CC BY
14
© А.М. Ахтямов, Р.Ю. Галимов УДК 517.984.54
ИДЕНТИФИКАЦИЯ НЕРАСПАДАЮЩИХСЯ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ
1 2А.М. Ахтямов, 1Р.Ю. Галимов
[email protected]; [email protected]
башкирский государственный университет, г. Уфа, Россия 2 Институт Механики Уфимского научного центра Российской академии наук,
г. Уфа, Россия
Рассматривается спектральная задача с дифференциальным уравнением 2 -го порядка инераспадающимися краевыми условиями. Известно, что для однозначности восстановления нераспадающихся краевых условий с восемью неизвестными коэффициентами требуется пять собственных частот. В настоящей статье рассматривается задача об однозначности восстановления нераспадающихся краевых условий с меньшим чиислом неизвестных. Показано, что для однозначного восстановления таких краевых условий с шестью незвестными коэффициентами необходимо и достаточно двух собственных значений. Доказан критерий однозначности восстановления нераспадающихся краевых условий с шестью незвестными коэффициентами по двум собственным значениям. Представлено явное решение задачи. Приведены примеры восстановления краевых условий по двум собственным значениям для конкретных спектральных задач.
Ключевые слов: спектральная задача, обратная задача, нераспадающиеся краевые условия, собственные значения, идентификация краевых условий, дифференциальное уравнение второго порядка.
Благодарности: исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта №17-41-020230_р-а.
IDENTIFICATION OF NONSEPARATED BOUNDARY CONDITIONS
1 2A.M. Akhtyamov, 1R.Yu. Galimov
[email protected]; [email protected]
1Bashkir State University, Ufa, Russia 2Institute of Mechanics, Ufa Scientific Center Russian Academy of Science, Ufa,
Russia
We consider an eigenvalue problem with a second-order differential equation and nonseparated boundary conditions. It is known that to uniquely restore the nonseparated boundary conditions with eight unknown coefficients, five eigenfrequencies are required. In this paper we consider the problem of uniqueness of the reconstruction of nonseparated boundary conditions with a smaller number of unknowns. It is shown that to uniquely restore such boundary conditions with six unknown coefficients, it is necessary and sufficient two eigenvalues. A criterion for uniqueness of the nonseparated boundary conditions restoration for eigenvalue problem with the differential equation of order 2 from two eigenvalues is proved. An explicit solution of the problem is presented. Examples of boundary conditions identification for the specific spectral problems are considered.
Keywords: eigenvalue problem, inverse problem, nonseparated boundary conditions, eigenvalues, identification of boundary conditions, second-order differential equation.
Acknowledgments. The reported study was funded by RFBR according to the research project 1741-020230 r-a.
1. Постановка задачи
Обратным спектральным задачам посвящено большое количество работ (подробнее см. [1 -9]. Исследованиями в этом направлении занимались Н.Левинсон,
A.Н. Тихонов, М.Г. Крейн, М.Г. Гасымов, Б.М. Левитан, В.А. Марченко,
B.А. Садовничий, В.А. Юрко и другие.
Началом работы по изучению обратной несамосопряженной задачи с неизвестными нераспадающимися краевыми условиями была статья В.А. Садовничего [10], где было показано, что в случае уравнения вида — У' + X) у = Лу для однозначности восстановления функции х) и коэффициентов нераспадающихся краевых условий требуется три спектра связанных между собой задач и другие дополнительные спектральные данные. В дальнейшем задаче восстановления коэффициентов дифференциального уравнения и нераспадающихся краевых условий посвятили свои работы М.Г. Гасымов, И.М. Набиев, И.М. Гусейнов, О.А. Плаксина, В.А. Юрко, Б.Е. Кангужин и другие авторы [9-12]. Были исследованы и неполные обратные задачи - задачи восстановления только краевых условий (подробнее см. [13] ). Так, в работах [13; 14] для спектральной задачи с дифференциальным уравнением 2-го порядка
1 (у) = у '' (х) + (ЛР1 + Р2 (х)) у ' (х) + (Л2 цх + Лц2 (х) + цъ (х)) у( х) = 0 (1.1)
была рассмотрена задача восстановления общих нераспадающихся краевых условий
и, (у) = £ (а1ку(к—]°(0) + а1к+2 у(к—1)(1)) = 0, 1 = 1,2, (1.2)
к=1
где Л - спектральный параметр; х е [0,1];
Р2(х),^ (х) е С1[0,1]; ^(х) е С[0, 1 ];%,Ае С.
Было показано, что при выполнении определенных условий краевые условия (1.2), содержащие 8 неизвестных коэффициентов «к, восстанавливаются однозначно по 5 собственным значениям задачи (1.1),(1.2).
Случай восстановления нераспадающихся краевых условий сцециального
вида:
у) = «11 у(0) + «12 у'(0) + «13 у(1) = 0, (1.3)
и2( у) = «^у(0) + «22 у ' (0) + «23 у(1) = 0, (1.4)
был рассмотрен в работе [15].
Настоящая статья посвящена продолжению этих исследований. В статье показано, что нераспадающиеся краевые условия другого типа:
у) = «12 у ' (0) + «13 у(1) + «14 у ' (1) = 0, (1.5)
и2 (у) = «22у (0) + «23 у(0) + «24у (1) = 0, (1.6)
также можно восстановить по 2 собственным значениям. Рассмотрены также соответствующие примеры.
Через A обозначим матрицу, составленную из коэффициентов aik краевых условий (1.5), (1.6):
A =
a13 ^
a22 a23 a24
(1.7)
а ее миноры, составленные из i-го иj-го столбцов, через Mif.
au al j
M = 1j, i, j = 2,3,4.
j a2i a2j
Векторы выделим жирным шрифтом - a. Символом
T т
обозначимтранспонирование. Вектор-строка с этим индексом - (ax2,a3,a4) -
будет обозначать вектор-столбец. Через Span(a1,a2) будем обозначать линейную оболочку, построенную на векторах a 1 и a2. Ранг матрицы A будем обозначать через
rank A.
Сформулируем обратную задачу: коэффициенты a^ форм Ul(y), l=1,2 спектральной задачи (1.1), (1.5), (1.6) - неизвестны;rank A= 2; известны
собственные значения ^m задачи (1.1), (1.5), (1.6). Требуется найти краевые условия (1.5), (1.6), т.е. восстановить матрицу A вида (1.7) с точностью до линейных преобразований ее строк.
Очевидно, что задание матрицы A вида (1.7) с точностью до линейных преобразований ее строк эквивалентно заданию линейной оболочки Span(a1 ,a2), построенной на векторах a 1 = (a 2, a 3, a д)Т и a 2= (a22, a23, a24 )T.
В настоящей статье доказано, что для однозначного восстановления краевых условий (1.5), (1.6) достаточно двух собственных значений.
Заметим, что если известно, какой именно минор Mj матрицы A отличен от нуля, то краевые условия (1.5), (1.6) упрощаются. Например, если известно, что M23 Ф 0, то краевые условия можно привести к следующему виду:
у(0) + ~14у'(1) = 0, У(0) + ~24У(1) = 0. Тогда можно использовать только два
собственных значения для поиска двух неизвестных коэффициентов a~ . В нашей же постановке задачи известно лишь, что ранг матрицы А равен 2 и неизвестно какой из миноров Mj отличен от нуля. Поэтому условия теоремы должны даваться не в терминах миноров, которые нам неизвестны, а в терминах известных собственных значений. Получена соответствующая теорема об однозначной идентификации краевых условий (1.5), (1.6) получена.
2. Критерий единственности решения задачи
Пусть {уп(x,Я)}и=1 2- фундаментальная система решений уравнения (1.1),
удовлетворяющая условиям y(k_1)(0,Х) = dnk, n, k = 1,2.
Числа , m = 1,2 являются собственными значениями задачи (1.1), (1.5), (1 .6) тогда и только тогда, когда они являются нулями характеристического определителя
А(Я) =
(2.1)
(2.2)
им и(у2) им и2 (у 2)
(см.[16, С. 1-16 ] ), а следовательно, и решениями следующей системы уравнений:
А(Л)=м/2) + м/2) + мЗА/ЗА(\) = о, А(2 = М 23/23(^2) + М2^./24(^2) + Мз4/З4(Л) = 0,
где /2з(Я) = -у(1,2), /24(2 ) = —М(1,2),
/4(2) = ^(1, X) = у( 1 ,2 )М( 1 ,2) — у ( 1 ,2)у2(1,2)-определитель Вронского.
При решении обратной задач и на систему (2.2) можно рассмотреть как на систему линейных уравнений относительно неизвестных х1=М23, х2=М24, x3=M34. Определитель этой системы линейных уравнений относительно неизвестных x1, х2, x3обозначим через F :
/23(21) /24 (21) /34(21) /23 (22) /24 (22) /34 (22)
а её миноры, составленные вычеркиванием столбца с элементами F (2т)' m=1,2.
F =
(2.3)
Теорема2.1 (критерий единственности решения). 1 Решение обратной задачи восстановления краевых условий (1.5), (1.6) по двум собственным значениям
A1, A задачи (1.1), (1.5), (1.6) единственно тогда и только тогда, когда для
собственных значений A и A2 ранг матрицы (2.3) равен 2.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Как было показано выше, задание краевых условий (1.5), (1.6) эквивалентно заданию линейной оболочки Span(a1,a2), построенную на векторах ai=(a2, a3, a4)T и a2= (a22, a23, a24)T .
Достаточность. Пусть для собственных значений A и A2 ранг матрицы (2.3) равен 2 (rank F=2). Тогда хотя бы один из миноров Fj не равен нулю.Не ограничивая общности будем считать, что это минор F23. Тогда минор М23ф0. Действительно, пересечением двух плоскостей, задаваемых уравнениями (2.2), является прямая: M23=F23t, M24=-F24t, M34=F34t.
Поскольку М23ф0, то линейными преобразованиями строк матрицу А можно привести к виду:
А =
1 0
0 1
М
М 2 М„
М„
10
01
F±
F23 - F
(2.4)
F
23
Аналогично получаем, что если F24^0, то матрица имеет вид
А =
M,
М 24
0 М23 М
0
1
- F
F
—F F
34 0 1
24
23
(2.5)
24
Если F34^0, то матрица имеет вид
А =
М 24 1 0
М 34
- М 23 0 1
М 34 10
- F24 F34
- F23
F,
1 0
0 1
(2.6)
1
0
Необходимость. Пусть краевые условия (1.5), (1.6) восстанавливаются по двум собственным значениям 4, 4 задачи (1.1), (1.5), (1.6) однозначно. Тогда матрица А определяется однозначно с помощью линейного преобразования строк, а ее миноры Mij находятся однозначно с точностью до ненулевого коэффициента, не зависящего от индексов. Покажем, что в этом случае ранг матрицы (2.3) равен 2 (rank F=2). Предположим противное: rank F=1 или rank F=0. Но тогда строки матрицы F должны быть линейно зависимыми.
Если rank F=1, то система (2.2) эквивалентна одному уравнению
Л(4) = М2зЛз(Л) + M24/24W + M34/ (4) = 0.
Это уравнение с неизвестными минорами M23, M24, M34, представляет собой уравнение плоскости с нормальным вектором (/ (4),/24(4),/4(4))T . Одно из значений из / (4),/ (4),/ (4) не равно нулю. Не ограничивая общности, положим / (4) ф 0 . Тогда неизвестные миноры представляются в следующем виде:
M23 =- (C /24(4 )+С2/з4(4 ))//23(4 ), M24 = C , M34 = C2, где С1, С2- произвольные константы. Откуда получаем бесконечное число краевых ус ло вий.
Если же rank F=0, то система (2.2) эквивалентна уравнению 0=0 для любых миноров М23, M24, M34 (для любых краевых условий). Таким образом, и в этом случае получаем бесконечное число краевых условий.
Таким образом, если rank F=2, получаем единственную с точностью до линейных преобразований строк матрицу коэффициентов (2.4), (2.5) или (2.6), а если rank F<2, то получаем бесконечное число матриц А, определяемых с точностью до линейных преобразований строк. Верно и обратное, если матрица коэффициентов А находится по двум собственным значениям 4 и 4 однозначно с точностью до линейных преобразований строк, то rank F=2. Если матрица коэффициентов находится по двум собственным значениям 4 и 4 неоднозначно с точностью до линейных преобразований строк, то rank F<2.
Доказательство закончено.
3. Примеры
Пример3.1 .Рассмотрим следующую спектральную задачу c дифференциальным уравнением y"(x) — 34y'(x) + 24 у( x) = 0 и краевыми условиями (1.5), (1.6). Пусть известны два ее собственных значения 4 =0.50855, 4 = —2.13422. Найдем краевые условия, которые соответствуют этим значениям.
Линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются
функции у (x,4) = 2e4 — e24 и у2 (x,4) = —1 e4* +1 e24x,
у1(X, 4) = 24e4x — 2Ae24x и y2(x, 4) = —e4 + 2e24. Определитель Вронского
для данной задачи будет равен:
W (1,4) =
2e4 — e24 — - e4 +— e24 34 , 4 4 = e ф 1.
24e4— 24e24 — e4 + 2e24
Поскольку
F =
и F23=
— 2е2 + е221 — 2\е2 + 2\е-2 е е
1.12116 4.59820 0.44534 0.00166
/2З(2) /24(21) /34(2.) /23(22) /24(22) /34(^2)
221 „321
- 2е2 + е2Л — 22 е^ + 22 е2"2 е32
— 0.56058 1.12116 4.59820
— 0.22267 0.44534 0.00166
= —2.0459 ^ 0, то из (2.3) следует,что матрица А имеет вид:
А =
1 0 0
1
0 1
2
а краевые условия имеют вид: у'(0) = 0, у(1) + 1 у'(1) = 0 .
Пример 3.2 Рассмотрим следующую спектральную задачу с дифференциальным уравнением — у'' (х) = 2 у(х) и краевыми условиями
у (0) = 0, у (1) = 0.
Линейно независимыми решениями дифференциального уравнения являются
функции у(х,2) = оой2х и у2(х,2)=81п2х, ( у{(х,2) = — 281п2х иу'2(х,2) = оой2х ).
2
Пусть известны два ее собственных значения 2 = 2л, 2 = 4л . Поскольку
/2З(21) /24(2) /34(2) _ /2З(22) /24(22) /34(22)
F =
— 008 2х —2 ^ 2 СОЙ 2— ^ 2
— сой 2х —2 ^2 СОЙ2 2— 81п2 2
—1 0 1 —1 0 1
то rank F=1.
Из этого следует, что существует бесконечное число краевых условий (1.5), (1.6), соответствующих собственным значениям 2 = 2л, 2 = 4л . Эти краевые условия таковы: у(0) — у(1) = 0, у'(0) + Су(1) = 0, где С - произвольное число, отличное от нуля.
4. Заключение
Если числа 2., 22 являются собственными значениями задачи (1.1), (1.5), (1.6) и ранг матрицы F = F(2,22) равен двум, то задача отыскания матрицы А краевых условий (1.5), (1.6) с точностью до линейных преобразований строк имеет единственное решение. Найден явный вид решения поставленной обратной задачи в виде матриц (2.4)-(2.6).
Отметим, что для решения задачи идентификации краевых условий вид линейного дифференциального уравнения (1 .1 ) не существенен. Решение задачи
(2.3) представляется через фундаментальную систему решений {Уl(x,2), у2(х,2)}. Линейное дифференциальное уравнение может быть и более общего вида. Главное, чтобы линейно независимые решения у.( х, 2), у2 (х, 2) были бы непрерывно дифференцируемыми функциями по х и 2 .
Задача идентификации краевых условий (1.5), (1.6) имеет особенность по сравнению с общим случаем идентификации краевых условий (1 .2). В восстановлении (1.5), (1.6) участвуют все миноры М23, М24, М34, (F23, F24, F34,). То есть, какие бы значения мы им не приписали, всегда найдутся соответствующие краевые условия (1.5), (1.6). В общем случае это не так. Для идентификации общих краевых условий (1 .2) необходимо выполнение соотношений Плюккера MM + MM« + MM = 0 [13; 16] . В этом смысле задача идентификации краевых условий (1.3), (1.4) или (1.5), (1.6) является уникальной.
Литература
1. Левитан Б.М.Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.:Наука, 1984.
2. Guliyev N.J. Inverse eigenvalue problems for Stuim-Liouville equations with spectral parameter linearly contained in one of the boundary conditions // Inverse Problems, 2005. Vol. 21. Pp. 1315-1330.
3. Andrew A.L. Computing Sturm-Liouville potentials from two spectra // Inverse Problems, 2006. Vol. 22. Pp. 2069-2081.
4. Binding P.A., Watson B.A. An inverse nodal problem for two-parameter Sturm-Liouville systems // Inverse Problems, 2009. Vol. 25. Pp. 1 -19.
5. Nizhnik L. Inverse nonlocal Sturm- Liouville problem // Inverse Problems, 2010. Vol. 26. Pp. 1 -9.
6. Efendiev R.F. Spectral analysis for one class of second-order indefinite non-self-adjoint differential operator pencil // Applicable Analysis, 2011. Vol. 90. No. 12. Pp. 1837-1849.
7. Савчук А.М., Шкаликов А.А.Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость //Функц. анализ и его прил., 2010. Т. 44. № 4. С. 34-53.
8. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М.Обобщение теоремы единственности Борга на случай нераспадающихися краевых условий // Доклады Академии наук, 2011. Т. 438. № 1. C. 1-4.
9. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратная задача Штурма-Луивилля с нераспадающимися краевыми условиями. М.: Изд -во МГУ, 2009.
10. Садовничий В.А.Единственность решения обратной задачи в случае уравнения второго порядка с нераспадающимися условиями, регуляризованные суммы части собственных чисел. Факторизацияхарактеристическогоопределителя // ДАНСССР, 1972. Т. 206. № 2. С. 293-296.
11. Freiling G., Yurko V.A. On the solvability of an inverse problem in the central symmetric case // Applicable Analysis, 2011. Vol. 90. No. 12. Pp. 1819-1828.
12. Гусейнов И.М., Набиев И.М.Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов // Математический сборник. 2007. T. 198. № 11. C. 47-66.
13. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и ее приложения. М.: Физматлит, 2009.
14. Ахтямов А.М. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по ее спектру // Фундаментальная и прикладная математика,2000. Т. 6. № 4. С. 995-1006.
15. Ахтямов А.М., Муфтахов А.В. К вопросу об идентификации нераспадающихся краевых условий // Журнал СВМО. 2012. T. 14. № 2. C. 40-47.
16. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М.: Наука, 1969.
References
1. Levitan B.M. Obratnye zadachi Shturma-Liuvillya. M.: Nauka, 1984.
2. Guliyev N.J. Inverse eigenvalue problems for Sturm-Liouville equations with spectral parameter linearly contained in one of the boundary conditions // Inverse Problems, 2005. Vol. 21. Pp. 1315-1330.
3. Andrew A.L. Computing Sturm-Liouville potentials from two spectra // Inverse Problems, 2006. Vol. 22. Pp. 2069-2081.
4. Binding P.A. and Watson B.A. An inverse nodal problem for two-parameter Sturm-Liouville systems // Inverse Problems, 2009. Vol. 25. Pp. 1-19.
5. Nizhnik L. Inverse nonlocal Sturm- Liouville problem // Inverse Problems, 2010. Vol. 26. Pp. 1 -9.
6. Efendiev R.F. Spectral analysis for one class of second-order indefinite non-self-adjoint differential operator pencil // Applicable Analysis, 2011. Vol. 90. No. 12. Pp. 1837-1849.
7. Savchuk A.M., Shkalikov A.A. Obratnye zadachi dlya operatora Shturma-Liuvillya s potentsialami iz prostranstv Soboleva. Ravnomernaya ustoichivost' // Funkts. analiz i ego pril., 2010. T. 44.No.4. P. 34-53.
8. Sadovnichii V.A., Sultanaev Ya.T., Akhtyamov A.M. Obobshchenie teoremy edinstvennosti Borga na sluchai neraspadayushchikhisya kraevykh uslovii // DokladyAkademiinauk, 2011. V. 438. No. 1. Pp. 1-4.
9. Sadovnichii V.A., SultanaevYa.T., Akhtyamov A.M. Obratnaya zadacha Shturma-Luivillya s neraspadayushchimisya kraevymi usloviyami. M.: Izd-vo MGU, 2009.
10. Sadovnichii V.A. Edinstvennost' resheniya obratnoi zadachi v sluchae uravneniya vtorogo poryadka s neraspadayushchimisya usloviyami, regulyarizovannye summy chaste sobstvennykh chisel. Faktorizatsiya kharakteristicheskogo opredelitelya // DAN SSSR, 1972. Vol. 206. No.2. Pp. 293-296.
11. Freiling G., Yurko V.A. On the solvability of an inverse problem in the central symmetric case // Applicable Analysis, 2011. Vol. 90. No. 12. Pp. 1819-1828.
12. Guseinov I.M., Nabiev I.M. Obratnaya spektral'naya zadacha dlya puchkov differentsial'nykh operatorov // Matematicheskii sbornik. 2007. Vol. 198. No.11. Pp. 47-66.
13. Akhtyamov A.M. Teoriya identifikatsii kraevykh uslovii i ee prilozheniya. M.: Fizmatlit, 2009.
14. Akhtyamov A.M. O edinstvennosti vosstanovleniya kraevykh uslovii spektral'noi zadachi po ee spektru // Fundamental'naya i prikladnaya matematika, 2000. Vol. 6. No. 4. Pp. 995-1006.
15. Akhtyamov A.M., Muftakhov A.V. K voprosu ob identifikatsii neraspadayushchikhsya kraevyk huslovii // Zhurnal SVMO. 2012. Vol. 14. No. 2. Pp. 40-47.
16. Naimark M.A. Lineinye differentsial'nye operatory. M.: Nauka, 1969.
Авторы публикации
АхтямовАзаматМухтарович — д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математического моделирования Башкирского государственного университета, ГНС лаборатории механика твердого тела Института механики им. Р.Р. Мавлютова Уфимского научного центра Российской академии наук, г. Уфа, Россия.
Галимов Рустам Юмадилович - аспирант кафедры математического моделирования Башкирского государственного университета, г. Уфа, Россия
Authors of the publication
Azamat M. Akhtyamov - Dr.Sci., professor of Department of Math Modeling, Bashkir State University, Chief Researcher of R.R. Mavlutov Mechanic Institute, Ufa, Russia. Rustam Yu. Galimov - Graduate student of Department of Math Modeling, Bashkir State University, Ufa, Russia.
Дата поступления 06.07.2017.
