Оценки числа булевых функций, имеющих аффинные и квадратичные приближения заданной точности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Теорему 3 можно использовать для вычисления моментов сумм

vs*(Xi,...,Xra) = Е Ч EßjX^ = s},s Є {0,1,... , N}

vJ'=1

где Х\,Х2,...,ХП Е ВN —независимые случайные векторы, распределения которых инвариантны относительно перестановок координат.

Теорема 4. Пусть Х1,... , Хп — независимые случайные векторы, имеющие равномерное распределение на В^, тогда

N

P{Xb... ,Xn линейно зависимы} ^ C

2 t=

'N

t—0

C s

CN

. cN,s,t \ cN,s,t

1 +-----I — ------1

Cs

CN

где cN,s,t = E(—i)j C CNjt

3>0

ЛИТЕРАТУРА

1. Мак-Вильямс Ф. Дж., Слоэн Н. Дж. Теория кодов, исправляющих ошибки. М.: Связь, 1979.

2. Логачев О. А., Сальников А. А., Ященко В. В. Булевы функции в теории кодирования и криптологии. М.: МЦНМО, 2004.

УДК 519.7

ОЦЕНКИ ЧИСЛА БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ, ИМЕЮЩИХ АФФИННЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ПРИБЛИЖЕНИЯ ЗАДАННОЙ ТОЧНОСТИ1

А. М. Зубков, А. А. Серов1

Пусть Vn = (GF(2))n. Обозначим через F^1 множество всех булевых функций и через Ln, An и Qn — множества всех линейных, аффинных и квадратичных функций от n булевых аргументов соответственно; тогда Ln С An С Qn, |Ln| = 2n, |An | = 2n+1,

|Qn| = 2(n)+n+1.

Пусть p (f,g) = |{x E Vn : f (x) = g(x)}| —расстояние Хэмминга между булевыми

функциями f,g E F^" и p (f,A) = min p (f, g) для произвольных f E F^1 и A С F^".

geA

В [1-3] показано, что если f E F2 —случайная булева функция, имеющая равномерное распределение на F2n, то для каждого фиксированного x E R

Um Pt p(f Ln) - an < xl = 1 - e-ex, lim P { p(f An) - an < x - ln2 !> = 1 - e-e*

n—

p(f, Qn) - Cn I _ex

lim n < Xу* = 1 — e

d

где

2“-i — 2*?^ПЪ2(\ — lnlnf ,+ ln4n) , b„ = -2=L_

V 4n ln 2 ) 2Vn ln 2

n

cn = 2“-i — 2“i2nVm^(1 + ± — 4ln(nn2ln2) — ln2l , dn = 2‘f

2n 8n2ln2 J ’ nVb^

Работа поддержана грантом РФФИ, проект №11-01-00139.

а

її

Из результатов [2, 3] следует, что если F^"’An (r) = {/ Е F^" : р(/, An) ^ r}

?Vn

и

^(Г) = {/ е : р(/, <дга) ^ г}

— множества булевых функций, расстояния Хэмминга от которых до множеств Ап и 0>п соответственно не превосходят г, то для любого £ > 0

0,

1,

lim 2-2n n— Fyn , An (r+1) = lim 2-2n n—^ FVn, Qn (rS)

lim 2-2n n—^ Fyn , An (CO = lim 2-2n n—^ FVn, Qn (r-2)

где r±1 = 2n-1 - (1 ± e)V2n-1n ln 2; r±2 = 2n-1 - (1 ± e)W2n-2 ln2.

Теорема 1 [4]. Если n ^ 2, то

(1 - Qi(n,r))2n+1 £ С2П ^ | FVn’An(r)| ^ 2n+1£ C2

y2n ,

m=0

m=0

где Q1(n, r) = 0 при 0 ^ r < 2

n— 2

Q1(n,r) < -1 2-(c2-3)n

exp

2(c2n)3/2

15 ^ I 2п/2

при п ^ 8, г = 2П-1 — с^2га-1п 1п 2 ^ 0 и с > 1.

Следствие 1. Если гп = 2П 1 — с(п)л/2га-1п 1п 2 ^ 0, с(п) > у/3/2 и п ^ то, то

^1 (п,гга) ^ 0 .

Теорема 2. Если п ^ 3, то

(1 — д2(п,г))2(п)+га+1 £ С2П ^ | FVn’^ (г)| ^ 2(п)+га+1 £ С

т=0

где ф2(п, г) = 0 при 0 ^ г < 2П-3,

2-п2(с2-з)/6+п+1 Г (сп)3

^2(п,г) <-------------п-------ехП ^2^/2

m

2n ,

m=0

при n ^ 15, r = 2n 1 — cnV2n-2 ln 2 ^ 0 и c > 1.

Следствие 2. Если rn = 2n 1 — c(n)nV2n-2 ln 2 ^ 0, c(n) > -\/3 и n —— то, то

Q2 (n, r„) — 0 .

Таким образом, если выполнены условия следствия 1 (следствия 2), то левые и правые части оценок (1) (оценок (2)) асимптотически эквивалентны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ryasanov B. V. Probabilistic methods in the theory of approximation of discrete functions // 3rd International Petrozavodsk Conference. 1993. P. 403-412.

2. Рязанов Б. В., Чечёта С. И. О приближении случайной булевой функции множеством квадратичных форм // Дискретная математика. 1995. №3. С. 129-145.

3. Серов А. А. Предельное распределение расстояния между случайной булевой функцией и множеством аффинных функций // Теория вероятн. и ее примен. 2010. №4. С. 791-795.

4. Зубков А. М., Серов А. А. Оценки числа булевых функций, имеющих аффинные приближения заданной точности // Дискретная математика. 2010. №4. С. 3-19.

УДК 519.7

О НЕЛИНЕЙНОСТИ НЕКОТОРЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С МАКСИМАЛЬНОЙ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ИММУННОСТЬЮ

Н. А. Коломеец

После публикации работ [1,2] большое внимание уделяется алгебраической иммунности булевых функций. Алгебраическая иммунность булевой функции / (обозначается через AI(/)) —это минимальная положительная алгебраическая степень булевой функции, аннулирующей / или / ф 1, т. е.

AI(/) = min{deg(g) : Vx /(x)g(x) = 0 или Vx (/(x) ф 1)g(x) = 0}.

Известно, что для функции / от n переменных AI(/) ^ [n/2]. Для криптографических приложений наибольший интерес представляют функции с максимально возможной алгебраической иммунностью, т. е. с AI(/) = [n/2] (такое значение алгебраической иммунности достижимо для любого n).

В данной работе исследуется нелинейность функций, обладающих максимально возможной алгебраической иммунностью, а именно: рассматриваются функции, построенные с помощью одной из самых простых конструкций для чётного числа переменных, которая предложена D. K. Dalai и др. в работе [3]:

0, wt(x) < n/2,

f (x) = { b Є {0,1}, wt(x) = n/2, (1)

1, wt(x) > n/2,

где n — количество переменных (n чётно); wt(x) —вес Хэмминга вектора x. Все такие функции обладают алгебраической иммунностью n/2.

Нелинейностью булевой функции f (обозначается через nl(f)) называется расстояние Хэмминга от функции f до класса аффинных функций (функций вида a1x1 ф ... ф anxn ф а0). Это также одно из важнейших криптографических свойств булевых функций.

Получена следующая верхняя оценка нелинейности функций вида (1).

Теорема 1. Для функций f вида (1) выполняется

nl(f) i 2n-1 - Лг -

n/2

В той же работе [3] рассматривается нелинейность функций, полученных с помощью данной конструкции, а именно доказано

Утверждение 1 (Dalai и др. [3]). Для функции

0, wt(x) ^ n/2,

f (x) ^ 1, wt(x) > n/2

от n переменных (n чётно) верно

nK/) = 2”-1 - ('"n-21