CC BY
52
Машиностроение. Строительство. Материаловедение. Металлообработка
УДК 678.058
МЕТОДИКА РАСКРЫТИЯ СТАТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ В УЗЛАХ СОПРЯЖЕНИЯ ТОРООБРАЗНЫХ ОБОЛОЧЕК С КОЛЬЦЕВЫМИ ДНИЩАМИ В.Л. Легостаев, Е.Д. Мордовин
ОАО «Тамбовполимермаш», г. Тамбов Представлена членом редколлегии профессором Ю.В. Воробьевым
Ключевые слова и фразы: безмоментное и моментное плоские напряженные состояния; кольцевая пластина; пульсирующая нагрузка; сопровождающие функции; торобразная оболочка; усталостное разрушение; эквивалентное напряжение.
Аннотация: Методика предназначена для расчета напряженно-деформированного состояния торообразных оболочек и кольцевых днищ подпрессовочного устройства форматоров-вулканизаторов с байонетным затвором вулканизационных пресс-форм, например ФВ1-500, работающих на ОАО «Ярославский шинный завод».
В настоящей статье излагается методика раскрытия статической неопределенности в узлах сопряжения тороидальных оболочек 1 и 2 с кольцевыми днищами 3 и 4 (рис. 1). Названные элементы сопряжены в узлах 13, 14, 23 и 24 с помощью электросварки. Днища опираются на кольцевые силовые плиты форматоры-
Рис. 1 Расчетная схема краевых нагрузок
вулканизаторы (ФВ) с внутренним г и наружным - г радиусами (на рис. 1 не показано). Днище 3 имеет возможность свободного перемещения вверх на величину уо, а 4 - неподвижное.
Давление воды в устройстве изменяется от нуля до рабочего р и от р до нуля, вследствие чего в оболочках и днищах возникают пульсирующие осесимметричные напряжения.
С точки зрения строительной механики подпрессовочное устройство испытывает сложное напряженное состояние. Поэтому прочность оболочек и днищ необходимо оценивать по эквивалентному напряжению при пульсирующей нагрузке. В акте расследования причин разрушения (после 880 - 1500 циклов на-гружения-разгружения) оболочек подпрессовочного устройства ФВ 1-500 на ОАО «Ярославский шинный завод» отмечается усталостное разрушение материала. Известно, что металлоконструкции, отвечающие условию усталостной прочности, могут выдержать неограниченное число циклов нагружения-разгружения
[1].
Напряжения в оболочках и днищах устройства (см. рис. 1) можно подсчитать по безмоментной и моментной теориям осесимметричных тонкостенных оболочек вращения и круглых кольцевых пластин.
Известные методы расчета тороидальных оболочек, опубликованные, например, в источниках [2] и [3], весьма сложные и малообозримые для восприятия физической сущности деформации оболочек и узлов их сопряжения с круглыми пластинками.
В связи с отсутствием расчета подпрессовочных устройств (см. рис. 1) возникла необходимость разработки настоящей методики расчета напряженно-деформированного состояния днищ и оболочек, рассматриваемого устройства.
В узлах сопряжения 13, 14, 23 и 24 возникают краевые радиальные силы и изгибающие моменты соответственно ТГ0, МГ0; Т’г^, М’г^; Тк, Мк и ТЯ, М’к ,
равномерно распределенные по контурам радиусов Тд и Я. Расчетные схемы оболочек 1 , 2 и днищ 3, 4 представлены на рис. 1 и рис. 2.
За теоретическую основу раскрытия статической неопределелимости краевых нагрузок приближенно приняты решения краевых задач длинной тонкостенной цилиндрической оболочки постоянной толщины, изложенные в учебных пособиях [5] и [6].
Рис. 2 Расчетные схемы днищ:
а - верхнего днища; б - нижнего днища
Неизвестные краевые нагрузки могут быть определены с помощью уравнений неразрывности деформаций в узлах сопряжения. В настоящей задаче в качестве перемещений принимаются радиальные и угловые перемещения на контурах сопряжения. В общем виде условия неразрывности деформаций имеют следующий вид:
0 = “щ; ^г'0 = фг'д, (1)
где Щ0, мг-д и viо, фг-д - радиальные и угловые перемещения контуров сопряжения оболочек и днищ.
В сопряжении 13 для края оболочки 1 от краевого изгиба
“13 = -(Р„М„ +Т-0 Чз =(2Р„М,0 + T,-о)/2P^Яо, (2)
а в сопряжении 14
“14 = -(Рг0м;0 + Тг0 ^2Р30а; ^ = (2РГ0м;0 + Тг0 ^2Р20 а. (3)
В сопряжении 23 для края оболочки 2 от краевого изгиба
“23 = (РлМЯ + ТЯ )/2РЯА0 ; ^23 = (2РяМД + ТЯ )/2РЯА0 , (4)
а в сопряжении 24
“24 = (МЯ + ТЯ V2РЯ А0 ; ^24 = (2РйМЯ + ТЯ V2РЯ А0 . (5)
В формулах (2) - (5) обозначено:
Р;0 = 4/3 (1 -ц2 У ;0 52; Ря = ф (1 -ц2 VЯ252;
А - цилиндрическая жесткость оболочек,
А0 = Е53/12 (1 -ц2),
где Е - модуль упругости Юнга материала оболочек; ц - коэффициент Пуассона материала оболочек; 5 - толщина стенки оболочек.
Давление воды внутри подпрессовочного устройства вызывает безмоментное плоское напряженное состояние стенок торообозных оболочек [4]. Под действием нормальных мембранных меридиальных ст^ и кольцевых ст^ напряжений контуры сопряжений оболочек 1 и 2 перемещаются в радиальных направлениях ; и Я. Согласно обобщенному закону Гука для оболочки 1 в узлах сопряжения 13 и 14 радиальные перемещения равны
“;0 = е;0;0 = (ст10 - Цст1ф)П)/Е, (6)
а для оболочки 2 в узлах сопряжения 23 и 24
“Я =еДЯ = -(ст20-Цст2ф) Я/Е. (7)
В результате осевого перемещения днища 3 вверх происходит изгиб стенок оболочек 1 и 2 в меридиональном и кольцевом направлениях от действия неуравновешенных осевых сил Р* и Р*, соответственно. Меридиональные равномерно
распределенные изгибающие моменты mi (9) уменьшают кривизну оболочек (считаются отрицательными), вызывают поворот и осевые перемещения кольцевых сечений оболочек. (Согласно [2] mi (ф) = цтг- (9)).
Для контуров сопряжений 9,- = 90 оболочек 1 и 2 углы поворота кольцевых сечений получены из решения дифференциальных уравнений упругих срединных поверхностей оболочек.
Для контура сопряжения 13 оболочки 1
°1(0) = -Р*гт2 (cos 90 + 1)2/4nD0 ( - гт), а для контура сопряжения 23 оболочки 2
V (9) = -P*Гт2 (cos90 +1)2/4пС>0 ((2 + rT).
(8)
(9)
За теоретическую основу расчета днищ принят расчет на изгиб кольцевых пластин, изложенный в учебнике [5]. При этом считаем радиальные М; и кольцевые Мх изгибающие моменты положительными, если они вызывают растяжение нижних волокон днищ; углы поворота ф нормалей к срединным поверхностям днищ и прогибы ю этих поверхностей положительными, если их направления совпадают с положительными радиальными изгибающими моментами.
Уравнения изгибающих моментов и перемещений днищ 3 и 4 имеют следующий вид:
- для днища 3:
r0
Mr = -M„, Y„ I I + Mt0 Yrt I I; Mt = -M, Y*. I I + Mt0 Y„ I I;
r0 tr
Dp = -Mr0rYpr fRJ + Mt0Yp ^• Dro=D^0 -Mr0r2Yfflr frj + Mmr2Y^ fyj;
(10)
- для днища 4:
M; = Mr0 Yrr f^| + Mt'0Yrt f ^1; M’t = Mr0 Ytr f^j + M/0Ytt I r
Dp'= M' rY,
pr
r0
+M't0 Ypt
r0
; Dra' = Dro0 + M'r2Y,
Шг|-]+ Mtor2Yrat' r0
(11)
В уравнениях (10) и (11) обозначено: М;0, М(0 и Ю0; М'г, М[0 и ю0 - радиальные и кольцевые изгибающие моменты и прогибы на внутренних контурах днищ 3 и 4 (начальные параметры); А - цилиндрическая жесткость днищ,
А = Екъ/12(1 -ц2); YiJ■ ^| - сопровождающие функции [5, табл. 1 - 5]; г0 -
координата точки приложения нагрузки; ; - независимая переменная величина (радиус кольцевого сечения днища).
Из граничных условий при г = Я (см. рис. 2) с помощью уравнений радиальных моментов (10) и (11) находим:
- для верхнего днища
Mt 0 = - для нижнего днища
M't0 =
Mr0 Y rr l||-Mr
M Yrr lR I+ MR
Yr
(12)
(13)
Воспользовавшись принципом суперпозиции (независимости) действия сил, приняв радиальные перемещения оснований равными нулю, раскрыв уравнения (1) для каждого узла сопряжения и решив полученные уравнения относительно неизвестных краевых нагрузок (см. рис. 1), получим:
- для узла 13:
где
Tr0 =-Pr0 Mr0 + 2pr0 D0 Б1;
Mr0 = [-( +P Г0 Б1 + kr()MR/D )]/Г1,
Б1 = (ст19- М-Ст1ф) П)1 Е; A1 = Р*гт2 (cos90 + i)2 /4nD0 ( - гт ):
V0 Y
k = Ypt (1)/ Yrt f R Г1 = V2 Pr0 D0 + r0 hiD
r0 MY f r0 1.
- для узла 14:
где
4 =A M, + < D0 Б1;
m;0 =(-Pr0 Б1 + krMR/D ) Г3 = 1/2Pr0D0 -r0kxlD;
- для узла 23:
T
Mr = [Rk2 ( + Pr0 Б1) - A2 - PrБ2 ]/Г2 :
TR = -P RMR + 2PRD0 Б2;
где
Б2 =(ст29 -^ст2ф)R/E;
k2=Ypr fR J-Y* f RjY rr f R J/Y»IR J;
A2 = P2rx(cos90 +1 /4nD0 ((2 + гт);
Г2 = V2 PrD0 - kk2r0R/D2Гl + RYpt fRDYrt fRJ;
- для узла 24:
TR = 2PRD0Б2 -PrMR ;
где
MR =(Pr0 (/D^-Pr Б2 )г 4 , Г4 = V2 PrD0 - kk2r0R/D2r3 - RYpt fRDYrt fRj.
(14)
(15)
(16)
(17)
В зонах краевого эффекта от действия краевых нагрузок (см. формулы (14) -(17)) в оболочках 1 и 2 возникают кольцевые изгибающие моменты и нормальные кольцевые усилия. На основании формул (4) и (5) [6] для узлов сопряжения рассматриваемой задачи расчетные формулы названных нагрузок представлены ниже:
- для узла 13:
М13 (ф) = цМ;0; (ф) = -2Г0 (р2 Мщ + Р;0Тщ); (18)
- для узла 14:
М14(ф) = цм;0; Л14(ф) = -2Г0 (р20 м;0 +Рг0 Т;0); (19)
- для узла 23:
М 23 (ф) = цМя; Л24 = -2 Я (р|мд + вяТя); (20)
- для узла 24:
М24(ф) = цМЯ; Л24(ф) = -2Я ^МЯ+РяТЯ). (21)
На стадии проектирования толщина стенки оболочек 1 и 2 определяется из условия обеспечения прочности при изгибе неуравновешенными осевыми силами
т-) * Т-)*
Р 1 и Р2 соответственно:
- для оболочки 1
5>^ 6 [т1(9)]ша7[сти ]п; (22)
- для оболочки 2
5>^ 6 M9)]max/K ]II. (23)
Далее необходимо проверить прочность оболочек по эквивалентному напряжению третьей теории прочности (теории Треска-Сен-Венана) от действия мембранных напряжений
аш
г экв
= (СТг9-СТгф)<[СТр ] п. (24)
В формулах (22) - (24) обозначено: [сти ] - допускаемое напряжение при пульсирующем изгибе; [стр ] ii - допускаемое напряжение растяжения при пульси-
рующей нагрузке; стг9 и стгф - нормальные мембранные напряжения в точке
опасного кольцевого сечения (для оболочки 1 при 91 = 180°, а для оболочки 2 при 92 = 90 (см. рис. 1)).
Для оболочек 1 и 2
ст19 = ст29 = Ргт1 5> (25)
а ст1ф и ст2ф соответственно равны:
СТ1ф=-РГт/ 25; СТ2ф=-рГт sin (90°-90). (26)
Толщина днищ принимается из условий прочности при пульсирующем изгибе радиальным и кольцевым моментами:
- в первом случае
h ^6Mrmax/[CTH ]п; (27)
- во втором случае
h ^6MfmaV[CTH ]п. (28)
Из двух значений принимается большее h.
Так как днища испытывают плоское напряженное состояние от изгиба моментами Mr и Mt, то с целью более оптимального использования материала необходимо проверить их прочность по эквивалентному напряжению четвертой теории прочности (теории Губера-Мизеса)
^■IV . f^max)2 . /„ma^2 „max max г_ "I /тол
стэкв =VlCTr / + \CTt / - CTr CTt <[стр J n, (29)
где CTmax и CTmax - максимальные радиальные и кольцевые напряжения,
CTmax = 6Mrmax /h2 ; CTmax = 6Mtmax /h2 . (30)
Заключение. Из анализа расчетных формул краевых нагрузок видно, что их величина тем больше, чем выше цилиндрическая жесткость оболочек и днищ.
Предлагаемая методика позволяет на стадии проектирования форматоров-вулканизаторов рассчитать краевые нагрузки и соответствующие им максимальные напряжения, а также проверить прочность торообразного подпрессовочного устройства по допускаемым напряжениям при пульсирующей нагрузке.
Список литературы
1 Афанасьев, А.М. Лабораторный практикум по сопротивлению материалов / А.М. Афанасьев, В. А. Марьин. - М.: Физматгиз, 1960. - 262 с.
2 Биргер, И.А. Прочность, устойчивость, колебания: справочник / И.А. Биргер, Я.Г. Пановко. - М.: Машиностроение, 1968. - Т.1. - 831 с.
3 Бояршинов, С.В. Основы строительной механики машин / С.В. Бояршинов. - М.: Машиностроение, 1973. - 456 с.
4 Тимошенко, С.П. Сопротивление материалов / С.П. Тимошенко. - М.: Наука, 1965. - Т.2. - 480 с.
5 Соколов, В.И. Основы расчета и конструирования деталей и узлов пищевого оборудования / В.И. Соколов. - М.: Машиностроение, 1970. - 422 с.
6 Луганцев, Л. Д. Формулы для расчета длинных цилиндрических, конических и сферических оболочек / Л. Д. Луганцев. - М.: МИХМ, 1975. - 19 с.
Methodology of Identifying Static Uncertainty in the Junction Knots between the Torus-Shaped Shells and the Ring Bottoms
V.L. Legostaev, E.F. Mordovin
“Tambovpolimermash” PLC, Tambov
Key words and phrases: membrane and couple plane stress states; ring plate; pulsating load; tracking functions; torus-shaped shell; fatigue fracture; equivalent stress.
Abstract: Methodology is developed for calculating stress-fracture state of torusshaped shells and ring bottoms of under-pressing device of shaper-vulcanizer with bayonet lock of vulcanizing moulds, such as FV1-500, used at “Yaroslavl Tyre Plant” PLC.
Methodik der Offenbarung der statischen Unbestimmtheit in den Uberladestationen der kringelformigen Umhtillungen mit den Ringboden
Zusammenfassung: Die Methodik ist fur die Berechnung des angespannt-ungestalteten Zustandes der kringelformigen Umhullungen und der Ringboden der Vorpressenanlage der Reifenheizpressen mit der bayonettischen Sperrvorrichtung von den Heizpressformen, z.B. FV1-500, in der OAG “Reifenbetrieb Jaroslawl” vorherbestimmt.
Methode de la decouverte de l’indetrmination statique dans les noeuds de la jonction des enveloppes en forme de «toro» avec les fonds annulaires
Resume: La methode est destinee pour le calcul de l’etat des tensions et des deformations des enveloppes en forme de «toro» et des fonds annulaires du dispositif de preformage des formateurs-vulcanisateurs avec le joint a bai'onette des moules de vulcanisation, par exemple FV-500, qui fonctionnent dans la SARL «Usine de la production des pneux de Yaroslavl».
