Моделирование свободных колебаний реконструированного среднего уха, подвергнутого тимпаностапедопластике и перфорации подножной пластины стремени Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 527-529

УДК 531.534: 57+61

МОДЕЛИРОВАНИЕ СВОБОДНЫХ КОЛЕБАНИЙ РЕКОНСТРУИРОВАННОГО СРЕДНЕГО УХА, ПОДВЕРГНУТОГО ТИМПАНОСТАПЕДОПЛАСТИКЕ И ПЕРФОРАЦИИ ПОДНОЖНОЙ ПЛАСТИНЫ СТРЕМЕНИ

© 2011 г. И.Л. Славашевич, Г.И. Михасев

Белорусский госуниверситет, Минск

slavashevichi@yandex.ru

Поступила в редакцию 15.06.2011

Предложена биомеханическая модель реконструированного среднего уха, подвергнутого тимпанос-тапедопластике и перфорации подножной пластины стремени. Изучено влияние тангенциальных перемещений в тимпанальной мембране на собственные частоты и формы колебаний реконструированного среднего уха. Реконструированная тимпанальная мембрана моделируется как изотропная упругая коль -цевая пластинка.

Ключевые слова: среднее ухо, свободное колебание, звукопроводящая система, реконструкция, собственные частоты.

Введение

Механические повреждения барабанной перепонки, патологические изменения ее механических свойств, вызванные воспалительными процессами в среднем ухе, могут привести к перфорации барабанной перепонки, повреждению слизистой оболочки, слухового нерва. Тимпанопластика - это операция, направленная на ликвидацию воспалительного (гнойного) процесса в ухе, закрытие перфорации барабанной перепонки и восстановление трансмиссионного механизма слуховых косточек. Ограничение подвижности цепи звукопроводящих косточек при отосклеротическом анкилозе может привести к частичной или полной фиксации стремени. При данной патологии в клинической практике часто прибегают к ста-педопластике, которая предполагает фенестра-цию овального окна, заключающуюся в высверливании отверстия в подножной пластинке стремени, через которое вводится ствол протеза в улитку внутреннего уха [1]. Наиболее сложным является случай тотальной реконструкции, предполагающий одновременно тимпаноплас-тику и стапедопластику с фенестрацией подножной пластинки [2]. В данном случае основание введенного протеза типа ТОИР упирается в восстановленную барабанную перепонку, а конец покоится в кохлеарной жидкости улитки.

Цель работы — построение динамической модели звукопроводящей системы реконструированного среднего уха при тимпаностапедопласти-

ке и перфорации подножной пластины стремени.

Постановка задачи. Разрешающие уравнения

Восстановленную колебательную систему среднего уха будем моделировать как систему, состоящую из круглой пластинки радиуса а, изготовленной из хрящевого имплантата, и сопряженного с ней твердого тела, моделирующего протез тира ТОИР (рис. 1а).

В статье [3] показано, что наиболее предпочтительной технологией установки протеза, с точки зрения минимизации начальных напряжений, является такая технология, когда основание протеза размещается на восстановленной тимпанальной мембране (ТМ) как можно ближе к центру. Рассмотрим здесь случай, когда центры восстановленной ТМ и основания протеза совпадают. Будем считать, что основание протеза и хрящевой имплантат жестко склеены, при этом пластину рассматриваем как кольцевую с внутренним радиусом Ь и внешним радиусом а. Пусть ствол протеза изогнут и составляет некоторый угол у с исходным положением. Введем глобальную декартову систему координат (СК) 0ху2, связанную с центром пластины (см. рис. 16). Уравнение колебаний предварительно напряженной ТМ запишем в виде [4]:

2 д2Ж(г ґ)

ОА2Ж(г,0-АТЖ(г,ґ) + рИ-------= 0, (1)

дґ2

0T, дS 1 д 2U

r"ЇГ + T1 - T2 + d_ = ph_^"Г, dr д— dt

dS 0T2

r— + 2 S + —2 dr d—

= ph

д 2V dt2 !

где

T1 = K

T2 = K

V

OU v vOV

----+ — U +--------

dr r r d— y

OU 1 1dV

v-----+ — U +-------

dr r r д—

S=

K(1 - v)

2

V

dV 1 1dU

--------V +------

dr r r d—

/

dr

r=b

Ur=b =-Up cos —, V|r=b = Up sin —

рассмотрены условия упругой заделки [3]:

(kw + Q1) = 0" Ik< + M

dW

= 0,

(2)

(4)

и = 0, У| = 0.

1г=а 7 1г=а

Рассматривается техника фенестрации овального окна, при которой подвижность протеза ограничивается направляющей перфорации подножной пластинки стремени. Уравнение движения протеза имеет вид:

Qp - Fst cos у - R sin y = m-

d 2Wp

— мембранные усилия в ТМ; В и К — жесткости пластины; к — толщина хрящевой пластины; р — плотность хрящевой ткани; Ж, и, У — нормальное, радиальное и касательное перемещения точек ТМ; А — оператор Лапласа в полярной системе координат г, ф; АТ — оператор, учитывающий наличие начальных напряжений

Ту О гт1 О /-у О

1 , Т2,5 в пластинке, обусловленных вводом протеза [3].

Tp - Fst sin y + R cos y = m -

0t2 д 2Ur

(5)

dt2

где Qp — равнодействующая перерезывающих сил, возникающих вдоль внутреннего контура г = Ь со стороны ТМ, а

(б)

Рис. 1

Рассматривается случай радиально-симметричных колебаний пластинки. На внутреннем контуре сопряжения пластины с основанием протеза принимаются условия жесткой заделки:

*\г=Ь = *, • — = 0-

(3)

где ир, Жр — тангенциальные перемещение основания протеза в плоскости ТМ.

На внешнем контуре восстановленной ТМ

- сила, являющаяся мерой взаимодеиствия внутреннего уха и основания стремени и возникающая в результате деформации мембраны круглого окна, 8 - перемещение стержня, к - коэффи-циент «жесткости» системы «кохлеарная жидкость

- мембрана круглого окна».

Ввиду того, что жесткость колебательной системы реконструированного среднего уха при фенестрации овального окна определяется исключительно степенью натяжения мембраны круглого окна [2], начальные мембранные усилия Г1°, T2°, S° в ТМ невелики. Данное обстоятельство позволяет воспользоваться методом возмущения для интегрирования поставленной краевой задачи (1)-(5).

Исследовано влияние физических характеристик хрящевого имплантата, его толщины, а также размеров вводимого протеза и его ориентации в полости среднего уха на собственные частоты и формы свободных колебаний реконструированного среднего уха.

Список литературы

1. Huttenbrink K.-B. Mechanical aspects of middle ear reconstruction // Middle Ear Mechanics in Research and Otosurgery / Ed. K. B. Huttenbrink. Dresden: Univ. of Technology, 1997. P. 165-168.

2. Вульштейн Х. Слухулучшающие операции. М.: Медицина, 1972.

3. Mikhasev G., Ermochtnko S., Bornitz M. On the strain-stress state of the reconstructed middle ear after inserting a malleus-incus prosthesis // Mathematical Medicine and Biology. 2010. Vol. 27(4). P. 289-312.

4. Михасев Г.И., Товстик П.Е. Локализованные колебания и волны в тонких оболочках. Асимптотические методы. М.: Физматлит, 2009.

r= a

MODELING OF FREE VIBRATIONS OF THE RECONSTRUCTED MIDDLE EAR SUBJECTED TO TYMPANOSTAPEDOPLASTY AND THE STAPES FOOTPLATE PERFORATION

I.L. Slavashevich, G.I. Mikhasev

A biomechanical model of the reconstructed middle ear subjected to tympanostapedoplasty and the stapes footplate perforation is presented. The basic aim of this study is to clear up the influence of the tangential displacements in an eardrum at the modes and fundamental frequencies of the reconstructed middle ear. The reconstructed tympanic membrane is modeled as a prestressed annular plate.

Keywords: middle ear, free vibration, sound-transmitting system, reconstruction, natural frequencies.