Собственные частоты колебательной системы среднего уха после тотальной реконструкции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531/534: [57+61]

Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2012. Вып. 3

СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ СРЕДНЕГО УХА ПОСЛЕ ТОТАЛЬНОЙ РЕКОНСТРУКЦИИ

Г. И. Михасев1, И. Л. Славашевич2

1. Белорусский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, mikhasev@bsu.by

2. Белорусский государственный университет, аспирант, Siavashevichi@yandex.by

1. Введение. Механические повреждения элементов среднего уха (рис.1, а), а также различные заболевания могут приводить к тугоухости — частичной или полной потере слуха. Часто для устранения тугоухости прибегают к хирургическому вмешательству и, в частности, к тотальной реконструкции, предполагающей протезирование всех элементов среднего уха (СУ). Данная операция состоит из двух этапов: на первом этапе выполняется реставрация тимпанальной мембраны (ТМ) с использованием хрящевого трансплантата, а на втором — замена всей цепи косточек на тотальный протез [1]. При этом, при полной фиксации стремени (вызванной отложением солей) в клинической практике прибегают к удалению ножек стремени и перфорации подножной пластины с последующим вводом ствола протеза через отверстие в улитку внутреннего уха (рис. 1,б). Одним из негативных последствий данной операции является снижение общей жесткости всей системы [2], а также искажение спектра собственных частот реконструированного среднего уха (РСУ) по сравнению с частотами СУ в норме. В данной работе для случая вышеописанного варианта тотальной реконструкции предлагается математическая модель колебательной системы РСУ, состоящей из круглой кольцевой пластины, у которой внешний контур заделан, а внутренний жестко связан с абсолютно твердым стержнем, моделирующим протез. Присоединенный стержень находится под действием упругих сил со стороны внутри-улитковой жидкости и может совершать лишь поступательные движения вдоль своей оси, которая неортогональна к плоскости пластины. С использованием асимптотического метода строятся решения уравнений движений элементов РСУ, находятся собственные частоты системы в зависимости от параметров вводимого протеза, а также толщины хрящевого трансплантата.

2. Математическая модель РСУ. В хирургической практике для реконструкции ТМ часто используют тонкую пластинку (рис. 1, б), изготовленную из хрящевого трансплантата [3]. Имея ввиду исследовать низкочастотные изгибные колебания ТМ, а также игнорируя вязкоупругие свойства, будем считать ее упругой и изотропной. Титановый тотальный протез [1] состоит из круглой пластинки радиуса Ьр и сопряженного с ней гибкого ствола. В работе [4] показано, что наиболее предпочтительной техникой установки протеза является такая техника, когда основание протеза размещается на восстановленной ТМ как можно ближе к центру, а ее ствол, в соответствии с индивидуальной архитектурой СУ пациента, изгибается или отводится от исходного положения на некоторый угол 7 (рис. 1,б). Рассмотрим здесь случай, когда центры реконструированной ТМ и основания протеза совпадают. Будем далее считать, что

© Г. И. Михасев, И. Л. Славашевич, 2012

Рис. 1. Сечение СУ: а) в норме; б) после тотальной реконструкции: 1 — ТМ в норме, 2 — молоточек, 3 — наковальня, 4 — стремя, 5 — улитка, 6 — реконструированная ТМ, 7 — основание тотального протеза, 8 — ствол протеза, 9 — перфорация в подножной пластине стремени.

основание протеза и хрящевой трансплантат жестко склеены (что достигается через одну-две недели после фиксации протеза вследствие естественных физиологических процессов), тогда ТМ можно моделировать кольцевой пластинкой толщиной Н с внутренним и внешним радиусами Ър и а соответственно (рис. 2).

Выбор оптимального места перфорации подножной пластины затруднен и иногда ошибочно выполняется в области наибольшего отложения солей, где толщина максимальна. Рассмотрим здесь именно данный случай, когда ствол протеза введен в улитку через отверстие, сделанное в месте, где толщина подножной пластины максимальна. Тогда протез будет иметь лишь одну степень свободы, определяемую направляющей РР' перфорации (рис.3).

Рис. 2. Полярная система ко- Рис. 3. Деформации пластины в плоскости

ординат р, ^ на поверхности пла- Оху движения протеза и силы, действующие на

стины, моделирующей ТМ и на- элементы колебательной системы. чальные мембранные усилия.

Заметим, что жесткость колебательной системы СУ в норме достаточно велика и зависит [2] в большей степени, от упругих свойств связки овального окна и, в меньшей степени, — от силы натяжения мембраны круглого окна. В рассматриваемом варианте реконструкции связка овального окна оказывается «исключенной» из колебательной системы РСУ, а жесткость определяется силами Е£,Т*,Б£ (г = 1, 2),

которые возникают в системе после ввода протеза и зависят от натяжения мембраны круглого окна и приращения Л1р длины введенного протеза [5]. Здесь Е* — начальная реакция со стороны несжимаемой жидкости улитки внутреннего уха, действующая на ствол протеза, Т*,Б* (г = 1, 2) —начальные мембранные усилия в срединной поверхности пластины (рис. 2), а Л1р = 1р — 1о, где 1р —длина ствола протеза, 1о —расстояние между центром ТМ и точкой перфорации подножной пластины стремени. Введем обозначения

= ЕНЗр ап7 = абрвт'у с ~ 12а(1 — г/2)' Ь2 ' и

где 5р(Л1р) —начальное перемещение основания протеза вдоль оси Оу после его фиксации (рис. 3), Т* —характерное значение начальных мембранных усилий в ТМ, зависящих от Л1р, Е, V — модуль Юнга и коэффициент Пуассона кольцевой пластины. В работе [5] показано, что перемещение 6р мало для реальных размеров используемых протезов и при Н « 0.5 мм лежит в пределах от 0 до 0.005 мм при изменении Л1р от 0 до 0.1 мм. Тогда параметр е ^ 1 можно считать малым.

Под действием начальных сил и в отсутствии падающей акустической волны система РСУ находится в равновесии. Исследуем ее малые колебания в окрестности начального напряженно-деформированного состояния. В качестве уравнений, определяющих формы собственных колебаний кольцевой пластины, примем уравнения

Л2Ж — еЛт Ж — Л^ = 0, (2)

д2и ди и 1 — vд2и 1 + V д2У 3 — V дУ

р--1-----1----1------= 0,

др2 др р 2р дф2 2 дрдф 2р дф '

д2У дУ V 2 д2У 1 + и д2и 3 - г/ ди _ ^ др2 др р (1—ь>)рд^р2 \-vdpdip (1—1/)рд<р '

Р [9р

dW dW

д_

df

T°° dW „° dW

+ S °

p df dp

записанные в безразмерном виде [6]. Здесь Д — оператор Лапласа в полярной системе координат p = r/a,f (b = bp/a < p < 1, 0 < f < 2п) с центром в точке O (рис.2), W* = aW и U* = aU, V* = aV — нормальное и тангенциальные перемещения соответственно точек срединной поверхности пластины, T° = T*/T*, S° = S*/T* = S*/T* — безразмерные начальные мембранные усилия, А — параметр, связанный с частотой собственный колебаний ш соотношением ш = А1/2 шс, где шс = 8hE1/2 a 2[12а(1 — V2 )]-1/2 —характерная частота, а а — плотность материала пластины (хрящевой ткани). Имея в виду исследовать низкочастотные колебания, а также в предположении малости угла y, в уравнениях (3) опускаем слагаемые, учитывающие силы инерции тангенциальных перемещений пластины.

На внешнем и внутреннем контурах примем условия жесткой заделки:

W = W,p = U = V = 0 при p = 1, (4)

W = wp, W,p = 0, U = — up cos f, V = up sin f при p = b, (5)

где wp и up = tgYwp — перемещения основания протеза вдоль осей Ox и Oy соотвест-венно (рис.3). Здесь и ниже индекс p, стоящий после запятой, означает дифференцирование по переменной p.

Заметим, что в силу граничных условий (5) перемещения Ш и и, V не являются независимыми.

Уравнение, описывающее колебания протеза вдоль оси РР' (направляющей перфорации) в безразмерной форме, имеет вид

Здесь

уbcos2 y Qp(A, wp) + bsin7 cos7Tp(wp) — kwp + Ampwp = 0. (6)

h2 mh (1 — v2)k*

M — 77779' mí> — 10 —4 '

12a2' p 12aa4' Eh

/ Sp \2 12a(1 — v2)Qp (1 — v2)Tp

где m — масса протеза, Q* и Tp — значения равнодействующих перерезывающей Q* и мембранной T* сил соответственно, действующих на основание протеза со стороны пластины, k*awp / cos 7 — величина силы F*, действующей на основание протеза со стороны жидкости улитки с учетом ее несжимаемости и силы натяжения мембраны круглого окна [7], Trw и Srw — сила натяжения и площадь мембраны круглого окна соответственно, а Sp —площадь поперечного сечения ствола протеза. Кроме сил, фигурирующих в уравнении (6), на элементы РСУ также действуют (см. рис. 3): главный вектор Mp изгибающих моментов, действующих со стороны пластины на основание протеза, главный вектор M* моментов со стороны цилиндрической стенки перфорации подножной пластины стремени, равнодействующая R* сил реакции со стороны стенки перфорации, а также сила F* трения о стенки перфорации. При выводе уравнения (6) было сделано предположение о малости силы трения F*. Силу реакции R* легко найти, если выписать уравнение движения протеза в проекции на прямую, лежащую в плоскости Oxy и ортогональную к направляющей PP', а M* = — M*.

3. Интегрирование уравнений движения элементов РСУ. В силу того, что Qp и Tp пропорциональны wp, уравнение (6) удовлетворяется тождественно при wp = 0. Отсюда спектр собственных частот краевой задачи (2)-(6) разбивается на два подмножества Oí и Q2, где Qi состоит из частот, соответствующих формам колебаний кольцевой пластины с образованием узловых линий (пересекающих внутренний контур в двух и более неподвижных точках), для которых равнодействующая перерезывающих сил Qp = 0 и wp = 0 (присоединенный к пластине протез неподвижен), а множество Q2 содержит частоты, для которых wp = 0 (присоединенный протез совершает колебания). Первая часть спектра не представляет практического интереса и здесь не исследуется. Полагая далее wp ~ 1 при е ^ 0, представим перемещения пластины в виде

(W, U, V) = (w, u tg7, v tg7)wp, (7)

где w(p, у) —решение уравнения (2) с граничными условиями

w(1,y>)= w, р(1, у) = 0, w(b, у) = 1, w, p(b, у) = 0, (8)

а u(p, у), v(p, у) удовлетворяют уравнениям (3) с граничными условиями

u(1,y)= v(1^) = 0, и(^у) = — cos у, v(b, у) = sin у. (9)

Тогда уравнение (6) можно переписать в виде

соб2 7 др(А) + Ь Бт2 7 Ьр — к + А тр = 0,

где

г2п

. 9 /<92«; 19«; 1 <92«;

/*2п

¿р

ди V / д«

др Р V дф

¿у,

р=Ь ди

1 — V /д« 1

бш у

¿у.

р=ь

где

Уравнения (3) с граничными условиями (9) имеют простое решение и = ис (р) СОБ у, V = «я(р)в1п у,

мс = (1 - Зг/)С1(02 + ^ + С3(3 - г/)2 1пр - С3(1 - V1) - С4,

(11) (12)

(13)

^ = (5 + г/)С1(о2 + % - С3(3 - г/)2 ]пр - 2С3(1 + и) + С4, р2

а постоянные С находятся из граничных условий (9).

Рассмотрим краевую задачу (2), (8). Наличие второго слагаемого в (2), зависящего от безразмерных начальных усилий Т°(р, у), 5° (р, у), не позволяет построить решение в явном виде. Решение этой задачи будем искать в виде разложений по степеням е:

ад = адо(р, у) + (р, у) + е2^2(р, у) + ..., А = Ао + е2А2 + е4А4 +----

(14)

Подстановка (14) в (2) порождает последовательность уравнений относительно :

Д2^ — Аои>; = Д(«¿-1 + А^3 =0,1, 2,..., и— = и— = 0.

(15)

Заметим, что начальные мембранные усилия Т°(р, у), 5° (р, у), фигурирующие в , имеют вид [5]

т° = ¿°с(р)со8 у, 5° = 8°(р) в1п у, г = 1, 2,

(16)

где ¿°е(р), в°(р) —известные функции аргумента р [5].

Перейдем к последовательному интегрированию уравнений (15). В нулевом приближении (3 = 0) имеем однородное уравнение

Д2и>о — Ао и>о = 0

(17)

с неоднородными граничными условиями (8). Данная задача имеет решение

адо(р; Ао) = ^ ЫГЧМц 7о(Ао/4 р) + М^^4 р) + М^/о^4 р) + МмВД^4 р)},

(18)

где 7о,Уо — функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка, /о, Ко — модифицированные функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка, М —

о

матрица размерности 4 х 4, элементы которой находятся из неоднородных граничных условий (8) и ввиду их громоздкости здесь не выписываются, а Му (у = 1,..., 4) — соответствующие миноры матрицы М.

Замечание 1. Решение уравнения (17) можно искать в виде то = хпо(р)втпф, где п > 1. Однако оно не удовлетворяет неоднородным граничным условиям (8) и соответствует формам колебаний пластины, которые слабо стимулируют колебания присоединенного протеза. В данном случае следует принять условие тр ~ еп при е ^ 0, которое с учетом (16) позволяет удовлетворить соответствующим неоднородным граничным условиям при рассмотрении уравнения (15) при у = п. Данные формы колебаний реконструированной ТМ, слабо стимулирующие движения протеза, будем называть «холостыми» формами колебаний ТМ.

В первом приближении получаем неоднородное дифференциальное уравнение

Л2т1 — Лот = Л4то (19)

с однородными граничными условиями

т(1, ф) = и>1,р(1, ф) = Ю1(Ъ, ф) = т^р(Ъ, ф) = 0. (20)

С учетом (16) функцию, стоящую в правой части уравнения (19), можно представить в виде Л4то = /с(р; Ло) совф + /я(р; Ло)втф, где /с(р; Ло),/(р; Ло) —также известные функции, которые ввиду громоздкости здесь не выписаны.

Обозначим через гк(р) (к = 1,2,...) систему собственных функций краевой задачи

й2 1 й 1 \2 4 ^ + г-?г = °> (21)

г(1) = г,р (1) = г(Ъ) = г,р (Ъ) = 0,

а через вк — соответствующую последовательность собственных значений. Здесь в1 = 6.830, в2 = 11.286, вз = 15.764,... Функции гк(р) очевидным образом находятся как линейная суперпозиция функций Бесселя первого и второго рода первого порядка аргумента вк р. Будем считать данную систему нормированной и ортогональной с весом р на отрезке [Ъ, 1]. Тогда решение неоднородной задачи (19), (20) можно записать в виде

^

тх(р, ф; Ло) = ^ [Бск(Ло) совф + Бьк(Ло)втф] гк(р), (22)

к=1

Бгк = (вк — Ло) Ч /с(р; Ло)гк(р)рйр, (23)

■)ь

где Б8к находится по формуле (23) с заменой /с на /8. Считаем далее, что Ло = в|. Обратимся к неоднородному дифференциальному уравнению

Л2 т2 — Ло т2 = Лгт1 + Л2то, (24)

возникающему во втором приближении (у = 2). Граничные условия для и>2 имеют вид (20), где индекс 1 следует заменить на 2. Если принять во внимание (16), (22), то уравнение (24) можно переписать в виде

Л2т2 — Лот2 = |^2с(р; Ло) сов 2ф + ^(р; Ло)вт2ф} + Л2то(р; Ло) + С(р; Ло), (25)

где 0,02с, —известные функции аргумента р, зависящие параметрически от Ао.

Частное решение уравнения (25) представим в виде

w2 = w£(p; aq, а2) + w2v)(p, ф; aq)

(26)

где и>2 —частное решение уравнения (25), у которого правая часть есть функция А2и>о + О, а и^1 = и>2с(р; Ао) сов2ф + и2в(р; Ао) вт2ф — частное решение уравнения (25) с правой частью, стоящей в фигурных скобках.

Если здесь ограничиться рассмотрением лишь первых трех приближений, то функцию и^' можно опустить, ибо она дает вклад лишь в величину поправки А4 (см. ниже замечание 2).

Частное решение и>2 будем искать в виде разложения по ортонормированной системе собственных функций уп(р)(п = 1, 2,...) краевой задачи

— + --) У-с4у dp2 Р dp J

с однородными граничными условиями (20):

w2 =53 AnVn(p)-

Подставляя (28) в (25), находим

0

n=1

A„(Aq , а2)

А2^1 (Aq) + 5'П (Aq)

СП - Aq

где Cn(n = 1, 2,...) — собственные значения краевой задачи (20), (27), а

(27)

(28)

(29)

wo(p; А o)yn(p)pdp, ön

G(p; А o)yn(p)pdp.

(30)

Далее считаем, что А0 = £П• Здесь Zi = 6.734, Z2 = 11.197, = 15.690,...

Процесс нахождения функций Wi в разложении (14) формально может быть продолжен неограниченно. Заметим лишь, что функции wi параметрически зависят от параметров A2i, в частности, wq, wi зависят от Aq, а W2 —от параметров Aq, А2.

Для определения неизвестных параметров A2i подставим найденные функции u,v,w в уравнение колебаний протеза (10), предварительно разложив равнодействующую перерезывающих сил qp в ряд

где

qP (А)

q2p + eqW + e2q(2) + ...,

,-2п

q°P (Aq) = qp2)(Aq, А2) = - f

Jo

д i d2w0 1 dw0 1 d2w0\ o dp\ dp2 p dp p2 дф2 J 2п d (d2w2 1 dw2 1 d2w2 \

+

+

dp у dp2 p dp p

= -2n

E

n= 1

dy>,

p=b

qP1)

dp2)

dф =

p=b

Х2б'п(Х0) +(5»(A0) д_ (д2уп 1 dyn Ü " Ао др{ dp2 + р dp

p=b

(31)

(32)

1

1

b

b

0

В нулевом приближении получаем трансцендентное уравнение yb cos2 7^р(Ло) + b sin y cos jtp — к + Ao mp = 0 относительно параметра Ло, где с учетом (11)—(13)

8nb(v2 — 1)

р (1 - Ь2)(1 + V)2 - (1 + Ь2)(3 - V)2 1пЬ'

Обозначим через Л0?) корни уравнения (33), где <; = 1, 2,..., при этом число <; — 1 означает количество узловых окружностей на поверхности кольцевой пластины.

Уравнение (33) позволяет найти параметры частоты, соответствующие случаю, когда Д/р = 0. В данном случае, который на практике никогда не реализуется (вследствие большого риска выпадения протеза), длина ствола протеза выбирается равной в точности расстоянию /о от центра О на ТМ до точки перфорации подножной пластины.

Из рассмотрения следующего приближения находим поправку

2nby cos2 y J2

Л2 = Л2?) =

1 Z4 A(í) 1 <эп ~ Л0

— 2nby cos2 y J2

= 1 zn — A,

(í )

^ = d_ í д2Уп + 1 dyn

n dp y dp2 p dp

(34)

p=b

Индекс ? в (34) означает, что величина Л2 = л2? ' вычисляется при Ло = Л0? Поправка Л2?' зависит от приращения Д/р = 0 длины протеза и учитывает наличие начальных напряжений в реконструированной ТМ, которые обеспечивают устойчивость протеза в полости РСУ.

Замечание 2. При подстановке составляющих (22) и и^' нормального прогиба в интеграл (11) равнодействующая перерезывающих сил цр, фигурирующая в уравнении движения протеза (10), тождественно обращается в ноль. При этом функция (22) дает вклад при вычислении параметра л2?), а функцию и^'' следует учитывать при нахождении поправки Л^'.

n

m

p

n

о

4. Анализ собственных частот РСУ. При построении функции и>1 и вычислении поправки Л2?' бесконечные ряды в (22) и (34) были заменены на конечные с К и N членами соответственно. В табл. 1 показаны параметры л2?) (? = 1, 2, 3) при N = 1, 2, 3,4 и фиксированных значениях К = 6, а = 5мм, Ьр = 1.5мм, Д/р = 0.01 мм, 7 = 5п/36, Е = 3.4Н/мм2, V = 0.4, Н = 0.5мм, ТЕШ = 10-5Н/м, йд^ = 3.0 мм2, Яр = 0.126 мм2. Для принятых значений параметров е = 0.017.

Таблица 1. Зависимость поправки А^' от числа N членов ряда в (34)

N Л(1) > [о ч(3)

1 0.331 159.617 18.330

2 -2.193 142.902 740.067

3 -2.191 142.827 740.217

4 -2.191 142.827 740.217

Приведенные в табл. 1 данные указывают на удовлетворительную сходимость рядов в (34) при вычислении параметра А^

В табл. 2 и 3 показана зависимость параметров А^ (г = 0,1; д = 1, 2, 3), а также соответствующих им первых трех собственных частот ) от массы протеза т и толщины Н пластины (хрящевого трансплантата) при фиксированных значениях остальных параметров (см. выше). Во всех случаях вычисления выполнялись при К = 6, N = 4 в рядах (22) и (34) соответственно. Соотношение (14) является асимптотически корректным, если А |/Ао ~ 1 при е ^ 0. Из табл. 2 и 3 видно, что данное условие выполняется для рассмотренных значений входящих в задачу параметров.

Отрицательное значение поправки А^1^ объясняется наличием сжимающего радиального усилия ТО при ^ = п, а положительные значения А^^ есть следствие растягивающего усилия ТО при ^ = 0, которое является доминирующим для мод с номерами д > 2. Таким образом, наличие начальных напряжений, обусловленных перемещением внутреннего недеформируемого контура р = Ь вдоль оси Оу, приводит к снижению наименьшей частоты и увеличению остальных частот системы РСУ, свободной от этих напряжений. Укажем также на сильную зависимость собственных частот от параметров протеза и трансплантата: рост массы протеза и (или) уменьшение толщины пластины, моделирующей ТМ, приводит к снижению собственных частот РСУ.

Таблица 2. Зависимость параметров А^ и частоты (Гц) от веса протеза

10 вт, кг Л(1) 0 л(1) 2 ч(2) 0 ч(2) 2 ь,<2> х(3) 0 х(3) 2 ь,<3>

2.0 1.380 —3.712 103 51.61 82.34 632 303.1 386.7 1532

4.0 1.160 — 2.775 95 46.41 112.1 599 280.7 547.7 1474

6.0 1.000 -2.191 88 43.19 142.8 578 268.6 740.2 1442

Таблица 3. Зависимость параметров А^ и частоты (Гц) от толщины пластины

Н, мм л(1) 0 л(1) 2 ч(2) 0 ч(2) 2 ь,<2> х(3) 0 х(3) 2

0.5 1.000 — 2.191 88 43.19 142.8 578 268.6 740.2 1442

0.8 1.804 —3.474 188 47.27 105.1 964 283.0 522.8 2358

1.0 2.069 -4.048 253 49.17 93.26 1234 290.3 459.4 2998

Представляется интересным сравнить найденные собственные частоты РСУ с наименьшими частотами СУ в норме. В табл. 4 приведены первые восемь частот колебательной системы среднего уха в норме, найденные с использованием МКЭ в работе [8] с учетом влияния всех связок и мышц барабанной полости. Здесь первые пять частот соответствуют формам колебаний СУ, при которых преимущественно колеблется система косточек «молоточек—наковальня—стремя» (см. на рис.1, а), а барабанная перепонка остается практически неподвижной, и лишь шестая и последующие моды отвечают интенсивным колебаниям барабанной перепонки.

Таблица 4- Собственные частоты СУ в норме [8]

Номер моды, ч 1 2 3 4 5 6 7 8

91 172 228 271 483 647 857 1189

Из табл. 2-4 видно, что варьирование толщины хрящевого трансплантата, а также массы протеза позволяет приблизить первую частоту РСУ к частоте СУ в норме.

Следует заметить, что в табл. 2 и 3 опущены частоты, соответствующие «холостым» формам колебаний ТМ с образованием одного и более узловых диаметров, которые не стимулируют движение присоединенного протеза.

5. Выводы. Предложена математическая модель колебательной системы реконструированного среднего уха, состоящей из реставрированной барабанной перепонки (рассматриваемой как изотропная кольцевая пластина) и сопряженного с ней тотального протеза (моделируемого недеформируемым стержнем). Рассмотрен случай, когда подвижность протеза ограничена вследствие наличия направляющей перфорации в подножной пластине стремени. С использованием асимптотического метода изучены изгибно-плоскостные формы колебаний кольцевой пластины в окрестности начального напряженного состояния, вызванного фиксацией протеза в барабанной полости. Установлено, что при выборе длины протеза, превышающей расстояние от точки установки его основания на ТМ до точки перфорации на подножной пластине стремени, возникающие мембранные усилия в реконструированной ТМ «раздвигают» спектр собственных частот системы свободной от начальных напряжений; в частности, имеет место снижение наименьшей частоты колебаний, сответствующих формам колебаний без образования узловых линий, и одновременное увеличение последующих частот колебаний с образованием одного и более узловых окружностей. Обнаружено также, что данный вид тотальной реконструкции среднего уха приводит к появлению «холостых» форм колебаний барабанной перепонки с образованием одного и более узловых диаметров, которые слабо стимулируют колебания присоединенного протеза.

Литература

1. Huttenbrink K., Zahnert T., Wustenberg E. G. Titanium clip prosthesis // Audiology and Neuro-Otology. 2004. Vol. 25. P. 436-442.

2. Вульштейн Х. Слухоулучшающие операции. М.: Медицина, 1972. 423 с.

3. Zahnert Th., Huttenbrink K.-B., Murbe D., Bornitz M. Experimental investigations of the use of cartilage in tympanic membrane reconstruction // The American Journal of Otology. 2000. Vol. 21. P. 322-328.

4. Mikhasev G. Ermochenko S., Bornitz M. On the strain-stress state of the reconstructed middle ear after inserting a malleus-incus prosthesis // Mathematical Medicine and Biology. 2010. Vol. 27(4). P. 289-312.

5. Михасев Г. И., Славашевич И. Л. Оценка усилий, действующих на установленный протез типа TORP, при тимпаностапедопластике среднего уха // Теоретическая и прикладная механика. Вып. №25. Минск: БНТУ, 2010. С. 252-257.

6. Михасев Г. И., Товстик П. Е. Локализованные колебания и волны в тонких оболочках: Асимптотические методы. М.: Физматлит, 2009. 290 с.

7. Чигарев А. В., Михасев Г. И., Борисов А. В. Биомеханика. Минск: Изд-во Гревцова, 2010. 284 с.

8. Beer H.-J., Bornitz M., Hardke H.-J., Schmidt R., Hofman G., Vogel V., Zarnert T., Huttenbrink K.-B. Finite element modeling of the human eardrum and applications // Middle Ear Mechanics in Research and Otosurgery / ed. by K.-B. Huttenbrink. Dresden: Dept. of Oto-Rhino-Laringology, Univ. of Technology. 1977. P. 40-47.

Статья поступила в редакцию 26 апреля 2012 г.