CC BY
149
УДК 678.058
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ТОРООБРАЗНЫХ ОБОЛОЧЕК ПО БЕЗМОМЕНТНОЙ И МОМЕНТНОЙ ТЕОРИЯМ ПРОЧНОСТИ
В.Л. Легостаев, Е.Д. Мордовин
ЗАО «Завод Тамбовполимермаш», г. Тамбов
Представлена членом редколлегии профессором Ю.В. Воробьевым
Ключевые слова и фразы: главные и эквивалентные напряжения; мембранные и изгибные меридиональные и кольцевые напряжения; торообразные оболочки.
Аннотация: Описана методика, предназначенная для расчета напряжений в торообразных оболочках, работающих одновременно под действием внутреннего давления осевых неуравновешенных сил и краевых нагрузок.
В настоящей статье излагается методика расчета мембранных напряжений в меридиональных и кольцевых сечениях тороообразных оболочек (далее - торов), применяемых в подпрессовочных устройствах пресс-форм форматоров-вулкани-заторов шинных заводов. Расчет краевых изгибающих моментов, радиальных и кольцевых сил рассмотрен в работе [1].
При сложном сопротивлении прочность конструкций оценивается эквивалентным напряжением в опасных точках. Для расчета этих напряжений в мировой практике машиностроения применяются третья (теория Треска-Сен-Венана) и четвертая (теория Губерал-Мизеса) теории прочности.
В рассматриваемой задаче (в запас прочности) используется третья теория, согласно которой
допускаемое напряжение растяжения при пульсирующей нагрузке.
Расчетные схемы торов 1 и 2 представлены на рис. 1. Так как упругие деформации в торах небольшие, то при определении напряжений применяется принцип независимости (суперпозиции) действия сил.
1. Под действием равномерно распределенного пульсирующего давления в стенках торов 1 и 2 возникают нормальные пульсирующие меридиональные Ое и кольцевые Оф мембранные напряжения. За теоретическую основу расчета названных напряжений принят расчет замкнутой торообразной тонкостенной оболочки постоянной толщины под действием внутреннего давления [2]. Применительно к рассматриваемым оболочкам и при отсчете угла е от вертикальной оси против часовой стрелки нами получены следующие расчетные формулы:
(І)
где О1 и О3 - наибольшее и наименьшее главные напряжения в точке; |^Ор ^
Рис. 1. Расчетные схемы сложного нагружения торов 1 (а) и 2 (б)
- для наружной части торов (G < В < ІSG0)
(Rj + гт sin В)2 - R2
оВ
28
(Rj + гт sin В) sin В
о Р
Оф =----
ф 8
(Rj + гт sinВ)-
(Rj + гт sin В) - R-2гт sin В
- для внутренней части торов (180° < 0 < 2р)
28
R2 -(R + гт sin В)2 (Rj + гт sin В) |sin В|
(Rj + гт sinВ) +
R2 -(R + гт sin В)2 2гт sin В
(2)
(З)
(4)
(5)
где 8 - толщина стенки тора; гт - радиус срединной поверхности тора; Яі - круговая ось тора, Яі = Яі для тора 1, Яі = ^ для тора 2.
о
В
о
ф
Т ак как кольцевые волокна с радиусом . и . не деформируются, то при е = 0° и е = 180° Оф = 0, а Ое предлагается рассчитывать по формуле
полученной из условия статического равновесия половины оболочки, отсеченной цилиндрическим сечением радиуса ..
Для расчета напряжений Оф при любом угле е авторы предлагают упрощенную формулу
дающую те же результаты, что и формулы (3) и (5). Знаки «+» или «-» указывают на растяжение или сжатие кольцевых волокон, расположенных на наружной или внутренней части оболочки. При проектном расчете с погрешностью до 5 % Ое можно рассчитывать по формуле (6). Необходимая толщина стенок торов определяется из условий прочности (6), (7):
- по меридиональным напряжениям
Из двух значений 5 принимается большее.
2. Неуравновешенные равномерно распределенные по контуру кольцевые осевые силы Р и Р2 вызывают изгиб торов 1 и 2, приводящий к уменьшению их кривизны. Изгибающие моменты принимаем за отрицательные. В любом кольцевом сечении торов равномерно распределенные меридиональные изгибающие моменты представляются следующими выражениями:
- для тора 1
лам сопротивления торов 1 и 2 изгибу; R^ и - радиусы кольцевых сечений торов 1 и 2, Rie = Ri + Гт cos е, ^2е = ^2 - гт cos е (см. рис. 1).
Моменты Ш1 (е) и m2 (е) вызывают поворот J(e) и осевые перемещения (прогиб) у(е) кольцевых сечений торов 1 и 2. Для получения формул расчета названных перемещений использовано дифференциальное уравнение упругой оси балки, в которое вместо жесткости EJ при изгибе балки введена цилиндрическая жесткость оболочки
(6)
(7)
(8)
- по кольцевым напряжениям
(9)
(10)
для тора 2
(11)
* *
где р и р - главные векторы осевых сил р и р, эквивалентные упругим си-
(12)
где &е - плечо действия сил р и P2, Se = гт (cosео - cosе); ео - угол раскрытия тора; Во - цилиндрическая жесткость оболочки, Во = E53j12 (1 -|m2), Е и m -
модуль упругости Юнга и коэффициент Пуассона материала тора.
Согласно [3, гл. 25] равномерно распределенное давление не вызывает изгиба стенок торообразных оболочек, а кольцевой изгибающий момент
m(j) = тш(е). (13)
Двойное интегрирование дифференциального уравнения (12) и использование граничных условий $1 (е) = $2 (е) = 0 и У1 (е) = У2 (е) = 0 при е = я (для определения постоянных интегрирования) позволили получить:
- для тора 1
$1(е) = -
P42
4я£>
(cosео -cosе)2 -—1-(cosео +1)2
R
1е
R1 гт
р*г3 I 1 3 1
У1(е) = - тЪГ- \:г^_ (cos ео - cos е) -
4гсОо I 3RW
R1 гт
13 -------(cos ео +1)
1,5 V о ’
(cos ео +1) (cos ео - cos е) -
(14)
- для тора 2
$2 (е) = -
Р*Гт2
4яС>
( cos ео - cos е)2 -—^---------------( cos ео + 1)2
R
2е
R2 + гт
p*r3 | 1 3 1 У2(е) = --JZTT\^^~ (cos ео - cos е) -
4pD I ^2е
R2 + гт
13 ------(cos ео +1)
1,5V о ’
(cos ео +1) (cos ео - cos е)-
(15)
При е = ео прогибы контуров торов 1 и 2 (см. рис. 1) в направлении сил р и Р2 равны:
- для тора 1
У1ео = -р1*гт3 (cos ео + 1) VбpDо (R1 - гт );
- для тора 2
У2ео =-Р2*гт3 ( cos ео + ^/^о (R2 + гт ). Откуда при заданных прогибах получим
р* = 6яд, (R1- гт) У1ео / гт3 (cos ео +1)3; р* = 6pD (R2 + гт ) У2ео/ гт3 ( cos ео + 1)3.
(16)
(17)
(18) (19)
Под действием меридиональных т(е) и кольцевых т(ф) пульсирующих изгибающих моментов в стенках торов 1 и 2 возникают пульсирующие изгибные напряжения. Максимальные их значения рассчитываются по известным из курса сопротивления материалов формулам. Учитывая, что края торов в подпрессовоч-ном устройстве несвободные, для расчета напряжений предлагаются следующие эмпирические формулы:
- для тора 1
где $ (е0) и $2 (е0) - углы поворота свободных краев торов 1 и 2 при е = е0.
Толщина стенок торов 1 и 2 определяется из условия прочности (20) и (21):
- для тора 1
3. Краевые меридиональные изгибающие моменты МГо , М'Го и радиальные силы Тг , То , а также М., М. и Т., Т. вызывают изгиб и растяжение
(сжатие) стенок торов 1 и 2 соответственно на ограниченном участке. Краевая задача торообразных оболочек рассмотрена в книге [3, гл. 25]. Приведенные в [3] формулы громоздкие, малообозримые и справедливы лишь для определенных
а = гт/Я, Я - радиус круговой оси тора, Р = гт/5. Для торов, используемых в подпрессовочных устройствах пресс-форм форматоров-вулканизаторов, указанное условие не всегда выполняется. Поэтому приближенно за теоретическую основу расчета напряжений в краевой зоне торооборазных оболочек приняты решения краевых задач длинной тонкостенной цилиндрической оболочки постоянной толщины, изложенные в учебных пособиях [4, 5]. Координату границы зоны краевого эффекта, примыкающей к краю ^о = 0, определяют по формуле
£ * =Х*/Р. При 5%-й точности расчета принимают X* =3, а при 10%-й - X* =2.
Меридиональные М* и кольцевые Mj изгибающие моменты, углы поворо-
(Ч* * , г*
та J , радиальные перемещения и и нормальные кольцевые усилия Nj в зонах
(2G)
для тора 2
где K1 и K2 - эмпирические коэффициенты,
5>^/ биСЧВ)/K1 [Ои ]п;
(22)
для тора 2
(23)
параметров длинных оболочек, когда I3 > 5 к 6, где
краевого эффекта торов 1 и 2 могут быть рассчитаны по соответствующим формулам. Т ак, например, для зоны контура 0о тора 1
М*= МоФі(X)--1-ТФ4(X); Mj=мм;; РЯі
«*=-
1
*
u = -
2PRA
To ф1 (X);
2-RDo
Mro ф2 (X) +
2-R Do
T0o ф3 (X);
^ = -2Rie (-R M0o ф2 (X)--RiTOo ф3 (X)) ,
(24)
где ф, (X) - сопровождающие функции, Фі (X) = e X( cos X + sin X) , Ф2 (X) =
= e X(cosX-sinX), Ф3 (X) = e XcosX, Ф4(X) = e XsinX; X = ^i-Pr (0-0O) - безразмерная координата, Pr = ^3 (l-ц2 )/ R252.
Числовые значения и свойства функций даны в [5].
Аналогично формулам (24) можно написать расчетные формулы для краевой зоны противоположного контура тора 1 и зон контуров тора 2. В последнем случае X = rTpR2 (0-00); Pr2 = ф(1 -m2 VR252.
4. Прочность торов оценивается эквивалетным напряжением (1) в опасных точках, расположенных на внутренней и наружной поверхностях толщины стенки торов в кольцевых сечениях 0 = 0о (точки «А») и 0 = я (точки «С») (см. рис. 1). Вычислив суммарные меридиональные ом и кольцевые ок напряжения в указанных точках, устанавливают - какие из них являются 01, а какие - О3, руководствуясь международным правилом 01 >02 >03.
Меридиональные и кольцевые напряжения торов 1 и 2 в сечениях 0 = 0о рассчитываются по формулам:
1 = e-X<
max
Оім =Oie +Oie;
max
Оік = Оіф + Оіф + Оі (ф)
(25)
а в сечениях e = p -
max
Оім = ОіВ +ОіВ;
max
Оік = Оіф +Оіф,
(2б)
где 1 = 1, 2 - номер тора; аге , аг-ф , Оге, аг-ф и ог- (ф) - нормальные напряжения изгиба, мембранные от действия давленияр и кольцевой краевой нагрузки N (ф).
1
1
Заключение
1. Настоящая методика апробирована при расчете на прочность торообразного подпрессовочного устройства форматора-вулканизатора ФВ1-500. Результаты расчета подтвердили усталостное разрушение торов.
2. Расчет торов на прочность надо выполнять по фактической толщине стенки торов в опасных точках, зависящей от предельных отклонений толщины стен-
ки труб и изменения их толщины при гибке. Из условия несжимаемости объема материала полосок единичной ширины, выделенных из труб, найдено:
- для тора 1
810= R18/( R1 + гт cos 0); (27)
- для тора 2
§20= R2§/(R2 - Гт cos 0). (28)
Список литературы
1. Легостаев, В. Л. Методика раскрытия статической неопределенности в узлах сопряжения торообразных оболочек с кольцевыми днищами / В. Л. Легостаев, Е.Д. Мордовин // Вестн. Тамб. гос. техн. ун-та. - 2006. - Т. 12, № 2А. - С. 430-437.
2. Тимошенко, С.П. Сопротивление материалов : в 2 т. / С.П. Тимошенко. -М. : Наука, 1965. - Т. 2. - 480 с.
3. Биргир, И.А. Прочность. Устойчивость. Колебания : справ. в 3 т. / И. А. Биргир, Я.Г. Пановко. - М. : Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 831 с.
4. Соколов, В.И. Основы расчета и конструирования деталей и узлов пищевого оборудования / В.И. Соколов. - М. : Машиностроение, 1970. - 422 с.
5. Луганцев, Л.Д. Формулы для расчета длинных цилиндрических, конических и сферических оболочек / Л. Д. Луганцев ; Моск. ин-т хим. машиностроения. -М., 1975. - 19 с.
Method of Calculation of Torus-Shaped Shells by Membrane and General Theories of Strength
V.L. Legostaev, E.D. Mordovin
«Tambovpolimermash» pic, Tambov
Key words and phrases: main and equivalent stresses; membrane and flexural meridional and circular stresses; torus-shaped shells.
Abstract: Method for calculating stresses in torus-shaped shells working simultaneously under the effect of internal pressure, axial unbalanced forces and edge loads is described.
Methodik der Berechnung der Toroidhtillen nach den Unmomemten- und Momententheorien der Haltbarkeit
Zusammenfassung: Es ist die Methodik, die fur die Berechnung der Spannungen in den Toroidhullen vorbestimmt ist, beschrieben. Diese Hullen arbeiten gleichzeitig unter der Wirkung des inneren Drucks, der axialen unausgeglichenen Krafte und der Ortsbelastungen.
Methode du calcul des enveloppes a tore d’apres les theories de rigidite de «sans moment» et de moment
Resume: Est decrite la methode destinee au calcul des tensions dans les enveloppes a tore qui fonctionnent simultanement sous l’action de la pression interieure, des forces d’axes desequilibrees et des tensions des limites.
