Облегчение критерия Хаффмана для монотонных самодвойственных булевых функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Аъ( х)

1, если (хНН <33,6)л(хНН >24,5); 0 в противном случае;

A17 : f16(x) = Y17 ^ A1;

f16( Х)

1, если (хШС =1); 0, если (хШС = 0);

Назначением функций /(х), /2(х) и /3(х) является контроль допусков для заданного количества телеметрических параметров, контроль комплектности бортовой аппаратуры анализируемой системы, а также оценка времени нахождения КА в тени. Функции /А(х), /5(х) ... /16(х) служат для описания остальных режимов работы системы. Исходящий адрес Y принимает логическое значение «истина» или «ложь», которое формируется посредством вычисления внутренних функций fх). Отсутствие исходящего адреса означает, что рассматриваемый «модуль-нейрон» имеет только один исходящий адрес, по умолчанию равный значению «истина», кроме тех случаев, когда на борту возникает нештатная ситуация и формируется сообщение об этой ситуации с возможностью последующей выдачи рекомендаций по ее устранению.

В целом предлагаемый метод характеризуется методологической универсальностью подхода к описанию различных космических аппаратов, при этом благодаря универсальности многих внутренних функ-

ций модулей обеспечивается значительная возможность их адаптации к изменяющимся условиям, в том числе и к нештатным ситуациям. Уровень такой адаптации определяется степенью детализации модели (модуля-нейрона). Полученная структура отображает в некотором роде искусственную нейросеть [2, 3], но с более расширенным представлением в функциональной интерпретации модуля-нейрона, на основе гибридной совокупности используемых математических конструкций. Такой подход обуславливает снижение трудозатрат на автоматизацию оперативного анализа и, как следствие, повышение оперативности и надежности принимаемых решений по управлению космического аппарата, что играет ключевую роль в решении данной задачи. При этом обеспечиваются предпосылки для последующего развития автоматизированного программноматематического комплекса, используемого при описании вновь создаваемых объектов рассматриваемого класса.

Библиографический список

1. Кравец, В.Г. Автоматизированные системы управления космическими полетами / В.Г. Кравец. - М.: Машиностроение, 1995.

2. Эндрю, А.М. Мозг и вычислительная машина. / А.М. Эндрю. - М.: Мир, 1966.

3. Эшби, М.Р. Конструкция мозга. / М.Р. Эшби. - М.: Мир, 1964.

ОБЛЕГЧЕНИЕ КРИТЕРИЯ ХАФФМАНА ДЛЯ МОНОТОННЫХ

самодвойственных булевых функций

А.В. БУРДЕЛЕВ, науч. сотр. лаборатории ТВП

Рассмотрим произвольное преобразование F2n пространства V2n, заданное системой координатных функций F = (f f,,...,f). В этом случае преобразование F2n : (х1, х2,..., хп) ^ (yv y2,..., yn) записывается в виде

У1 = /(хг V- х)

У2 = Х2,..., хП)

_ Уп = Х2,..., Хn), (1)

где f (i е 1, n ) булевы функции п переменных.

vgnikonov@mail. ru

Важнейшим прикладным требованием, предъявляемым к преобразованию F2n пространства V2n, является его биективность. определение 1

СистемаF = f f,,..., fn) булевых функций от п переменных называется регулярной, если преобразование (1) является биективным.

Широко известен ряд критериев регулярности системы функций [5, 6].

178

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2010

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Теорема 1

(критерии регулярности).

Пусть F = f f2,..., fj система булевых функций n переменных. Следующие утверждения эквивалентны:

1. системаF = (f f,,...,ft)являетсярегулярной;

2. для любого вектора (а ..., an) пространства Z" fa... fnan х 0;

3. для любого вектора (а ., an) пространства Z2 у /а... fa ||= 1;

4. для всех 1 < k < n и 1 < i < ... < i < n

1 k

af...f ||)mod2

1 k

0, для 1 < k < n

1, для k = n

5. для всех 1 < k < n и 1 < i < ... < i, < n

1k

функция f ® f ®...Фf - равновероятна;

6. для всех 1 < k< n - 1 и 1 < i < ... < i < n

1k

произведение ff ...f не содержит членаx1, x .., x а произведение f f2,..., f содержит такой член;

7. группа инерции системы F в группе S2n подстановок на Z2 тривиальна:

Is2n (F) = М;

2 8. система функций F = (f f2,..., _f ) об-

ладает нормальным распределением весов, т.е. для всех 1 < k < n и 1 < i < ... < i < n

1k

uh...ffa 2n-k.

В литературе [5] критерий 8 получил название критерия Хаффмана.

Определение 2

Булевая функция f называется самодвойственной (обладает свойством «нечетности»), если

f (Xj, Х2,..., хп) = f (x1, Х2 ^.^ x„).

Отрицание в булевом случае задается по закону а = 1 - а .

Замечание 1

Самодвойственная булевая функция является равновероятной.

определение 3

Булевая функция f называется монотонной, если для любого k е N, для любых i < i2 <... < ik е 1,n, для любых s1 = = (Sj(1),...,sk(1)), s2 = (Sj(2),...,sk(2)) е V2k и для любых x(1) = (Xj(1), x2(1),...,xn(1)), x(2) = (xj(2), x2(2),...,xn(2)) е e V" таких, что x,(1) = s1(1),.--A!(1) = si1-1.

2

x(2) =s(2)

v(2) = s(2)

, A • — О i.

-ok ii xV = xf\ где j е 1, n \{i1,..., ik }, выполняется нестрогое не-

равенство f(x(1)) < _fx(2)).

определение 4

Булевы функцииf f2,..., f будем называть k-независимыми, если для любых 1 < <

< .. < ik < n

ич...ал= 2n-k.

В частности, булевы функции f f2,..., fn будем называть попарно независимыми (2-независимыми), если для любых i, j е 1, n i Ф j выполняется

\fj = 2n-2

и независимыми в совокупности, если они k-независимы для любого 1 < k < n.

В работе [7] был получен следующий результат для пороговых булевых функций.

Теорема 2

Если f f,,..., fn пороговые равновероятные (k - 1)-независимые функции и k нечетно, то они независимы в совокупности.

Легко показать, что теорема верна и для более широкого класса булевых функций - класса самодвойственных монотонных булевых функций, включающего в себя класс пороговых равновероятных булевых функций.

Теорема 3

Если f f2,..., fn самодвойственные монотонные (k - 1)-независимые функции и k нечетно, то они независимы в совокупности.

Покажем, что сумма независимых в совокупности самодвойственных монотонных булевых функций не может являться самодвойственной монотонной булевой функцией.

Теорема 4

Сумма независимых в совокупности самодвойственных монотонных булевых функций не может являться самодвойственной монотонной булевой функцией.

доказательство

Сумма независимых в совокупности самодвойственных монотонных булевых функций по теореме 1 является равновероятной функцией. Необходимо показать, что она не может быть самодвойственной и монотонной.

Рассмотрим два случая: в первом случае будем предполагать, что у нас сумма четного числа функций; во втором - сумма нечетного числа функций.

В первом случае покажем, что сумма четного числа k независимых в совокупнос-

ЛЕСНОИ ВЕСТНИК 6/2010

179

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

ти самодвойственных монотонных булевых функций не является самодвойственной функцией. C учетом того, что к четно, имеем /(X, xj,..-, Хп ) 0 /2( X, ^..^ Хп ) 0 ... 0

®fk (Xl, X2,..., Xn )= fj(xv X2,..., Xn) 0 0^ x2,..., Xn) 0 ... 0 fk(xv X2,..., Xn) 0 k =

= f1(XP x2,..., xn) 0f2A1, X2,..., Xn) 0

0 ... 0fk(xv V.. Xn)

Рассмотрим случай суммы нечетного числа k независимых в совокупности самодвойственных монотонных булевых функций. Доказательство в этом случае проведем методом «от противного». Допустим, что функция I f является самодвойственной и монотонной. Рассмотрим сумму нечетного числа k независимых в совокупности самодвойственных монотонных булевых функций I f как сумму самодвойственной монотонной булевой функции f и суммы четного числа к - 1 оставшихся функций i f Множество V2n вершин n-мерного единичного куба разбивается значениями функции f на 2 подмножества (рис. 1): множество единичных и нулевых значений функции f1

Рис. 1

V2n = A0^A1 Aj = {X GVn| fj(X) = 1}

A = {e Vn | f( X) = 0}.

Так как f самодвойственная функция, то A = Ao, где

A = {(«1, Й2,..., an )Щ, «2,.., an) G A, a = 1 - a}.

Рассмотрим на этом разбиении значения функции I f. Сумма четного числа самодвойственных функций является антисамо-двойственой функцией

к к

Е f (^ X2,..., Xn ) = Е f (^ X2,..., Xn ).

i=2 i=2

Таким образом, получаем следующее разбиение множества V2n (рис.2):

Рис. 2

V = All'~Alo^Ao,uAoo

Д1 Ч X е vn | f1( X) = 1, Е f = 1 4o = { X €V2n|./1( X) = 1, Е f = 0 A01 ={XeVn |/(X) = о,Еf = 1

i=2

к

Ao Чx£vn\MX) = о,Еf = o'

l i=2

Aoo = A11 Ao1 = A1o .

Ввиду совокупной независимости функцийf1, f2,..., fk по критерию Хаффмана

Aoo| = |A1o| = AoJ = |A11| = 2;-2.

В то же время вся сумма i f на этих множествах принимает следующие значения

An иAo = lXeVn \Еf = o

Ao1 и Ao = { X е^Е fi = 1}.

Покажем, что функции I f и f не могут одновременно являться монотонными.

Доказательство проведем методом «от противного».

г=1

Рис. 3

18o

ЛЕСНОЙ вестник 6/2o1o

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

Рис. 4

Не ограничивая общности рассуждения, выберем из множества A00 вершину (0, а), а е V2n-1. Из равенства An = A00 получаем, что (1, а) е A11. Покажем, что вершина (1, а) не может лежать во множестве A jA

Допустим, что (1, а) е A Тогда, так как A10 = A01, (1, а) е A01 (рис. 3).

В этом случае получаем противоречие с монотонностью функции I f по первому аргументу

0 = Z f (1, а) <Z f (0, а) = 1

i=1 i=1

0=Z fi(0, а) <Z fi(1, а) =1.

i =1 i =1

Допустим, что (1, а) е A Тогда, так как A01 = Лю, (1,а) е A10 (рис.4).

В этом случае также получаем противоречие с монотонностью функции i f

i=117 1

0 = Z f (1, а) <Z f (0, а) = 1

i =1 i =1

0 = Z f (0,а) <Z f (1,а) =1.

i =1 i =1

Таким образом (1, а) е An jA00.

Это означает, что для любого i е 1, n для любого s е {0,1}

((Х1,...Х^ S, 5+1,...,Xn) е A11^A00) ^

^ ((Х^., X,-1, s, x^+l,..., xn ) е A11 U Д00).

Вершина (а1,а2,...,ап) n-мерного единичного куба лежит во множестве A jA со всеми своими соседними вершинами {(а1, а2,..., а,,..., ап )| i е1, n а, =1 -а,}-вершины, отличающиеся от нее в одной координате. Эти вершины, в свою очередь, также лежат во множестве A jA со всеми своими соседними вершинами. Рассуждая далее аналогичным образом, получим, что все множество V2n лежит во множестве A jA Получаем противоречие с мощностями множеств

| V2n | = 2n и | An jA00| = 2n-1. Полученное противоречие показывает невозможность существования самодвойственной монотонной булевой функции, совпадающей с суммой нечетного числа независимых в совокупности самодвойственных монотонных булевых функций.

Конец доказательства.

Следующая теорема является облегчением критерия Хаффмана для случая самодвойственных монотонных булевых функций.

Теорема 5

Пусть f f fk самодвойственные

монотонные булевы функции от k аргументов тогда в случае если k нечетно, то из (k - 1)-независимости следует независимость в совокупности; в случае если k четно, то из (k - 2)-независимости следует независимость в совокупности.

Доказательство

Случай нечетного k.

Ранее было показано (теорема 3), что из (k - 1)-независимости самодвойственных монотонных функций при нечетном k следует k-независимость.

Случай четного k.

По теореме 3 из (k - 2)-независимости следует (k - 1)-независимость при четном k.

Покажем, что из (k - 1)-независимости функций f1, f fk следует их независимость

в совокупности при четном k.

Множество V2n разбивается значениями функций f f f на 2k-1 равномощных подмножеств

V n = X i j X j j X j j X i j

*2 ^0(У00 w ^0(У001 w ^0(У010 w ^00 * *011 w

j X111...10 j

где

XV2...ik-1 = {X еУ2 1 f (X) = i1, f2 (X) =_

= i2,..., fk-1(X) = i'k-1}, iJ е {0,1} j е1, k .

По свойству самодвойственности функций имеем для любого (i1, i2,..., ik-1) е V2k-1

X

= X.

i1 i2T_ik-1

е X.

= {(X1, x2,..., Xn x2,..., Xn ) е

„...i^ Xi =1 - X, i е1, n.

Из (k - 1)-независимости функций f f2,..., fk1 по критерию Хаффмана следует, что для любого (i1, i2,..., ik 1) е V2k-1

| X . |= 2k-(k-1) = 2 .

1 i1 ,i2 ,...,ik-1 1

Выпишем значения функцийf f2,...,fk 1 на этих множествах, упорядочив их по весу вектора значений (f1, f2,..., fk-1):

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2010

181

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

(Х1, Х2,..., Xk) f1 f2 /3 fk-1

0 0 0 0 0 0 0

о о о 0 0 0 1

о о о 1 0 0

о о о >0 1 1 0 0

X ^ 110...00 0 0 1 1

X ^ 10...00 0 1 1 1

X ^ 00...001 1 1 1 0

X ^ 00...00 1 1 1 1

На множестве X00...0 функцияf может принимать p^2 единичных значений |{(Х1, Х2,..., х) е XQ0...J f (хц Х2’...’ xk) = 1}| =

= p-2,p е {0, 1/2, 1}.

Тогда, ввиду свойства самодвойственности функции f на множестве X00 1 функция f принимает (1 - p)-2 единичных значений, p е {0, 1/2, 1}.

Из (k - 1)-независимости функций f f2,..., fk по критерию Хаффмана следует, что вес fff3..., ff = 2k-(k-1) = 2.

Функция fff f f может принимать единичные значения только на множестве X11...11 и Xn...10. Так как на множестве Xn...n функция fk принимает (1 - p)-2 единичных значений, p е {0, 1/2, 1}, а вес ее равен 2, то на множестве X00 01 = X11 10 функция fk принимает 2 - (1 -рУ2 = p-2, p е {0, 1/2, 1} единичных значений.

Аналогично функция fk принимает p-2 единичных значений на всех множествах

X10...00 ,• • •, X00...010, на которых вес вектора (f1, .Z^., Zk_1) равен (k-2).

Из (k - 1)-независимости функций f f2,..., fk следует, что на множествах, на которых вес вектора (f1, f2,..., /л) равен (k - 3), функция f принимает (1 - p)-2 единичных значений.

Рассуждая далее аналогичным образом, получим чередование веса функции fk на множествах X по закону:

*1,‘2,...,* ik-1 J

функция f принимает p^2 единичных значений на множестве X , если вес

i1,i2,...,ik-1

вектора (i i ..., i) нечетный;

функция fk принимает (1 -p)-2 единичных значений на множестве X если вес

i1,i2,...,zk-1

вектора (i i2,..., ik 1) четный;

Выпишем значения функций f1, f2,..., fk 1 и вес функции fk на этих множествах, упорядочив их по весу вектора значений (f f2,..., fk-1):

(0 V.. xk) f f2 /з fk-1 вес функции fk на множестве

0 0 0 0 0 0 0 ^2

0 0 0 0 0 0 1 (1 - p)2

0 0 0 1 0 0 (1 - p)2

0 0 0 1 1 0 0 f2

X ^ 110...00 0 0 1 1 (1 - p)-2

X ^ 10...00 0 1 1 1 F2

X ^ 00...001 1 1 1 0 p-2

X ^ 00...00 1 1 1 1 (1 - p)2

В случае p = 0 функция fk совпадает с функцией s f, в случае p = 1 функция fk совпадает с функцией s f 01. В обоих случаях функция fk совпадает с суммой независимых в совокупности самодвойственных монотонных булевых функций, что невозможно по теореме 4. Получаем p = 1/2, откуда по критерию Хаффмана следует независимость в совокупности функцийf f2,...,f.

Таким образом, из (k - 2)-независимос-ти самодвойственных монотонных булевых функций следует их (k - 1)-независимость, и из (k - 1)-независимости следует их независимость в совокупности при четном k.

Конец доказательства.

Таким образом, для класса самодвойственных монотонных булевых функций критерий Хаффмана облегчается на один порядок, в случае нечетного числа функций; и на два порядка для случая четного числа функций.

Теорема 6

Критерий Хаффмана для самодвойственных монотонных булевых функций

Пусть F = (f f2,..., f) система самодвойственных монотонных булевых функций n переменных. Следующие утверждения эквивалентны:

182

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 6/2010