CC BY
22
ISSN 1998-4812
833
УДК 517.984.54
раздел МАТЕМАТИКА и МЕХАНИКА
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПОЛИНОМА В КРАЕВОМ УСЛОВИИ ЗАДАЧИ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ
© А. М. Ахтямов12, Р. Р. Кумушбаев1*
1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.
2Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.
Тел./факс: +7 (347) 235 52 55.
*ЕтаИ: kumushbaevr@gmail.com
При решении прикладных задач математической физики возникают как прямые, так и обратные задачи Штурма-Лиувилля с полиномиальным вхождением параметра в краевыхусло-виях. Обратные задачи состоят в определении потенциала в дифференциальном уравнении или полиномов в краевых условиях. Для идентификации потенциала (и полиномов) в качестве спектральных данных используется несколько спектров, спектральная функция, функция Вейля и т.п. Т.е. спектральные данные содержат в себе гораздо больше информации, чем (один) спектр краевой задачи. В задачах же идентификации только полиномов от спектрального параметра, которые входят в краевые условия, одного спектра, как правило, бывает достаточно. В настоящей работе доказана теорема об однозначности идентификации одного из полиномов от спектрального параметра, входящих в краевые условия задачи Штурма-Лиувилля, по собственным значениям краевой задачи. Предполагается, что задача Штурма-Лиувилля может содержать переменный потенциал. При доказательстве используются асимптотические формулы для фундаментальной системы решений уравнения Штурма-Лиувилля. Найден также метод решения задачи идентификации полинома от спектрального параметра по конечному набору собственных значений. Приведены примеры решения задачи об однозначной идентификации полинома как для задач Штурма-Лиувилля с симметрическим потенциалом, так и с несимметрическим потенциалом.
Ключевые слова: полином, собственные значения, краевые условия, характеристический
определитель.
При решении многих прикладных задач математической физики возникают спектральные задачи с полиномиальным вхождением параметра в краевых условиях [1, 2], а также задачи с оператором в краевых условиях [3]. В соответствующих обратных задачах по известным спектрам восстанавливаются неизвестные коэффициенты в уравнении и краевых условиях [4-10]. Решались и некоторые задачи идентификации полиномов в краевом условии. Так, например, в работе [11] было показано, что произвольный полином от спектрального параметра из краевого условия однозначно определяется по конечному набору собственных значений. В [12] восстанавливался неизвестный полином степени т в нераспадающихся краевых условиях по т + 1 ненулевым попарно различным собственным значениям. Однако, собственные значения в работе [12] предполагались простыми. В работе [13] рассматривался случай, когда нулевое собственное значение является кратным. В этом случае для идентификации полинома используется меньшее число собственных значений (< т). А в [14] было показано, что для восстановления такого полинома достаточно одного собственного значения, если оно имеет кратность, не меньшую т + 1. В настоящей работе доказывается единственность восстановления полинома из краевого условия с помощью асимптотических формул.
Рассмотрим две спектральные задачи, отличающиеся лишь коэффициентом а24(Л):
(1) (2)
у" + q(x)y = Äy = s2y, Ui(y) = a11(Ä)y'(0) + а12(Х)у(0) +
+a13(Ä)y'(l) + a14(Ä)y(0) = 0, Щ(У) = O2i(X)y'(0) + O22(X)y(0) +
+ 023(Х)У'(Х) + O24(X)y(0) = 0,
(3)
(4)
(5)
■ у" + ц(х)у = Ху = Б2 у, ^(у) = ац(А)у'(0) + а^АЖО) +
+а13(Л)у'(1) + а14(Л)у(0) = 0, ЩЬ) = а21(Х)у'(0) + а22(Л)у(0) + +а23(Л)у'(1) + а24(Л)у(0) = 0, (6)
где Я - спектральный параметр; ц(х) - суммируемая функция; у = у(х,Л) Е С2[0,1],х Е [0,1]; функции ац(Х),а24(Х)(1 = 1,2; ] = 1,2,3,4) - непрерывно дифференцируемые функции по Я.
Обозначим через А,А1 матрицы, составленные из полиномов краевого условия задач (1) - (3), (4) -(6) соответственно:
<ац(А) а12(Л)а13(Л) ам(Я)\ \а21(Х) а22(Л) а.2з(Л) а24(Л)) (<2^(1) а12(Х)а1з(Х) ам(Я)\
а24(Л))
А
А-
=с
и
=с
и
42V4 а1э(
а22&) a2sW
Везде далее будем считать, что выполнено следующее условие:
гапк(А) = гапк(А1) = 2.
и
(7)
Пусть Afc,Afc (fc = 1,2,...) - известные собственные значения краевых задач (1)-(3) и (4)-(6) соответственно, которые совпадают с учетом их алгебраических кратностей Afc = Afc.
Требуется доказать, что полиномы а24(Я) и а24(А) из задач (1)-(3) и (4)-(6) тождественно совпадают.
Справедлива следующая теорема: Теорема. Пусть собственные значения краевых задач (1)-(3) и (4)-(6) совпадают с учетом их алгебраических кратностей Afc = Afc и выполнены следующие условия:
полином аХ1(А) старше полиномов а1;(А)(/ = 2,3,4);
полином а22(Я) старше полиномов а2ДЯ)(/ = 1,3,4);
гап^(Л) = гап^(Л1) = 2. Тогда краевые задачи (1)-(3) и (4)-(6) также совпадают, т.е. а24(Я) = а24(Я).
Доказательство. Докажем сначала, что если выполнены условия 1) и 2), то полином а24 (Я) определяется однозначно.
Пусть у1 (х, Я) и у2 (х, Я) линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) и (5), которые удовлетворяют в точке х = 0 следующим условиям
У1(0,Я) = 1, У2(0,Я) = 0,
у1(0,я) = о, у2(0,я) = 1.
Тогда справедливы следующие асимптотические формулы:
11 у1(х,Я) = cossx + — u(x) sinsx + О (—),
1 1 /1\
у2(х,Я) = — sinsx--7U(X) cossx + О (—),
s s2 Vs-V
у1(х,Я) = —s sin sx + u(x) cos sx + О (—),
1 /1\ у2(х,Я) = cossx + — u(x) sinsx + О (—),
1 rX
где u(x) = - J q(t)dt для Я 6 R и Я достаточно
большого [15. с. 62-65].
Собственные значения задачи (1)-(3) являются корнями характеристического определителя
причем алгебраическая кратность собственного значения совпадает с кратностью корня характеристического определителя Д(Я) [15. с. 29]. Вычислив определитель (8), получим Д(Я) = (012(A) + а1з(Я)у1(1,Я) +
+а14(Я)У1(1,Я))(а21(Я) + +^2з(Я)у2(1,Я) + а24(Я)у2(1,Я)) — — (ац(Я) + а1з(Я)у2(1,Я) + +а14(Я)У2(1,Я))(а22(Я) + +а2з(Я)у1(1,Я) + а24(Я)у1(1,Я)), (9)
Подставив в (9) решения у1 (х, Я), у2 (х, Я) на их асимптотические формулы, получим:
Д(Я) = —а24(Я)[ац(Я)/2(Я) — -а!2(Я)/з(Я) + а1з(Я)/6(Я)] +
Д(Я) =
= 0,
(8)
+ [«12(Я)а21(Я) - ац(Я)а22(Я)]/1(Я) +
+«14(Я)а21(Я)/2(Я) - «14(Я)а22(Я)/з(Я) +
+ [а21(Я)а1з(Я) - ац(Я)а2з(Я)]/4(Я) + + [«12(Я)а2з(Я) - а1з(Я)а22(Я)]/5(Я) +
+а14(Я)а2з(Я)/6(Я) = 0, (10)
где
Д(Л) = 1, /2(A)=yiaA) = coss + o(-),
/з№ = У2(1,А) = ^sins + О (-2), /4(Я) = у1(1,Я) = -s sins + О (1), /5(я) = у2(1,я) = с055 + о(1),
/б(Я) = У1(1,Я)У2(1,Я) - У1(1,Я)У2(1,Я) =1+0(1).
Такое же представление будет, очевидно, и для характеристического определителя Д(Я) задачи (4)—6): Д(Я) = -a24(A)[aii(A)/2(A) --й12(я)/З(я) + «1з(Я)/б(Я)] + + [ai2(A)«2i(A) - ац(Я)а22(Я)]/1(Я) +
+«14(Я)а21(Я)/2(Я) - «14(Я)а22(Я)/з(Я) +
+ [a2i(A)«i3(A) - а11(Я)а2з(Я)]/4(Я) + + [а12(А)^2з(Я) - а1з(Я)а22(Я)]/5(Я) +
+а14(Я)а2з(Я)/б(Я) = 0, (11)
Поскольку собственные значения задач (1)-(3) и (4)-(6) совпадают с учетом их кратностей и Д(Я),Д(Я) являются целыми функциями порядка 1, то по теореме Адамара следует, что они определяются по своим нулям с точностью до множителя С Ф 0. Следовательно, функции Д(Я) и Д(Я) связаны следующим тождеством
Д(Я) = СД(Я), где С - некоторая ненулевая константа. Отсюда следует,
Д(Я) - СД(Я) = [СЙ24(А) - 024(A)] X х [ац(Я)/2(Я) - а12(А)/з(А) + +а1з(А)/б(А)] + [1 - С] х
х [а12(А)а21(Я) — ац(Я)а22(Я)] х х А(А) + [1 — С]о14(А)а21(А)/2(А) — — [1 —С]а14(Я)а22(Я)/з(Я) +
+ [1 — С][а21(А)а1з(А) — ац(А)а2з(А)]/4(А) + [1 — С]х
— /
х [а12(Я)а2з(Я) - а1з(Я)а22(Я)]/5(Я) +
+ [1-СИ4(Я)а2з(Я)/б(Я) = 0, (12)
Из асимптотических представлений для функции /¿(Я), где I = 1, ...,6 следует, что они образуют систему линейно независимых, причем /1(Я) = /6(Я).
Это следует из формулы Лиувилля [16, с. 95] для определителя Вронского в точках х = 0 и х = 1 соответственно: У1(0,Я)У2(0,Я) - У1(0,Я)У2(0,Я) = 1 = Ж(0,Я) У1(1,А)У2(1,А) - У1(1,А)У2(1,А) = 1 = Ж(1,А) Функции /2 (Я) и /5 (Я) могут быть линейно зависимыми, а могут быть линейно независимыми за
счет последующих членов разложения О (см.
ISSN 1998-4812
Вестник Башкирского университета. 2016. Т. 21. №4
835
Лемму 4 [17]). В любом случае из (12) и линейной независимости соответствующих функций получаем:
[С&24(Л) - а.24(Х)] х х [а--(Л) - а12(Х) + а-з(Л)] = 0 (13) [1 - С][а12(Л)а21(Л) - а.11(Х)а22Ш +
+а14(Х)а2Ъ(Х)] = 0 (14)
[1 - С][а12(Х)а2з(Л) - а-з(Л)а22(Л) +
+а14(Х)а21(Х)] = 0. (15)
[1 - С]а14(Л)а22(Л) = 0. (16)
[1 - С][а21(Л)а1з(Х) - ац&^зт = 0.(17) Поскольку старшая степень полинома а11(Х) больше старших степеней а12 (Л) и а13 (Л), а старшая степень полинома а22(Л) больше старших степеней полиномов а2^(Л) ( = 1,3,4), то и (13)—(17) следует, что С = 1 и (а11(Л) - а12(Л) + а13(Л)) Ф 0. Тогда из уравнения (13) получаем, что а24(Л) = а24(Л). Что и требовалось доказать.
Таким образом, если собственные значения задачи (1)-(3) и (4)-(6) совпадают с учетом их алгебраических кратностей и степени полиномов а11(Л),а22(Л) больше остальных, то неизвестный полином а24(Л) из краевого условия (3) определяется однозначно. На практике для восстановления полинома нет необходимости в знании всех собственных значений. Для однозначной идентификации достаточно знания конечного числа собственных значений. Метод решения задачи идентификации полинома основан на сведении задачи идентификации полинома к решению системы линейных уравнений. Этот метод ниже продемонстрирован на решении двух примеров для задач идентификации полинома по конечному набору собственных значений. Первый пример - для задачи Штурма-Ли-увилля с симметрическим потенциалом (ц(х) = 0), второй - для задачи Штурма-Лиувилля с несимметрическим потенциалом (д(х) = 1 + 2х).
Пример 1: Рассмотрим следующую краевую задачу
- у" =Лу = Б2у, у'(0) + у(0)
= 0,у'(1) + а24(Л)у(1) = 0, где а24(Х) = а240 + а241Л + а242Л2. Пусть требуется восстановить коэффициенты полинома а24(Л) по известным собственным значениям 50 = 4.0984, б1 = 7.4833, б2 = 10.7292.
Характеристический определитель данной системы имеет следующий вид:
тпЯ
^(Х) = cosЛ +ЛsinЛ +а24(Х) -
Подставив известные собственные значения в характеристический определитель получим систему линейных однородных уравнений:
(-3.9261 + 0.3766а240 + 1.5437а241 + +6.3269а242 = 0 7.3373 - 0.2377а240 - 1.7786а241 -
cosЛ
= 0.
-13.3101а242 = 0 10.614 + 0.1733а240 + 1.8595а241 +19.952а242 = 0.
+
Эта система линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение: а240 = 1, а241 = -, а242 = Следовательно,
42
искомый полином имеет следующий вид:
11 а24(Л) = 1+-Л + -Л2.
Пример 2: Рассмотрим спектральную задачу следующего вида:
- у" + (1 + 2х)у = Лу = Б2у, (18)
у'(0) + у(1) = 0,
У'(1) + 024(Л)У(1) = 0,
где а.24(Л)
= а240 + а241^ + а242^-2.
(19)
(20) Пусть s0 =
3.9243, б1 = 24.1465, з2 = 63.6589 известные собственные значения задачи (18) - (20). Требуется определить неизвестные коэффициенты полинома
й24(Л).
Характеристический определитель задачи (18) - (20) имеет следующий вид:
у'(1Л)
а2
Разложив функции у1 (х, Л) и у2 (х, Л) в ряд Тейлора по х и по Л в предыдущем равенстве, получаем следующий характеристический определитель Д(Я): Д(Я) = -3.6698 - 1.5102 • Л - 4.8596 • Л2 +
Л(А) = У1(1,ЛШ1,Л) - у'(1,Л)у2(1,Л) ¿24(*)У1(1Л) = 0.
+1.9059 • Л3 - 0.1469 • Л4 + 0.0047 • я5-
-0.8208 • 10-4 Л6 + 8.9741 • 10 -7 • я7-
-6.7205 •10-9 • Я8 + 3.6606 10- 11 • я9-
-1.5149 • 10-13 • Л10 + 4.9238 • 10 16 л11-
-1.2899 • 10-18 • Я12 + 2.7817 • 10 21 л13 -
-5.0237 • 10-24 • Л14 + 7.7075 • 10 27 л15-
-1.0171 • 10-29 • Л16 + 1.1667 • 10 32 • л17-
-1.1739 • 10-35 • Я18 + 1.0445 • 10 28 л19-
-8.2762 • 10-42 • Л20 + 5.7513 • 10 -45 я21 -
-7.6216 • 10-50 • Я22 - 3.1809 • 10 -51 я23 +
+ 6.4106 • 10-53 • Я24 - 6.1246 • 10 -55 я25 -
3.7601 • 10-57 • Я26 + R26.
Как видно из последнего равенства, характеристический определитель, начиная с четвертого члена Д(Я) представляет собой знакочередующийся числовой ряд относительно Л. Обрываем ряд на члене со степенью Я26. По признаку Лейбница о сходимости знакочередующегося ряда следует, что остаток сходимости числового ряда меньше (п + 1) -го его члена (|Д„| < |5 - 5„| < аи+1). «Оборвав» ряд для Д(Я) на члене со степенью Я26, получим, что остаток ряда для первых собственных значений пренебрежимо мал (например, |Д26| < 10-10 для собственного значения б2 = 63.6589)
Подставив первые три собственных значений краевой задачи в сумму первых 27 членов ряда для характеристического определителя Ь(Х), получим следующую линейную систему из трех уравнений: - 2.3922 - 0.0434а240 - 0.1705а241 -
-0.6692а242 = 0, -3.7038 - 0.0021а240 + 0.0497а241 +
+1.2007а242 = 0, 8.8518 - 0.0007а240 - 0.0458а241 -2.9198а242 = 0
Эта система линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными имеет единственное ненулевое решение: а240 = 1, а241 = 2,а242 = 3. Таким образом, искомый полином а24(Я) = 1 + 2 Я + 3Я2.
«Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №16-31-00113 мол_а, 15-01-01095_а, 14-01-97010-р_поволжье_а)».
ЛИТЕРАТУРА
1. Шкаликов А. А. Краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в граничных условиях // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1983. .№9. С. 190-229.
2. Капустин Н. Ю., Моисеев Е. И. О спектральных задачах со спектральным параметром в граничном условии // Дифференциальные уравнения. 1997. Т. 33. №»1. С. 115-119.
3. Mirzoev S. S., AlievA. R., RustamovaL. A. On the Boundary Value Problem with the Operator in Boundary Conditions for the Operator-Differential Equation of Second Order with Dis-continous Coefficients // Журн. матем. физ., анал., геом. 2013. Vol. 9, Вып.2. C. 207-226.
4. Nabiev I. M., Shukurov A. Sh., Properties of the spectrum and uniqueness of reconstruction of Sturm-Liouville operator with a spectral parameter in the boundarycondition // Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan. Vol. 40. Special Issue. PP. 332-341.
5. Mamedov Kh. R., Cetinkaya F. Inverse problem for a class of Sturm-Liouville operator with spectral parameter in boundary condition // Bound. Value Probl. 2013, Article ID 183, 16 p., electronic only. http://link.springer.com/journal/volumesAn-dIssues/13661
6. Мамедов Х. Р., Об одной краевой задаче со спектральным параметром в граничных условиях // Сиб. мат. журн. 1999. Т.40. Вып. 2. С. 281-290.
7. Panakhov E. S., Koyunbakan H., Reconstruction formula for the potential function of Sturm-Liouville problem with
eigenparameter boundary condition // Inverse Problems in Science and Engineering. 2010. Vol. 18, No. 1. P.173-180.
8. Ван Дер Мей К., Пивоварчик В. Н. Обратная задача Штурма-Лиувилля с зависящими от спектрального параметра краевыми условиями // Функц. анализ и его приложения. 2002. Т. 36.
9. Ахтямова А. А., Ахтямов А. М. Об однозначности идентификации сосредоточенности инерционного элемента на одном из концов стержня // Вестник Башкирского университета. 2013. №1. С. 7.
10. Ахтямов А. М., Ямилов Л. С. Идентификация условий замыкания провода по собственным частотам колебаний напряжения переменного тока // Электромагнитные волны и электронные системы. 2006. Том 11. .№2-3. С. 15-17.
11. Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференциальные уравнения. 1999. Том 35. №8. С.1127-1128.
12. Ахтямов А. М., Кумушбаев Р. Р., Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях // Дифференциальные уравнения. 2012. Том 48, №10. С. 1549-1552.
13. Ахтямов А. М., Кумушбаев Р. Р., Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях в случае кратного нулевого собственного значения //Уфимский математический журнал. 2015. Том 7, №1. С.13-18.
14. Ахтямов А. М., Кумушбаев Р. Р., Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях по одному собственному значению // Дифференциальные уравнения. 2016. Том 52. №5. С. 692-695.
15. Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526c.
16. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. С. 576.
17. Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярными краевыми условиями // Математические заметки, 1975, том 18, вып. 4, С. 569-576.
18. Ахтямова А. А. , Ахтямов А. М. Об однозначности идентификации сосредоточенности инерционного элемента на одном из концов стержня // Вестник Башкирского университета. 2013. №1. С. 7.
Поступила в редакцию 27.10.2016 г.
ISSN 1998-4812
BecTHHK EamKHpcKoro yHHBepcHTeTa. 2016. T. 21. №4
837
IDENTIFICATION OF THE POLYNOMIAL IN THE BOUNDARY CONDITION OF STURM-LIOUVILLE PROBLEM
© A. M. Akhtyamov1'2, R. R. Kumushbaev1*
1Bashkir State University 32 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
2R. R. Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa Scientific Center, RAS 71 Oktyabrya Ave., 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.
Phone: +7 (347) 235 52 55.
*Email: kumushbaevr@gmail.com
The direct and inverse Sturm-Liouville problems with polynomial occurrence of a parameter in boundary conditions arise in process of solving applied problems of mathematical physics. The inverse problem means determining the potential in the differential equation or polynomials in the boundary conditions. To identify potential (and polynomials), such spectral data is used as multiple spectra, spectral function, the Weyl function etc. That spectral data contain far more information than the (single) spectrum of a boundary value problem. To identify only the polynomials of the spectral parameter that are included in the boundary conditions, one spectrum is enough. A theorem on uniqueness of identification of one of the polynomials of the spectral parameter that is a part of the boundary conditions of the problem of Sturm-Liouville problem by the eigenvalues of the boundary value problem is proved in this article. It is assumed that the Sturm-Liouville may contain a variable potential. The asymptotic formulas for a fundamental system of solutions of the Sturm-Liouville equation is used in justification. A method of solving the problem of the identification of the spectral polynomial by a finite set of eigenvalues spectral is found. Examples of solving the problem of uniqueness identification of the polynomial for the Sturm-Liouville problems with symmetric potential and asymmetric potential is given.
Keywords: polynomial, eigenvalue, boundary conditions, characteristic determinant.
Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.
REFERENCES
1. Shkalikov A. A. Trudy seminara im. I. G. Petrovskogo. 1983. No. 9. Pp. 190-229.
2. Kapustin N. Yu., Moiseev E. I. Differentsial'nye uravneniya. 1997. Vol. 33. No. 1. Pp. 115-119.
3. Mirzoev S. S., AlievA. R., RustamovaL. A. Zhurn. matem. fiz., anal., geom. 2013. Vol. 9, No. 2. Pp. 207-226.
4. Nabiev I. M., Shukurov A. Sh. Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, National Academy of Sciences of Azerbaijan. Vol. 40. Special Issue. PP. 332-341.
5. Mamedov Kh. R., Cetinkaya F. Bound. Value Probl. 2013, Article ID 183, 16 p., electronic only. http://link.springer.com/journal/vol-umesAndIssues/13661
6. Mamedov Kh. R. Sib. mat. zhurn. 1999. Vol. 40. No. 2. Pp. 281-290.
7. Panakhov E. S., Koyunbakan H. Inverse Problems in Science and Engineering. 2010. Vol. 18, No. 1. P.173-180.
8. Van Der Mei K., Pivovarchik V. N. Funkts. analiz i ego prilozheniya. 2002. Vol. 36.
9. Akhtyamova A. A., Akhtyamov A. M. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2013. No. 1. Pp. 7.
10. Akhtyamov A. M., Yamilov L. S. Elektromagnitnye volny i elektronnye sistemy. 2006. Vol. 11. No. 2-3. Pp. 15-17.
11. Akhtyamov A. M. Differentsial'nye uravneniya. 1999. Vol. 35. No. 8. Pp. 1127-1128.
12. Akhtyamov A. M., Kumushbaev R. R. Differentsial'nye uravneniya. 2012. Vol. 48, No. 10. Pp. 1549-1552.
13. Akhtyamov A. M., Kumushbaev R. R.Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2015. Vol. 7, No. 1. Pp. 13-18.
14. Akhtyamov A. M., Kumushbaev R. R. Differentsial'nye uravneniya. 2016. Vol. 52. No. 5. Pp. 692-695.
15. Naimark M. A. Lineinye differentsial'nye operatory [Linear differential operators]. Moscow: Nauka, 1969. 526c.
16. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym uravneniyam [Handbook on ordinary differential equations]. Moscow: Nauka, 1976. Pp. 576.
17. Yurko V. A. Matematicheskie zametki, 1975, tom 18, vyp. 4, Pp. 569-576.
18. Akhtyamova A. A., Akhtyamov A. M. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2013. No. 1. Pp. 7.
Received 27.10.2016.
