Диагностирование относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Техническая акустика» http://webcenter.ru/~eeaa/ejta/

2004, 19

А. М. Ахтямов, Г. Ф. Сафина

Россия, 450000, г. Уфа, ул. К.Маркса, 12, корп. 6, Институт механики УНЦ РАН e-mails: [email protected], [email protected]

Диагностирование относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки

ВВЕДЕНИЕ

Круговые цилиндрические оболочки являются элементами сложных механических систем, широко используемых в технике. Известно, что величины жесткости закреплений краевых ребер оболочек со временем могут менять свои значения в связи с усталостью материалов и температурными изменениями. Поэтому, определение жесткостей закреплений краев оболочек важно для проверки надежности работы механической системы. Об относительной жёсткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки чаще можно судить после разборки механической системы. Поэтому в настоящее время развивается направление, возникшее на стыке теории механизмов с акустикой [1, 2], решающее задачи оперативного контроля технических конструкций без их разборки.

Целью настоящей работы является определение жесткости упругих закреплений цилиндрических оболочек по собственным частотам их колебаний. Ранее подобная задача для оболочек не решалась. Возможности акустического диагностирования рассматривались для струн, мембран, стержней и пластин [3 - 7].

Математическое содержание проблем колебаний оболочек сводится к рассмотрению линейных, однородных дифференциальных уравнений с однородными краевыми условиями. Коэффициенты дифференциальных уравнений являются функциями, содержащими в себе частоту свободных колебаний. Влияние ряда краевых условий на величины собственных значений задач колебаний оболочек исследовалось в работах [8 - 15]. Однако, обратная зависимость — зависимость краевых условий от собственных частот — в этих работах не рассматривалась.

Получена 13.10.2004, опубликована 02.12.2004

Предлагается метод, с помощью которого можно определить коэффициенты жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки в механической системе по двум собственным частотам ее осесимметричных колебаний.

1. ПРЯМАЯ ЗАДАЧА

Прежде чем поставить обратную задачу — задачу диагностирования — рассмотрим влияние упругости закрепления краевых ребер на собственные значения замкнутых круговых ортотропных цилиндрических оболочек. Задача об осесимметричных колебаниях оболочек с упругими краевыми рёбрами сводится [10] к спектральной задаче

y 4( х) -Л4 y(x) = 0 (1)

с краевыми условиями:

y"(0) = y"(l) = 0 ;

y "" (0) + B0¡-3 y(0) = 0; (2)

y " (¡) - B¡-3 y(¡) = 0.

Здесь Я — собственное значение задачи, которое связано с частотным параметром и [10], B — относительная жёсткость рёбер; причем в сечении х = 0 цилиндрической оболочки имеем В0, в сечении х = ¡ — B¡.

Так как Я >0, то при двух мнимых и двух действительных корнях характеристического уравнения общее решение уравнения (1) можно представить в виде

y(х) = C1 cosh Ях + C2 cos Ях + C3 sinh Ях + C4 sin Ях.

Стандартными методами с помощью характеристического детерминанта [15] находится трансцендентное уравнение для краевой задачи (1):

a6(1 - coshacosa) + a3(B0 + B¡)(sinhacosa- coshasina) + 2В0B¡ sinhasina = 0. (3)

Здесь a = Я — безразмерный параметр, зависящий от вида решения дифференциального уравнения и краевых условий. Из уравнения (3) при различных значениях относительной жесткости определяются собственные значения замкнутых круговых цилиндрических оболочек. Такое влияние краевых условий на величины собственных значений хорошо изучено [10]. Мы рассмотрим обратное влияние — влияние собственных частот на краевые условия.

2. ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА

Поставим к прямой задаче обратную: по собственным частотам свободных осесимметричных колебаний замкнутых круговых ортотропных цилиндрических оболочек найти упругость закрепления краевых ребер. В терминах спектральной задачи (1), (2) задача диагностирования состоит в том, что по известным ненулевым собственным значениям задачи (1) найти неизвестные коэффициенты B0, Bt краевых условий (2). В настоящей работе найден метод решения задачи,

соответствующий общему случаю, когда 0 < Б01 < да (т. е. допускается и случай

абсолютно жесткого закрепления).

Поскольку учитывается жесткое закрепление, то краевые условия (2) задачи (1) правильнее записать в виде:

При абсолютно жестком закреплении ребер в краевых условиях (2) остаются только вторые слагаемые. Этому же соответствует случай а1 = 0, Ъх = 0 в краевых условиях (4).

Обозначим матрицу, составленную из коэффициентов краевых условий (4), через А:

а миноры, составленные из /-го и j-го столбцов этой матрицы — через Mtj (i = 1, 2, 3;

В таких обозначениях задача диагностирования формулируется следующим образом. Известны отличные от нуля собственные значения Я{ задачи (1), ранг

матрицы А равен 2, миноры М12 и М34 этой матрицы равны нулю; неизвестны

коэффициенты а0, а1, Ь0, Ь1 краевых условий (4). Требуется восстановить матрицу А с

точностью до линейной эквивалентности.

3. МЕТОД РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ

Частотное уравнение для краевой задачи (1) находим стандартными методами [15]. Приравнивая к нулю характеристический детерминант Дх, получим

где /1(Я) = 2sinh Я1 sin Я1, /2(Я) = A3(cosh Я1 sin Я1 - sinh Я1 cos Я1), f3 (Я) = Я6 (cosh Я1 cos Я1 -1).

Пусть Я и Я2 — два собственных значения спектральной задачи (1), (4), соответствующие первым двум частотам осесимметричных колебаний оболочки. Тогда равенства (6) представляют собой систему двух уравнений от трех неизвестных M13,

(M14 — M23), M24. Если ранг системы уравнений (6) равен двум, то система имеет единственное решение с точностью до постоянного множителя. Определив все

y 40) = y"(l) = 0;

ai y "(0) + a y(0) = 0; bi y"(і) - К y(l) = 0.

(4)

Здесь B0l 3 = a0a1 1; BJ 3 = b0b1 1.

(5)

f a0 a, 0 0 ^

A = 0 1 ,

V0 0 - b0 bi J

j = 2, 3, 4.).

(6)

неизвестные миноры , можно найти матрицу А с точностью до линейных

эквивалентных матриц, т. е. восстановить краевые условия задачи (1).

В приведенных ниже таблице и диаграммах представлены изменения значений жесткости закрепления на одном из краевых ребер оболочки в зависимости от изменений собственных значений спектральной задачи (1), (4). В них можно увидеть зависимость коэффициента относительной жесткости В1 (при фиксированном В0) от

собственных значений 4 и 42 данной спектральной задачи.

Таблица 1. Зависимость коэффициентов относительной жесткости от собственных значений задачи (1), (4)

№ ^0 в1 Вид частотного уравнения (6) Корни уравнения (6): 4 ; 42

1 1 0 Л(4)+/3(4) = 0 1,410843600; 4,739520795

2 1 1 /(4) - 2/2(4 ) - Л(4 ) = о 1,564153306; 4,748887841

3 1 2 2/1(4 ) - 3Л(4 ) - 2/з (4 ) = 0 1,750140001; 4,758314548

4 1 5 5/Л4) - 6/2(4,) - 5/3 (4) = 0 2,124978866; 4,786924343

5 1 10 10/1(4) -11/2(4) -10/з(4) = 0 2,477953280; 4,835531486

6 1 50 50/(4 ) - 51/2(4) - 50/3(4) = 0 2,477953280; 4,835531486

7 1 100 100/1(4) -101/2(4) -100/3(4) = 0 3,622201070; 5,632310215

8 1 2000 2000/ (4) - 2001/2 (4) - 2000/2 (4) = 0 3,927120456; 6,979162672

9 1 да /(4) - /2(4) = 0 3,943181652; 7,071418764

(а) (б)

Рис. 1. Зависимость коэффициентаБ1 от собственных значений Л1 (а) и Л2 (б)

при фиксированном значении Б0

3. ПРИМЕРЫ

Применение метода рассмотрим непосредственно на примерах (для определенности примем, что I = 1).

Пример 1

Пусть Л1 = 1,56153060, Л2 = 4,748887841 — собственные значения задачи (1), (4), соответствующие первым двум собственным частотам осесимметричных колебаний оболочки. Необходимо найти матрицу А с точностью до эквивалентных матриц, т. е. определить коэффициенты относительной жесткости упругих краевых ребер оболочки. Система уравнений (6) перепишется следующим образом:

4,569260008М13 + 9,485581903(М14 -М23)-14,40190378М24 = 0;

- 115,3702577М13 - 6404,394755(М14 -М23) + 12693,41926М24 = 0 .

Решение системы имеет вид:

М13 = -0,5000000030С;

М13 = -0,5000000030С ; (7)

М14 - М23 = С .

По решению разность М14 -М23 является произвольной постоянной. Так как М13 Ф 0, а М13 = -а0Ь0, то а0 Ф 0 и Ь0 Ф 0. Разделим первую и вторую строки матрицы А соответственно на а0 и Ь0. После этих преобразований (с точностью до эквивалентных матриц) матрицу А можно представить в виде

А =

Из последней матрицы следует, что М13 =-1, значит С = 2 и М 24 = 1. Поскольку здесь М14 — М23 = а1 + Ъ1, М24 = а1Ь1, то из равенств а1 + Ь1 = 2, а1Ь1 = 1 по обратной теореме Виета имеем, что а1 = 1 и Ь1 = 1. Значит

(1 1 0 0 ^

0 0 -11

А =

Далее по формулам (5) определим коэффициенты относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки: В0 = 1, В1 = 1.

Заметим, что относительные жесткости упругих краевых ребер определены верно. Числа Л1 и Л2, приведенные выше, совпадают с первыми двумя корнями частотного уравнения (6) при значениях

а0 = 1, а1 = 1, Ъ0 = 1, Ь1 = 1, т. е. при М13 = — 1, М14 = 1, М23 = — 1, М24 = 1.

Пример 2

Пусть собственные значения задачи (1), (4) таковы: 4 = 1,750140001;

Л2 = 4,758314548 . Найдем матрицу А . В этом случае получаем решение системы (6) в виде:

М13 = —0,6666667028С ;

М24 = 0,3333333288С ;

М14 — М23 = С .

Поскольку М24 Ф 0, то а1 Ф 0 и Ь1 Ф 0. Проводя аналогичные, как в примере 1, рассуждения, получим что М24 = 1, С = 3, М24 = 1. Тогда из равенств а0 + Ь0 = 3 и а0Ь0 = 2 находим, что а0 = 1, Ь0 = 2 или а0 = 2, Ь0 = 1. Матрица А примет вид

(1 1 о о ґ 2 1 0 о

А = или А =

0 0 1 0 0 -1 1,

Значит, в этом случае имеем следующие коэффициенты относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки: В0 = 1, В1 = 2 или В0 = 2, В1 = 1.

Относительные жесткости упругих краевых ребер определены верно. Числа Л1 и Л2, рассмотренные в примере, совпадают с первыми двумя корнями частотного уравнения

(6) при значениях

а0 = 1, а1 = 1, Ь0 = 2, Ь1 = 1 или М13 = —2, М14 = 1, М23 = —2, М 24 = 1.

Пример 3

Рассмотрим следующие собственные значения задачи (1), (4): 4 = 3,141592654 и 42 = 6.283185307 . Система (6) при этих значениях 4 имеет решение:

М13 = 0,3238085777• 1011 С ;

М24 = 0,004236256425С ;

М14 — М23 = С .

Поскольку М14 — М23 является произвольной постоянной, а М13 значительно больше

(на множитель 1011 ) остальных неизвестных, то с достаточно большой точностью можно считать, что М13 = 1, а М24 = 0, М14 — М23 = 0 . Так как М13 Ф 0, то а0 Ф 0 и

Ь0 Ф 0. Проделав аналогичные, как в предыдущих примерах, действия с матрицей А, с

точностью до эквивалентных матриц получим

(1 а1 0 0 ^

ч0 0 -1 ь ,.

А=

Из условий равенства нулю М24 и М14 — М23 имеем, что а1 = 0 и Ь1 = 0 . Тогда матрица А примет вид:

(1 0 0 0^

0 0 10,

А =

Значит, коэффициенты относительной жесткости упругих краевых ребер

цилиндрической оболочки следующие: В0 = да и В1 = да .

Снова заметим, что относительные жесткости упругих краевых ребер определены верно. Числа 4 и Л2, рассмотренные в примере, совпадают с первыми двумя корнями частотного уравнения (6) при значениях М13 = 1, М14 = 0, М23 = 0, М24 = 0. Этот

пример показывает, что, зная первые две собственные частоты осесимметричных колебаний цилиндрической оболочки, рассмотренным методом можно определить и абсолютно жесткое закрепление ее краевых ребер.

Приведенные выше примеры показывают, что рассмотренным методом можно определить любые значения коэффициентов относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изменения численных значений частот колебаний оболочек свидетельствуют об изменениях жесткости закреплений их краевых ребер. Решенная задача определения относительной жесткости упругих краевых ребер цилиндрической оболочки позволяет диагностировать жесткость ее закреплений. Найденные формулы дают способ определения относительной жесткости по первым двум собственным частотам осесимметричных колебаний оболочки. Причем, рассмотренным методом можно определить и абсолютно жесткое закрепление краевых ребер. Кроме того, этот же метод может быть применен для диагностирования коэффициентов жесткости закреплений стержней, так как задача об изгибных колебаниях стержня сводится к спектральной задаче, аналогичной задаче (1).

ЛИТЕРАТУРА

1. Артоболевский И. И., Боровицкий Ю. И., Генкин М. Д. Введение в акустическую динамику машин. М.: Наука, 1979.

2. Генкин М. Д., Соколова А. Г. Виброакустическая диагностика машин и механизмов. М.: Машиностроение, 1987.

3. Ахатов А. М., Ахтямов А. М. Определение вида закрепления стержня по собственным частотам его изгибных колебаний. Прикладная математика и механика, 2001, т. 65, вып. 2, 290-298.

4. Ахтямов А. М. Можно ли определить вид закрепления колебающейся пластины по ее звучанию? Акустический журнал, 2003, т. 49, №3, 325-331.

5. Ахтямов А. М. Диагностирование закрепления кольцевой пластины по собственным частотам ее колебаний. Известия РАН, МТТ, 2003, №6, 137-147.

6. Ахтямов А. М. Диагностирование нераспадающихся закреплений. Приборы и системы. Управление, контроль, диагностика, 2004, №7, 51-52.

7. Akhtyamov A. M., Mouftakhov A. V. Identification of boundary conditions using natural frequencies. Inverse Problems in Science and Engineering, 2004, vol. 12, №4, 393-408.

8. Агеносов Л. Г., Саченков А. В. Устойчивость и свободные колебания тонких цилиндрических оболочек кругового сечения при разных краевых условиях. Сб. «Исследования по теории пластин и оболочек», вып. 2, Изд. Казанск. гос. ун-та, 1964.

9. Маневич Л. И., Стежко А. В. О влиянии краевых условий на частоты колебаний и критические напряжения цилиндрической оболочки. Прикладная механика, т. 4, вып. 3, 1968.

10. Антоненко Э. В. Свободные колебания и устойчивость оболочек с упругими краевыми ребрами. Прикладная механика, 1975, т. 11, вып. 6, 44-50.

11. Кан С. Н. Строительная механика оболочек. М.: Машиностроение, 1966.

12. Гонткевич В. С. Собственные колебания пластин и оболочек. Киев: Наукова думка, 1964, 288с.

13. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в 3-х томах. Под ред. И. А. Биргера и Я. Г. Пановко. М.: Машиностроение, т. 1. 1968, 831с.

14. Вибрации в технике: Справочник. т. 1. Колебания линейных систем. Под ред. В. В. Болотина. М.: Машиностроение, 1978, 352 с.

15. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976.