Восстановление двух полиномов от спектрального параметра, входящих в краевые условия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 534.112

ВОССТАНОВЛЕНИЕ ДВУХ ПОЛИНОМОВ ОТ СПЕКТРАЛЬНОГО ПАРАМЕТРА, ВХОДЯЩИХ В КРАЕВЫЕ УСЛОВИЯ

© А. М. Ахтямов1,2, Р. Р. Кумушбаев1*

1Башкирский государственный университет Россия, Республика Башкортостан, 450076 г. Уфа, ул. Заки Валиди, 32.

2Институт механики им. Р. Р. Мавлютова Уфимского научного центра РАН Россия, Республика Башкортостан, 450054 г. Уфа, пр. Октября, 71.

Тел./факс: +7 (347) 235 52 55.

*ЕтаИ: kumushbaevr@gmail.com

Во многих прикладных задачах математической физики часто возникает ситуация когда требуется определить неизвестные полиномы из краевого условия. Так, например, в работе [1] было показано, что произвольный полином от спектрального параметра из краевого условия однозначно определяется по конечному набору собственных значений. В [2] восстанавливался неизвестный полином степени т в нераспадающихся краевых условиях по (т + 1) ненулевым попарно различным собственным значениям. Однако, собственные значения в работе [2] предполагались простыми. В работе [3] рассматривался случай, когда нулевое собственное значение является кратным. В этом случае для идентификации полинома используется меньшее число собственных значений (<т). А в [4] было показано, что для восстановления такого полинома достаточно одного собственного значения, если оно имеет кратность, не меньшую (т + 1). В настоящей работе рассматривается задача восстановления двух неизвестных полиномов из краевого условия по известным собственным значениям соответствующей краевой задачи. Кроме того, доказано, что два неизвестных полинома входящих в краевые условия можно однозначно восстановить по конечному набору собственных значений. Приведены соответствующий метод восстановления, а также пример и контрпример.

Ключевые слова: полином, собственные значения, краевые условия, характеристический определитель.

Рассмотрим следующую спектральную задачу: - У" + ч(х)у = Ху = Б2у, (1)

и1(у)=у'(0)-а1(Х)у(0) = 0, (2) и2(у)=У(1) + а2(Х)у(1) = 0, (3) где Я — спектральный параметр; ц(х) — суммируемая функция; у = у(х,Х) Е С2[0,1],х Е [0,1]; функции а1 (X), а2 (X) являются полиномами следующего вида: а1(А) = а10 + а12Х2 + —+ а1кХ2к,

а2(Х) = a21Ä + a23Ä3 + --- + а2 2k+1Ä2k+1,

(4)

где к Е !+.

Наряду с задачей (1)-(3) рассмотрим еще одну подобную задачу:

— У" + Ч(Х)У = Ху = Б2у, (5)

и1(у)=у'(0) — а1(Л)у(0) = 0, (6) и2(у)=у'(1) + а2(Л)у(1) = 0, (7) где Я — спектральный параметр; ц(х) — суммируемая функция; у = у(х,Х) Е С2[0,1],х Е [0,1]; функции &1(Х), а2(Х) являются полиномами следующего вида:

(11(Я) = а10 + а12А2 + —+ &1кХ2к,

а2(Л) = &21Л + а23А3 + ••• + а2(к-1)А2к+1, (8)

где к Е 1+.

Пусть Ак,Ак (к = 1,2,...) - известные собственные значения краевых задач (1-3) и (5-7) соответственно, которые совпадают с учетом их алгебраических кратностей Хк = Ак. Требуется доказать равенства

а^Х) = &1(А), а2(Л) = а2(Л) .

Справедлива следующая теорема

Теорема. Пусть а1(Х), а2(Х) являются полиномами вида (4), а &1(Х), а2(Х) являются полиномами вида (8). Если собственные значения Ак = Ак задач (1-3) и (5-7) совпадают, то а1(Х) = cí1(X), а2(Х) = CÍ2(X).

Доказательство. Пусть y1 (х, X) и у1 (х, X) линейно независимые решения дифференциального уравнения (1) и (5), которые удовлетворяют в точке х = 0 следующим условиям

У1(0,А) = 1, У2(0,Х) = 0, у'(0,Х) = 0, у2(х,Л) = 1.

Тогда справедливы следующие асимптотические формулы:

11

у1(х,Х) = cossx + —и(х) sinsx + О ( —),

1 1 {1\

у2(х,Х) = — sinsx--ти(х) cossx + О (—-),

s s2 \S3J

у1(х,Л) = —s sin sx + и(х) cos sx + О (—),

1 /1\

у'2 (х, X) = cos sx + — и(х) sin sx + О (—),

1 rX

где и(х) =-J0 q(t)dt для XER и Я достаточно

большого [5, С. 62-65]. Собственные значения Хк задачи (1-3) являются корнями характеристического определителя

и1(У1) им

Щ(У1) U2&2) причем алгебраическая кратность собственного значения совпадает с кратностью корня характеристического определителя Д(Я) [5, с. 29].

Д(Я) =

= 0,

(9)

Поставив асимптотические формулы решения ух(х,Я), у2(х,Я) в (9), получим

Д(Я) = -а2(Л)Д(Л) - а^А^Я^Я) -/з(Я)-ах(Я)/4(Я), (10) где

/1(Я)=у1(1,Я) = С055 + 0(1),

/2Ш =У2(1,А) ^sins + oQ,

/3(Я) = у1(1,Я) = -s sins + О (1),

/4(Я) =у2(1,Я) =COSS + O(1).

Такое же представление будет, очевидно, и для характеристического определителя Д(Я) задачи (5-7)

Д(Я) = -C2(A)/I(A) - Й1(Я)а2(Я)/2(Я)

-/з(Я)-Й1(Я)/4(Я). (11)

— I

Поскольку собственные значения задач (1-3) и (5-7) совпадают с учетом их кратностей, и Д(Я),Д(Я) являются целыми функциями порядка 1,

то по теореме Адамара следует, что они определяются по своим нулям с точностью до множителя С Ф 0. Следовательно, функции Д(Я) и Д(Я) связаны следующим тождеством

Д(Я) = СД(Я), где С — некоторая ненулевая константа. Отсюда следует,

Д(Я) — СД(Я) = (а2(Я) — Са2(Я))/х(Я) + +/2 (Я) (ах (Я)а2 (Я) — СЙ! (Я)^ (Я)) (12) +/з(Я)[1 — С] + /4(А)К(Я) — Са1(А)] = 0. Из леммы 4 [6, С. 574] следует, что если ^(х) = ^(1 — х), то функции /1(Я) и /4(Я) линейно зависимы и /1(Я) = /4(Я), в противном случае (при х)) /1(А) Ф /4(Я) и они линейно независимы. Рассмотрим случай ^(х) = ^(1 — х). Тогда два слагаемых в (12) можно объединить:

СД(Я) — Д(Я) = [а2(Я) — Са2(Я) + а1(Я) — СЙ1(А)]/1(А) + +/2(Я)[а1(Я)а2(Я)— СЙ1(Я)а2(Я)] +

+/з(Я)[1 — С] = 0. (13)

Функции /1 (Я) и /2 (Я) полиномиально независимы. То есть для любых полиномов р1(Я),р2(Я) тождество р1(Я) • /1(А) + р2(Я) • /2(Я) = 0 выполняется тогда и только тогда, когда р1(Я) = р2(Я) = 0. Аналогично функции /1(А) и /3(Я) так же полиномиально независимы.

Кроме того, поскольку функции а1(Я)а2(Я) и сг1(Я)сг2(Я) являются нечетными, то функции /2 (Я) К (А)а2 (Я) — СЙ1 (А)Й2 (Я)] и /з (Я) [1 — С] имеют разную четность. Поэтому получаем: (а1(Я) — С^1(Я) + а2(Я) — Са2(Я) = 0 { а1(Я)а2(Я) — С^1(Я)^2(Я) = 0, (14) I 1 — С = 0.

Из уравнения (14) не трудно определить, что С = 1, тогда а1(Я) = <!1(Я), а2(Я) = а2(Я) или а1(Я) = а2(Я), а2(Я) = сг1(Я). Поскольку полиномы а1(Я), сг1(Я) являются четными функциями, а полиномы а2 (Я), а2 (Я) являются нечетными функциями, то а1(Я) = <г1(Я),а2(Я) = а2(Я).

Аналогично доказывается случай когда ^ (х) Ф ^(1 — х). В отличие от предыдущего случая из (14) следует, что либо 1) а1(Я) = <г1(Я),а2(Я) = а2(Я) или а1(Я) = а2(Я),а2(Я) = <г1(Я), либо 2) а1(Я) = <11(Я),а2(Я) = а2(Я). В любом случае из четности полиномов а1(Я), сг1(Я) и нечетности полиномов а2(Я),а2(Я) получаем, что а1(Я) = <г1(Я), а2(Я) = а2(Я).

Таким образом, если собственные значения задачи (1-3) и (5-7) совпадают с учетом их алгебраических кратностей, то неизвестные полиномы а1(Я),а2(Я) из краевого условия (2, 3) определяется однозначно. Теорема доказана.

В теореме доказана единственность восстановления двух полиномов по всем собственным значениям. Покажем, что для еднственности восстановления краевых условия достаточно конечное число собственных значений. Ниже приводится метод восстановления полиномов. Для удобства этот метод изложен на конкретном примере, котором показано, что два полинома каждый из которых имеет по два неизвестных коэффицента восстанвливается однозначно по пяти собственным значениям.

Пример 1. Пусть известны собственные значения задачи

у" = Яу = s2y,

(15)

у'(0) —(аю + а12Я2)у(0) = 0, (16) у'(1) + (С21А + а2зЯ3)у(1) = 0, (17) 50 = 0.37265, 51 = 3.126144, 52 = 6.281193, 53 = 9.424183, 54 = 12.56612, требуется восстановить неизвестные коэффициенты а10, а21, а12, а23 из краевых условий (16, 17). Подставив известные собственные значения в (10) получим систему нелинейную систему из пяти алгебраических уравнений от четырех неизвестных, имеющую единственное решение а10 = 1, а21 = 2,а12 = 3, а23 = 4. Следовательно, восстановленная задача (15, 16) имеет следующий вид

— у" = Яу = 52у, у'(0) — (1 + 2Я2)у(0) = 0, у'(1) + (3Я + 4Я3)у(1) = 0.

Замечание. Четырех собственных значений недостаточно для однозначного восстановления краевых условий (15, 16). Первые четыре собственных значения 50 = 0.3 7 2 65,51 = 3.126144, 52 =

6.281193,53 = 9.424183 имеют шесть краевых задач, для которых:

а10 = 0.150004, а21 = 0.027002, а12 = 0.000717, а23 = 0.350413; а10 = 34.11966, а21 = 6.649342, а12 = 0.162178, а23 = 0.00 0 861;

а

10

= -0.83529, а21 = -41.3982, а12 = 1.99976, а23 = 3.817297; а10 = 1.000000, а21 = 2.000000, а12 = 3.000000, а23 = 4.00 0 0 00;

а

10 = -0.9876, а21 = -988.2684, а12 = 2.17375, а23 = -0.12 5 44; а10 = 437.46986, а21 = 6.854746,

а12 = 2.05643, а23 = —0.39023. Следовательно, однозначное определение четырех неизвестных коэффициентов полиномов невозможно. 4.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №16-31-00113 мол_а, 15-01-01095_а, 14-01-97010-р_поволжье_а).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ахтямов А. М. Об определении краевого условия по конечному набору собственных значений // Дифференциальные уравнения. 1999. Т. 35. №8. С. 1127-1128.

2. Ахтямов А. М., Кумушбаев Р. Р. Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях // Дифференциальные уравнения. 2012. Т. 48. №10. С. 1549-1552.

Ахтямов А. М., Кумушбаев Р. Р. Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях в случае кратного нулевого собственного значения // Уфимский математический журнал. 2015. Т. 7. №1. С.13-18. Ахтямов А. М., Кумушбаев Р. Р., Идентификация полинома в нераспадающихся краевых условиях по одному собственному значению // Дифференциальные уравнения. 2016. Т. 52. №5. С. 692-695.

Наймарк М. А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969. 526 с.

Юрко В. А. Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярными краевыми условиями // Математические заметки. 1975. Т. 18. Вып. 4. С. 569576.

Ахтямова А. А., Ахтямов А. М. Об однозначности идентификации сосредоточенности инерционного элемента на одном из концов стержня // Вестник Башкирского университета. 2013. №1. С. 7-10.

Поступила в редакцию 21.06.2016 г.

RECOVERING OF TWO POLYNOMIALS OF SPECTRAL PARAMETER THAT ARE THE PARTS OF BOUNDARY CONDITIONS

© A. M. Akhtyamov1'2, R. R. Kumushbaev1*

1Bashkir State University 132 Zaki Validi St., 450076 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

2Institute of Mechanics, Ufa Scientific Center, RAS 271 Oktyabrya Ave., 450054 Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia.

Phone: +7 (347) 235 52 55.

*Email: kumushbaevr@gmail.com

In many applied problems of mathematical physics, there is a common situation when we need to identify unknown polynomials in boundary conditions. For instance, in the work by A. M. Akhtyamov "On defining boundary conditions by a finite set of eigenvalues", it was shown that an arbitrary polynomial of the spectral parameter in a boundary condition is uniquely identified by the finite set of its eigenvalues. In the authors' work "Identification of polynomial in non-separated boundary conditions", an unknown polynomial of degree m was recovered in non-separated boundary conditions by m+1 of nonzero eigenvalues. However, the eigenvalues in that work were assumed to be simple. In the work "Identification of polynomial in non-separated boundary conditions in the case of divisible zero eigenvalue", a case was considered when zero eigenvalue is multiple. In this case a smaller number of eigenvalues (<m) is used to identify the polynomial. In the work "Identification of polynomial in non-separated boundary conditions by one eigenvalue", the authors showed that one eigenvalue is enough for recovering such a polynomial, if the eigenvalue has multiplicity greater or equal to m+1. In this article, the author consider the problem of recovering of two unknown polynomials in the boundary conditions by known eigenvalues of the corresponding boundary problem. In addition, it is proved that two unknown polynomials that are the parts of boundary conditions can be uniquely recover by the finite set their eigenvalues. An appropriate method of recovering is given as well as an example and a counterexample.

Keywords: polynomial, eigenvalue, boundary conditions, characteristic determinant.

Published in Russian. Do not hesitate to contact us at bulletin_bsu@mail.ru if you need translation of the article.

REFERENCES

1. Akhtyamov A. M. Differentsial'nye uravneniya. 1999. Vol. 35. No. 8. Pp. 1127-1128.

2. Akhtyamov A. M., Kumushbaev R. R. Differentsial'nye uravneniya. 2012. Vol. 48. No. 10. Pp. 1549-1552.

3. Akhtyamov A. M., Kumushbaev R. R. Ufimskii matematicheskii zhurnal. 2015. Vol. 7. No. 1. Pp. 13-18.

4. Akhtyamov A. M., Kumushbaev R. R. Differentsial'nye uravneniya. 2016. Vol. 52. No. 5. Pp. 692-695.

5. Naimark M. A. Lineinye differentsial'nye operatory [Linear differential operators]. Moscow: Nauka, 1969.

6. Yurko V. A. Matematicheskie zametki. 1975. Vol. 18. No. 4. Pp. 569-576.

7. Akhtyamova A. A., Akhtyamov A. M. Vestnik Bashkirskogo universiteta. 2013. No. 1. Pp. 7-10.

Received 21.06.2016.