К вопросу построения ортогональных систем двоичных функций с использованием регистра сдвига Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

эксцентрическая аномалия и драконический период орбиты контролируемого КА.

Эксцентрическая аномалия находится исходя из следующего соотношения

E 1-e 3

tg 1 Ч К+ё 'tg 2 •

где 3 - истинная аномалия орбиты.

По полученному значению эксцентрической аномалии находится момент времени прохождения опасной точки на первом суточном витке

X =-

t = т + ((E - esinE) / X),

где т - время прохождения рассматриваемого тела через перицентр орбиты;

X - находится из формулы

Уд

a3/2 •

где р - коэффициент, равный произведению гравитационной постоянной на массу земли;

a - большая полуось орбиты.

Драконический период орбиты характеризует время между двумя последовательными прохождениями рассматриваемого объекта через восходящий узел орбиты. Его значение позволяет определить время прохождения объектом одного витка и, соответственно, количество витков за сутки. С учетом того, что геометрические параметры орбиты с течением времени изменяются несущественно (по статистическим данным наблюдений, например для МКС за полгода большая полуось изменилась на 11 км; эксцентриситет на 0,00025; наклонение 0,12°), принимается, что точка минимального расстояния на следующем витке

смещается незначительно. Отсюда время прохождения данной точки объектом на каждом суточном витке может быть определено путем прибавления драконического периода ко времени, в котором базовый объект проходит данную точку на предыдущем витке.

Для каждого объекта в найденные моменты попадания в опасную область находится угол, определяющий положение объекта на орбите (параметр U). При этом, если разность данных углов не превышает допустимое критическое значение, то исследуемый объект считается не опасным.

Разработанный фильтр, основанный на рассмотренных принципах, позволяет отсеивать до 90 % объектов, являющихся безопасными для рассматриваемого КА, при этом сокращается время расчетов более чем в пять раз по сравнению с «прямым методом». Состоятельность полученных результатов подтверждена практической отработкой представленного метода на реальных данных в процессе экспериментальной отработки.

Библиографический список

1. Хуторовский, З.Н. Методы предупреждения столкновений в космосе / З.Н. Хуторовский, В.Ф. Фатеев, С.А. Суханов и др. // Успехи современной радиоэлектроники. - М.: 2009. - № 4. - С. 21-25.

2. Гетман, М. «Космический мусор» страшнее кинетического оружия / М. Гетман // Военный парад. - 2007. - № 2, С. 28-30.

3. Колегов, Г.А. Избранные разделы космической баллистики искусственных спутников Земли / Г. А. Колегов. - ЦНИИмаш, 2007. - С. 94-101.

4. Эльязберг, П.Е. Введение в теорию полета искусственных спутников земли / П.Е. Эльязберг. - М., 1965. - С. 107.

К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИСТЕМ

двоичных функций с использованием регистра сдвига

М.И. РОЖКОВ, доц. каф. информационной безопасности Московского государственного института электроники и математики (Техническогоуниверситета), канд. физ.-мат. наук

В данной работе будут использоваться следующие обозначения: F2 - поле из двух элементов {0, 1}; (F2)” - пространство двоичных векторов длины n; fm) - задание преобразования (F2)n^(F2)m

[email protected] в виде системы координатных функций; 5L - подстановочное преобразование векторов пространства (F2)n, осуществляемое регистром сдвига с аффинной функцией обратной связи

180

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

n

L = ЦХЛ,. . ,,Xn) = bX + bQ, biG{0,1},

i=1

b1 = 1, действующее на вектор x = (x x . ,xn)e(F2)n по правилу

§L(Xl,X2,.,Xn) = (X2,X3,.,Xn, L(x1,x2,.,xn));

(f,bL) - отображение (F2)n^(F2)n задаваемое следующей системой координатных функций

W = fbL)(x) =

= (f(x)A(bL)(x))..,f((bL)n-1(x))), xe(F2)n.

В настоящей работе рассматриваются вопросы выбора нелинейной функции f.(F2)n^ F2 а также аффинной функции L, при которых отображение f,&L> является биективным.

В соответствии с [4] систему (множество) булевых функций от n переменных f1f,,...fm), m<n, будем называть ортогональной, если при любых двоичных X1,X2,...,Xm система уравнений X. = f(x), j = 1,2,.,m, имеет ровно 2n-m решений в (F2)n.

Так как в случае биективности отображения {f,bL> (и только в этом случае) система уравнений

X = X(5l)-1(x)), i = 1,2,..,*, (1)

имеет ровно 2n-k решений при любых *е{1,2,.,n} и (XvX2,...,Xk)e(F2)k,

то биективность отображения (f,bL> равносильна ортогональности любого подмножества его координатных функций.

Следовательно, ортогональность системы первых n-1 координатных функций отображения (f,bL> является необходимым условием его биективности.

Примечание. Системы из n координатных функций биективных отображений B:(F2)n^(F2)n называются также регулярными [1].

В работе в теоремах 1 и 2 получено полное описание класса нелинейных функций от трех переменных f=f(x1,x2,.,xn) = f(x1,x2,x3) и соответствующих аффинных функций

n

L(x1,x2,.,xn) = x1 + 2 + К

i=2

при которых система булевых функций у, = является ортого-

нальной.

Ф1

Теорема 1

Пусть n>3,

: {x1x2 + x3 + d1x1 + d2x2 + dQ\d. = 0,1},

Ф2 = {x1 + x2x3 + d1x2 + d2x3 + dQ, \di = 0,1}, ЛXl,X2,■■■,Xn)GФУФ2,

n

L(x1 ,x2,.,xn) = x1 + 2 b,x, + ^ b, G {0,1}.

i =2

Тогда система функций y^.y y. = X(5L)i-1(x)), является ортогональной в том и только том случае, если выполнены условия

1) n = 2* + 1 - нечетное число;

2) d1 + d2 = 1;

3)/еФ, и b3 = b5 = ... = bn = 0, либо fe Ф2 и b2 = b = . = b . = 0.

Для доказательства теоремы нам потребуются несколько вспомогательных лемм.

Лемма 1

Булева функция x1x2 + x2x3 + а^1 + а2x2 + + а3у3 + а a.e{0,1} равновероятна в том и только том случае, если а1^а3.

Лемма 2

Булева функция

x1x2 + x2x3 + x3x4 + x4x5 + аЛ + 2 + а3X3 +

+ а^4 + а5x5 + а0, а,е {0,1},

равновероятна в том и только том случае, если а1 + а3 + а5 = 1.

Лемма 3 Булева функция

f = P1x1x2 + P2x2x3 + . + P2Mx2Mx2, +

+ hWu + 1 + a1x1 + a2x2 + a3x3 + . +

+ a2t + 1x2t + 1 + Оя Pj,aге{0,1}, в1 = P2t = 1, равновероятной,

является равновероятной, если функцию a1x1 + a3x3 + a,x5 + ... + a2t + 1x2t +1 нельзя представить в виде линейной комбинации функций

x1 + ^3x3 + в4X5,^ ., e2t-1x2t-1 + x2t + 1 .

Лемма 4 [4]

Система булевых уравнений

У, = /i(X1,X2,.,Xn), i = 1,2,‘ • (m<n)

имеет ровно 2n-m решений для любых yy, у е{0,1} в том и только том случае, когда любая ненулевая линейная комбинация функций /1,/2,.,/,п приводит к равновероятной булевой функции.

В справедливости лемм 1-2 можно убедиться прямыми вычислениями. Лемма 4 вытекает из следствия 7.39 работы [4] (том 2, стр. 464). Для доказательства леммы 3 заметим, что заменой переменных

z. = x. при четных i е {1,2,...,2t + 1}

и

Z2p-1 ^2p-1x2p-1 + в2Х2р + 1 + a2p,

P = 1,2,...,t , Z2t + 1 = x2t + 1

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011

181

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

функция f приводится к виду

t

f = S z z + a x + a x + + a x

J* Z-l 2i-1 2i 11 3 3 2t + 1 2t + 1.

i—1

При этом если z2p1 = 1, то функция f линейна по переменной x2p и, значит, равновероятна. Если же z2p 1 = 0, то либо f линейна по переменной x.e {x vx + 1}, либо f не зависит от переменных x2 xx + 1, и задача сводится к исследованию функции такого же класса при t-1.

В остальных случаях указанная замена переменных является невырожденной и веса функций f* и f совпадают. Далее, так как функции

zi = xi + ^ z3 = Psx3 + в4X5,■■■, z2t-1 =

= P2t-1x2t-1 + x2t + 1, аlX1 + *3*3 + - + ** + 1x2t + 1

линейно независимы, то невырожденной заменой переменных

z. = x. - при четных i'e(1,2,.. ,,2t + 1} и

z2p-1 e2p-1x2p-1 + ^2px2p + 1 + a2p-‘

P = ^ ^ z2t + 1 = аlXl + ^x3 + - + ^2t + 1x2t + 1,

функция f приводится к виду

t

f* = S z2i-1z2i + z2t + 1 ,

i=1

и, значит, является равновероятной. На этом доказательство леммы завершено.

Приступим теперь к доказательству необходимости условий теоремы 1 при f(x1,x2,-,xn) = x1x2 + x3 + d1x1 + d2x2 + d0. Рассмотрим два случая в зависимости от четности числа n.

Случай 1, когда n = 2k - четно. Предположим противное и рассмотрим линейную комбинацию

g(x) = g(x1,x2,-,xn) = S У2i + 1 = TA(5L)2'(x)) =

i=0 i=0

= x1x2 + d1x1 + d2x2 + d0 + x3 + x3x4 + d1x3 +

+ dx. + dn + x, + — + x x . + d. x . +

+ d x + d + x + x x + d x + dx +

2 n-2 0 n-1 n-1 n 1 n-1 2 n

n

+ dn + x, + S b x + b

0 1 г i 0

i=2

В таком случае при некоторых г. е(0,1} справедливо

g(x) = S (x2i + 1 + г2г + 1)(x2i + 2 + г2г + 2) + ^ (2)

i=0

Следовательно, g(x) является неравновероятной, так как равна сумме неравновероятных функций от непересекающихся

переменных. Тем самым ненулевая линейная комбинация функций у1,у2, — .упЛ, составляющих (по предположению) ортогональную систему, оказалась неравновероятной. Полученное противоречие (см. лемму 4) завершает доказательство для данного случая.

Случай 2, когда n = 2k + 1 - нечетно. Так же, как и в первом случае, доказательство проводим от противного.

Рассмотрим линейную комбинацию

Су + У3 + — + У 2t-3) + (У 2t-1 + У 2t + У 2t + 1 + У 2t + 2) + + 0>2t + 4 + У^ + 6 + — + У^ = + x3 +

+ 9(x3x4) + x5 + — + 9(x2t-3x2t-2) + x2t-1) +

+ + x2t + 1 + Ф(% + 1) + x2t + 2 +

+ Ф(^ + 1x2t + 2) + x2t + 3 + Ф(X2t + 2x2t + 3) + x2t + 4) + + (Ф(X2t + 4x2t + 5) + x2t + 6 + Ф(X2t + 6x2t + 7) + x2t + 8 +

+n— + Ф(X2kX2k + 1) + x1 +

+ S ^ + Ь0) = f + f2 + fз,

где

, „ ,n-1.

t = 1,2,...,( — ),

фС^1 ,z2) = z1z2 + d1z1 + d2z2 + ^ f = (Ф(X1X2) + x3 + Ф(X3X4) + x5 + — +

2t-2

+ ф^-з^ + x1 + S bixi

i—2

f2 = x2t-1 + ФК-^) + x2t + 1 + Ф^ + 1) +

+ x2t + 2 + Ф(^ + 1x2t + 2) + x2t + 3 +

2t+3

+ Ф(x2t + 2x2t + 3) + S bixi ,

i=21-1

f3 = x2t + 4 + Ф(^ + 4x2t + 5) + x2t + 6 +

+ ф(x x ) + x + +

^ 2t + 6 2t + 7 2t + 8

n

+ x2k + Ф^2^ + 1) + S bixi + Ь0.

i—21+4

Функции f и f3, как легко видеть, допускают представление вида (2) и, значит, неравновероятны (при t = 1 полагаем f = 0, b1 = 1; при t = (n - 1) / 2 полагаем f3 = b0). А так как функции fi зависят от разных переменных, то равновероятность их суммы f1 + + f2 + f3 равносильна равновероятности функции f2. Заметим далее, что функцияf2 пред-

ставима в виде

2t+3

f 2 = S xx+1 + S ax

где

a2t-1 = b2t-1 + d1 + 1 при t>1, и a1 = b1 + d1 = d1 + 1

a2t = b2t + d1 + d2, a2t + 1 = b2t + 1 + d1 + d2 + 1

i—2

i—21-1

i—21-1

182

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

a2t + 2 = К + 2 + d1 + d2 + 1

a2t + 3 = b2t + 3 + d2 + 1

В случае равновероятности f с учетом леммы 2 отсюда получаем равенства

b2t + 3 + b2t + 1 + b2t-1 = 0 ПРИ t>1, b5 + b3 = °. (3)

Рассмотрим еще одну линейную комбинацию

(У + Уз + - + yj + (У 2t-1 + У2) +

+ (y2t + 2 + y2t + 4 + - + y2k) = f1 + f2 + f

где

f1 = Ф(Х1Х2) + X3 + Ф(Х3Х4) + X5 + - +

2t-2

+ Ф(X2t-3X2t-2) + X1 + Z ЬХр

i=2

f2 = X2t-1 + Ф(X2t-1X2t) + X2t + 1 + Ф(Х2У21 + 1) +

+ b2t-1X2t-1 + b2tX2t + b2t + 1X2t + P

f3 = X2t + 2 + Ф(X2t + 2X2t + 3) + X2t + 4 + Ф(X2t + 4X2t + 5) +

n

+X2t + 6 + - + X2k + Ф^^ + 1) + Z bXi + К

i—21+2

Аналогичными рассуждениями можно показать, что равновероятность суммы f + +f + f равносильна равновероятности функции f которая допускает представление f = x x + xx + a x + a x + a x

-'2 2t-1 2t 2t 2t + 1 2t-1 2t-1 2t 2t 2t + 1 2t + 1

где

a2t-1 = b2t-1 + d1 + 1 при t>1, и a1 = b1 + d1 = d1 + 1 ,

a2t = b2t + d1 + d2, a2t + 1 = b2t + 1 + d2 + 1.

С учетом леммы 1 отсюда получаем, что равновероятность функции f2 равносильна выполнению равенств

b2t + 1 + b2t-1 = d1 + d2 + 1

при t>1, b3 = d1 + d2 + 1. (4)

равенства (3) и (4) возможны лишь в том случае, когда

d1 + d2 = 1, b3 = b5 = - = Ьп = 0. (5)

На этом доказательство необходимости условий теоремы для случая fx) = x1x2 + + х3 + d1x1 + d2x2 + d0 полностью завершено.

Приступим к доказательству достаточности условий 1)-3) теоремы.

Покажем, что произвольная ненулевая линейная комбинация

g = Z Pi^{0,1>,

i—1

функций • -Уп-Р Уг = является

равновероятной. Это с учетом леммы 4 будет равносильно их ортогональности.

Заметим, что без потери общности можно считать, что P1 = вп 1 = 1 (в противном

случае функция g будет линейной по одной из переменных). В таком случае

n-1

2к

g = Z Py, = Z МХ-Х + 1) + Х1 +

i —1

i —1

2 k+1 2k 2k+1

+ Z bx + b, = Z P xxu1 + Z ax + a,,

i i 0 i i i + 1 i i 0

i—2 i —1 i —1

где

Ф(г1,г2) = Z1Z2 + d1Z1 + d2Z2 + ^ a1 = d1 + 1,

a2 = P 2d1 + P1d2 + b2, a2t =

= M + P2t-1d2 + P2t-2 + b2t при t>1, a2t + 1 = P2t + 1d1 + P2td2 + P2t-1 при ^

a2k + 1 = d2 + P2k-1.

С учетом леммы 3 для доказательства равновероятности функции g достаточно показать, что вектор a = (a1,a3,-,a2k-1,a2k + 1) нельзя представить в виде линейной комбинации векторов

rx = (1,p2,0,-,0),

У = (0,p3,p4,0,-,0), rk-1 = A-A^Ak-P^

rk = (0,...Ap2k-l,1),

рассматриваемых как векторы пространства

(F) + 1.

Предполагая противное, получим соотношение

a = Z vrrp ViG {0,1}. (6)

i—1

Отсюда

V1 = a1 = d1 + 1, a2t + 1 = Vt + 1P2t + 1 + VtP2t

при ^AA-AA a2k + 1 = vk .

Далее получим

V2P3 + V1 P2 = a3 = e3d1 + P 2d2 + 1,

т.е. (d1 + V2)P3 = 1, т.е.

V2 = V1 = d1 + 1, P3 = 1 (7)

Пусть при некотором t выполнены равенства

Vt + 1 = Vt = d1 + 1 P2t + 1 = 1. (8)

Тогда для t<(k-1)

Vt + 2P2t + 3 + Vt + 1P2t + 2 a2t + 3 P2t + 3d1 + P2t + 2d2 + P2t + 1.

Отсюда (d1 + Vt+2)P2t + 3 = 1, т.е. равенства (8) выполняются и для t + 1.

Таким образом, в соотношении (6) должны выполняться равенства

V1 = V2 = - = Vk = d1 + 1, P1 = P3 = - = P2k-1 = 1 (9)

Но в таком случае из (6) и (9) получаем

d2 + 1 = a2k + 1 = d1 + 1,

что равносильно равенству d1 + d2 = 0, которое невозможно по условиям теоремы. Тем

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011

183

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

самым, достаточность условий 1)-3) для случая fe Ф1 доказана.

Пусть теперь./(х1,х2,_,хп) = х1 + ф(х2х3). В силу биективности отображения 6L система функций {fx),/((5i)(x)),_,/((5i)n-2(x))} будет ортогональной в том и только том случае, когда таким свойством будет обладать система функций

{Z1 = X(6iX4SXXZ2 = fsx),z3 =

=f((bI)(sx)),...,zn = fi(6L)n-\sx))}, где

S:(F2)n^(F2)n, s(x1,x2,.,xn) = (xn,xn-i,.,x1).

Функции z i = 1,2,.,n-1, имеют вид

n

z. = ф(xx Э + x. + У b ^,x. + b,

1 т \ n n-K 1 n-. + 2 . 0’

i=2

Z2 = Ф(Xn-1Xn-2) + Xn,

Zn-2 = Ф(X3X2) + X4,

Zn-2 = Ф(X2X1) + x3

Таким образом, случайfeФ2 сводится к рассмотренному выше случаю feФ1 только с другой функцией

n

I = x, + У b ., у. + b.

1 n-г + 2 г 0

i=2

На этом доказательство теоремы полностью завершено.

Примечание. Можно показать, что при n = 3, f(x) = x1x2 + d1x1 + d2x2 + d0 + x3, I(x) = x1 + b2x2 + b3x3 система функций Уу2) = (/(x)s^(8I)(x)) ортогональна лишь в случае, когда выполнено одно из условий 1) d1 = 0, d2 = b3 + 1; 2) d1 = 1, d2 = b3.

Следующее утверждение показывает, что теоремой 1 по существу полностью закрывается вопрос описания ортогональных систем вида fx)/(5L)(x)),.. ./(бу-2^))} для случая произвольной нелинейной функции f=f(x1,x2,x3) от трех аргументов.

Теорема 2

Пусть n > 5,f=f(xxx3) - нелинейная функция от трех аргументов,

n

L(x1,x2,.,xn) = x1 + У bixi + У bie {0,1}.

i=2

Тогда система функций (у^ .у ), у, = A(6L)i-1(x)) является ортогональной в том и только том случае, если n-нечетно и функцииf и I удовлетворяют условиям теоремы 1.

Для доказательства нам потребуется следующее утверждение, установленное

с помощью экспериментальных расчетов на ЭВМ.

Лемма 5

Если система уравнений X. = f(x,x + x.+2), i = 1,2,3, имеет 4решения (относительно неизвестных xx .у^) при любых фик-

сированных XpX2,X3e{0,1}, тогда функция _Xx x x3) линейна по одной из крайних переменных.

Приступим теперь к доказательству теоремы 2. Пусть ортогональна система функций (yly2,...,yn_(), у. = fil6J-\x)). Тогда в условиях теоремы система функций {y1 =

=У2 = Х^ЖХ У3 = f(x3,x4,x5)} также

будет ортогональной.

Но в таком случае с учетом леммы 5 функция f(x1,x2,x3) линейна по одной из крайних переменных, то есть /еФ1, либо /еФ2, где множества Ф. определены в условиях теоремы 1. На этом доказательство закончено.

Следующее утверждение свидетельствует о том, что в определенных случаях необходимым условием биективности отображения (f,6I) является отсутствие у функции f запретов.

Утверждение 1

Пусть n>2k-1 + k-1, f = f(x1,x2,.,xk), degf)>1, k>1.

Если ортогональна система функций

(у^.у^Х у, = ЖутЧ^Х тогда функция f

рассматриваемая как функция от k переменная, не имеет запретов.

Доказательство

Как показано в работе [3], если система уравнений X. = fix.,x. + 1,.,x. + k-1), i = 1,2,.,m, имеет в точности 2k-1 решений при любых двоичных X1,X2,.,Xm и m = 2k-1, тогда функцияf(x1,x2,.,xk) не имеет запретов.

Заметим, что из ортогональности множества функций (y1Jy2,.,yn-1) следует ортогональность и любого его подмножества мощности m<n. Осталось заметить, что в наших условиях m = 2k-1<n, причем функции y. = XyXXx)), i = 1,2,.,m = 2k-1, имеют вид У1 = ./(Xl,X2,.,Xk),

У 2 = f(x2,x3,.,xk + У.

У = f(x ,x , ...у. , ,),

smj\ m m + 15 5 k + m-1/’

где k + m-1 = 2k-1 + k-1<n. На этом доказательство завершено.

184

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 3/2011