Моделирование свободных колебаний звукопроводящей системы реконструированного среднего уха Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531/534: [57+61]

МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ ЗВУКОПРОВОДЯЩЕЙ СИСТЕМЫ РЕКОНСТРУИРОВАННОГО СРЕДНЕГО УХА

Г.И. Михасев*, М.А. Фирсов*, В.П. Ситников**

* Витебский государственный университет им. П.М. Машерова, Беларусь, 210038, Витебск, Московский пр., 33, e-mail: [email protected]

Институт болезней уха, горла, носа и речи, Россия, 198013, Санкт-Петербург, ул. Броницкая, 9, e-mail: [email protected]

Аннотация. В работе предлагается простейшая математико-механическая модель реконструированной колебательной системы среднего уха человека. Восстановленная колебательная система состоит из круглой пластинки, изготовленной из хряща, и двух шарнирно-соединенных между собой стержней. Первый стержень, жестко скрепленный с искусственной барабанной перепонкой, моделирует Т-типа протез, замещающий цепь косточек «молоточек-наковальня», а второй - стременную косточку. Выводится система нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая свободные радиально несимметричные колебания механической системы среднего уха. Для случая малых колебаний выведено трансцендентное уравнение относительно собственных частот системы. Исследуется влияние механических и физических характеристик вводимого протеза на нижний спектр собственных частот. Приводится сравнение частот реконструируемой колебательной системы с собственными частотами среднего уха в норме, найденными другими авторами на основе конечноэлементного моделирования.

Ключевые слова: среднее ухо, свободное колебание, звукопроводящая система, реконструкция, собственные частоты.

Введение

Механические повреждения мембраны, а также ограниченная подвижность цепи косточек среднего уха, вызванная отосклерозом и другими заболеваниями, может приводить к значительному снижению порога акустической восприимчивости или к полной потере слуха. В ряде случаев, с целью устранения патологических изменений или механических повреждений, в оториноларингологии прибегают к частичной или полной реконструкции среднего уха [1]. Объем реконструкции зависит от степени повреждения каждого составляющего элемента колебательной системы среднего уха. Классификации используемых на практике реконструктивных операций приведены в [1-3].

В настоящей работе рассматривается случай частичной реконструкции [1, 4], когда барабанная перепонка замещается искусственной мембраной, изготовленной из хряща [5], а вместо поврежденной цепи косточек «молоточек-наковальня» вводится Т-образный протез (рис. 1).

© Г.И. Михасев, М.А. Фирсов, В.П. Ситников, 2005

09806267

Рис. 1. Реконструированное среднее ухо: 1 -восстановленная мембрана, 2 - Т-образный протез, 3 - стремя, 4 - основание стремени

Рис. 2. Геометрическая модель реконструированного среднего уха: 1 - восстановленная мембрана, 2 - Т-образный протез, 3 - стремя, 4 - основание стремени, 5 - головка стремени, 6 - основание протеза

Последний вставляется таким образом, что его конец соединяется с головкой стременной косточки [6], а шляпка склеивается с мембраной. Будем рассматривать протез как недеформируемый стержень. Тогда, считая, что склеивание протеза с мембраной является жестким, будем моделировать последнюю как тонкую кольцевую пластинку (рис. 2), изготовленную из вязкоупругого изотропного материала.

Основание стремени представляет собой овальную жесткую пластинку, которая крепится при помощи связок к костной ткани. Жесткостные свойства связок овального окна были изучены в работе [7]. Введем прямоугольную ортогональную систему

координат Охуг с центром в основании покоящегося стремени (рис. 2). Стременная

т

косточка обладает шестью степенями свободы. Пусть и =(их, иу, иг, ах, ау, аг) -вектор перемещений и поворотов стремени в системе координат Оху2, где их, иу, и -проекции перемещения центра масс С на оси Ох, Оу, Ог, а ах, ау, аг - повороты стремени вокруг этих осей, соответственно. Обозначим через F - вектор усилий и моментов, действующих со стороны связок овального окна. Тогда

(1)

здесь

С = с

ЯВ ге/

51,40 - 0,24

-1,37 0,04 мм 9,66 мм 0,35 мм

- 0,60 - 7,87 мм - 1,01мм - 8,40 мм

27,80 0,37 мм 17,10 мм 0,96мм

8,29 мм2 0,58 мм2 2,60 мм2

29,70мм2 1,60 мм2

12,90 мм2

(2)

зут

- матрица жесткости, характеризующая упругие свойства связок овального окна [7], где коэффициент сге/ колеблется в пределах 0,035 до 0,050 Н/мм.

Рис. 3. Механическая модель реконструированного среднего уха: 1 - восстановленная мембрана, 2 - Т -образный протез, 3 - стремя, 4 - основание стремени

Механическая модель

Существует несколько способов установки Т-образного протеза, зависящих как от степени патологии, так и от индивидуальной архитектуры полости среднего уха. Поскольку амплитуда колебаний пластинки (искусственной мембраны) является наибольшей в центре, то оптимальным с точки зрения передачи энергии является такое положение протеза, при котором его основание находится как можно ближе к центру пластинки. Здесь рассмотрим упрощенную модель, когда центры пластинки и основания протеза находятся в одной точке Ор (рис. 3).

Анализ матрицы (2) показывает, что сопротивление связок овального окна будет наименьшим, если стремя совершает поступательные перемещения в направлении оси 02 и повороты вокруг оси Ох (рис. 2). Поэтому для анализа малых (линейных) низкочастотных колебаний можно рассмотреть плоские движения цепи “протез-стремя”. На рис. 3 показана упрощенная модель реконструированной колебательной системы при плоском движении протеза и стремени. Ее положение однозначно определяется величинами Ж, 0р, 0* ус, 2с, где Ж - нормальный прогиб пластинки, 0р и ©я = ах - углы поворотов протеза и пластинки вокруг осей 0рх и Ох соответственно, а ус, 2с - координаты центра масс стремени в исходной системе координат Охуг (здесь

2с ~0).

Уравнения движения

Уравнение свободных колебаний кольцевой вязкоупругой, изотропной пластинки, моделирующей искусственную мембрану, имеет вид [8, 9]:

2

£Д22 [Ж(г, ф, 0] + ста Щг, Ф, 0 = 0. (3)

дг

Здесь

г

2 [г(г, ф, г)] = г (г, ф, г) - | Я(г - т) г(г, ф, т)Л

-ТО

- интегральный оператор с ядром релаксации Я(г), А - оператор Лапласа в полярной системе координат г, ф (Ь < г < а) с центром в точке 0р, Б = £Л3/[12(1-У2)] -цилиндрическая жесткость пластинки, к - толщина пластинки, Е, V - мгновенные модуль Юнга и коэффициент Пуассона, а - поверхностная плотность материала.

По внешнему контуру барабанная перепонка граничит с волокнисто-хрящевым кольцом (мембранным кольцом) [10], упругие свойства которого непостоянны по периметру [11] и могут сильно колебаться у каждого человека. Учитывая данное обстоятельство, рассмотрим два варианта крепления пластинки по внешнему контуру (г = а) - жесткую и упругую заделку. Для жесткой заделки

пгґ \ дЖ (г, ф, г)

Ж (г, ф, г) =------------- --------- = 0 при г = а

дг

(4)

и для случая упругой заделки

дЖ

кЖ = дь, к^ —=ыь при г = а

дг

(5)

где

& = Б!

Мг = Е<1

д

дг

2

д Ж 1 дЖ 1 д Ж

- + —

■ + -

г дг г дф2

Б

д 2Ж

дг2

Г1 дЖ 1 дЖ

+ а----------+

г дг г дф

2

У.

(6)

- перерезывающая сила и изгибающий момент в пластине, кя1, кг - коэффициенты, определяющие жесткость мембранного кольца на нормальное перемещение и поворот пластинки, соответственно. Значения кі, кг для нижней и верхней частей мембранного кольца, найденные экспериментально для среднего уха в норме, приведены в работе [11]. При возрастании параметров кі, кяг жесткость мембранного кольца увеличивается, а в пределе, при кі кг ^ то, условия упругой заделки (5) переходят в условия жесткого крепления пластинки.

Радиально симметричные колебания пластинки, соответствующие поступательному движению протеза, были изучены в работах [9, 12, 13]. Здесь рассмотрим случай, когда пластинка имеет один узловой диаметр. Тогда граничные условия на внутреннем контуре примут вид

Ж = Ь СОБ ф БІЙ 0 р (г) ,

дЖ

дг

= 0 при г = Ь.

(7)

Заметим, что для собственных форм колебаний пластинки с п > 2 числом узловых диаметров протез является неподвижным. Поэтому данные формы колебаний не представляют интереса и здесь не рассматриваются.

Вращательное движение протеза описывается уравнением

!р © р = Мор,

(8)

где 1Р - момент инерции протеза относительно оси ОРх, МОр - главный момент всех сил, действующих на протез относительно оси Орх. Момент состоит из двух компонент

Мор = М(р + М,

Ор

г(я) Ор •

(9)

Здесь

MOp) = ~nbD<

d2S(W) Г1 dS(W) S(W)^ . 5

+ с------^-------V 1 + V A^(W)

dr V r dr r J dr \

(10)

•=b

- равнодействующая изгибающих моментов и моментов перерезывающих сил (6) в пластине относительно оси ОРх, действующих по внутреннему контуру (г = Ь), а

MOp = lpYk (t )cos 0 p (t) + lpZk (t )sin 0 p (t) (11)

- момент силы Fk = (Yk, Zk) в шарнирном соединении К, действующий со стороны

протеза, где lp - длина протеза, Yk, Zk - проекции силы Fk на оси Oy, Oz, соответственно.

Стремя совершает сложное плоское движение, состоящее из поступательных движений вдоль осей Oy, Oz и вращения вокруг оси Сх (здесь Cx - ось, проходящая через центр масс С параллельно Ox).

Поступательные движения описываются двумя скалярными уравнениями

mjc = Yk -C22(lp sin 0p -ls sin04), (12)

mszc = Zk - Сзз(1 - lp cos 0 p - ls cos 0^), (13)

где (0, yC, zC) - координаты центра масс С, ls - длина стремени (расстояние от его головки до основания), l = ls + lc, сц - диагональные элементы матрицы (2), взятые с коэффициентом Cref.

Уравнение вращения стремени вокруг оси Сх имеет вид

Is0S = Yklc cos 0s - Zklc sin 0s - C440s , (14)

где Is - момент инерции стремени относительно оси Cz, lc - расстояние от головки стремени К до центра масс. Параметры Is и lc найдены экспериментально в [7].

Координаты центра масс С стремени однозначно определяются углами 0p, 0s:

yc = lp sin 0p - lc sin 0s, zc = l - lp cos 0p - lc cos 0s. (15)

Малые колебания

Уравнения (8), (12) - (15) являются нелинейными относительно 0Р(О, 0^(0, Ук^),

2к({). Рассмотрим малые колебания системы. После линеаризации приходим к системе линейных уравнений:

Ip 0 p =-TCbDi dr 2 +°

+ b— AS(W)

+ lpYk , (16)

=b

V r dr r2 J dr

ms (lp0 p - lc0s ) = Yk - c22 (lp0 p - ls 0s ), Zk = 0 (17)

Jc0s = Yklc - C440s . (18)

Проведем разделение переменных

W (r, ф, t) = w(r )cos qe~,Qt, (19)

(0 p, 0 s, Yk, Zk ) = e-Qt (0 _, 0 ^, yk, zk ), (20)

где 0=ш+/а, ш - частота колебаний, а - декремент колебаний. Подставив (19) в (3), (5), (7), приходим к дифференциальному уравнению

( й2 1 й

2 +-------------1т--------1

йг г йг

(21)

относительно w с граничными условиями

где

к!1ін(а) - А(О)| н"'(а) +—н"(а) --^н’(а) + -2-н(а) | = 0, V а а а )

кгн'(а) - А(О)| н" (а) + — н'(а) - -аг н(а) | = 0,

V а а )

н(Ь) = Ь9р , н'(Ь) = 0,

А(О)

а А(О) = Б

Л

1 -| Я(г )е ~1Шйг V 0 )

(22)

Задача (21), (22) имеет решение в виде Ь9

н(г) =

М

[М3!3^ (кг) + М32^| (кг) + МззА (кг) + М34К (кг)]

(23)

где М - матрица размерности 4x4 с элементами:

Ми =

2Б ,

—--------к,

V а

Б

2Б т.

31 (ка) + Ш1"(ка) +— 3[(ка)---------— 3[ (ка)

а а

М12 =

М13 =

М14 =

2Б к — - к

V а 2Б к

- к

V а

2Б к - к

V а

5І

Б

2Б ,

У (ка) + БУ1(ка) +— УДка)---------— У{(ка),

а

Б

а

2Б

/1 (ка) + Б11(ка) +— /{'(ка)-------—Г1 (ка),

'5І

а

Б

а

2Б

К1 (ка) + БК["(ка) +— К[(ка)----------— К1 (ка),

а

а

М21 = Б3[(ка) +

М22 = БУ1'(ка) +

М23 = Б/1(ка) +

М24 = БК'Кка) +

Ба

V а ^Ба

V а /Ба

V а Ба

к

5/

Ба

^(ка)--------— 31(ка),

к

а

Ба

У/(ка)-— У1(ка),

-к

а

Ба

\

/[(ка)---— /1(ка),

а

а

-к

К'1(ка) - К1(ка)

а2

М31 = 31 (кЬ), М32 = у (кЬ), М33 = / (кЬ), М34 = К1 (кЬ), М41 = 3'(кЬ), М 42 = У(кЬ), М43 = /1(кЬ), М44 = К1(кЬ),

2

оо

J1(x), У1(х) - функции Бесселя первого и второго рода первого порядка, Л(х), К]_(х) -модифицированные функции Бесселя первого и второго рода первого порядка, а

Мзу (у = 1,...,4) - соответствующие миноры матрицы М.

Подставляя (20) в уравнения (16) - (18) и учитывая (23), приходим к соотношениям

Л а Ір1с(т^ _С22) д 1р(т^ ~ с22)(С44 _ '?с&‘ ) Л

2к = 0, ^ ----------2------®Р, Ук =—Т~2------------------------------2-9р . (25)

т^ 1с ~ С44 + '?с&‘ ~ с22^1с т^ Іс _ с44 + ~ С22^1с

и трансцендентному уравнению пЬ2 Л(О) Г д3 (—

b д~ї (М31J1 (kr) + M32Y1 (kr) + М3311 (kr) + M34K1 (kr)) r=b +

М

д 2 2

+ 2 — (Мз, J ^(kr) + M^kr) + М33 Il(kr) + Мз4 K (kr )) r=b + — (М31J^(kr) + (26)

+ М32 Y1 (kr) + М3311 (kr) + М34K1 (kr)) r=b + (М31J1 (kb) +

lV > 34 1V >)\r=b b 2 V 31 Г

чч 12(m Q2 — c„ )(c.. — J Q2)

+МY (kb) + M33I1(kb) + M34K1(kb)))—-----------------------------------------------------22 442 c-J Q2 = 0.

32 ^ 33 1 34 1 " m Q2i — n + J Q2 — ^,ll p

s c 44 c 22 sc

относительно комплексной частоты колебаний Q.

Численный анализ

В среде Maple V.5 были выполнены расчеты первых шести собственных частот системы, соответствующих радиально несимметричным формам колебаний, при различных значениях входящих в задачу геометрических и физических параметров. В таблицах 1-3 приведены значения собственных частот системы, рассчитанные для случая несимметричных колебаний без учета вязкости реконструированной мембраны (R = 0).

Поскольку механические свойства хряща, используемого для реконструкции мембраны, сильно колеблются (например, для суставного хряща модуль упругости меняется от 2.3 до 50 МПа [14]), было исследовано влияние мгновенного модуля упругости на собственные частоты колебательной системы. В таблице 1 приведены значения частот системы в зависимости от модуля Юнга пластинки в случае жесткого крепления последней на внешнем контуре. Расчеты были выполнены при a=5-10- м, 6=2-10-3 м, ms=3,5-10-6 кг, mp=9-10-6 кг, h=1,5-10-4 м, а=1,2-103 кг/м3, cref=0,035, lp=1,5-10-3 м, ls= 1,5-10-3 м, lc=8,1-10-4 м, Ic=4,97-10-12 м, v=0,4. Как видно, жесткость восстановленной мембраны сильно влияет на спектр частот колебательной системы среднего уха.

Таблица 2 показывает, что при увеличении жесткости мембранного кольца значения собственных частоты увеличиваются, причем при ksi ^ то все частоты шг стремятся к значениям, найденным для случая жесткого крепления на внешнем контуре.

Таблица 1

Зависимость собственной частоты ш; (Г ц) от модуля Юнга восстановленной мембраны в случае ___________________________жесткого крепления на внешнем контуре_________________________________

Е, 107 Н/м2 ю1 Ю2 Ю3 ю4 Ю5 Ю6

1,2 146 399 780 1288 1923 2684

3,2 240 670 1334 2227 3335 4650

5,2 303 780 1625 2682 4003 5589

Таблица 2

Зависимость собственных частот ш; (Гц) от коэффициента ка в случае упругой заделки на внешнем ____________________________________________контуре_____________________________________________

Кг ю1 юэ ю4 Ю5 Ю6

103 80 280 793 1513 2469 3627

104 101 322 804 1522 2476 3630

105 201 424 849 1550 2490 3645

1010 240 670 1334 2227 3335 4650

Таблица 3

Зависимость собственных частот ш; (Гц) от основания протеза Ь в случае упругой заделки на

Ь, 10"3м ю1 ю2 юз ю4 Ю5 Ю6

1 136 371 723 1190 1773 2473

1.5 176 485 953 1584 2310 3224

2 240 670 1334 2227 3335 4650

В таблице 3 приведены значения собственных частот в зависимости от радиуса основания протеза Ь в случае жесткого крепления на внешнем контуре при значениях а = 5-10-3 м, тя = 3,5-10-6 кг, тр = 9-10-6 кг, к = 1,5-10-4 м, а = 1,2-103 кг/м3, сге/= 0,035, 1Р = 1,5-10-3 м, ^ = 1,5-10-3 м, 1С = 8,1 • 10-4 м, Е = 3,2-107 Нм-2, 1С = 4,97-10-12 м, V = 0,4. Анализ таблицы 3 указывает на сильную зависимость собственных частот от радиуса основания протеза, замещающего цепь «молоточек-наковальня».

В таблицах 4-5 приведены значения собственных частот и декрементов колебаний системы, найденные с учетом вязкости искусственной барабанной перепонки для случая жесткого крепления реконструированной мембраны на внешнем контуре. Следует отметить, что вопрос об определении вязкоупругих характеристик биологических тканей и, в частности, суставных хрящей, из которых изготавливается реконструируемая мембрана, является достаточно сложной проблемой. Попытка определить адекватные физические соотношения для биологических тканей ( в том числе и для тимпанической мембраны) с учетом ярко выраженных эффектов релаксации напряжений приводят к довольно сложным нелинейным моделям [15], реализация которых сильно затрудняет расчеты. Отметим также, что физические свойства трансплантируемой ткани с течением времени сильно меняются. Учитывая данные обстоятельства, были проведены расчеты для двух простейших вязкоупругих моделей, характеризующихся, соответственно, экспоненциальным ядром

Я (г) = Ле ^, (27)

Таблица 4

Значения собственных частот (Гц) и декремента колебаний в случае экспоненциального ядра _______________________________ скорости релаксации____________________________________________

Номер частоты 1 2 3 4 5 6 7 8

ю 176,470 240,678 396,522 670,740 825,186 1334,24 1485,12 2226,73

а 0,01124 0,21026 0,01421 0,21032 0,01947 0,21035 0,02058 0,21033

Таблица 5

Значения собственных частот юг- (Гц) и декремента колебаний в случае ядра Ржаницына__________

Номер частоты 1 2 3 4 5 6 7 8

Без учета вязкости 176,470 240,707 396,522 670,894 825,186 1334,64 1485,12 2227,32

ю 163,471 211,077 365,903 596,858 743,400 1197,68 1338,33 2010,94

а 2,43608 5,08983 5,13724 12,6037 13,8150 23,1714 24,8381 36,4745

■ Жесткое крепление

■ С учетом вязкости, в случае ядра Ржаницына

Упругая заделка

■Ухо в норме

Рис. 4. Собственные частоты колебательной системы среднего уха в норме, а также после

хирургической реконструкции

а также ядром Ржаницына

Я (і) = Л Г е

я -р і

(28)

В таблице 4 отображены значения собственных частот ш и декремента колебаний а для экспоненциального ядра при значениях А = 0,0422, Р = 1,3, а = 5-10-3 м, Ь = 2-10-3 м, тя = 3,5-10-6 кг, тр = 9-10-6 кг, к = 1,5-10-4 м, а = 1,2-103 кг/м3, сге/ = 0,035, 1Р = 1,5-10-3 м, 18 = 1,5-10-3 м, 1С = 8,1 • 10-4 м, Е = 3,2-107 Н-м-2, 1С = 4,97-10-12 м, V = 0,4. Нечетный номер частоты и декремента соответствуют радиально-симметричным колебаниям [9], а четный - радиально-несимметричным колебаниям, найденным из уравнения (26).

Аналогичные расчеты, выполненные в случае ядра Ржаницына с параметрами А = 0,4/Г(0.1), Р = 1, ^ = 0,9, где Г(х) - гамма-функция, представлены в таблице 5. Значения остальных параметров колебательной системы взяты такими же, как и в

предыдущем примере. Для сравнения приведены результаты расчетов в случае, когда вязкость материала во внимание не принимается (Л =0). Видно, что учет вязкоупругих свойств мембраны приводит к снижению спектра частот. Как известно, вязкоупругая модель с ядром релаксации, имеющем особенность, наиболее адекватно описывает колебательные процессы в начальный момент времени [16]. Сравнение расчетов, приведенных в таблицах 4 и 5, показывает, что модель Ржаницына в большей степени учитывает эффекты релаксации напряжений, приводящих к затуханию колебаний реконструируемой системы среднего уха.

На рис. 4 для сравнения приведены результаты расчетов для уха в норме, выполненных методом конечных элементов [17] для упругой модели, а также в случае реконструкции при различных способах крепления искусственной мембраны с учетом и без учета вязких свойств последней. Анализ кривых указывает на то, что во всех случаях хирургическая реконструкция приводит к увеличению собственных частот колебательной системы среднего уха, не оказывая при этом заметного влияния на наинизший спектр частот.

Список литературы

1. Huttenbrink, K.B. Mechanical aspects of middle ear reconstruction. / K.B. Huttenbrink // Middle Ear Mechanics in Research and Otosurgery. (ed. by K.-B. Huttenbrink). - Dresden: Dept. of Oto-Rhino-Laringology, Univ. of Technology, 1999. - Р. 165-168.

2. Ситников, В.П. Щадящий вариант функциональной стапедопластинки при отосклерозе / В.П. Ситников, А.Б. Бизунков // Здравоохранение. - 1997. - Vol. 7. - P. 50-51.

3. Sitnikov, V.P. Ossiculoplastz in patients with chronic purulent otitis media / V.P. Sitnikov, A. Kaushic // Proc. Int. Otorhinolaryng. Congress, Bratislava. - 1998. - P. 84.

4. Jahnke, K. Missing handle of malleus: reinforcement of the tympanic membrane / K. Jahnke, B. Leieberum, W. Kuhn // Middle Ear Mechanics in Research and Otosurgery. (ed. by K.-B. Huttenbrink). - Dresden: Dept. of Oto-Rhino-Laringology, Univ. of Technology. - 1997. - P. 197-199.

5. Murbe, D. Assesment of vibration characteristics of different cartilage reconstruction techniques for the tympanic membrane using scanning laser vibrometry / D. Murbe, Th. Zahnert, M. Bornitz, K.-B. Huttenbrink // The function and Mechanics of Normal, Diseased and Reconstructed Middle Ears (ed. by J.J. Rosowski and S.N. Merchant), The Hague. - The Netherlands: Kugler Publication, 2000. - P. 321-329.

6. Eiber, A. On the coupling of prosthesis to the middle ear structure and its influence on sound trasfer / A. Eiber, H.-G. Freitag, G. Schimanski, H.P. Zenner // The function and Mechanics of Normal, Diseased and Reconstructed Middle Ears (ed. by J.J. Rosowski and S.N. Merchant), The Hague. - The Netherlands: Kugler Publication. - 2000. - P. 297-308.

7. Beer, H.-J. Modeling of Components of the Human Middle Ear and Simulation of Their Dynamic Behavior / H.-J. Beer, M. Bornitz, H.-J. Hardke, R. Schmidt, G. Hofman, U. Vogel, T. Zahnert, K.-B. Huttenbrink // Audiol Neurootol. - 1994. - Vol. 4. - P. 156-162.

8. Михасев, Г.И. О свободных низкочастотных колебаниях вязкоупругих цилиндрических оболочек / Г.И. Михасев // Прикл. Механика. - 1992. - Т. 28. - №9. - C. 50-55.

9. Коршиков, В.П. Свободные радиально-симметричные колебания кольцевой вязкоупругой пластины с присоединенным стержнем / В.П. Коршиков, Г.И. Михасев // Вестшк ВДУ. - 2001. - Т. 21 - №3. - С. 103-107.

10. Гельфанд, С.А. Слух: введение в психологическую и физиологическую акустику / С.А. Гельфанд -М.: Медицина, 1984.

11. Wada, H. Three-Dimentional Finite-Element Method (FEM) Analysis of the Human Middle Ear / H. Wada, T. Koite, T. Kobayashi // Middle Ear Mechanics in Research and Otosurgery. (ed. by K.-B. Huttenbrink). -Dresden: Dept. of Oto-Rhino-Laringology, Univ. of Technology, 1997. - P. 76-81.

12. Чигарев, А.В. Биомеханика / А.В. Чигарев, Г.И. Михасев. - Минск: Технопринт, 2004.

13. Mikhasev, G. Modeling of the Dynamic Behavior of the Reconstructed Middle Ear Taking into Account its Initial Strain-Stress State / G. Mikhasev, M. Firsov, S. Ermochenko, V. Sitnikov // Book of Abstracts of the Annual Scientific Conference “GAMM 2004. - Dresden: Technische Universitat Dresden, 2004. - P. 25.

14. Бегун, П.И. Моделирование в биомеханике / П.И. Бегун, П.Н. Афонин. - М.: Высш. школа, 2004.

15. Decraemer, W. A Non-Linear Viscoelastic Constitutive Equation for Soft Biological Tissues, based upon a Structural Model / W. Decraemer, M. Maes, V. Vanhuyse, P. Vanpeperstraete // Journal of Biomechanics. -1980. - Vol. 13. - P. 559-564.

16. Ржаницын, А.Р. Теория ползучести / А.Р. Ржаницын - М.: Стройиздат, 1968.

17. Beer, H.-J. Finite Element Modeling of the Human Eardrum and Applications / H.-J. Beer, M. Bornitz, H.-J. Hardke, R. Schmidt, G. Hofman, U. Vogel, T. Zahnert, K.-B. Huttenbrink // Middle Ear Mechanics in Research and Otosurgery. (ed. by K.-B. Huttenbrink). - Dresden: Dept. of Oto-Rhino-Laringology, Univ. of Technology, 1997. - P. 40-47.

FREE VIBRATIONS MODELING IN THE SOUND CONDUCTING SYSTEM OF THE RECONSTRUCTED MIDDLE EAR

G.I. Mikhasev, M^. Firsov, V.P. Sitnikov (Vitebsk, Belarus; St. Petersburg, Russia)

The simple mathematical and mechanical model of the reconstructed vibratory system of a human middle ear has been presented. The reconstructed oscillating system contains a round plate made of cartilage, and two bars hinged one to another. The first bar is rigidly connected with the artificial tympanic membrane, and it models a T-type prosthesis that substitutes the chain of auditory ossicles “hammer-anvil”, the second bar models the stirrup ossicle. There has been derived a set of simultaneous non-linear differential equations that describes the free radially non-symmetric vibrations of the middle ear mechanical system. The transcendental equation with respect to natural frequencies of the system has been derived for the case of linear vibrations. The effects of mechanical and physical characteristics of the introduced prosthesis on the lower natural frequencies spectrum are under investigation. The frequencies of the reconstructed oscillating system are compared with the data by other authors on natural frequencies of normal human middle ear that were obtained by the finite element modeling.

Key words: middle ear, free vibrations, sound conducting system, reconstruction, natural frequencies.

Получено 27 февраля 2005