CC BY
12
УДК 517.984.54 DOI: 10.25513/2222-8772.2019.1.47-64
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ОБЩИХ КРАЕВЫХ УСЛОВИЙ ОПЕРАТОРА ДИФФУЗИИ
Р.Ю. Галимов1
старший преподаватель, e-mail: galimovry@mail.ru А.М. Ахтямов1,2
д.ф.-м.н., профессор, главный научный сотрудник, e-mail: akhtyamovam@mail.ru
1 Башкирский государственный университет, Уфа, Россия 2Институт механики им. Р.Р. Мавлютова УФИЦ РАН, Уфа, Россия
Аннотация. Исследуются задачи идентификации как общих, так и распадающихся краевых условий оператора диффузии по его собственным значениям. Для общих краевых условий показано, что если хотя бы одна из функций-коэффициентов в дифференциальном уравнении является несимметрической, то задача идентификации краевых условий по всем собственным значениям имеет два решения, а если оба коэффициента являются симметрическими функциями, то задача идентификации краевых условий по всем собственным значениям имеет бесконечно много решений. Доказано также, что если хотя бы один из коэффициентов в дифференциальном уравнении является несимметрической функцией, то два решения могут быть получены и по четырем собственным значениям, если ранг некоторой матрицы равен четырем. Для распадающихся краевых условий показано, что если хотя бы один из коэффициентов в дифференциальном уравнении является несимметрической функцией, то задача идентификации краевых условий по всем собственным значениям имеет единственное решение, а если оба коэффициента являются симметрическими функциями, то задача идентификации краевых условий имеет два решения. Показано также, что при определенных условиях единственное решение может быть получено по трем собственным значениям, а два решения — по двум собственным значениям. Рассмотрены соответствующие примеры.
Ключевые слова: оператор диффузии, идентификация краевых условий, обратная спектральная задача, собственные значения.
Введение
Обозначим через L следующую задачу для оператора диффузии:
1у = у" + (А2 - 2 \р(х) - q(x)) у = 0, (1)
Ui(y) = an у(0) + ai2 у'(0) + ai3 у(п) + ai4 у'(ж) = 0,
i = 1, 2,
(2)
где вещественные функции р(х) е \¥1(0,тг), д(х) е Ь2(0,тг); а^, г = 1, 2, г =1, 2, 3, 4 — комплексные постоянные.
Обратная задача для Ь с распадающимися краевыми условиями (а13 = а14 = = а21 = а22 = 0) достаточно хорошо изучена (см., например, [1]-[7]). Обратная для Ь с нераспадающимися краевыми условиями изучалась в работах [8]-[14]. В этих работах восстанавливались коэффициенты р(х) и д(х) из дифференциального уравнения (1), а также краевые условия (2). При этом для восстановления использовались несколько спектров, спектральные данные (спектр и нормировочные числа), функция Вейля и т. п. То есть данные восстановления содержали в себе большую информацию, чем только сам спектр задачи Ь. Задача, решаемая в настоящей статье, отличается от этих работ тем, что здесь восстанавливаются лишь краевые условия, а дифференциальное уравнение считаем известным.
Идентификация общих краевых условий
Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов краевых условий (2) через А, а её миноры, составленные из г-го и ]-го столбцов, через М^:
А
an «21
«12
«22
«13 «23
«14 «24
мгз =
ац
«2г
a1j a2j
i,j = 1, 2, 3,4. (3)
На протяжении всей статьи будем считать, что ранг матрицы А равен двум: rank А=2.
В дальнейшем задачу типа L, но с другими коэффициентами в уравнении и с другими параметрами в граничных формах обозначать L. Будем считать, что если некоторый символ обозначает объект из задачи L, то символ с волной ~ наверху обозначает аналогичный объект задачи L.
Краевые условия задач L и L назовём (kl и тп)-смежными, если для миноров Mki и Мтп выполняются равенства Mki = С Мтп, Мтп = С Mkh а для всех остальных миноров выполнены равенства М^ = С Mij.
Так, краевые условия задач L и L являются (12 и 34)-смежными, если миноры Mij и Mij матриц коэффициентов краевых условий А = (а^)2х4 и А = (dij)2х4 связаны соотношениями:
M12
M13
CM34,
CM13,
M32 = CM32, M14 = CM14,
M42 M34
С M42,
cM12.
_ Теорема 1. Пусть L и L имеют дискретный спектр, спектры задач L и L совпадают с учётом их алгебраических кратностей, rank А = 2. Тогда:
1. Если р(х) = р(ж—х) или (и) q(x) = q(n-х), то либо матрицы коэффициентов краевых условий А = (а^)2х4 и А = (а^)2х4 совпадают с точностью до линейных преобразований строк, либо являются (12 и 34)-смежными. То есть задача идентификации краевых условий по всем собственным значениям имеет два решения.
2. Если р(х) = р(ж — х) и д(х) = — х), то миноры М^ и М^ матриц коэффициентов краевых условий А = (а^)2х4 и А = (а^)2 Х4 связаны следующими соотношениями:
Ми = 2 С ^(М12 + М34) ±\!(Ми + М34)2 — С^ ,
М34 = 2 с ^(М12 + М34) ту/ (Мы + М34)2 — С^ ,
М42 = СМ42, М13 = СМ13, (4)
Ми = 2 С [(М14 + М32) ±у/(М14 + м32)2 + 4 М13 М24 — С^ ,
М2 з = 2 С {(М12 + М34) ту/ (Ми + м2 з)2 + 4 М13 Мм — С^ ,
где С и С2 — некоторые произвольные константы, а С1 = 4 С2/С2. То есть задача идентификации краевых условий по всем собственным значениям имеет бесконечное число решений.
Доказательство. Собственные значения задачи Ь являются корнями следующей целой функции ([1, с. 33-36], [2, с. 29])
Д(А) = М12 + М34 + М32 У1Ы, X) + М42 у[Ы, А)+ +М13 У2(ж, А) + Ми у2Ы, X),
где у1 (х, А) и у2(х, А) — линейно независимые решения уравнения (1), удовлетворяющие условиям:
У1(0,\) = 1, у[(0,\) = 0, У2(0,Х) = 0, у2(0,\) = 1.
Если Д(А) ^ 0 (спектр краевой задачи дискретен), то из теоремы Адамара получаем, что функция Д(А) (которая является целой порядка 1/2 ) восстанавливается по своим нулям с точностью до множителя С = 0. Следовательно, функции Д(А) и Д(X) связаны следующим тождеством:
Д(А) = С Д (А), (6)
где С — некоторая константа, отличная от нуля.
Справедливы следующие асимптотические формулы:
, ЛЧ ,л . cos-к (Л — a) sin- (Л — а) 1 Г , /ч ,
yi(x,\) = cosn (Л — а) — а1-^-- + к сг-^-- + - ^i(t) е dt,
Л Л Л J-7T
, лч sin- (Л — a) sin- (Л —a) cos к (Л — а) 1 Г , .. , У2(х,Л) =-Л-L + а°-Л- —к °i-Л- + Л2 d^
yl(х, Л) = —Л sin-(Л — а) + а0 sin-(Л — а) + к с1 cos- (Л — а) + ^3(t) ег 1 dt
- 7
7
!, /л ч cos- (Л — a) sin- (Л — а) 1 i , ..
у'2(х, Л) = cos - (Л — а) + сц-^-- + - а-\-- + - ^4(t) elXt dt,
Л Л Л J-ж
(7)
где а= 7 /07 P(t)dt, ао = 1 {р(0)+Р(-)), сц = 2 {р(0) — Р(-)), Ci = 27 /07 (q(^ +
+p2(t)) dt, ^i(t) e L2[0,-], г = 1, 2, 3,4 для достаточно большого Л е R ([6,14]).
Из этих соотношений следует, что линейно независимы функции у\(п, Л), у[(-, Л), у2(ж, Л), 1, входящие в разложение функции А(Л). Если добавить к этим функциям ещё и функцию у'2(-, Л), то соответствующая система функций является линейно независимой тогда и только тогда, когда ( х) = ( - — х) или (и) q(x) = q(- — х) на некотором интервале из отрезка [0,-]. Это следует из того, что тождество у\(п, Л) = у2(-, Л) верно тогда и только тогда, когда р(х) = р(п — х) и q(x) = q(n — х) [7, Лемма 3] (равенства функций понимаются в смысле равенств в пространствах функций, в которых они заданы).
Пусть р(х) = р(п — х) или (и) q(х) = q(n — х). Тогда из (6) и линейной независимости соответствующих функций следуют равенства
М2 + М34 = С (М\2 + М34), М з = СМг з,
М32 = М 4
С Мз2, -- С Mi4.
М4
42
С М4
42,
(8)
Для нахождения миноров М\2 и М34 воспользуемся тем, что произвольные числа не могут быть минорами матрицы. Для того чтобы числа М12, М13, М14, М23, М24, М34 были минорами матрицы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись так называемые соотношения Плюккера:
М2 М34 — М3 М24 + М4 ММ23 = 0.
(9)
М2 М34 - М3 М24 + М4 М23 = 0. (10)
(Миноры М23, М24 из равенств (9) отличаются от миноров М32, М42 из равенств (8) только знаком). Из (8), (9), (10) и обратной теоремы Виета получаем два набора равенств
М 2
М 3
СМ 2,
СМг 3,
М32 = СМ32,
М 4 = С М 4,
М42 М34
С М42, СМ34
(11)
М 2
М 3
СМ34, СМг 3,
М32 = СМ32, М14 = СМ14,
М42 М34
С М42, СМ12.
и
Отсюда следует, что краевые условия задач Ь и Ь либо совпадают (с точностью до линейных преобразований строк), либо являются (12 и 34)-смежными.
Пусть теперь р(х) = р(к — х) и д(х) = д(к — х). Тогда у1(к, Л) = у'2(п, Л) и из (6) и линейной независимости соответствующих функций следуют равенства
М12 + М34 = С (М12 + М34), М32 + М14 = С (М32 + М14), М42 = СМ42, М13 = СМ13.
(13)
Обозначим произведение М12 М34 через С2. Отсюда, из (13) и обратной теоремы Виета следует, что миноры М12 и М34 являются корнями квадратного уравнения
ж2 — С (М12 + М34) х + С2 = 0.
Следовательно,
М1
12
34
1 с (
2 С ((
(М12 + М34) ±\[(М12 + М34)2 — С1
(М12 + М34) тфм12 + М34)2 — С1
)
(14)
где С1 = 4 С2/С2.
Для нахождения миноров М14 и М23 воспользуемся тем, что произвольные числа не могут быть минорами матрицы. Для того чтобы числа М12, М13, М14, М23, М24, М34 были минорами матрицы, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения Плюккера (9) и (10). Тогда из (9) и (13) следует, что
—М14 М32 = М14 М23 = М13 М24 — С2 = С2 М13 М24 — С2. (15)
Отсюда, из (13) и обратной теоремы Виета следует, что миноры М14 и М32 являются корнями квадратного уравнения
у2 — С (М14 + М32) у — М14 М32 + С1 = 0.
Следовательно,
М14 = 2 С ^(Ми + М32) ±\](М14 + М32)2 + 4 М13 М24 — С^ ,
М23 = 2 С [(М12 + М34) Т\!(М14 + М23)2 + 4 М13 М24 — С^
и теорема доказана.
Обозначим через Р матрицу следующего вида:
1 Уl(к, АО yll(n, Х^ y2(n, Х^ yl2(n, Х1)
Р = 1 У1(К,^2) У1Ы,Х2) У2(К,Х2) У,2(К,\2)
1 Уl(K, ^3) y'l(к, Х3) У2(K, Х3) УI2(K, Х3)
1 Уl(K, \4) У'lЫ, Х4) У2(K, Х4) УI2(K, Х4)
(16)
через Fj обозначим минор матрицы F, полученный вычёркиванием j-го столбца матрицы F.
Теорема 2. Если р(х) = р(тг — х) или (и) q(x) = q(n — х), rank А = 2, четыре собственных значения Х3 (j = 1,2,3,4) задачи L удовлетворяют условию:
rank F = 4,
(18)
то задача идентификации краевых условий по этим четырём собственным значениям имеет два решения.
Причём миноры матрицы А этих двух видов краевых условий связаны следующими равенствами:
Mi2
М34
F\ ±у/F2 — 4(F3 F4 — F2 F5) \ T VF2 — 4(Fs Fa — F2 F5) M32 = —tF2, M42 = tF3,
Mx 3 = —tF4, Mi 4 = tF5.
(19)
А соответствующая смежная пара матриц А с помощью миноров (19) в явном виде выписывается следующим образом:
1) если 2 = 0, то А
2) если Mi3 = 0, то А
3) если Mi4 = 0, то А
4) если М23 = 0, то А
5) если М24 = 0, то А
6) если М34 = 0, то А
10
0 М12
1 Mm 1 М13
0 М12
1
М24 М14
0 М12
М13 M23
—Mi 2
M14 M24
—M12
M23 M12
Ml 3 0
Mi 3
M34 M14
Ml 3 0 M23
M24 M12
Ml 4
M34 M13
Ml 4 0
Ml 4
M34 M23
M34 M24
M23
M14 M34
M24 M34
М24 0 М24 10
—М1 3 — М23 0 М34 В частном случае, при Р' — 4 (Р3 Р4 — Р2 Р5) = 0, задача идентификации краевых условий по четырём собственным значениям Х3 (] = 1,2,3,4) имеет единственное решение (смежные решения совпадают).
Доказательство. Четыре собственных значения А3 (] = 1, 2,3,4) задачи Ь являются корнями функции (5). Следовательно, они удовлетворяют следующей системе уравнений относительно неизвестных х1 = М12 + М34, х2 = М32, Х3 = М42, х4 = М13, х5 = М14:
А( Х3) = М12 + М34 + М32У1Ы, Х3) + М42 у1 (и , Х3)+ +М13У2Ы, Х3) + М14у2(п, Х3) = 0.
Матрица этой системы совпадает с матрицей Р (17). Согласно условию теоремы, ранг матрицы Р равен четырём. Поэтому система уравнений (17) имеет единственное с точностью до ненулевого множителя решение:
Мп + м34 = t Fi, М32 = -t F2, М42 = t F3
М-
13
-tF4, Мы = tFf
(21)
где через Р^ обозначен минор матрицы Р, полученный вычёркиванием ]-го столбца матрицы Р.
Из соотношений Плюккера (9) и (21) получаем
М-2 М34 = t2 (F3 F4 - F2 F5).
(22)
Из равенств (21), (22) и обратной теоремы Виета следует, что М!2 и М34 являются корнями квадратного уравнения
z2 -tFiz + t2 (F3 F4 - F2 F5) = 0.
Откуда
М12 = 2 (Fi ±y/F* - 4 (F3 F4 -F2F5) ) , М34 = 2 (fi t Vf2 - 4 (F3 F4 - F2 f5)
(23)
Из (21) и (23) вытекают равенства (19), из которых с помощью методов идентификации матрицы [18, с. 34,35] по её минорам находятся пары смежных матриц, выписанные в заключении теоремы. Покажем это для случая 1) М!2 = 0. Пусть вектор х = (х!,х2,х3,х4) — произвольный вектор линейной оболочки, построенной на векторах а! = (а!!,а!2,а!3,а!4) и а2 = (а21,а22,а23,а24) (или другими словами, пусть х — вектор-строка матрицы А). Тогда координаты вектора х удовлетворяют условию
rank
a-- ai2 а-3 а 14 0,21 а22 а23 а24 Х- Х2 Х3 Х4
2.
Поскольку М!2 = 0, то последнее условие эквивалентно выполнению следующих двух равенств
aii а 12 а-3 а21 а22 а23 Х1 Х2 Х3
0,
а11 12 а14 а21 22 а24 Х1 Х2 Х4
(24)
(Все окаймляющие М!2 миноры должны быть равны нулю.) Разлагая определители (24) по третьей строке, получаем
0
Х1 • М23 - Х2 • М13 + Х3 • М12 = 0, Х1 • М24 - Х2 • М14 + Х4 • М12 = 0. (25)
Базисные векторы искомой линейной оболочки можно найти, положив для первого вектора х! = 1 и х2 = 0, а для второго — х! = 0 и х2 = М!2 = 0. Если х! = 1 и х2 = 0, то из равенств (24) находим х3 = — М^, х4 = — ММ24. Если х! = 0 и х2 = М!2 = 0, то из равенств (24) находим х3 = М!3, х4 = М!4. Следовательно, если М!2 = 0, то матрица А с точностью до линейной эквивалентности совпадает с матрицей
А
1
0 _М23 М24
0 М-12 М-12
0 М!2 М-
!3
М!
!4
Для случаев 2)-6) матрица А выписывается аналогично. Теорема доказана.
Пример 1
Пусть собственные значения задачи (1), (2) с ( х) = х и ( х) = х2, Л! = 2,8868, Л2 = 4,4143, А3 = 4,7499, Х4 = 21,93794. Разложив линейно независимые решения у!(-к, Л) и у2(ж, Л) в ряд Тейлора по х и Л, подставив частичную сумму ряда из первых 50 членов ряда в (17), вычислив соответствующие миноры Р) с точностью до пяти значащих цифр (в действительности вычисления проводились с точностью до 50 значащих цифр), получим: Р! = —1,3253 • 10!4, Р2 = 0, Р3 = 0, Р4 = 0, Р5 = 1,3)25)3) • 10!4. (Заметим, что остатком ряда Тейлора в этом случае можно пренебречь, т. к. ряд Тейлора получается знакочередующимся и его остаток Н50 может быть оценён модулем последнего слагаемого частичной суммы, который является малым числом.)
Отсюда и из (19) получаем два решения
М!2 = 2 Ы + Л/Р? — 4 (Р3 Р4 — Р2Р5)) = 0,
М34 = 2 (Р — л/Р? — 4 (Р3 Р4 — Р2Р5)) = —1,3253 • 10!4 г,
М3
32
-гР? = 0, М42 = гР3 = 0, мл3 = -ЬР4 = 0, М4 = гР* = 1,3253-1014 г
М2 = 2 (Р — \/Р1 — 4 (Р3 Р4 — Р? Р5)) = —1,3253 • 10!41, М34 = 2 (р + л/Р2 — 4 (Р3 Р4 — Р2Р5)) = 0,
М32 = — Р2 = 0, М42 = Р3 = 0, М 3 = — Р4 = 0, М 4
гР5 = 1,3253 • 10!4 г.
Положив Ь = —! 32^3.ю14 , получим более простые представления для мино-
ров:
М 2 = -М 4 = 1; М32 = М42 = М 3 = М34 = 0
М34 = —М, 4 = 1; М32 = М42 = М 3 = М 2 = 0.
!4 = 1; М32 = М42 = М 3 = М 2
и
и
Так как М12 = 1 = 0, то первое решение для матрицы А с точностью до линейной эквивалентности совпадает с матрицей
А
1
0 _М23 М24
0 М-12 М-12
0 М12 М,
13
М-
14
1 0 0 0 0 1 0 1
а второе решение для матрицы А с точностью до линейной эквивалентности совпадает с матрицей
А
МЫ М24 1
МЯ4 МЯ4 1
0
- М13 - М23 0 М3
34
-1 0 1 0 0 0 0 1
Таким образом, задача идентификации краевых условий в данном случае имеет два решения:
у{0) = 0, у'(0)= у'(тг) и у(0) - у(п) = 0, у'(п) = 0.
Обозначим через С матрицу следующего вида:
С
1 Уl(к, А,) y,l(^r, А,) У2(7, А1) 1 у,(п, А2) уКЖ, А2) У2(к, А2)
1 Уl(к, А3) y'l(к, А3) У2(K, А3)
(26)
через Gj обозначим минор матрицы С, полученный вычёркиванием ]-го столбца матрицы С.
Теорема 3. Если д(х) = — х), ra.uk А = 2, три собственных значения А3 (] = 1,2,3) задачи Ь удовлетворяют условию:
гап^!1, yl(7г, А3), y'l(^т, ^), y2(^v, X
'3 )!!з=',2,3
3,
(27)
то задача идентификации краевых условий по этим трём собственным значениям имеет бесконечное число решений.
Причём миноры матрицы А представляются следующим образом:
м,2 = 2 (г с, ±з,)
М3
34
' (1С, тЯ') , М42 = 1С3,
(28)
М,
13
ЬС4, ММ 14 = ' (—С2 ±Я2)
М3
32
2 ( — Ь С2 т Я2)
где Я, = \/(Ь С-,)2 — ¿ь Я2 = \]¥ С2 + 4Ь2 С3С4 — ¿ь а Ь и I, — произвольные числа. Соответствующие матрицы А с помощью этих миноров в явном виде выписывается по формулам 1)-6) из формулировки теоремы 2.
Доказательство. Пять собственных значений А3 (] = 1, 2, 3,4) задачи Ь являются корнями функции (5). Следовательно, они удовлетворяют следующей системе уравнений:
М'2 + М34 + (М32 + М14) У'(7, А,) + М42 у[(7, А3) + М'3 У2(7, А,) = 0. (29)
Эта система имеет бесконечное число решений:
М2 + М34 = юъ М32 + М4 = —с?, М42 = 103, М3 = — 04. (30)
Обозначим произведение М 2 М34 через 2. Отсюда, из (30) и обратной теоремы Виета следует, что миноры М 2 и М34 являются корнями квадратного уравнения
х2 — Ю\х + ь2 = 0.
Следовательно,
(31)
м? = 2 (¿с±)2 — ¿1),
М34 = 1 т уДЩу—и) ,
где = 4 2. Тогда из соотношений Плюккера (9) получаем
М 4М32 = — I2 03 04 + ь
Отсюда, из (30) и обратной теоремы Виета следует, что миноры М\4 и М32 являются корнями квадратного уравнения
У2 + Ю?у — г203 04 + 1^ = 0.
Следовательно,
ми = 1 [—ю? ± ^/¡202Т4~120307—й),
(32)
М32 = 2 (— 02 т +
и теорема доказана. ■
Идентификация распадающихся краевых условий
Рассмотрим теперь частный случай задачи Ь — задачу Ь0 для уравнения (1) со следующими распадающимися краевыми условиями:
и!(у) = ап у(0) + а!2 у'(0) = 0, (33)
и?(у) = а?3 у (к) + а?4 у'(к) = 0. (34)
Для задачи (1), (33), (34) (Ь0) миноры М!2 и М34 обращаются в нуль:
м!2 = 0, М34 = 0. (35)
Отсюда и из (5) получаем:
Л) = М32 У! (и, Л) + М4?у!(к, Л) + М!3У2(к, Л) + Миу2(тг, Л). (36)
Пусть д(х) = — х), д(х) = — х). Тогда, также как при доказательстве равенств (8) (см. теорему 1), получаем равенства:
М32 = СМ'.
32,
М4
42
СМ42, М13 = С М13, Ml
14
СМ
14.
(37)
Отсюда следует, что краевые условия задач Ь и Ь совпадают (с точностью до линейных преобразований строк).
Пусть теперь д(х) = д(п — х), д(х) = д(7 — х). Тогда, также как при доказательстве равенств (13) (см. теорему 1), получаем равенства:
М32 + М14 = С (М32 + М14), М42 = С М42, М13 = С М13.
(38)
Откуда также, как и при доказательстве теоремы, получаем два набора равенств
М1
13
С М1
13,
М1
14
С М1
14,
М3
32
С М3
32,
М4
42
С М4
42.
(39)
М1
13
С М1
13,
М1
14
С М3
32,
М3
32
С М1
14,
М4
42
С М4
42.
(40)
Отсюда следует, что краевые условия задач L и L либо совпадают (с точностью до линейных преобразований строк), либо являются (14 и 32)-смежными.
Таким образом, верна следующая
Теорема 4. Пусть спектры задач L и L с распадающимися краевыми условиями (33) и (34) совпадают с учётом их алгебраических кратностей, rank А = 2.
Тогда:
1. Если р(х) = р(ж — х) или (и) q(x) = q(n — х), то матрицы коэффициентов краевых условий А = (а^)2х4 и А = (a,ij)2х4 совпадают с точностью до линейных преобразований строк. То есть в случае несимметрического потенциала задача идентификации распадающихся краевых условий по всем собственным значениям имеет единственное решение.
2. Если р(х) = р(тг — х) и q(x) = q(n — х), то либо матрицы коэффициентов краевых условий А = (а^)2х4 и А = (а^)2х4 совпадают с точностью до линейных преобразований строк, либо являются (14 и 32)-смежными. То есть в случае симметрического потенциала задача идентификации распадающихся краевых условий по всем собственным значениям имеет два решения.
Обозначим через Q матрицу следующего вида:
Q
УlЫ, \1) у[, \1) У2(n, \1) y'2(^т, \1) Уl(K, Х2) у[ Х2) У2, Х2) y^2(^, У1, Х3) У1 (^T, \3) У2(^r, ^ y^2(^, Х3)
(41)
через Qj обозначим минор матрицы Q, полученный вычёркиванием ]-го столбца матрицы Q.
и
Теорема 5. Если р(х) = р(тг — х) или (и) q(x) = q(n — х), rank А = 2, три собственных значения Xj (j = 1,2,3) задачи L удовлетворяют условию:
rankQ = 3, (42)
то задача идентификации краевых условий по этим трём собственным значениям имеет единственное решение, которое представляется формулами 2)-5) из теоремы 2 в зависимости от того, какой из миноров отличен от нуля. Причём миноры в представлениях 2)-5) для матрицы А даются следующими равенствами:
М12 = 0, М34 = 0, М32 = tQi, М42 = —Q2, М13 = tQ3, М14 = —tQ^
Доказательство. Три собственных значения Xj (j = 1, 2, 3) задачи L являются корнями характеристического определителя. Следовательно, они удовлетворяют следующей системе уравнений относительно неизвестных М32, М42, М13, М14:
Xj) = М32У1Ы, Xj) + М42 у1 (Ж, Xj)+ +ММ 13 у 2 (ж , Xj) + М14У2(Ж, Xj) = 0.
Матрица этой системы совпадает с матрицей Q. Согласно условию теоремы, ранг матрицы Q равен трём. Поэтому система уравнений (17) имеет единственное с точностью до ненулевого множителя t решение (43). Теорема доказана. ■
Пример 2
Пусть собственные значения задачи (1), (2) с р(х) = х и д(х) = х2, Л! = 2,0425, Л2 = 3,8163, Л3 = 6,8611. Разложив линейно независимые решения у!(и, Л) и у2(и, Л) в ряд Тейлора по х и Л, подставив частичную сумму ряда из первых 50 членов ряда в (17) и вычислив соответствующие миноры Qj с точностью до пяти значащих цифр, получим: Q! = 3,5147 • 108, Q2 = —3,5147 • 108, Q3 = 3,5147 • 108, Q4 = —3,5147 • 108.
Отсюда и из (43) получаем
м!2 = 0, М34 = 0, М23 = —М32 = —tQ! = —3,5147 • 108 г, М24 = —М42 = tQ2 = —3,5147 • 108 г, М!3 = tQ3 = 3,5147 • 108 г, М!4 = —tQ4 = 3,5147 • 108 г.
Положив Ь = — 3 5!47.!08, получим более простые представления для миноров:
М42 = М?3 = 1, М!2 = ММ34 = 0, М!3 = М!4 = —1.
Так как М23 = 1 = 0, то матрица А с точностью до линейной эквивалентности совпадает с матрицей
А
Мхз М23
1
0 Мз4
0 М23
—мх 2 о м
23
М'
24
-1 1 0 0 0 0 11
Таким образом, задача идентификации краевых условий в данном случае имеет единственное решение. Это решение представляет собой следующие краевые
условия
у'(0) — у(0) = 0, у'(т)+у(т) = 0.
Обозначим через К матрицу следующего вида:
К
улк, А1) у'^тт, А1) У2(тг, А1) У1(к, А2) y'l(т, А2) У2 (т, А2)
(45)
через Щ обозначим минор матрицы К, полученный вычёркиванием ]-го столбца матрицы К.
Теорема 6. Если р(х) = р(т — х) и д(х) = — х), ra.uk А = 2, два собственных значения А^ (] = 1,2) задачи Ь удовлетворяют условию:
гапк К =2,
(46)
то задача идентификации краевых условий по этим двум собственным значениям имеет два решения, которые представляется формулами 2)-5) из теоремы 2 в зависимости от того, какой из миноров отличен от нуля. Причём миноры в представлениях 2)-5) для матрицы А даются следующими равенствами:
М2 = 0, М34 = 0, М32 = 2 (Кг ±Л/к\ + 4 К' кЛ ,
2 V , \_(47)
М42 = —К2, М3 = I Кз, М4 = ЦК тл/К2! +4К2 К3) .
Доказательство. Два собственных значения А^ (] = 1,2) задачи Ь являются корнями функции (36). Следовательно, они удовлетворяют следующей системе уравнений относительно неизвестных х = М 2 + М34, х2 = М32, х3 = М42, Х4 = М3, х5 = М\4:
( Мз2 + Ми) У1(т, А3) + М42 у[(т, А3) + м3 У2(т, А3) = 0.
(48)
Матрица этой системы совпадает с матрицей К (45). Согласно условию теоремы, ранг матрицы К равен двум. Поэтому система уравнений (48) имеет единственное с точностью до ненулевого множителя решение:
М32 + М 4 = ЬКЪ М42 = —К2, М 3 = г К3.
(49)
Из соотношений Плюккера (9), (35) и (49) получаем
М32 ми = — е п2 п3.
(50)
Из равенств (49), (50) и обратной теоремы Виета следует, что М32 и Мг4 являются корнями квадратного уравнения
г2 — ЬКхг — ^ В2В3 = 0.
Откуда
М32 = 2 (пг ± , Ми = 2 [яг Т л/Щ+ЩЖ)
Отсюда и из (49) и вытекает утверждение теоремы.
(51)
Пример 3
Пусть собственные значения задачи (1), (2) с р(х) = 1 и д(х) = 1, Лг = 2,5516, Л2 = 2,9870. На самом деле собственные значения брались с точностью до 50 значащих цифр. Разложив линейно независимые решения уг(-к, Л) и у2(т1, Л) в ряд Тейлора по х и Л, подставим частичную сумму ряда из первых 50 членов ряда в (45) и вычислим соответствующие миноры Ж с точностью до пятидесяти значащих цифр, получим: Вг = —1,4852, В2 = 0,7426)2, В3 = —0,74262.
Отсюда и из (47) получаем единственное (кратное) представление (^В2 + 4В2В3 = 0 при точности вычислений 50 значащих цифр):
М12 = 0, М34 = 0, М32 = 2 [Вг ± у/В2 + 4В2 В^ = —0,74262 г, М42 = ЬВ2 = —0,74262 г, Мгз = ЬВ3 = —0,74262 г, Мы = — 2 (Яг Т л/В2! + 4В2 В^ = —0,74262 г.
(52)
Положив Ь= 0 71262, получим более простые представления для миноров:
Мг2 = М34 = 0, Мгз = —1, М42 = —1, Мы = —1, М32 = —1.
Так как М23 = 1 = 0, то матрица А с точностью до линейной эквивалентности совпадает с матрицей
А
Мгз М23
1
0 М'34
0 М23
— Мг2 0 М
23
М2
24
—1 1 0 0 0 0 11
Таким образом, задача идентификации краевых условий в данном случае имеет единственное (кратное) решение. Это решение представляет собой следующие
краевые условия:
у'(0) — у(0) = 0, у'(ж)+у(ж) = 0.
Благодарности
Работа проводилась при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Башкортостан (проекты 18-51-06002-Аз_а, 18-01-00250-а, 17-41-020230-р_а, 17-41-020195-р_а), Минобрнауки России в рамках государственного задания (проект № 0246-2018-0006), а также Фонда развития науки при Президенте Азербайджанской Республики (проект 1-го Азербайджанско-Российского международного конкурса грантов (Е1Р-Б0М-4^РТР-1/2017)
Литература
1. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. Киев : Наукова думка, 1977.
2. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. М. : Наука, 1969. 526 с.
3. Коротяев Е.Л., Челкак Д.С. Обратная задача Штурма-Лиувилля со смешанными краевыми условиями // Алгебра и анализ. 2009. Т. 21, № 5. С. 114-137.
4. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Равномерная устойчивость обратной задачи Штурма-Лиувилля по спектральной функции в шкале соболевских пространств // Труды Математического института им. В.А. Стеклова РАН. 2013. Т. 283. С. 188.
5. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Обратные задачи для оператора Штурма-Лиувилля с потенциалами из пространств Соболева. Равномерная устойчивость // Функциональный анализ и его приложения. 2010. Т. 44, №. 4. С. 34-53.
6. Гусейнов Г.Ш. Обратные спектральные задачи для квадратичного пучка операторов Штурма-Лиувилля на конечном интервале // Спектральная теория операторов и ее приложения. Баку, 1986. Вып. 7. С. 51 — 101.
7. Набиев И.М., Шукюров А.Ш. Решение обратной задачи для оператора диффузии в симметрическом случае // Изв. Сарат. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 9, вып. 4, ч. 1. С. 36-40.
8. Садовничий В.А. Единственность решения обратной задачи в случае уравнения второго порядка с нераспадающимися условиями, регуляризованные суммы части собственных чисел. Факторизация характеристического определителя // ДАН СССР. 1972. Т. 206, № 2. С. 293-296.
9. Юрко В.А. Обратная задача для дифференциальных операторов второго порядка с регулярными краевыми условиями // Матем. заметки. 1975. Т. 18, № 4. С. 569576.
10. Плаксина О.А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. I // Матем. сборник. 1986. Т. 131, № 1. С. 3-26.
11. Плаксина О.А. Обратные задачи спектрального анализа для операторов Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями. II // Матем. сборник. 1988. Т. 136, № 1. С. 140-159.
12. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Обратная задача Штурма-Луивилля с нераспадающимися краевыми условиями. М. : Изд-во МГУ. 2009.
13. Садовничий В.А., Султанаев Я.Т., Ахтямов А.М. Теоремы разрешимости несамосопряженной обратной задачи Штурма-Лиувилля с нераспадающимися краевыми условиями // Дифференц. уравнения. 2015. Т. 51, № 6. С. 706-713.
14. Гусейнов И.М., Набиев И.М. Обратная спектральная задача для пучков дифференциальных операторов // Математический сборник. 2007. Т. 198, № 11. C. 4766.
15. Гнуни В.Ц., Оганисян З.Б. Определение граничных условий круглой кольцевой пластинки по заданным частотам собственных колебаний // Известия НАН РА, серия «Механика». 1991. Т. 44, № 5. C. 9-16.
16. Оганисян З.Б. Об одной задаче восстановления граничных условий на концах стержня при заданном спектре частот собственных поперечных колебаний // Вопросы оптимального управления, устойчивости и прочности механических систем (научные труды конференции). Ереван, 1997. С. 159-162.
17. Оганисян З.Б. Об одной задаче восстановления граничных условий на краях пластинки при заданном спектре частот собственных поперечных колебаний // Учёные записки ЕГУ. 1991. № 1. С. 45-50.
18. Ахтямов А.М. Теория идентификации краевых условий и её приложения. M. : Физматлит, 2009.
19. Ахтямов А.М. О единственности восстановления краевых условий спектральной задачи по её спектру // Фунд. и прикл. математика. 2000. Т. 6, № 4. C. 995-1006.
20. Ахтямов А.М. К единственности решения одной обратной спектральной задачи // Дифференц. уравнения. 2003. Т. 8. C.1011-1015.
21. Ахтямов А.М., Утяшев И.М. Идентификация краевых условий на обоих концах струны по собственным частотам колебаний // Акустический журнал. 2015. Т. 61, № 6. C. 647-655.
IDENTIFICATION GENERAL BOUNDARY CONDITIONS OF THE DIFFUSION
OPERATOR
R.Yu. Galimov1
Assistant Professor, e-mail: galimovry@mail.ru A.M. Akhtyamov1,2
Dr.Sc. (Phys.-Math.), Professor, e-mail: akhtyamovam@mail.ru
1Bashkir State University, Ufa, Russia 2Mavlyutov Institute of Mechanics, Ufa, Russia
Abstract. The problems of identification of both general and separated boundary conditions of the diffusion operator by its eigenvalues are investigated. For general boundary conditions it is shown that if at least one of the coefficients in the differential equation is asymmetric function, then the problem of identifying boundary conditions by all eigenvalues has two solutions, and if both of the coefficients are symmetric functions, then the problem of identifying the boundary conditions over all there are infinitely many solutions to the eigenvalues. It is also proved that if at least one of the coefficients in the differential equation is an asymmetric function, then two solutions can be obtained by four eigenvalues, if the rank of some matrix is four. For separated boundary conditions it is shown that if at least one of the coefficients in the differential equation is an asymmetric function, then the problem of identifying boundary conditions by all eigenvalues has a unique solution, and if both of the coefficients are symmetric functions, then the problem of identifying boundary conditions has two
