CC BY
43
Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2011. № 1 (2). C. 7-16
Математика Mathematica
УДК 519.7
ОБ ОДНОЭЛЕМЕНТНОЙ ФУНКЦИОНАЛЬНОЙ ПОЛНОТЕ В АЛГЕБРЕ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ А.П. Горюшкин
Камчатский государственной университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная , 4
E-mail: as2022@mail. ru
В статье обсуждаются вопросы, связанные с функциональной полнотой булевых функций. Результаты могут найти применение при исследовании структуры подалгебр алгебры булевых функций.
Ключевые слова: булева функция, полная система, самодвойственность, полином Жегалкина
© Горюшкин А.П., 2011
MSC 03G05
ABOUT 1-ELEMENT FUNCTIONAL FULLNESS IN ALGEBRA OF THE BOOLEAN FUNCTIONS A.P. Goryshkin
Kamchatka State University by Vitus Bering, 683032, Petropavlovsk Kamchatskiy, Pogranichnaya st, 4, Russia E-mail: as2022@mail. ru
This article covers the problems connected with the functional fullness Boolean function. The results may be used at the study of the structure subalgebas algebras of the Boolean functions.
Key words: Boolean function, full system, duality, Zhegalkin’s multinomial.
© Goryshkin A.P., 2011
Введение
Для построения математических моделей дискретных преобразователей информации основ-ным аппаратом являются булевы функции. Для алгебры булевых функций важным является во-прос о порождающих (полных) системах функций. Эта алгебра обладает порождающими множе-ствами, состоящими всего из одной (полной) функции. Классическими примерами полных функ-ций с двумя переменными являются штрих Шеффера и стрелка Пирса (см. например, [1]) Эти две функции несложно сделать функциями от большего числа переменных: функция хVХ2 V ... VХп является обобщенной функцией Шеффера, а Х1&Х2&... &хи - обобщенной функцией Пирса.
Здесь будет показано, что существуют полные функции от п переменных, отличные от этих простых обобщений; и число таких функций весьма значительно. Поиск полных функций существенно опирается на результаты И. Жегалкина ([2]), а методика сходна с исследованием конечно порожденных групп (см., например [3]). В каждом таком исследовании существенную роль играет компьютерный эксперимент с использованием последних версий математического макета символьных вычислений Мар1е.
Способы нахождения полных функций и вычисления их количества рассмотрим сначала для булевых функций с небольшим числом переменных.
Число полных функций для числа переменных < 5
Полином Жегалкина, представляющий полную функцию f (х1, х2, ... , хи), содержит четное число одночленов, в противном случае Д1, 1, ... , 1) = 1, а свободный член полинома равен единице, иначе ДО, 0, ... , 0) = 0. Отметим, что функция f (х1, Х2, ... , хп) с таким полиномом Жегалкина не монотонна.
Пусть функция f(Х1, Х2, ..., хп) имеет единичный свободный член и нечетное число одночленов в полиноме Жегалкина, тогда полином ее двойственной функции f(х1 + 1, х2 + 1, ..., хи + 1) + 1 будет уже без свободного члена. Это значит, что самодвойственная функция с единичным свободным членом имеет четное число одночленов в полиноме Жегалкина. Следовательно, самодвойственная функция, не сохраняющая нуль, не сохраняет и единицу.
Наоборот, пусть функция f (х1, х2, ... , хп) не сохраняет единицу, т.е. число одночленов в ее полиноме Жегалкина четное. Тогда f*(хь Х2, ... , хп) имеет единичный свободный член. Если f - самодвойственная, то и у функции f в ее полиноме Жегалкина должен быть свободный член, равный единице. Это значит, что самодвойственная функция, не сохраняющая единицу, не сохраняет и нуль.
Совершенная конъюнктивная форма самодвойственной функции получается из совершенной дизъюнктивной формы при переходе к двойственной функции. Поэтому самодвойственная функция принимает значение 0 в точности столько же раз, сколько и значение 1.
Теперь рассмотрим простейший случай с заранее известным ответом - случай двух переменных. Предположим, что функция f (х, у) = аоху + а1х+а2у + 1 - полная. Тогда она не совпадает с двойственной ей функцией
У* (х, у) = f (х + 1, у + 1) + 1 = ао(х + 1)(у + 1) + а1(х + 1) + а2(у + 1) + 1 =
= аоху + (ао + а1 )х + (ао + а2)у + (ао + а1 + а2).
Представление булевой функции в виде полинома Жегалкина над полем Z2 классов вычетов по модулю два единственно. Поэтому функция у(х, у) будет самодвойственной (и, следовательно, неполной) тогда и только тогда, когда коэффициенты ао, а1, а2 ее полинома Жегалкина являются решениями системы уравнений
{ао = ао,
ао + а1 = а1 , ао + а2 = а2, ао + а1 + а2 = 1 .
Эта система равносильна системе
ао = о,
| а1 = 1 + а2.
Переменное а2 - свободное и принимает в точности два значения: а2 €{0, 1}. Следовательно, среди функций от двух переменных, представленных полиномами Жегалкина с ненулевым свободным членом самодвойственных всего две. Придавая значения свободному неизвестному а2, найдем эти две функции (см. табл. 1):
Таблица 1
Полиномы Жегалкина
a2 f (x, y) = (1 + a2)x + a2y + 1
0 X + 1
1 y +1
Таким образом, из четырех функций, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, в точности две являются самодвойственными. Значит, оставшиеся две - несамодвойственные и, следовательно, полны.
Естественно, что одна из них - это штрих Шеффера, х | у = ху + 1; вторая -
стрелка Пирса: х | у = ху + х + у +1.
При автоморфизме полная система переходит в полную же систему, и в частности полная функция - в полную. Отображение, переводящее функцию в двойственную, является автоморфизмом. Неподвижные элементы этого автоморфизма (самодвойственные функции) неполные. Поэтому множество полных функций распадается на два класса двойственных друг другу функций. В рассматриваемом случае классы эти одноэлементные: функции Шеффера и Пирса двойственны друг другу.
Пусть У(х, у, г) = аохуг + а1ху + а2хг + а3уг + а4х + а5у + а6г + 1 - булева функция
с неопределенными пока коэффициентами ао, а1, а2, а3, а4, а5, а6.
Двойственная для У(х, у, г) функция имеет вид:
У* (х, у, г) = У (х + 1, у + 1, г + 1) + 1 = аохуг + аб + ао + а1х + а1у+
+а2х + а2г + азу + азг + а4х + а5у + абг + аох + аоу + аог + а1+
+а2 + аз + а4 + а5 + аоуг + ао ху + аохг + а2хг + а1ху + азуг =
= а3 + а1 + а2 + ао + а6 + а4 + а5 + (а1 + а2 + а4 + ао ) х + (а1 + а3 + ао + а5 ) у+
+(аз + аб + а2 + ао)г + аохуг + (ао + а1)ху + (ао + а2)хг + (ао + аз)уг.
Найдем разность
Л(х, у, г) = / (х,у, г) - /*(х, у, г) = («¡х + а2х + аох) + (аоу + азу + а1у) + (аог + азг + а2г}+
+аоуг + аоху + аохх + (1 + аб + ао + «1 + «2 + аз + а4 + «5) •
Функция /(х, у) будет самодвойственной (и соответственно неполной) тогда и только тогда, когда коэффициенты ао, аь а2, ао ее полинома Жегалкина являются решениями системы уравнений
ао + а1 + а2 = о, ао + а1 + а3 = о,
< ао + а2 + а3 = о,
ао = о,
ао + а1 + а2 + аз + а4 + а5 + а^ + 1 = о.
Найдем общее решение этой системы:
(ао = о,
а1 = 1 + а4 + а5 + аб,
а2 = 1 + а4 + а5 + аб,
аз = 1 + а4 + а5 + аб,
где а4, а5, а6 - свободные переменные; а5, а4, а6 €{0, 1}}.
Таким образом, если функция /(х, у, г) - самодвойственная (и следовательно, неполная), то она имеет полином Жегалкина вида
(1 + а4 + а5 + аб)ху + (1 + а4 + а5 + аб)хг + (1 + а4 + а5 + аб)уг + а4х + а5у + абг + 1. Разместим все восемь получившихся самодвойственных функций в таблицу:
Таблица 2
Свободные переменные Полиномы Жегалкина
a4 as aб (1 + a4 + as + aб)xy + (1 + a4 + as + aб)xy+ (1 + a4 + as + aб)yz + a4x + asy + aбz + 1
O O O xy + xz + yz + 1
O O l z+l
O l O x+l
O l l xy + xz + yz + x + z+l
l O O y+l
l O l xy + xz + yz + y + z+l
l l O xy + xz + yz + x + y+l
l l l x + y + z+l
Все остальные функции, не сохраняющие ни ноль, ни единицу, являются несамодвойственными и поэтому полными. Число функций от трех переменных, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, составляет 26 = 64, восемь из них неполные, каждая из остальных 56 функций с помощью суперпозиций порождает всю алгебру булевых
функций. От трех переменных х, у, г можно построить три функции Шеффера, три функции Пирса и два их обобщения:
х V у, х V г, у V г, х&у, х&г, у&г, х V у V г, х&у&г.
Таким образом, в точности 48 функций от трех переменных не являются функциями Шеффера и Пирса или их обобщениями. Выясним, например, является ли полной функция
я(х, у, г) = ху + хг + х + у + г + 1.
Эта функция нелинейна, в своем полиноме Жегалкина имеет единичный свободный член и четное число одночленов, и этой функции нет в таблице самодвойственных функций. Следовательно, функция я(х, у, г) образует полную систему. Отметим, что полной будет любая функция от трех переменных, имеющая полином Жегалки-на с четным числом одночленов, один из которых равен единице, и содержащая одночлен хуг или одночлены аху,Ьхг с уг, у которых коэффициенты а, Ь, с различны.
Рассмотрим теперь функции от четырех переменных. Найдем сначала все самодвойственные функции от четырех переменных, не сохраняющих ни нуль, ни единицу. Пусть
/ (х, у, г, г) = аохуг? + а1хуг + а2ху? + аз х?г + а4уг? + а5ху + абхг+
+а7уг + авхг + аду? + аюгг + ацх + а^у + а1зг + а^г + 1
- булева функция с неопределенными коэффициентами ао, аь аз,... , ам. Функция /*, двойственная для /, имеет вид:
/* (х, у, г, г) = / (х + 1, у + 1, г + 1, г + 1) + 1 =
= ао(х + 1 )(у + 1)(г + 1 )(г + 1) + а1 (х + 1 )(у + 1)(г + 1)+ +а2(х + 1 )(у +1 )(г + 1) + аз (х + 1)(? + 1)(г + 1) + а4(у + 1)(г +1)(? + 1) + а5(х + 1 )(у + 1)+ +аб(х + 1)(г + 1) + а7 (у + 1)(г + 1) + а8(х + 1)(? + 1) + а9 (у + 1)(? + 1) + аю (г + 1)(? + 1)+ +ац(х + 1) + а12(у + 1) + а1з(г + 1) + а14(г + 1) + 1 =
= аохуг + аохуг + аохг? + аоуг? + аог? + а1хуг + а2ху? + азх?г+
+а4угг + а12у + ацх + аохуг? + а5ху + абхг + а7уг + аоуг + авхг+
+а9у? + а1ог? + а1ху + а1хг + а1уг + а2ху + а2х? + а2у? + азх? + азхг+
+азгг + а4уг + а4у? + а4г? + а1зг + а14? + аох + ао у + аог+
+аог + а1х + а1у + а1г + а2х + а2у + а2г + азх + азг + азг + а4у+
+а4г + а4г + а5х + а5у + а6х + а6г + а7у + а7г + а8х + а8г + а9у + а9г+
+аюг + аю? + аох? + аохг + ао + а1 + а2 + аз + а4 + а5 + аб+
+а7 + а8 + а9 + аю + ац + а12 + а1з + а14 + аоху + аоуг =
= (а4 + ао)уг? + (ао + а2)ху? + (ао + аз)хг? + (а1 + ао)хуг + аохуг?+
+(ац + а2 + ао + а5 + а1 + а8 + аз + аб)х + (а4 + а2 + а9 + а12 + а5 + ао + а7 + а1 )у+
+ (аю + а4 + а1з + а7 + аз + аб + ао + а1 )г + (а2 + а14 + а8 + аз + ао + аю + а4 + ад)?+
ll
+(а2 + а5 + ао + а1 )ху + (аб + аз + а1 + ао)хг + (а1 + а4 + ао + а7)уг+
+ (аз + ао + а8 + а2 )х? + (ао + а9 + а2 + а4)у? + (аз + а4 + аю + ао)г? + ао+
+(а1 + а2 + аз + а4 + а5 + аб + а7 + а8 + а9 + аю + ац + а12 + а1з + а14). Вычислим полином Жегалкина для функции /1(х,у,г,г) = /(х,у,г,г) — /*(х,у,г,г):
/1 (х, у, г, г) = 1 + ао хуг + ао хуг + аохгг + аоугг + аогг+
+аоуг + а1ху + а1хг + а1уг + а2ху + а2хг + а2уг + азхг + азхг + азгг + а4уг+
+а4уг + а4гг + аох + аоу + аог + аог + а1х + а1у + а1г + а2х + а2у + а2г + азх+
+азг + азг + а4у + а4г + а4г + а5х + а5у + абх + абг + а7у + а7г + а8х+
+а8^ + ад у + адг + аюг + аюг + аохг + аохг + ао + а1 + а2 + аз + а4 + а5 + аб+
+а7 + а8 + ад + аю + ап + а12 + а1з + а14 + аоху + аоуг =
= аохуг + аохуг + аохгг + аоугг + (а2 + ао + а1 )ху+
+ (аз + а1 + ао )хг + (ао + а4 + а1)уг + (а2 + аз + ао)хг + (а2 + ао + а4)уг+
+ (а4 + аз + ао)гг + (аз + а2 + ао + а1+
+аб + а8 + а5)х + (ао + ад + а1 + а7 + а4 + а5 + а2)у+
+ (аю + аз + ао + а1 + аб + а7 + а4)г + (а2 + аз + а8 + аю + ад + а4 + ао)г+
+ (ао + а1 + а2 + аз + а4 + а5 + аб + а7 + а8 + ад + аю + ап + а12 + а1з + а14 + 1).
Функция /(х,у,г,г) будет самодвойственной тогда и только тогда, когда все коэффициенты у многочлена /1 (х,у,г,г) нулевые. Множество решений системы уравнений
{ао = о, а2 + ао + а1 = о, аз + а1 + ао = о, ао + а4 + а1 = о, а2 + аз + ао = о, а2 + ао + а4 = о,
а4 + аз + ао = о, аз + а2 + ао + а1 + аб + а8 + а5 = о, ао + ад + а1 + а7 + а4 + а5 + а2 = о,
аю + аз + ао + а1 + аб + а7 + а4 = о, а2 + аз + а8 + аю + ад + а4 + ао = о,
ао + а1 + а2 + аз + а4 + а5 + аб + а7 + а8 + ад + аю + ап + а12 + а1з + а14 + 1 = о} имеет вид:
{(о, а5 + а8 + а^ а5 + а8 + а^ а5 + а8 + а^ а5 + а8 + а^ а5, а^ а8, а8, а^ а5,
1 + а12 + а1з + а14, а12, а1з, а14) | а5, а8, а^ а12, а1з, а14 € {о, 1}}.
Переменные а5, а8, а^ а12, а1з, а14 - свободные; число различных наборов свободных переменных составляет 2б = 64. Поэтому число самодвойственных функций, не сохраняющих ни нуль, ни единицу равно 64. Каждая такая функция представима в виде
(а5 + а8 + ад)хуг + (а5 + а8 + ад)хуг + (а5 + а8 + ад)хгг + (а5 + а8 + ад)угг+
+а5ху + адхг + а8уг + а8хг + адуг + а5гг + (1 + а12 + ав + а14)х+ (1)
+а12у + а1зг + а^г + 1.
Итак, из 65 536 функций от четырех переменных 214 =16 384 функции не сохраняют ни нуль, ни единицу, а среди них в точности 64 самодвойственных (и одновременно линейных) функций. Это значит, что число полных функций от четырех переменных составляет 16 384 - 64 = 16 320.
Если полином Жегалкина функции от четырех переменных имеет единичный свободный член, четное число одночленов и не имеет вид (1), то такая функция полная.
Например, функция s(x,y,z,t) = xyzt + xyz + z + 1 обладает всеми этими свойствами и, следовательно, s(x,y,z,t) - полная. Вообще любая функция с четным числом одночленов и единичным свободным членом, содержащая одночлен четвертой степени (или число одночленов третьей степени, отличное от нуля и четырех), заведомо будет полной.
Исследование полных функций от пяти переменных можно провести по той же методике. Запишем функцию от пяти переменных с единичным свободным членом в полиноме Жегалкина с неопределенными коэффициентами:
f (x, y, z, t, u) = a0 xyztu + a1yztu + a2xztu + a^ytu+
+a4xyzu + a5xyzt + a6ztu + a7xtu + a8ytu + a9xyz+
+a10xyu + a11yzt + a12yzu + a13xzt + a14xyt + a15xzu + a16xy+
+a17yz + a18xz + a19tu + a20zt + a21xu + a22xt + a23yu + a24zu + a25yt+
+a26x + а27У + a28z + a29t + азои + 1.
Вычислим двойственную f*(x,y,z, t, u) функцию для f(x,y,z,t, u) и приравняем коэффициенты разности f*(x, y, z, t, u) — f (x, y, z, t, u) к нулю. В результате получим систему уравнений для коэффициентов функции f (x, y, z, t, u):
{a0 = 0, a3 + a0 + a5 = 0, a0 + a5 = 0, a2 + a0 + a5 = 0, a5 + a0 + a1 = 0, a0 + a3 = 0, a0 + a2 = 0, a0 + a1 = 0, a1 + a3 + a0 = 0, a1 + a2 + a0 = 0, a3 + a2 + a0 = 0, a0 + аю + a15 + a12 + a4x + a8 + аб + a7 + a21 + аз + а2 + а1 + а24 + а2з + а19 = 0, а1б + а18 + а0 + а22 + аю + аз + а1з + а7 + а9 + а2 + а5 + а14 + а15 + а21 = 0, а12 + а14 + а1б + а0 + а1 + а25 + аз + а4x + а5 + а9 + а8 + ап + а2з + а17 + аю = 0, а1з + а15 + а17 + а0 + а1 + а24 + а2 + a4x + а5 + а9 + аб + а12 + а20 + а18 + ац = 0, а0 + а22 + а5 + а7 + а2 + а8 + аз + аб + а20 + а25 + а14 + а1з + ап + а1 + а19 = 0, а0 + а9 + аз + аю + а14 + а5 = 0, а9 + а1з + а15 + а5 + а0 + а2 = 0, ац + а5 + a4x + а12 + а1 + а0 + а9 = 0, аз + а14 + а0 + а2 + а7 + а1з + а5 = 0, ац + а0 + а14 + а8 + а1 + а5 + аз = 0, ац + а0 + а1з + аб + а1 + а5 + а2 = 0, аю + а15 + а7 + аз + а0 + а2 = 0, a4x + аю + а0 + а8 + а12 + а1 + аз = 0, a4x + а15 + а0 + аб + а12 + а1 + а2 = 0, а8 + а1 + аб + а7 + а0 + аз + а2 = 0, а0 + а1 + а2 + аз + a4x + а5 + аб + а7 + а8 + а9 + аю + ап + а12 + а1з + а14 + а15 + а1б+ +а17 + а18 + а19 + а20 + а21 + а22 + а2з + а24 + а25 + а2б + а27 + а28 + а29 + аз0 + 1 = 0}.
Эта система равносильна системе {ао = о, а1 = о, а1о = о, а11 = о, а12 = а4, а1з = о, а14 = о, а15 = о, а1б = а25 + а24 + а22,
а17 = а24 + а22 + а2з, а18 = а21 + а25 + а24, а^ = а21 + а24 + а2з, а2 = о,
а2о = а22 + а25 + а21 + а24 + а2з, а21 = а21, а22 = а22, а2з = а2з, а24 = а24, а25 = а25, а2б = 1 + а27 + а28 + а2д + азо, а27 = а27, а28 = а28, а2д = а2д, аз = о, азо = азо, а4 = а4, а5 = о, аб = о, а7 = о, а8 = о, ад = о}.
Следовательно, десять неизвестных: а4, а21, а22, а2з, а24, а25, а27, а28, а2^ азо, являются свободными, и число самодвойственных функций от пяти переменных, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, составляет 2^ = 1 024. Таким образом, среди всех 4 294 967 296 функций от пяти переменных содержится 22 —2 — 1 о24 = 2з° —
1 о24 =1 073 740 800 полных функций.
Функция от пяти переменных полна, если ее полином Жегалкина имеет четное число одночленов, единичный свободный член и ее нельзя представить в виде
/ (х, у, г, г, и) = (а22 + а25 + а21 + а24 + а2з)гг + а21 хм + а22хг + а2зуи + а24ги + а25уг + а28г+
+а2дг + азом + а27у + а4хугм + а4угм + (1 + а27 + а28 + а2д + азо)х + (а21 + а24 + а2з)гм+ +(а24 + а22 + а2з)уг + (а25 + а24 + а22)ху + (а21 + а25 + а24)хг + 1,
где а21, а22, а2з, а24, а25, а27, а28, а2д, азо, а4 принадлежат множеству {0, 1}.
Например, любая функция с четным числом одночленов и единичным свободным членом в полиноме Жегалкина, содержащая одночлен пятой степени, будет полной.
Подведем первые итоги. Обозначим символом ПП(п) плотность п-полноты, т. е. отношения числа полных функций от п переменных к числу всех функций от п переменных. Предыдущие вычисления показали, что
ПП(2) = 0,125; ПП(3) = 0,2187500000;
ПП(4) = 0,2490234375; ПП(5) = 0,2499997616.
Даже из этого небольшого числа примеров видно, что с увеличением п число ПП(п) приближается к одной четверти всех функций. Покажем, что это свойство сохранится при увеличении числа п.
Асимптотическое число полных функций от п переменных
Во всех случаях вычисления числа ПП(п) при п < 5 использовался тот простой факт, что если /(х1, х2, ... , хп) - полная функция, то
/(о,о,...,о) = 1 и /(1,1,..., 1) = о,
а это означало, в частности, что / к тому же и немонотонна.
Оставшиеся 2й - 2 строк таблицы значений для функции /(хі, Х2, ... , хй) могут быть заполнены 22 —2 различными способами. Из этих 22 —2 функций все функции, не являющиеся линейными или самодвойственными, будут полными. Таким образом, получается оценка сверху для ПП(и):
22й-2 1
ПП (й) < = 4 .
Уберем теперь из множества функций, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, все самодвойственные (одновременно будут удалены и все линейные функции).
Пусть g - функция от и переменных, не сохраняющая ни нуль, ни единицу и принимающая значение 0 в точности столько же раз, сколько и значение 1. Чтобы задать таблицу значений для g достаточно ровно половину 2й — 2 строк таблицы заполнить единицами. Следовательно, число функций g с перечисленными свойствами
равно числу ^--2--j —элементных подмножеств множества, состоящего из 2й — 2 элементов. Таким образом, число самодвойственных функций, не сохраняющих ни 0, ни 1, не превышает числа
С2и—і —і =_________(2й — 2)!___________
2"—2 (2й—1)! ((2й — 2) — (2й—1 — 1))!'
Число всех функций от йпеременных, не сохраняющих ни нуль, ни единицу, равно
22 —2, поэтому число полных функций от й переменных не меньше числа
22й—2 (2й — 2)!
(2й-1 - 1)! (2й - 2й-1 - 1)1’
Таким образом, получаем оценку относительной плотности ПП(й) снизу:
22й-2_________(2й-2)!
ПП (й) > ____________(2й-1-1)!(2й-2й-1-1)^ 1 (2й - 2)!
22и 4 (2и—1 — 1)! (2и — 2и—1 — 1)!. 22и
_1 — (2и)! ■ 2и _1 /1 (2и)! ■ 2и
Т + ! I ! “ Г ""ö ГГ “7+1 7~
4 4. (2й-1 - 1) ■ ((2й-1)!)2 ■ 22й 4 у 4 (2й-1 - 1)((2Й-1)!)2 ■ 22й
При й ^ ^ второе слагаемое стремится к нулю. Действительно,
(2й)! л/2П^2Й ■ (2Й)(2Й) ■ е-2Й
lim--------—-------= lim —
((2и—1)!)2■22и и—.^т^Г ,„и-пР”-1»
V2n■ 2и—1 ■ (2и—т)' ' ■ е—2”-М ■ 22¡
2
(2И)П 2П 1
= lim----------------------т---------= lim —-,---г- = lim —и = 0.
И—У« f (2И—1 ) \ 2 _____ И—°о '-)(и2и+ 2 ) и—« 22
Ч2и-1)(2 М ■ .2й■ 22и 2( 2) 2
Полученный результат означает, что при увеличении числа й число полных функций от й переменных приближается снизу к числу 2(2й)-2. Вместе с верхней границей
для плотности полноты ПП (n) < 4 получаем точную асимптотическую оценку для ПП(п):
lim ПП (n) = 1.
П——00 4
Литература
1. Жегалкин И.И. О технике вычисления предложений в символической логике // Матем. сб. -1927. - №1(34). - C. 45-52.
2. PEIRCE Ch. S. Collected papers // Cambridge, Harvard univ. press, 1958. - Vol. 8.
3. Горюшкин А.П. О группах с представлением <a, b; an = 1, ab = b3a3 > // Вестник КРАУНЦ, Сер. Физ.-мат. науки. - 2010. - №1(1). - С. 8-11.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 28.03.11
