.
Определение 6: Назовем i-ым ребром ор-танта Ort((v1, v2,..., vn)) множество {(0,...,0,Xi,0,...,0) I vi Xi > 0}.
Определение 7: Луч, порожденный вектором v = (v1, v2,.., vn), где vi = ±1, i = 1, n, назовем биссектрисой ортанта Ort(v). Определение является корректным, так как в каждом ортан-те лежит ровно один вектор указанного вида, причем углы между ним и каждым из ребер
17
ортанта совпадают и равны arcos I-..
\ п
Определение 8: Назовем i-ой гранью ортанта Ort((v1, v2,..., vn)) подмножество {х = (xb...,Xn) I х е Ort((vb v2,..., vn)), xi = 0}.
Определение 9: Опорным конусом, ассоциированным с вектором v Е Vn, будем называть конус, вершина которого имеет координату (0,...,0), высота совпадает с биссектрисой ортанта v, а угол раствора равен
2arcos I7—7 0.
V n
Замечание 4: Опорный конус, ассоциированный с вектором v = (v1,..., vn), вписан в Ort( v ), касается каждой грани этого ортанта. Рассмотрим произвольное i е 1, п. Вектор d = (v1,...,vi-1,0,vi+b..., vn) назовем проекцией биссектрисы опорного конуса v на i-ую грань. Вектор а лежит на опорном конусе,
ввиду того, что cos(a, v) =
С другой стороны, для любого вектора
Р = (xb...,xi-1,0,xi+b...,xn) из i-ой грани
(V1 Xi +-+vnxn)
cos(p, v) =
(№ ) |0P|
V±X± +-+VnXn
----+X'k ■ fn
Заметим, что ViXt = |Xj |, a (ViXt )2 = x2. По неравенству о средних
х\л—+х„ п-1
>
(V1X1+-+VnXn)
п-1
поэтому arcos (В, v ) > I—. Следовательно,
ни один вектор, лежащий на грани, не лежит внутри конуса, то есть опорный конус касается граней.
Рассмотрим координатно-пороговое отображение с геометрической точки зрения.
1
Матрица Ап = Ап - матрица поворота,
то есть ортогональная матрица, которая используется для выполнения ортогонального преобразования в евклидовом пространстве. Каждой матрице поворота Ап соответствует поворот векторного пространства L, который определяется умножением векторов из L на Ап. Причем, так как 0Ап = 0, то поворот осуществляется относительно начала координат. Далее, АпА£ = Е, поэтому матрица Ап задает обратное преобразование (обратный поворот). Умножение векторов из L на Ап = fn — 1 ■ Ап задает поворот векторного пространства L с его растяжением в fn — 1 раз. С геометрической точки зрения коорди-
28
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ БИЕКТИВНОСТИ ОДНОГО КООРДИНАТНО-ПОРОГОВОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
Никонов В. Г., Литвиненко В. С.
натно-пороговое преобразование SAn, задаваемое матрицей Аn, выглядит следующим образом: рассматривается вектор и EVn, осуществляется его поворот с растяжением в Vn — 1 раз, соответственно матрице Аn, получаем вектор с, затем ищется ближайший к с вектор v из Vn, тогда SA(u) = v. Таким образом, наряду с преобразованием SAn, порожденным матрицей An, можно рассматривать и преобразование 5Ап, порожденное также по формуле (4), но уже матрицей Ап и отметить, что эти отображения совпадают.
Теорема 1: Преобразование Sju _ биективно, причем S— = Sat .
Доказательство: Пусть
гС = (и1, и2, и3, и4) е V4, иА4 = с = (с1, с2, с3, с4),
v = (vi, v2, v3, v4), где Vi = sign(ci), i = 1,4, тогда с е Ort(v).
Из свойств матрицы A4 следует, что \с\ = V3\u | = 2V3.
По замечанию 2, ci - нечетное число, то есть ci е {±1, ±3}, i = 1, п.Так как \с\ = 2V3, то одна координата вектора с равна ±3, а остальные равны ±1. Найдем косинус угла между с и V. По определению координатнопорогового отображения vi = sign(c), значит I I j-> ->i (c,v) 3+1+1+1 V3
v'c = lc'l‘ cos(c, v>= = ЙЙ = -ЩТ = T
Если в ортант Ort(v) вписать опорный конус, то косинус половины угла раствора этого ко-
V3 -
нуса равен —, поэтому вектор с лежит на поверхности этого конуса, значит SA4(и) = V. Так как при отображении, соответствующем матрице А4, вектор Й попал на опорный конус, ассоциированный с вектором й, и углы между векторами сохраняются при повороте векторного пространства с его растяжением, то при отображении, соответствующем матрице Аа, вектор v попадет на опорный конус, ассоциированный с вектором Й, Sat (v) = и. Если существуют два вектора * щ. такие, что Й А4 и й2А4 лежат на опорном конусе, ассоциированном с вектором v, то vA4 будет лежать на пересечении опорных конусов, ассоциированных с векторами и й.. Такие конусы могут пересе-
каться только в точке касания с гранью, но все вектора на гранях имеют нулевую координату, что противоречит замечанию 2. При отображении векторного пространства L, соответствующего матрице А4, вектора из V4 попадут на различные опорные конусы, значит преобразование SA4 биективно, причем
“W" = $а4т .
В заключении отметим, что представленное доказательство, по-видимому, является уникальным и справедливо лишь для n = 4, так как использование в его логике погружение образа отображаемого вектора в опорный конус при росте n вряд ли будет ожидаемым, так как при n -> опорный конус будет иметь тенденцию к сужению (см. табл. 1). Более того, из табл. 1 следует, что угол раствора опорного конуса будет стремиться к 0, при увеличении n.
Табл. 1
n 2 4 8 16 32 64 128 256 512
Угол рас- твора опор- ного кону- са 90° 60° 41,4° 29° 20,4° 14,4° 10,1° 7,2° 5°
Список литературы:
1. Belevitch, V. Theorem of 2n-terminal networks with application to conference telephony. 1950. vol. 26, pp. 231—244.
2. Goethals, J.M., and Seidel, J.J. Orthogonal matrices with zero diagonal. Canadian Journal of Mathematics. 1967. vol. 19, pp. 1001—1010.
3. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра . 2003. Т. 1, 2.
4. Никонов В.Г., Саранцев А.В. Методы компактной реализации биективных отображений, заданных регулярными системами однотипных булевых функций // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Прикладная и компьютерная математика. 2003. Т. 2. № 1. С. 94-105.
5. Никонов В.Г., Саранцев А.В. Построение и классификация регулярных систем однотипных функций // Информационные технологии в науке, образовании, телекоммуникации и бизнесе: материалы XXXI Международной конференции. Т. 5 из Прил. 1. - М.: .Академия естествознания, 2004. С. 173174.
29
Computational nanotechnology
4-2015
ISSN 2313-223X
6. Никонов В.Г., Сидоров Е.С. О способе построения взаимно однозначных отображений при помощи квазиадамаровых матриц // Вестник Московского государственного университета леса -Лесной вестник. 2009. №2 (65).
РЕЦЕНЗИЯ
Представленная статья посвящена изучению возможностей синтеза биективных отображений в пороговом базисе. Такая направленность в известном смысле соответствует тематике журнала, в силу того, что пороговые функции обладают потенциальной простотой реализации в перспективных вычислительных средах, например, в оптических.
В статье рассматривается способ синтеза отображений с помощью квазиадамаровых матриц, порождающих координатно-пороговые функции. Приводится оригинальное, геометрическое по своей природе, доказательство биективности коордиатно-порогового отображения при n = 4. Доказательство основывается на погруженности исходного вектора и его образа в опорный конус, вписанный в ортант, и обнаружении факта, что при n = 4 образ вектора оказывается на поверхности опорного конуса. Уникальность найденного доказательства подтверждается тем, что при n > 4 образ вектора выходит за рамки конуса.
В целом статья затрагивает актуальную проблематику реализации базовых логических операций в новой элементной базе и заслуживает опубликования.
Доцент МИРЭА (Технического университета)
кандидат технических наук, доцент
Шурупов А.Н.
30
