CC BY
15
УДК 539.3:624.074.4
АНАЛИЗ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С РАЗРЫВНЫМИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ
© 2004 г. А. С. Юдин, Д.В. Щитов
Updating of Novozhilov’s type geometrically-nonlinear equations for shells of revolution with discontinuous geometrical parameters is offered. The equations allow solve two-point boundary value problems without necessity of implementation of conjugation conditions on the meridian salient points. Models are applied to the analysis of axisymmetric stress-strain states of shells elements of the containers filled with a liquid.
1.Уравнения осесимметричного напряженно-деформированного состояния (НДС) тонких упругих оболочек вращения в рамках квадратично-нелинейной теории и гипотез Кирхгофа базируются на кинематических соотношениях [1, 2]:
U(a\, z) = u(ai) + zO\(ai),
W(ab z) = w(ai);
su(ah z) = £n(ai) + zKu(a{),
£22(0-1, г) = E22{ai) + zK22(ai);
Ец =u'+ kiw + /2,
E22 = Щ + k2w,
Qi =-w'+ kiU, Кц = в'г Кц = If/Qi, (1)
где ab a2- криволинейные ортогональные координаты отсчетной поверхности S0 оболочки: «| - меридиональная; а2 - окружная; z - координата по нормали п к S,,: .11. .12 - коэффициенты Лямэ; кх, к2 - главные кривизны; U, W —
компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки; и, w - компоненты вектора перемещений точек поверхности S0; вх - угол поворота нормали и; - компоненты тензора деформаций; Ец, Е22 - компоненты тангенциальной деформации на S0 (растяжения-сжатия) по направлениям координат ai и а2; Кц, К22. - компоненты изгибной деформации (изменения главных кривизн); (...)’ = (...) .1, - дифференциальный оператор по координате «,,
Здесь в качестве системы отсчета используется триедр срединной поверхности. Положительные значения поперечной координаты z соответствуют внешнему направлению нормали к оболочке. Формулы для коэффициентов Лямэ А1, А2, главных кривизн к\. к2 и параметра ц/ типовых оболочек даны в [1].
Уравнения равновесия в усилиях и моментах следуют из принципа Лагранжа с учетом (1):
^11 +4/(J11 — ^22)+ ^1611 +ch =
вп+1//вп ^1^11 ^2^22 +?3 “О,
М[х +<у(Ми-М22)-аи-Тив1=0, (2)
где Т\\, 722 - тангенциальные внутренние усилия, приведенные к Л'() (усилия растяжения-сжатия); Ми, М22 - изгибающие моменты; ()и - перерезывающая сила в направлении д3- компоненты внешней поверхностной нагрузки,
приведенные к Бо.
Для формирования замкнутой системы необходимы соотношения, определяющие механические свойства системы. Ограничимся соотношениями упругости для изотропных оболочек, достаточными для решения представленных ниже задач:
1 = В(Е\1 + уЕ22),
^22 = ^(Е22 + 1) >
М\ 1 = 0(Кг 2 + УК22 ) ,
М22=0(К22+уКи), (3)
где В = ЕИ/(\ - г2) и I) = ЕИ3/[12(1 - V2)] - эффективные жесткости оболочки на растяжение-сжатие и изгиб; /г - толщина оболочки; Е- модуль Юнга; V -коэффициент Пуассона.
Для оболочек Кирхгофа (аъъ ~ 0) закон Гука приобретает вид:
стп = {е/(\-у2)](еп +уе22),
^22 = [Е/(1 -У2)]0?22 +У£ц),
где <7п, 022 - напряжения на главных нормальных сечениях оболочки.
Выводы о прочности оболочки по критерию Мизеса делаются сравнением с допустимым уровнем ад максимума интенсивности напряжений:
^ - Г~2 .2 ^ ^ -.1/2
— 1 + СТ22 ст11ст22]
В случае однородных краевых условий на краях оболочки обращаются в нуль обобщенные перемещения или обобщенные усилия. В альтернативной форме эта запись имеет вид:
М(1 - У\) + Г\Т\\ =0,
141 - у2) + 72611 = 0, 01(1 - уъ) + УъМи = 0; (4)
и( 1 - у4) + УлТи = 0,1^(1 - у5) + у&и = О,
01(1-Гб) + ГбМи=О, (5)
где аг = «к/ (на левом краю) для (4), «, = а1и (на правом краю) для (5); у принимают значения О или 1.
В рассматриваемых уравнениях вектор перемещений и силовые факторы разложены по осям триедра основной поверхности. Поэтому для составных оболочек, образуемых секциями разной геометрии и имеющих изломы меридиана и другие нарушения непрерывности свойств, на линиях разрывов необ-
ходимо выполнять условия сопряжения. На изломах меридиана формулы, обеспечивающие преобразование перемещений и обобщенных внутренних усилий при переходе с секции] на секцию / + 1. имеют вид:
ду вектором нормали и осью вращения).
Условия сопряжения включают уравнения равновесия и формулы преобразования компонент при повороте систем координат. При этом от сопутствующих триедров секций производится переход к базису цилиндрической системы координат. В этой системе компоненты перемещений и внутренних усилий равны в силу непрерывности перемещений и условий равновесия (7). Если эти компоненты принять в качестве основных и перейти к ним в уравнениях (1)-(3), то необходимость в выполнении условий сопряжения (6)-(8) отпадает. Это существенно упрощает алгоритмы методов погружения краевых задач в задачи Коши (методов прогонки и пристрелки) [1, 3], поскольку позволяет выполнять процесс интегрирования задач Коши без прерываний на всем интервале определения оболочки. При этом геометрические параметры оболочки, имеющие разрывы первого рода (углы наклона нормали, главные кривизны и др.), также должны быть определены на всем интервале. Это легко выполнимо с помощью логических операторов. Так, например, угол наклона меридиана определяется суперпозицией кусочных функций «'(«,). заданных на участке с номером ] и обращающихся в нуль вне него:
Введем набор основных функций в унифицированных обозначениях:
и]2 = и1 вта1 -м>] сое а1, и]г = и1 соъа1 +м/] sm.cc1, Тг] = Тг\ вта1 -0^ со$,а] , Q1r = Тх\ со$а] +Q{l вта];
(6)
(7)
углы наклона нормали (меридиана) в точке стыковки (углы меж-
(8)
3
Yi = Тв 72 = Qn 73 =Мп,
Ya = uz, Y5 = ur, Y6= 6i.
Полагаем, что замена типа (8) выполнена во всей области определения оболочки. Тогда
и = Y4 sinр + Y5 cosр, w = -Y4 cosp + Y5 sin/?,
Tu = 7j sin p + Y2 cos p, Qn=-Yx cos p + Y2 sin p . (9)
После подстановки (9) в (l)-(3) и преобразований с использованием соотношений А2 = г0, \у= cos р / г0, к\ = Р', к2 = sin р / г0, i//cos р + к2 sin р = = 1 / г0, (//sinР~к2 cos /; / г(, приходим к системе:
7/ = cos/?rG-qz, Y’ = T22/ra-Y2 cos p/ra-qr, 73' = (M22-Y3)x cosP/r0--7j cos P + 72 sin P + 76 (7j sin P + 72 cos P),Y'4 = En sin P + Y6 cos P - 0,5 (Y6)2sin (3, Y; = En cos p-Y6sinp - 0,5(76)2 cos p,
(10)
где r0 = r0 (ai) - полярный радиус оболочки,
qz = ql sin P~q3 cos P , qr = ql cos P + q3 sin p ,
^22 = v(Y\ sm-P + Y2 cosP)+BY5/rQ ,
M22 =vY3 +DY6 cos p/ra ,
i?!! = (7j sin P + 72 COS P)/B - vY5 /ro ,
Ku=Y3/D-vY6 cosp/rQ. (11)
При реализации алгоритма целесообразно работать с уравнениями в безразмерной форме. В переходе к безразмерным величинам используются основные нормирующие параметры Е,, v., R.. h,, которые имеют смысл и
размерность, соответственно, модуля Юнга, коэффициента Пуассона, радиуса кривизны или линейного размера, толщины. Формулы для безразмерных величин даны в [2].
Для упрощения записи за безразмерными величинами сохраняются исходные обозначения. В этом случае вид компонент деформаций <<;„ и напряжений <7и, интенсивности напряжений сохраняется таким же и в безразмерной форме. Правые части (10) приводятся полностью к терминам основных функций. Система разрешающих уравнений принимает вид:
Y{ = -Ylcosp/ra-qz,
Y2 = v7j sinp/ra -(l-v)Y2 cosp/ra + BY5 cos/?/rG2 -qr,
Y3 = -(1 - v)T3 cos p/ra + e.DY6/r^ -
-(7j cosP~Y2 sinP)/e, + kNY6 (7j sinP + Y2 cosP),
Yl = (}j sin р + Y2 cos Р) sin р/В -1Y5 sin pr0 + Y6 cos p - kNe, (Y6)2 sin p/2,
} 5 = (} J sin P + } 2 COS P) COS p/B - 1 '15 COS pro -
- Y6 sm P -k№* (16 )2 cosP/2 -
) ’ icospr, . (12)
где введен коэффициент нелинейности ку.
Краевые условия могут ставиться в однородной форме типа (6), (7) относительно Г„ либо с использованием замены (8), либо в соответствии с направлениями, по которым разрешены смещения краев оболочки.
В случае оболочки постоянной толщины /?. = h , тогда -0,5 <z< 0,5. При расчете интенсивности достаточно рассмотреть значенияя г = -0,5, 0, 0,5. Обычно максимум а по г достигается на лицевых поверхностях оболочки.
2. Ранее анализировалась теоретически и экспериментально оболочка вращения с внешним радиусом гд, составленная из плавно сопряженных сегментов сферы в центральной части, тора и кольцевой пластины на периферии (рис. 1) [4-7]. Будем считать ее оболочкой первого типа. Оболочка нагружена гидростатическим давлением, создаваемым столбом жидкости высотой Нж = 3,065 • Гд.
г
0 0.2 0.4 0.6 0.8 Г
Рис. 1
Полагаются известными стрелы погиби участков и координаты точек стыковки на меридиане. Для сопряжения участков с непрерывной касательной должны выполняться соотношения:
Ь, = к,г0, Ьр= к рг0, Ц = (1 - к, -крХ
0 < к!1 < 1, 0 < кр < 1, 0 < к!1 + кр <1, Н!1 = кнНр,
Я, = (Я; + ь],) 1(2Н6,X Р, = а.ш.к/., /Л).
Я,=Л,(1-со8/и Я,=Л,(1-со8/и
Н,+Н,=Нр, Л, =Я/(1-с08/?,)-Л,.
Рассмотрим вариант оболочки вращения второго типа с тем же внешним радиусом г д. составленной из круглой пластины радиуса Ьрс в центре, усеченного конуса и кольцевой пластины шириной у краевой зоны. Меридиан такой оболочки образован прямолинейными отрезками, соединенными с изломом образующей (рис. 2). Проекция образующей конуса на плоскость его основания обозначена высота конуса - Щ, угол наклона внешней нормали образующей конуса к оси симметрии /4 = ак^ (Нр/Ьк). Элементы оболочки изготовлены из изотропного листового материала толщиной /?, с модулем Юнга Е, коэффициентом Пуассона V. Внешний контур оболочек считаем шарнирно закрепленным.
Рассматриваемую оболочку трактуем как более технологичный в изготовлении тип днищ емкостей, альтернативный варианту с плавно сопряженными сегментами. Для моделирования оболочек второго типа использовались уравнения (12). Краевая задача решалась методом пристрелки с односторонним или двусторонним интегрированием задач Коши. Для задания начальных приближений в нелинейных задачах применялся метод продолжения по параметру нелинейности км. Вначале решалась линейная задача для к у = 0, затем шагами по кК выполнялся переход к нелинейной задаче до км= 1. Для этого обычно было достаточно выполнение десяти итераций.
Рис. 2
Днище является наиболее нагруженным элементом емкости. Как показали исследования, его напряженное состояние определяет ресурс всей конструкции. НДС оболочки днища с плавными изгибами меридиана анализировалось в [4-7] и продолжено в настоящей работе. Ниже представлен анализ и сравнение восьми вариантов днищ двух типов, нагруженых весом жидкости при коэффициенте заполнения объема емкости ку = 0,95.
При переходе к безразмерным величинам характерные нормирующие параметры /?. и Л. полагались равными, соответственно, толщине днища и его радиусу: И, = И , К, =Гд . Модуль упругости нормирован величиной Е, = Е ; V. = V . К толщине отнесены компоненты перемещений. Угол поворота 01
нормирован параметром бх = /?. /<*., интенсивность напряжений - величиной
Ее,.
В безразмерной форме стрела погиби Нр оболочек задавалась одинаковой, равной 0,0315. Давление на уровне краевой пластины д3 = 0,0031, и в силу пологости днища практически постоянно по радиусу. Другие общие параметры: к = 1, гд = 1, Е = 1, V = 0,3, £, = 3,5-10“3, В= 1, £> = 0,0833. Варьируемые
параметры, соответствующие долям секций от внешнего радиуса оболочки, сведены в табл. 1 для днищ первого типа и в табл. 2 для днищ второго типа.
Расчеты интенсивности напряжений о показывают, что максимум достигается на внешней лицевой поверхности. Безразмерные значения максимумов даны в таблицах в крайней правой колонке. Распределения а по радиусу на этой поверхности показаны на рис. 3 для оболочек первого типа и рис. 4 для оболочек второго типа.
___________________________________________________ Таблица 1
№ кн и ьР шах а
1 0,8 0,75 0,1875 0,0625 0,124
2 0,8 0,78 0,195 0,025 0,113
3 0,947 0,9 0,05 0,05 0,122
4 0,8 0,8 0,2 0 0,104
5 1,0 1,0 0 0 0,030
Таблица 2
№ Нр Ьрс ьк ЬРк шах а
1 0,0315 0,175 0,7 0,125 0,142
2 0,0315 0,175 0,7625 0,0625 0,109
3 0,0315 0,175 0,825 0 0,049
0 0.2 0.4 0.6 0.8 г 0 0.2 0.4 0.6 0.8 г
Рис. 3 Рис. 4
При наличии краевой пластины имеется значительный всплеск напряжений в окрестности внутреннего радиуса кольцевой пластины. Уменьшение
28
ширины краевой снижает концентрацию напряжений. Наилучшие результаты дают варианты без плоской краевой зоны (например, кривая 3 на рис. 4). В минимальной напряженности и хорошей однородности НДС находится днище, образованное одним сферическим сегментом (кривая 5 на рис. 3).
Работа выполнена при содействии гранта Президента РФ по поддержке ведущей научной школы НШ-2113.2003.1.
Литература
1. Кармишин А.В. и др. Статика и динамика тонкостенных оболочечных конструкций. М., 1975.
2. Юдин АС. II Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 3. С. 184-188.
3. Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М., 1976.
4. Юдин А. С., Сафроненко В.Г., Щитов Д.В. II Современ. пробл. мех. силотттн среды: Тр. VI Междунар. конф. Ростов н/Д, 2001. С. 158-161.
5. Щитов Д.В. II Тр. аспирантов и соискателей Ростовского гос. ун-та. Т. VII. Ростов н/Д, 2001. С. 17-19.
6. Юдин А. С. и др. II Прикл. пробл. прочн. и пластичн. Вып. 64. Н. Новгород, 2002. С. 87-91.
7. Щитов Д.В., ЮдинА.С. //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2003. № 1. С. 28-32.
Ростовский государственный университет,
НИИ механики и прикладной математики 26 марта 2004 г.
